九年级 第9讲 (1)最值与轨迹问题专题

❖共线类最值问题✧单动点共线最值

1. 如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，

且△

ABC与△

A

′BC

′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）

2．如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（）

A．5

2B．3

2C．2

5

2+D．2

3

2+

3. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=45，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）

A. （0，0）

B.（1，2

1

） C.（5

6

，5

3

） D.（7

10

，7

5

）A．4 B．2

3C．3

2D．3

2+

4. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB=4，BC=2，点M ，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM=1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 的和最小时，ME 的长度为（ ）

A ．31

B ．94

C ．32

D ．9

5

多动点最值

1．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为（ ）

A ．3

B ．24

C ．32

D ．34

2．如图，已知正比例函数y=kx （k ＞0）的图象与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y=kx （k ＞0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN 的最小值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．32

D．3

✧动线段类型

1. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=________时，四边形APQE的周长最小．

2．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=___________时，四边形ABDC的周长最短．

✧翻折衍生的圆弧轨迹问题

1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是（）A．7B．1

7 C．3D．2

2. 已知正方形ABCD 的边长为3，E 是BC 上一点，BE=3，Q 是CD 上一动点，将△CEQ 沿直线EQ 折叠后，点C 落在点P 处，连接PA ，点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动，当PA 的长度最小时，CQ 的长为（ ）

A ．333-

B ．33-

C ．23

D ．3

3. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3 , Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′。当CA ′的长度最小时， CQ 的长为（ ）

A ．5

B ．7

C ．8

D ．213

定长线段辅助类

1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，AB=4，BC=1．当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，运动过程中矩形ABCD 的形状保持不变，则点D 到点O 的最大距离是__________.

2. 在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB 的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE=AB=10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_________.

垂线段最短类型

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，AB=6，点D在AB边上，点E在BC边上（不与点B、C重合）．若DA=DE，则AD的取值范围是________

2. 如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝45°,按下列步骤进行裁剪和拼图.

第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△A BD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；

第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；

第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM与△DCF在CD同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处（边PR与BC 重合，△PRN与△BCG在BC同侧）。

则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为_______.

3.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：

第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；

第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；

第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，