二元关系和函数

中的顺序改为A={a , b , d , c , e , f }也就是把相关的元素排在
一起那么所画出的表格也显示上述特征： a a √ b
√
√ √
d
√
√ √
c
e
f
a
b
d
c
e
f
a b
d
√ √ √ √ √
b √
d √ c e f
c e f
√
√
√
√
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0
注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的 关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系
8
从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 n2 2 |A|=n, |A×A|=n , A×A的子集有 2 个. 所以 A上有 2 n 个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
二元关系
1 集合的笛卡儿积 2二元关系 3 关系的性质 4 等价关系和等价划分 5相容关系与最大相容 6偏序关系 7格与概念格

1
1 集合的笛卡儿积和二元关系


有序对
笛卡儿积


二元关系
二元关系的表示
2
有序对
定义 由两个客体 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作<x,y> 实例：点的直角坐标(3,4) 有序对性质 有序性 <x,y><y,x> （当x y时） <x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=u y=v 例1 <2, x+5> = <3y 4, y>，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3
2
9
实例
例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
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以上的例子不仅说明集合A上的等价关系实际上是
一种“同组”关系。 即当集合A确定一种“分组”形式后，也就确定了A上的 一
种等价关系（只要将同一组的元素认作是相关的）； 反之当确定一个A上的等价关系后，也就确定了A上的一
种“分组”形式（只要将相关元素合成一组）。 为了详细地讨论这一问题，下面介绍等价类和划分这两个 概念：
显然R也是对称的； 又由于A中任意元素a，可写为 a = 3k+r 所以当(a,b) ∈R 时，有a-b=3k. 因此当(a,b) ∈R 和 (b,c) ∈R时，即有 a-b=3k1 ，b-c= 3k2.
于是a-c=a-b+b-c=3(k1-k2) =3k
由此可得(a,c) ∈R ，所以R是可传递的， 说明此关系是等价关系。
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同房间关系 R是等价关系。
16
由上述3个例子可知那种同姓氏、同房间、同年龄的关系都是 等价关系。 由此可知等价关系所具有的重要特性。 如果抽象地讨论，对集合A中的元素按照某种特性分成几个组， 每个元素只属于一个组（如按年龄分组，即同年龄人在同一组 内；或按姓氏分组，即同姓人在同一组内），并且定义在同一 组内的元素是相关的，而不在同一组内的元素是不相关的，那
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
15
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
由此可得同姓氏关系 R是等价关系。
14
又如设集合A的情况同上所述
若令集合A={a ,b ,c , d ,e , f } 20 22
其中a ,b,c,d都是20岁，e,f都是22岁。 如果年龄相同的大学生认为是相关的，那么 “同年龄”关系R 是 等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同年龄的，所以满足自反性；
4
笛卡儿积
定义 设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AB， 即 AB ={ <x,y> | xA yB } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>, <3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>, <a,3>, <b,3>,<c,3>} A={}, P(A)A={<,>, <{},>}
一、等价关系
1、等价关系的定义
定义 设R是 A上的二元关系，如果 （1） R是自反的； （2） R是对称的； （3） R是可传递的。 则称R是A上的等价关系。若<x,y>∈R, 称 x 等价于y, 记做 x～y .
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例如，我们用a ,b,c,d,e,f 分别表示6位大学生，其中a ,b,c都姓 张，d,e,f都姓李。
6
在日常生活和实际工作中，“关系”这个词的含义如： 父子关系，夫妻关系，同学关系，师生关系等。 下面采用集合论的观点来描述这类关系。 如集合A={a,b,c,d,e}, 其中a,b,c,d,e是五个人， a是b的父亲，c是d的父亲，c又是e的父亲。
现将这5个人中所有符合父子关系的两个人，用有序
对：(a,b),(c,d),(c,e)来表示，如果以这些有序对作为
元素构成集合，即R={(a,b), (c,d), (c,e)} 那么R就完
整地描述了a,b,c,d,e中的父子关系。称R为集合A上的一 个关系(父子关系)。这种有序对仅由两个元素组成的关 系称为二元关系。
7
关系的表示
表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 关系矩阵：若A={a1, a2, …, am}，B={b1, b2, …, bn}， R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < ai, bj> R. 关系图：若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R 的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
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A上关系的性质
1自反性 2反自反性 3对称性 4反对称性 5传递性
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2 等价关系与偏序关系



等价关系的定义 等价类及其性质 商集与集合的划分 等价关系与划分的一一对应 相容关系 偏序关系 偏序集与哈斯图 偏序集中的特定元素
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等价关系和划分
等价关系是经常使用的重要的二元关系。
易见在描述等价关系的表格中，带有“√”的格子将形成若 干个正方形；而在关系矩阵中则有一些小方阵，其元素都是 1，而其它元素都是0。
19
（2）a ,b,c,d都是20岁，e,f都是22岁； 对于（2）所示的等价关系的表格表示和关系矩阵也有上述特征：
a
a √ b √ c √ d √ e f
b
√
√ √ √
若令集合A={a ,b ,c , d ,e , f }
张 李 R是A上的同姓氏关系（同姓的大学生认为是相关的） 容易验证同姓氏关系R是A上的等价关系。
（1）因为每一个大学生都和自已是同姓的，所以满足自反性；
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0
21
例1 设集合A={1，2，3，4，5，6，7}， R是A上的模3
同余关系，试说明此关系是等价关系，并画出表格和
关系矩阵。
解（1）相同数被3除后余数一定相同，所以R上自反的；
么由此产生的二元关系必然是等价关系。
由此可见：等价关系实际上是同组关系。
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2、等价关系的表格表示和关系矩阵
下面将利用表格和关系矩阵来进一步了解等价关系的特征。
为了方便将上述3个例子综合如下：
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f都姓“李”；
（2）a ,b,c,d都是20岁，e,f都是22岁； （3）a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 下面分别画出（1）、（2）、（3）所表示的等价关系的 表格和关系矩阵：
3
有序 n 元组
定义 一个有序 n (n3) 元组 <x1, x2, …, xn> 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即
<x1, x2, …, xn> = < <x1, x2, …, xn-1>, xn>
当 n=1时, <x> 形式上可以看成有序 1 元组. 实例 n 维向量是有序 n元组.
18
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0
c
√
√ √ √
d
√
e f
a b c d
√ √ √
a
b
c
d
e
f
Fra Baidu bibliotek
√
√ √
e f
√
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
20
（3）a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 对于（3）所示的等价关系，如果将集合A={a , b , c , d , e , f }
5
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
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二、等价类
定义：设R是A上的等价关系， a∈A ，由A中所有与a相关
22
在集合A中，以相关元素顺序排列， 即：A={1 , 4 , 7 , 2 ,5 ,3 , 6}也就是把相关的元素排在 一起那么所画出的表格表示和关系矩阵如下： 1 4 7 2 5 3 6 1 4 7 2 1
√ √ √
5
3 6
1 1 1 1 0 0 0 0 4 √ √ √ 4 1 1 1 0 0 0 0 7 √ √ √ 7 1 1 1 0 0 0 0 √ √ 2 2 0 0 0 1 1 0 0 √ √ 5 5 0 0 0 1 1 0 0 √ √ 3 3 0 0 0 0 0 1 1 √ √ 6 6 0 0 0 0 0 1 1 由此可见模3 同余关系也是一种分组关系，它是把A中的元 素被3除后，余数为1的分为一组（ 1 , 4 , 7 ），余数为2的分 为一组（ 2, 5 ），余数为3的分为一组（ 3 , 6 ）。