解决平面向量问题“五技巧”

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求解平面向量最值问题的几个措施

探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。

平面向量做题技巧

平面向量做题技巧1. 嘿，平面向量做题的时候，要学会找关键信息呀！就像你在一堆玩具中找到你最喜欢的那个一样。

比如已知向量的模和夹角，那不是很明显要去用相关公式嘛！2. 哎呀，一定要记住向量的加减法法则哦，这可太重要啦！就好比搭积木，一块一块地往上加，或者把多余的拿走，不就清楚啦。

像那种给出几个向量让你合成的题，不就用这个嘛！3. 注意啦，向量的数量积可不能马虎！这就好像你和朋友之间的默契，要好好去感受和计算呀。

比如判断向量垂直，不就看数量积是不是零嘛！4. 嘿，在做题时别死脑筋呀，要灵活运用啊！就像跳舞要随着音乐节奏变换动作一样。

碰到复杂的向量问题，多想想有没有简便方法呀！5. 哇塞，对于那些和几何图形结合的题，要把图形看透呀！这就如同你了解一个人的性格一样重要。

比如在三角形里的向量问题，不就利用三角形的特点嘛！6. 记住哦，单位向量也有大用处呢！就好像一个小小的指南针能指引方向一样。

在一些问题里，利用单位向量来转化不就简单多啦！7. 千万别忘了向量共线的条件呀！这就好比走在同一条路上的伙伴。

看到相关条件，马上就想到共线的性质呀！8. 哎呀呀，平面向量做题技巧真的很关键呢！就像拥有一把万能钥匙能打开各种难题的门。

遇到困难别退缩，用对技巧呀！9. 注意那些隐含条件呀，别漏了它们！这就像宝藏藏在角落里，你得细心才能发现。

很多时候答案就在那些被忽略的地方呢！10. 真的，平面向量做题要多用心呀！就像对自己喜欢的事情一样充满热情。

用心去体会每一个技巧，你会发现做题越来越轻松啦！我的观点结论就是：掌握这些平面向量做题技巧，能让你在解题时更加得心应手，轻松应对各种难题，一定要好好运用哦！。

平面向量几何法解题技巧

平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。

本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。

一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。

它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。

向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。

模长可以使用勾股定理计算：||AB||=√(a²+b²).向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算：α＝arctan(b/a) (a＞0)α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0)α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0)α＝π/2 (a=0, b＞0)α＝-π/2 (a=0, b＜0)二、平面向量几何法的解题技巧1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。

两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。

2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。

向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为cosα=a·b/||a||·||b||。

3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。

公式为：a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。

平面向量常用方法归纳

平面向量常用方法归纳1、基底法在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.【例1.1】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则__________．【答案】16- 【解析】方法一：基底法 ()()()1625092-=-+=⋅++⋅+=+⋅+=⋅MC MB MC MB AM AM MC AM MB AM AC AB 方法二：极化恒等式法161004194122-=⋅-=-=⋅BC AM AC AB 【例1.2】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】方法一：基底法AB AC ⋅=ABCD 120BAD ,E F ,BC DC BE BC DF DC 1AE AF 23CE CF 122356712()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-⋅-=+⋅+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=⋅32111321DC BC DC AD BC AB CF CE AF AE μλμλ，()()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++-∴3111242μλλμλμμλ令μλ+=x ，λμ=y ，则原式可化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-3111242x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6165y x ，65=+∴μλ.方法二：解析法建立如图所示直角坐标系，则：()0,2B ，()3,1C ，()3,1-D ，又 BC BE λ=，DC DF μ=，易得()λλ3,2-E ，()3,12-μF()1224=--+=⋅∴λμμλAF AE ，()32222-=--+=⋅λμμλCF CE ，下同方法一. 65=+∴μλ【练习1.1】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.【答案】5 【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法，可令DC DP λ=，当43=λ时取得最小值5.【练习1.2】如图，△ABC 是边长为32的等边三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则BP AP ⋅的取值范围是 .【答案】[]13,1 【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理，当然也可以使用解析法处理..2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律，即22||a a =.【例2.1】设,a b 是两个非零向量，( )A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=D ．若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||a b a b +=-【答案】CABCD AD BC 090ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +C AB P【解析】方法一：平方法对式子||||||b a b a -=+进行两边平方处理，易得：1,cos -=b a ，即向量a 与b 反向，而“存在实数λ，使得b a λ=”表示向量a 与b 共线，故选项C 正确.方法二：三角不等式由三角不等式||||||||b a b a +≤-等号成立的条件是向量a 与b 反向，下同方法一.【例2.2】11. 如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，且满足AP t AC =13AB +，若△ABC 的面积为332，则||AP 的最小值为【答案】2【解析】由AP t AC =13AB +，点D 为AB 的中点，易得： AD AC t AP 32+=，又P D C 、、三点共线，31=∴t ， AB AC AP 3131+=∴，则A AC AB AB AC AB AC AP cos ||||2313131||222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，又233sin ||||21==∆A AC AB S ABC ，∴6||||=AC AB ，2||=≥=∴AP ，当且仅当6||||==AC AB 时取等号.【练习2.1】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈.若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于__________．【答案】2【提示】平方法转化成二次函数最值问题，数形结合也可处理.【练习2.2】设为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数，||b ta +的最小值为1（）A.若确定，则||a |唯一确定B.若确定，则||b 唯一确定C.若||a 确定，则唯一确定D.若||b 确定，则唯一确定【答案】B【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题，或使用数形结合方法处理.3、投影法平面向量数量积（点乘）：||||cos ,a b a b a b ⋅=<>θt θθθθ③b 在a 上的投影是||cos ,.b a b <>④投影有正有负，正负代表投影的位置.【例3.1】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】C【解析】i AP 在向量AB 上的投影有三种情况，分别是52 AP AP 、的投影是0，1AP ，3AP ，6AP 的投影是1，4AP ，7AP的投影是2，所以共有三个不同的结果，故选C.【例3.2】如图，在等腰直角ABO ∆中，1,OA OB C ==为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设,,OA a OB b OP p ===，则()p b a -等于( ) A ．12- B. 12 C ．32- D. 32【答案】A【提示】投影法(1,2,,7)i P i =(1,2,,7)i AB AP i ⋅=()2||41||||41AB AB AB AB OP a b p -=⋅-=⋅=-⋅，又ABO ∆ 是等腰直角三角形，且1==OB OA ，2||=∴AB ，∴()21||412-=-=-⋅AB a b p .【练习3.1】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．【答案】332 【提示】方法一：投影法由题意知1||||21==e e ，又121=⋅=⋅e b e b ，由向量数量积的几何意义，可知b 在1e 与2e 上的投影均为1，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ，则向量b 如图所示，由几何关系易得332||=b 方法二：坐标法1e 2e 1212e e ⋅=b 121b e b e ⋅=⋅=b =建立如图所示的直角坐标系，设()y x b ,= 易得：()0,11=e ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,212e ，121=⋅=⋅b e b e ，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=12321y x x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==331y x ， 332||=∴b 方法三：数形结合121=⋅=⋅b e b e ，01cos ||||cos ||||2211>==∴θθe b e b ，21θθ=∴，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ， 621πθθ==∴或65π（舍）代回已知11=⋅e b ，易得332||=b 【练习3.2】在ABC 中，5BC =，G ，O 分别为ABC 的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能【答案】B【提示】方法一利用重心和外心的性质，利用投影的思想来处理5=⋅BC OG 这个条件，方法二利用基底代换，把条件5=⋅BC OG 转化为余弦定理形式来判断C ∠为钝角.4、坐标法几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。

向量问题的解答技巧

向量问题的解答技巧
向量问题在数学中是一个非常重要的部分，涉及到许多复杂的计算和理论。

以下是一些解答向量问题的常见技巧：
1. 理解向量的基本概念：向量是具有大小和方向的量，可以进行加减、数乘等运算。

理解这些基本概念是解答向量问题的基础。

2. 掌握向量的运算法则：向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则，数乘则遵循分配律。

熟练掌握这些法则可以帮助你快速解答向量问题。

3. 利用向量的性质：向量有许多重要的性质，如零向量、单位向量、共线向量等。

利用这些性质可以帮助你简化问题，提高解题效率。

4. 画图辅助解答：对于一些复杂的向量问题，画出图形可以帮助你更好地理解问题，找到解决问题的思路。

5. 分析题目要求：在解答向量问题时，首先要明确题目的要求，是求向量的长度、方向，还是求两个向量的夹角等。

明确了题目要求，就可以有针对性地进行计算。

6. 检查答案：在得到答案后，要进行检查，看是否符合题目的要求，是否满足向量的性质等。

以上就是解答向量问题的一些常见技巧。

解答平面向量问题的三种途径

常见的平面向量问题有求一个平面向量的模、求两个平面向量的数量积、证明三点共线、求向量的坐标等.平面向量问题侧重于考查平面向量的基本定理、共线定理、运算法则、数量积公式、向量的模的公式等.本文主要探讨一下解答平面向量问题的几种途径.一、利用平面几何图形的性质大部分的平面向量问题均是与平面几何图形有关的问题，并且平面向量兼有“数”与“形”的两重身份，因此在解答平面向量问题时，可根据平面向量的几何意义绘制出几何图形，然后结合图形的特征构造三角形、平行四边形、圆等图形，利用其性质进行解题.例1.AB 是单位圆上的弦，点P 是单位圆上的动点，设f (λ)=||BP -λBA 的最小值为m ，若m 的最大值为32，求|| AB .解：如图1所示，在AB 上任取一点C ，使得λ BA = BC ，可得f (λ)=|| BP -λBA =||BP - BC =|| CP ，因为f (λ)=||CP 的最小值为m ，所以m 是点P 到弦AB 的距离，当PC 过圆的圆心时m 最小，此时||AB ==3.由于P 为圆上的动点，所以需根据点到直线的距离的定义来确定f (λ)的最小值，然后利用圆的垂径定理、勾股定理求解.利用平面几何图形的性质，可使问题变得更加直观，求解问题的思路变得更加明朗.二、建立坐标系有些平面向量问题中涉及的几何图形为规则图形，如正三角形、等腰三角形、直角三角形、圆、矩形等，此时可根据这些几何图形的特点、性质建立平面直角坐标系，将相关点和向量用坐标表示出来，通过向量的坐标运算，使问题得解.例2.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则 PA ∙（ PB +PC ）的最小值为（）.A.-2B.-23C.-43D.-1解：建立如图2所示的平面直角坐标系，可得A (0，3)，B (-1,0)，C (1,0).设P (x ,y )，则PA =(-x ，3-y )，PB =(-1-x ,-y )，PC =(1-x ,-y )，所以 PA ⋅( PB + PC )=2x 2+2(y2-32，当x =0，y =时， PA⋅( PB + PC )取最小值，最小值为.运用坐标法解答本题最为简便.由于△ABC 是等边三角形，所以可以底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平方线为y 轴，建立平面直角坐标系，这样便能很快求出各个点的坐标，得出 PA ⋅( PB +PC )的表达式.三、根据平面向量的基本定理平面向量的基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1＋λ2e 2.根据平面向量的基本定理，可知平面内的任何一个向量都可以用任意两个基底表示出来，因此在求解平面向量问题时，可根据题意选择两个不共线的基底，将问题中的其他向量用基底表示出来，根据平面向量的运算法则求解即可.例3.已知点O 在△ABC 的内部， OA +2 OB +4OC =0，求△ABC 的面积与△AOC 的面积之比.解：设 OP =λ OB ，则 PC = OC - OP =-λ OB + OC ，因为 OA =-2 OB -4 OC ，所以 AC = OC - OA =2 OB +5 OC .由于 AC 和 PC 共线，可得λ=-25，故S △ABC ：S △AOC =BP :OP =7:2.利用基底法解题的关键是选择合适的基底.解答本题，可以 OB 和OC 为基底，采用基底法来快速求得问题的答案.上述三种途径是解答平面向量问题的基本方法，具体选择哪种途径解题，需要根据题目的具体条件与所给的图形进行选择.同学们在解题时要注意灵活变通，有时可同时选择两种途径来解题.（作者单位：江苏省如东高级中学）思路探寻图1图250。

2020高考数学专项复习《平面向量问题的六大处理方法》

高三复习，贵在快捷有效，让所学的知识系统化，网络化，让解题方法形成方法论.“平面向量” 这一部分内容作为高考的重要考点，经常出现在选择填空的压轴题中，同学们在处理这一部分内容时，经常感到迷茫，不知道从何处入手.数学是模式化的学科，遇到问题能寻求到最快捷的解题方法，是解题能力高低的关键.作为基础教育一线的教师，笔者对最近几年各个省份的平面向量高考题和模考题进行了系统的整理，归纳出处理平面向量问题的六大方法，供同学们学习参考..—、坐标法坐标法应该是处鲤平面向量问题的主要方法，只要能够建立直角坐标系，把点的坐标表示出来，则向量的坐标就可以求得出来，从而平面向量的四大常见问题:平行、垂直、夹角、模长都可以套相应的公式解决.例1 (2011年天津理14)已知直角梯形 ABCD中，AD//BC ，ZADC =90°,AD = 2, BC =1,P是腰DC±的动点，则I P^ + 3PS I 的最小值为.' 解以D 为坐标原点，DA 所在直线为，轴，所在直线为了轴，建立如图1所示的直角坐标系. 由题设,A(2,0),设C(0, c) 9P(09y),则 B(1 ,c), PA =(2,~y),P$ = (1, c — y) »FX4-3 P S = (5,3c -4y), \PA + 3P5 I =丿 52 + (3c — 4了)2》5,当且仅当y=~时，等号成立，于是，当V =苧时, I PX + 3 I 有最小值5.例2 (2013年湖南理8)在等腰直角三角形 ABC 中，AB = AC = 4,点 F 是边 AB ± 异于的一点，光线从点P 出发，经BC,以1反射后又回到点F(如图2).若光线QR 经过八业。

的重心，则AP 等于(A)2.(C)亭解如图3,以A 为原点,AB 所在直线为工轴,AC 所在直线为〉轴建立直角坐标系，•.•AB= AC =4,>A(0,0),B(4,0),C(0,4),设 P(t,0), 则点P 关于直线BC 的对称点点P 关于直线AC 的对称点P z(-f,0),AABC 的重心为根据光学性质知P',G,M 三点共线，再=(* + £,号)，俱=(一4—罕一4), •J O .,. F3〃故,.•.(§ +「(£ —4) 一§(一4-/)=o O 0,解得t = §，故AP =故选(D). 二、几何意义法'.除了代数的坐标法之外，几何意义法、数形结合法也是处理平面向量的重要方法，向量的加法、数乘及模长都具有明显的几何意义.例3 已知丨b | = 1,非零向量a 满足Va,b平面向量问题的六大处理方法一a〉= 120°,则| a |的取值范围是________ .解如图4,设苗= Bb,cS = a,则b — a = BA,在△ABC 中，AC = 1, / a/60°\\ ZABC = 60°.Z \ 根据圆的性质：同孤所y/ y 对的圆周角相等，汶作企仙。

高中数学例说解平面向量题的方法和技巧学法指导

高中数学例说解平面向量题的方法和技巧解平面向量题除用到向量的有关知识外，还常用到一些方法和技巧，现举例说明。

一、提取或分配例1 设a 是非零向量，且b ≠c ，求证c a b a ⋅⋅＝的充要条件是）（c b a -⊥。

证明：充分性由）（c b a -⊥可知c a b a 0c a b a 0c b a ⋅⋅⋅-⋅-⋅＝，即＝，）＝（。

必要性由）（，所以）＝（，＝可得＝c b a 0c b a 0c a b a c a b a -⊥-⋅-⋅⋅⋅。

因此c a b a ⋅⋅＝的充要条件是）（c b a -⊥。

二、添项或去项例2 已知a 、b 为非零向量，求证|b a ||b a |-+＝的充要条件是b a ⊥。

证明：充分性因为⇒+⋅-+⋅+⇒⋅-⋅⇒-⊥2222b b a 2a b b a 2a b a 2b a 20b a b a ＝＝＝，所以 |b a ||b a |b a b a 22-+⇒-+＝）＝（）（。

必要性因为222222b b a 2a b b a 2a b a b a |b a ||b a |+⋅-+⋅-⇒-+⇒-+＝）＝（）（＝ 0ab 0ab 4＝＝⇒⇒，所以a ⊥b 。

三、平方或开方例3 已知向量a 、b 、c 两两所成角相等且不共线，3|c |2|b |1|a |＝，＝，＝，求向量a ＋b ＋c 的长度及它与a 的夹角。

解：由已知，得a 、b 、c 的两两所成的角均为120°。

因为)ca bc ab (2c b a c b a 2222+++++++＝）（而+-⨯⨯︒⋅︒+⋅︒+⋅++）（＝＝2121120cos |a ||c |120cos |c ||b |120cos |b ||a |ca bc ab 2×3×211213121--⨯⨯+-）＝（）（所以3211321c b a 2222）＝（＝）（-⨯++++ 所以3|c b a |＝+++设a 与）（c b a ++的夹角为θ，则23323113c a b a a |c b a ||a |c b a a cos 2---+⋅+⋅+++++＝）（＝＝）（＝θ︒-15023cos ＝，所以＝θθ四、平方与配方例4 对于两个非零向量a 、b ，求使|tb a |+最小时t 的值，并求此时b 与tb a +的夹角。

平面向量最值问题解题方法

平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。

下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。

一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。

2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。

二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。

2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。

三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。

则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。

2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。

高考数学如何解决复杂的平面向量问题

高考数学如何解决复杂的平面向量问题平面向量作为高考数学的重要内容之一，经常出现在试卷中。

但是对于一些复杂的平面向量问题，很多同学可能会感到头疼。

本文将介绍一些解决复杂平面向量问题的方法和技巧，希望能够帮助大家更好地应对高考数学考试。

一、基本概念回顾在解决复杂的平面向量问题之前，我们首先需要回顾一些基本概念。

平面向量具有大小和方向两个方面的特点，通常用有向线段来表示。

记作$\vec{a}$，表示向量$\overrightarrow{AB}$，其中A为起点，B为终点。

平面向量有加法和数乘两种运算，向量的加法满足三角形法则，即$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$，其中$\vec{c}$为以$\vec{a}$和$\vec{b}$为边的三角形第三边的向量。

二、平面向量的表示方法解决复杂的平面向量问题，首先要熟练掌握平面向量的表示方法。

常见的平面向量的表示方法有坐标表示法和基本单位向量表示法。

1. 坐标表示法坐标表示法是指用向量在坐标系中的投影表示向量。

例如，向量$\vec{a}$的坐标表示法为$(a_1, a_2)$，其中$a_1$为向量在x轴上的投影，$a_2$为向量在y轴上的投影。

2. 基本单位向量表示法基本单位向量表示法是指将向量表示为标准基向量的线性组合。

平面直角坐标系中，常用的基本单位向量有$\vec{i}$和$\vec{j}$，分别表示x轴和y轴的正方向。

通过学习和掌握这两种表示方法，我们可以更加灵活地处理平面向量问题。

三、解决复杂平面向量问题的方法和技巧在解决复杂平面向量问题时，可以采用以下方法和技巧：1. 使用向量的性质和运算法则对于平面向量问题，我们可以利用向量的性质和运算法则来简化问题。

例如，利用向量的共线性质，我们可以判断三个向量是否共线；利用向量的数量积，我们可以求出两个向量的夹角等。

2. 利用平行四边形法则和三角形法则利用平行四边形法则和三角形法则是解决平面向量问题的常用方法。

解决平面向量问题相关技巧梳理

解决平面向量问题相关技巧梳理一：奔驰定理1：奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A •••::0,::x y z x y z A B C OA OB OC S S S ++==（或）则2.推导过程证明方法一：如图延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆ =OD BC DC OB +BCBDOC =CB BS SS +OB +C B C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++=== ∴ CB A S S S OD +-=OA ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC ∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆二.极化恒等式1.内容：同起点的数量积等于第三边中线的平方减去第三边一半的平方2.推导过程：2222=-=-AB AC AD BD ADBDDOA BC三．三角形的四心 1.推论（1）重心：中线的交点，①O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S⇔0=++OC OB OA②中线长度分成2：1 ③1()3OG OA OB OC =++=12312333x x x y y y ++++（,）（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等 ①O 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OCOB OA c b a②(菱形性质）AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（3）外心：①O 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC C OB B OA A2221111sin sin 2sin 2sin 22222是外心，；；A B C O S OB OC BOC R A S R B S R C =⋅⋅∠===O②()0OB OA OD +=（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直①O 是ABC ∆的垂心:⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆②OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅由OA OB OB OC ⋅=⋅，得()0OB OA OC ⋅-=，即0OB CA ⋅=，所以⊥OB CA ．同理可证⊥OC AB ，⊥OA BC ．OCABDO•••,::0,(,,,0,0)::O ABC x y z x y z A B COA OB OCx y z R xyz x y z S S S ∆=++=∈≠++≠总结：一般的，设是所在平面内一点且满足则技巧1 奔驰定理【例1】P 是ABC ∆内一点，满足2340PA PB PC ++=，则::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆=（） A ．4:3:2 B ．2:3:4C ．111::432D ．111::234【举一反三】1.已知ABC 所在平面内一点P ，满足12PA PB PC AB ++=，则ABP △与ABC 的面积的比值为（）A ．16 B ．14C ．13 D ．12 2.点P 是ABC ∆所在平面上一点，若2133AP AB AC =+，则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是（）A ．3B ．2C ．13D ．123.已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（） A ．2B ．-2C ．4D ．-4技巧2 三角形的四心【例2-1】点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的__________心．【例2-2】在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（） A ．垂心 B ．内心C ．重心D ．外心【举一反三】1.过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心2．设点P 是△ABC 所在平面内一点，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅若，则点P 是△ABC A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．设点O 是三角形ABC 所在平面上一点，若OA OB OC ==，则点O 是三角形ABC 的________心．4．设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若()()()()()()PB PC OB OC PC PA OC OA PA PB OA OB 0-⋅+=-⋅+=-⋅+=，则O 为ΔABC 的（） A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心技巧3 极化恒等式【例3】（1）在ABC ∆中，若8BC =，BC 边上中线长为3，则AB AC ⋅=（） A ．-7B ．7C ．-28D ．28（2）在ABC 中，2AB =，点,D E 在AB 上，且AD DE EB ==，若3CA CB ⋅=，则CD CE ⋅的值是（） A ．359B ．329C ．113D ．53【举一反三】1.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．32.已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．3-D ．6-3．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（）A B ．1C D ．2巩固练习1．点O 在△ABC 内部，且满足4560OA OB OC ++=，则△ABC 的面积与△ABO 、△ACO 面积之和的比为________2．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．3．设点O 在ABC ∆的外部，且5230OA OC OB --=，则:ABC OBC S S ∆∆= 。

高中数学平面向量解题技巧

高中数学平面向量解题技巧1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

（3）理解向量的几何意义。

2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。

3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

4．平面向量的数量积。

（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

5.向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。

一、向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。

2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。

3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。

解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。

（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻例1：（2022·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b（p,q)，令a⊙bmqnp，下面说法错误的是（）A.若a与b共线，则a⊙b0B.a⊙bb⊙a2222C.对任意的R，有(a)⊙b(a⊙b)D.(a⊙b)(ab)ab【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题。

高考微专题平面向量问题常用处理方法归纳

1 【高考微专题】“越过千山，大道至简” ——平面向量常用处理方法归纳【主要内容】平面向量常用处理方法：基底法、平方法、投影法、解析法、数形结合、综合分析等.拓展内容有：极化恒等式、等和线等内容. 【互动精讲】 1、基底法在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.【例1.1】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则__________．【答案】16-【解析】方法一：基底法()()()1625092-=-+=⋅++⋅+=+⋅+=⋅MC MB MC MB AM AM MC AM MB AM AC AB方法二：极化恒等式法161004194122-=⋅-=-=⋅AM【例1.2】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（）A.B. C. D.【答案】C 【解析】方法一：基底法()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-⋅-=+⋅+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=⋅32111321DC AD BC AB AF AE μλμλ， ()()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++-∴3111242μλλμλμμλAB AC ⋅=ABCD 120BAD ,E F ,BC DC BE BC DF DC 1AE AF 23CE CF 1223567122 令μλ+=x ，λμ=y ，则原式可化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-3111242x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6165y x ，65=+∴μλ. 方法二：解析法建立如图所示直角坐标系，则：()0,2B ，()3,1C ，()3,1-D ，又 BC BE λ=，DC DF μ=，易得()λλ3,2-E ，()3,12-μF ()1224=--+=⋅∴λμμλAF AE ， ()32222-=--+=⋅λμμλCF CE ，下同方法一. 65=+∴μλ 【练习1.1】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.【答案】5【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法，可令DC DP λ=，当43=λ时取得最小值5.【练习1.2】如图，△ABC 是边长为32的等边三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则BP AP ⋅的取值范围是 .【答案】[]13,1【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理，当然也可以使用解析法处理.. 2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律，即22||a a =. 【例2.1】设,a b 是两个非零向量，( )ABCD AD BC 090ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +CABP3 A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥ B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=- C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ= D ．若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||a b a b +=- 【答案】C 【解析】方法一：平方法对式子||||||b a b a -=+进行两边平方处理，易得：1,cos -=b a ，即向量a 与b 反向，而“存在实数λ，使得b a λ=”表示向量a 与b 共线，故选项C 正确. 方法二：三角不等式由三角不等式||||||||b a b a +≤-等号成立的条件是向量a 与b 反向，下同方法一.【例2.2】11. 如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，且满足AP t AC =13AB +，若△ABC 的面积为33，则||AP 的最小值为【答案】2【解析】由AP t AC =13AB +，点D 为AB 的中点，易得：AD AC t AP 32+=，又P D C 、、三点共线，31=∴t ， AB AC AP 3131+=∴，则A AC AB AB AC AB AC AP cos ||||2313131||222++=⎪⎭⎫⎝⎛+=，又233sin ||||21==∆A AC AB S ABC ，∴6||||=AC AB ， 26||||2316||||31||22=+≥++=∴AC AB AC AB AP ，当且仅当6||||==AC AB 时取等号.4 【练习2.1】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈.若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于__________．【答案】2【提示】平方法转化成二次函数最值问题，数形结合也可处理【练习2.2】设为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数，||b ta +的最小值为1（） A.若确定，则||a |唯一确定 B.若确定，则||b 唯一确定 C.若||a 确定，则唯一确定 D.若||b 确定，则唯一确定【答案】B 【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题，或使用数形结合方法处理. 3、投影法平面向量数量积（点乘）：||||cos ,a b a b a b ⋅=<>①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值； ②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影； ③b 在a 上的投影是||cos ,.b a b <> ④投影有正有负，正负代表投影的位置.【例3.1】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】C 【解析】i AP 在向量AB 上的投影有三种情况，分别是52 AP AP 、的投影是0，1AP ，3AP ，6AP 的投影是1，4AP ，7AP 的投影是2，所以共有三个不同的结果，故选C.【例3.2】如图，在等腰直角ABO ∆中，1,OA OB C ==为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设,,OA a OB b OP p ===，则()p b a -等于( )A ．12-B.12θt θθθθ(1,2,,7)i P i =(1,2,,7)i AB AP i ⋅=5 C ．32-D. 32【答案】A 【提示】投影法()2||41||||41-=⋅-=⋅=-⋅，又ABO ∆ 是等腰直角三角形，且1==OB OA ， 2||=∴AB ，∴()21||412-=-=-⋅AB a b p .【练习3.1】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．【答案】332【提示】方法一：投影法由题意知1||||21==e e ，又121=⋅=⋅e e ，由向量数量积的几何意义，可知b 在1e 与2e 上的投影均为1，又2121=⋅e e ，321π=e e ，则向量b 如图所示，由几何关系易得332||=方法二：坐标法建立如图所示的直角坐标系，设()y x b ,=易得：()0,11=e ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23,212e ，121=⋅=⋅b e b e ，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=12321y x x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==331y x 332||=∴ 方法三：数形结合 121=⋅=⋅b e b e ， 01cos ||||cos ||||2211>==∴θθe e ，1e 2e 1212e e ⋅=b 121b e b e ⋅=⋅=b =6 21θθ=∴，又2121=⋅e e ，321π=e e ， 621πθθ==∴或65π（舍）代回已知11=⋅e ，易得332||=b 【练习3.2】在ABC 中，5BC =，G ，O 分别为ABC 的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【提示】方法一利用重心和外心的性质，利用投影的思想来处理5=⋅这个条件，方法二利用基底代换，把条件5=⋅转化为余弦定理形式来判断C ∠为钝角. 4、坐标法几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。

解决初中数学解题难题的技巧巧用平面向量与三角变换的性质

解决初中数学解题难题的技巧巧用平面向量与三角变换的性质数学是一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，对于初中生来说，数学解题难题常常令他们头疼不已。

然而，借助平面向量与三角变换的性质，我们可以找到解决这些难题的关键。

本文将介绍一些可供初中生使用的技巧，帮助他们更灵活地应用平面向量和三角变换，从而提升解题能力。

第一部分：平面向量的应用技巧1. 向量的共线与共面性质在解决一些几何问题时，我们常常需要判断几个向量是否共线或共面。

利用向量的共线与共面性质，我们可以通过求解方程组或利用向量叉乘来进行判断。

例如，当我们需要证明三个点共线时，可以构造两个向量，并判断它们的向量叉乘是否为零向量。

2. 向量的投影性质向量的投影性质在解决平面几何问题时经常被使用。

通过将向量投影到某一方向上，可以简化问题的复杂度。

在实际解题中，我们可以利用向量投影的概念来计算线段的垂直距离、角的大小等。

3. 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是数学中常见的两种运算。

数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，而向量积则可以用来求解面积。

这两种运算的灵活运用，可以帮助解决一些复杂的几何题目，例如计算多边形的面积、判断直线的相交性等。

第二部分：三角变换的应用技巧1. 正弦定理和余弦定理初中数学中的正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

通过应用这两个定理，我们可以计算三角形的边长、角度等，也可以解决一些与三角形有关的几何题目。

2. 角平分线定理和中线定理角平分线定理和中线定理是解决多边形相关问题的有效方法。

角平分线定理帮助我们计算多边形内角的大小，而中线定理可以用来求解多边形的重心坐标。

应用这些定理，可以简化计算步骤，提高解题的效率。

3. 三角函数的应用三角函数是解决三角形相关问题中常用的数学工具。

通过应用正弦、余弦和正切等三角函数，我们可以计算角度、边长等。

在实际解题过程中，结合三角函数的性质，可以提供更多的解题思路和方法。

结语通过巧妙运用平面向量与三角变换的性质，初中生可以更加灵活地解决数学难题。

高考数学压轴题突破140 平面向量最值五种求解小绝招.doc

高考数学压轴题突破140 平面向量最值五种求解小绝招一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.类型二与向量夹角有关的范围问题【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．类型三与向量投影有关的最值问题类型五平面向量系数的取请点击此处输入图片描述值范围问题【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；学*科网（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.类型六平面向量与三角形四心的结合:【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．。

掌握高中三年数学中的平面向量的运算技巧

掌握高中三年数学中的平面向量的运算技巧平面向量是高中数学中的重要内容之一，掌握平面向量的运算技巧对于解决与几何有关的问题非常重要。

在高中三年的数学学习中，我们需要通过练习和理论学习来掌握平面向量的各种运算技巧。

本文将介绍平面向量的加法、减法、数量积和向量积等运算技巧。

一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量进行相加得到一个新的向量。

设有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为：c = a + b其中c为向量a和向量b的和向量。

对于平面向量的加法，我们可以利用平行四边形法则进行计算。

即将向量a的起点与向量b的起点相连，得到一个平行四边形，从向量a的终点到向量b的终点，得到的向量就是向量a和向量b的和向量c。

二、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有两个向量a和b，它们的减法运算可以表示为：c = a - b其中c为向量a减去向量b所得到的差向量。

与加法相似，平面向量的减法也可以利用平行四边形法则进行计算。

即将向量a的起点与向量b的起点相连，得到一个平行四边形，从向量b的终点到向量a的终点，得到的向量就是向量a减去向量b所得到的差向量c。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。

设有两个向量a和b，它们的数量积运算可以表示为：c = a · b其中c为向量a和向量b的数量积，可以通过向量的模长和夹角cosθ来计算：c = |a| |b| cosθ数量积具有以下性质：1. 如果向量a与向量b垂直，则它们的数量积为0；如果数量积为0，则向量a与向量b垂直。

2. 数量积满足交换律，即a·b = b·a。

3. 数量积满足分配律，即(a+b)·c = a·c + b·c。

四、平面向量的向量积平面向量的向量积也称为叉积或外积，表示两个向量之间的叉乘。

设有两个向量a和b，它们的向量积运算可以表示为：c = a × b其中c为向量a和向量b的向量积，可以通过向量的模长和夹角sinθ来计算：|c| = |a| |b| sinθ向量积具有以下性质：1. 向量a与向量b的向量积垂直于向量a和向量b所在的平面。