2011线性代数试卷A标准答案和评分标准
11级线性代数试卷A答案
中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。
三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。
四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。
五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。
六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数(A 卷)一、选择题(每小题3分，共15分)1 .设A 、B 是任意n 阶方阵，那么下列等式必成立的是() (A) AB BA (B) (AB)2 A 2B 2 (C) (A B)2 A 2AB B 2 (D) A B B A2 .如果n 元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量，那1 0 0210, A *是A 的伴随矩阵，则(A*)4 .设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5, t)T 正交，则t5 .设A 为正交矩阵，则A1 11 6 .设a,b,c 是互不相同的三个数，则行列式ab c2,22a b c7 .要使向量组 1 (1, ,1)T , 2 (1,2,3)T, 3 (1,0,1)T 线性相关，则8 .三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为么矩阵A 的秩为((A) n (B) )s (C)n s (D)以上答案都不正确 3 .如果三阶方阵A (a j )3 3的特征值为1,2,5 ,那么ana 22a 33 及A 分别等于()(A) 10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,4 .设实二次型f(x 1,x 2)2 (X ,X 2)4X 1 X 2的矩阵为A, 那么()2 3(A) A3 1 ⑻(C)1 1(D)5.若方阵A 的行列式A0, 则((A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 二、填空题(每小题3分，共30分)(B)A (D)A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关 的列向量组线性相关，行向量组线性无关1如果行列式D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于2.设A3.设，是非齐次线性方程组AX b 的解若也是它的解，那么关组和秩. 四、(10分)设有齐次线性方程组X 1 ( 1)X 2 X 3 0, (1)X 1 X 2 X 3 0, X 1 X 2 ( 1)X 3 0.问当 取何值时，上述方程组（1）有唯一的零解；（2）有无穷多个解，并求出这些解. 五、（12分）求一个正交变换X PY ,把下列二次型化成标准形：、222f （X 1,X 2, X 3） X 1 X 2 X 3 4X 1X 2 4X 1X 3 4X 2X 3.六、（6分）已知平■面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, 12 : bx 2cy 3a 0, 13 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.线性代数(A 卷)答案1. D2. C3. B4. A5. A■-4*11.02. (A ) A3. 14. 35. 16. (c a)(c b)(b a)7. 08. 1,9.411 t 0 10. A I 5 42、1.解由AX(A I ) 1B . (2分)9 .若二次型 f(X i ,X 2,X 3)X 21 x 22 5x 23 2tX i X 2-2X 1X 3 4X 2X 3 是正定的，则 t 的取值范围10 .设A 为n 阶方阵，且满足A 2 2A 4I 0,这里I 为n 阶单位矩阵，那么A 1三、计算题（每小题9分，共27分）1 .已知A 1 00 1 ,求矩阵X 使之满足AX 0 0X B.2 .求行列式的值.3求向量组 (1,0,1,0), 2 ( 2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 （4, 3,1, 3,）的一个最大无或-1由于1 23 4 1 2 3 41 2 3 4 0 1 1 3 r r 0 1 1 3 「3 5r 2 0 1 1 3 1 3 01 UUuLu 0 5 3 3 LuiuiUj2 0 0 2 12 0 73 3 0 733424四、解 方程组的系数行列式卜面求 (A I ) 由于(4分）(A I)所以 (A I) (7分）2.解 10 10 10 1010(9 分)10(4 分）(8160 (9 分)3.解 故向量组的秩是UjuniUr31 2 03 12 0(6分)3是它的一个最大无关组。
2011线性代数试卷A标准答案和评分标准
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010-2011学年第2学期 考试科目：线性代数 试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（B ）成立(A) AB = AC ，A ≠ 0，则B = C (B) AB = AC ，A 可逆，则B = C (C) A 可逆，则AB = BA (D) AB = 0，则有A = 0，或B = 02. 设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2= I ，其中I 为单位阵（下同），则必有（C ）(A) A 的行列式等于1 (B) A 的逆矩阵等于I (C) A 的秩等于n (D) A 的特征值均为13．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（A ）(A) 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 (B) 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 (C) 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 (D) 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4．设n 元齐次线性方程组x 0A =的系数矩阵A 的秩为r ，则x 0A =有非零解的充分必要条件是（B ）5. 设A 为n 阶方阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵。
则：*A 等于 (C )(A) n r =(B) n r <(C) n r >(D) n r ≥(A) A(B)A1 (C) 1-n A(D) nA二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 已知行列式011103212=-a ，则数a =3.7. 设向量组1(,1,1)T k α=,2(1,2,1)T α=-, 3(1,1,2)T α=-线性相关，则数k =2-. 8. 设(1,1,5,3)T α=--, (9,2,3,5)T β=---,则α与β的距离为9，内积为37. 9. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1, 2, …, n ，则使tI A -为正定矩阵的数t 取值范围是t n >．10. 设矩阵A 和B 相似，其中A = 20022311x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B = 10002000y -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则x =0，y =2-.三、计算题11.(满分8分) 设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T .解答：C BA +T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210 T A 计算正确2分，T 4BA 正确分， C BA +T 2分12.（满分8分）计算行列式 D = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1 2 … n 1 x 2 … n 1 2 x … n … … … …1 2 3 … x 的值。
2011线性代数(答案)
线性代数复习参考2011A1、 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111111111，B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--154211321，求3AB-2A 及A T B 。
解:111123111323111124211111105111110A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭=≠ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .B 中的1-1应该是-1吧 如果是1-1=0 则答案如下;1111231113231110242111111051111A B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1581111132231562111117201901111292⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,111123158111024156111051190TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3121，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101，问： （1） AB=BA 吗？ （2）（A+B ）2=A 2+2AB+B 2吗？ （3）（A+B ）(A-B)=A 2-B 2吗？ (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA 因为⎪⎭⎫⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 3、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101x，求A 2，A 3，……，A k 。
线性代数期末试卷A试题答案及评分标准(样卷)
则 Q 为正交矩阵，且 Q − 1
A Q = Λ ，其中
⎫ ⎛1 ⎞ ⎬n1 = 2 ⎜ ⎟ ……………8 分 =⎜ 1 ⎭ ⎟ ⎜ ⎟ n = 1 − 2 } 2 ⎝ ⎠
A
⎛λ1 ⎞ ⎜ ⎟ ~ Λ=⎜ λ2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ3⎟ ⎝ ⎠ ��� ��� � 对应
γ1 γ 2 γ3
-3-
5.【解】
………4 分
（3）得同解方程组
即
①
………………6 分
其中 x2 , x4 为自由求知量，令 x 2 = x 4 = 0 ，得该非齐次线性方程组的一个特解
γ0
1 ⎞ ⎛1 = ⎜ , 0, , 0 ⎟ 2 ⎠ ⎝2
T
……………………………………………7 分
又，由①式得导出组的同解方程组为 ⎧ x1 = x2 + x4 ⎨ ⎩ x3 = 2 x4
α3 α3
1 1 ⎞ ⎛ 1 = ⎜− ,− , ⎟ 3 3 3 ⎠ ⎝
T
………4 分
（2）令矩阵 ⎛ 1 ⎜ ⎜ 2 ⎜ ⎜ 0 ) = 3 ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ 2 ⎝ − 1 6 2 6 1 6 1 ⎞ ⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ − 3⎟ ⎟ 1 ⎟ 3 ⎟ ⎠ −
Q = (γ 1 ,γ 2 ,γ
…………………………6 分
T
X
γ0
η 1 = (1,1,
个基础解系． 解法 2
0 ⎞ ⎛ 1 −1 −1 1 ⎛ 1 −1 0 −1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ （1） A = ⎜ 1 −1 1 −3 1 ⎟ ⎯⎯ → ⎜ 0 0 1 −2 2 ⎟ ⎜ 1 −1 −2 3 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
由梯矩阵知
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（ ） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
线性代数A_复习题2011-1
4．0000000004321a a a a =（ ）(A) 4321a a a a (B ) －4321a a a a (C) 24321a a a a (D)－24321a a a a 6．设A 为n 阶行列式，则kA =（ ） (A)A k (B)Ak⋅ (C ) A kn(D) A kn⋅7．设A ，B 均为n (n>2) 阶行列式，则（ ）(A)B A B A +=+ (B) B A B A -=-(C ) B A AB ⋅= (D)B A OBA O ⋅=9．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，则232333132222321221123111352352352a a a a a a a a a a a a ---=（ ） (A) 18 (B ) －18 (C) －9 (D)2710．41332211000000a b a b b a b a =（ ）(A) 4321a a a a －4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C) (21a a －21b b )(43a a －43b b ) (D ) (41a a －41b b )(32a a －32b b )11．记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为f(x)，则方程f(x)=0根的个数为(A) 1 (B ) 2 (C) 3 (D)4 12．设A 为n 阶方阵，则A =0的必要条件是 (A) A 的两行元素对应成比例(B ) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零(D) A 中任一行为其余行的线性组合13．是A 三阶矩阵，A =2，A 的伴随矩阵为*A ，则*A 2=（ ）(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D ) 3215．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =M ≠0， 2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么1D =（ ） (A) 2M (B)－2M (C) 8M (D ) －8M16． 如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =1，1D = 333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么1D =（ ） (A) 8 (B )－12 (C) 24 (D) －2417．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为（ ） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D ) 119．已知a ，b 为整数，且满足081100000=-a bb a，则（ ） (A) a=1，b=0 (B )a=0，b=0 (C)a=0，b=1 (D) a=1，b=1 20．设A 为三阶矩阵，A =a, 则其伴随矩阵*A 的行列式*A=（ ）(A) a (B ) 2a (C) 3a (D) 4a 21．设A ，B ，C 为n 阶方阵，且ABC=I ，则（ ）(A) ACB=I (B)CBA=I (C) BAC=I (D ) BCA=I 22．设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（ ） （A ）A A =* （B ）1-*=n AA （C ）nA A=*（D ）1-*=AA23．设A ，B 均为n ×n 阶矩阵，则必有（ ）（A ）B A B A +=+ （B ）AB=BA（C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A24．设A ，B 为n 阶方阵，且AB= O ，则必有（ ）（A ）若r(A)=n, 则B=O （B ）若A ≠O, 则B=O（C ）或者A= O , 或者B=O （D ）O B A =+25．设A 是n ×m 阶矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，r(A)=r ，B=AC ，r(B)= 1r ,则( ) （A ） r >1r （B ） r<1r（C ） r =1r （D ）1r 和r 的关系依而定 26．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ） （A ）112)2(--=A A （B ）O AA ≠*（C ）AAA 11)(--*=（D ）T T T A A ])[(])[(111---=27．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n28．设n 阶方阵A 经初等变化后所得方阵记为B ，则（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) B A ⋅>0 (D ) ，若0=A 则0=B 29．A ，B 均为n 阶矩阵，下列各式中成立的为（ ） (A) 2222)(B AB A B A ++=+ (B) T T T B A AB =)((C) O B O A O AB ===或则, (D ) ，若0=+AB A 则00=+=B I A ，或30．设A ，B ，B A +，11--+B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(---+BA等于（A ）11--+B A （B ）B A + （C ）B B A A 1)(-+ （D ）1)(-+B A31．设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（ ）(A) r=n (B ) r<n (C) r ≥n (D) r>n 32．设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 伴随矩阵，则（ ）(A ) 1-*=n AA (B) A A =* (C) nA A =* (D) 1-*=A A33．设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2)，*A 是A 伴随矩阵，则（ ） (A ) ()A A A n 2-**= (B) ()A A A n 1+**= (C) ()A AAn 1-**= (D) ()A AAn 2+**=34．设n 维向量⎪⎭⎫⎝⎛=21,0,0,21 α, 矩阵A=I －αα'，B=I+2αα'，其中I 为n 阶单位矩阵，则（A ）0 （B ）－Ｉ （C ）I （D ）I+αα'35．设A ，B 为同阶可逆矩阵，则 (A) AB=BA(B) 存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 (C) 存在可逆矩阵C 使得B AC C =' (D) 存在可逆矩阵P 和Q 使得B PAQ = 36．下列命题中不正确的是( ) (A) 初等矩阵的逆也是初等矩阵 (B ) 初等矩阵的和也是初等矩阵 (C) 初等矩阵都是可逆的 (D) 初等矩阵的转置仍初等矩阵38．设A 是任一阶方阵，*A 是A 伴随矩阵，又k 为常数，且k ≠0，±1，则必有()*kA =(A) *A k (B ) *-A kn 1(C) *A k n (D) *-A k139．设A ，B ，C 为n 阶方阵，若AB=BA ，AC=CA ，则ABC 等于（A ） BAC （B ）CBA （C ）BCA （D ）CAB40．622211211=a a a a 若，则12020221221112--a a a a 的值为（ ） (A) －12 (B )12 (C) 18 (D) 0 41．设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB ＝Ｏ，则下列一定成立的为（ ） （A ）A= O , 或者B=O （B ）A ，B 都不可逆 （C ）A ，B 中至少有一个不可逆 （D ）A+B=O42．设A ，B 均为n 阶矩阵，且满足等式AB ＝Ｏ，则必有（ ） （A ），0=A 或0=B （B ）A= O , 或B=O（C ）A+B=O （D ）O B A =+ 44．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵*)(AB = (A) **B A (B) 11--B A AB(C) 11--A B (D ) **A B46．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22))((B A B A B A -=-+，则必有（ ） （A ）A= B （B ）A=I （C ）AB=BA （D ）B=I 47．设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A=（ ）（A ）1-n a （B ）1+n a （C ）n a （D ）a48．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1302α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7033α与向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5122β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333x β等秩，则x=（ ）(A) －1 (B) －2 (C) 3 (D ) 1 49．设有向量组()4,2,1,11-=α，()2,1,3,02=α，()14,7,0,33=α，()0,2,2,14-=α，()10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组是( )(A) ;321,,ααα (B ) ;421,,ααα (C) ;521,,ααα (D) ;5421,,,αααα 50．已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组4312ααα++，42αα-，43αα+，2αα+，3212ααα++的秩是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 51．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，AB=0则（ ）(A) B=0 (B ) 00==A B 或 (C) BA=0 (D) ()222B A B A +=-52．A ，B 为n 阶方阵，则（ ） (A) A 或B 可逆，必有AB 可逆 (B ) A 或B 不可逆，必有AB 不可逆 (C) A 且B 可逆，必有A+B 可逆(D) A 且B 不可逆，必有A+B 不可逆53．A 为n 阶方阵，则下列矩阵中是对称矩阵的有（ ） (A)A A '- (B)()阶矩阵为任意n C C CA ' (C )A A ' (D)A A '+254．设A 为三阶方阵，且2=A ，则*-+A A 14=（ ）(A) 214(B) 12 (C)6 (D ) 10855．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2，则下列各式中可能不成立的是（ ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2)( 56．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 57．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 58．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)<n , 则(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(B) A 的各行向量中至少有一个为零向量(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 59．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是(A) s ααα,,2,1 均不为零向量(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关(D ) s ααα,,2,1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示60．向量组的秩就是向量组的 (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量 (C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 61．下列说法不正确的是( ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关 (D)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关62．设n 阶方阵A 的秩r<n ，则在A 的n 个行向量中 (A ) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 63．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中 (A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合 64．设矩阵A=),,,,(54321ααααα经过初等行变换后变为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311012110231111A ，则A 的秩为3，i α为A 的第i 列向量, 且( )成立 (A ) s αααα++=214 (B) s αααα++=21423 (C) s αααα++-=2142 (D)列向量组线性无关 65．设n 元齐次线性方程组的一个基础解系为η1 ，η2 ，η3 ，η4则()也是该齐次线性方程组的基础解系 （A ）1443,3221,,ηηηηηηηη----（B ）1443,3221,,ηηηηηηηη++++（C ）4321321,211,,ηηηηηηηηηη++++++（D ）1443,3221,,ηηηηηηηη--++66．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关67．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 68．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A) 133221,,αααααα-++(B) 3213221,,ααααααα++++(C ) 1332213,32,2αααααα+++(D) 321321321553,222,ααααααααα-++-++69．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A)s ααα,,,21 均不为零向量(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关70．设m ααα,,,21 均为n 维向量, 那么下列结论正确的是( ) (A) 若02211=+++m m k k k ααα , 则m ααα,,,21 线性相关(B )若对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211≠+++m m k k k ααα ,则m ααα,,,21 线性无关(C)若m ααα,,,21 线性相关则对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211=+++m m k k k ααα(D) 若000021=+++m ααα , 则m ααα,,,21 线性无关 71．已知向量组4321,,,αααα线性无关则向量组 (A) 14433221,,,αααααααα++++线性无关 (B) 14433221,,,αααααααα----线性无关 (C) 14433221,,,αααααααα-+++线性无关 (D) 14433221,,,αααααααα--++线性无关72．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数m k k k ,,,21 为( )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数(C )某些特定的不全为零的常数(D)唯一一组不全为零的常数 73．下列命题正确的是( )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关74．如果向量b 可由向量组s ααα,,,21 线性表示, 则下列结论中哪个正确 (A )存在一组数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立(B)存在一组不全为零的数使s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (C)存在一组全为零的数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (D)对b 的线性表达式唯一75．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关 76．设向量组Ⅰ: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3121111a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3222122a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3323133a a a α 向量组Ⅱ: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=413121111a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=423222122a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=433323133a aa a β, 则( ) (A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关77．设向量组Ⅰ: ()1111,,c b a =α,()2222,,c b a =α,()3333,,c b a =α向量组Ⅱ:()11111,,,d c b a =β,()22222,,,d c b a =β,()33333,,,d c b a =β, 则( )(A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 78．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则 (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关(C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组79．设t ααα,,,21 和s βββ,,,21 为两个n 维向量组, 且秩(t ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 )=r, 则 (A)两向量组等价, 也即可相互线性表出 (B)秩(t ααα,,,21 ,s βββ,,,21 )=r(C )当t ααα,,,21 被s βββ,,,21 线性表出时,两向量组等价 (D)当s=t 时,两向量组等价80．设向量s αααα+++= 21(s>1), 而s s ααβααβααβ-=-=-=,,,221 则( )(A )秩(s ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 ) (B)秩(s ααα,,,21 )>秩(s βββ,,,21 ) (C)秩(s ααα,,,21 )<秩(s βββ,,,21 )(D)不能确定秩(s ααα,,,21 )与秩(s βββ,,,21 )间的关系 81．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A) s ααα,,,21 均为非零向量(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例(C ) s ααα,,,21 中任意一个向量不能被其余向量线性表示 (D) s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关 82．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关 (C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 83．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 84．设s ααα,,,21 和t βββ,,,21 均为nR 中向量，且秩（s ααα,,,21 ）=秩（t βββ,,,21 ）=r ，则（ ） (A)两个向量组相等价(B)秩(s ααα,,,21 ,t βββ,,,21 )=r(C )当s ααα,,,21 能被t βββ,,,21 线性表示时两向量组等价 (D)当s=t 时两向量组等价 85．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（ ） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,86．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ ）时321,,ααα线性相关。
2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案
西南财经大学200 － 200 学年第 学期专业 科 级（ 年级 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述 一 — 四 题全作计100分， 两小时完卷）考试日期：试 题 全 文：一、 填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。
3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。
4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。
5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。
二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（ ）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（ ） （A)、有无穷解 （B)、有唯一解 （C)、无解 （D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（ ）（A)、个数唯一 （B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（ ）。
(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（ ）。
（A)、有唯一解 （B ）、有无穷解 (C)、有解 （D)、 可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。
（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（ ）。
（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（ ） （A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵 （D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（ ）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零 （D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （ ） （A)、正定 （B)、半正定 （C ）、负定 （D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。
线性代数试题A答案[大全5篇]
![线性代数试题A答案[大全5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/eb46ab063868011ca300a6c30c2259010202f3fd.png)
线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
2011-2012线代A卷答案
（答案要注明各个要点的评分标准）一. 填空题（每小题3分，共15分）1. 2-2. 222061⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3. -34. 12-5. 2b 二. 选择题（每小题3分，共15分）1. （B ）2. （B ）3. （D ）4. （A ）5. （B ）三. 计算题 （本题60分）1．解：432114321433214)4(2=f ………………………….…. (2分) = =43211432143101010102432114321431111102 ………………………….…. (6分) =440040121103211211211032111211213000110--=---=---2…….….……. (8分) 160= ………………….….……. (10分)2 解：（1）301100100121( )110 010010 012014001001001r A E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦….……. (4分)故1121012001A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭………………….….…….…（5分） （2）因为A 可逆，由AX B =，得1X A B -=121140122500113--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭……………（7分）4901113--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭………………….….…….…（10分）3. 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα=11304014211032271),,,(4321A …….….….…….………（3分）~r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000010011302271 .….…….……….….…….………（6分） 故 向量组的秩为3 .….…….………（8分）321,,ααα为向量组的一个最大无关组。
.….…….………（10分）4. 解：对该齐次线性方程组的系数矩阵实行初等行变换101510151015210301270127111201270000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………….…（5分） 由于()24R A =<，基础解系含2个自由未知量 .…（7分）原方程组等价于134237527x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩，取34,x x 为自由未知量。
2012-2013-1线性代数A试卷与答案
,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ??= ? ?-??，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001??的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-?? ?- ? ；(B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-??- ? ?；110110001??.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B==- ? ?--1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-????? ??=A ，--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=12201012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -==- ? ? ? ?????，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++??-=-?----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来. 解：令()123410311301,,,217242140A αααα?? ?--== ?, 把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ??== ? ?----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ??= ? ???共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -?? ?-= ? ???，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=??++=+??++=+?λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101 412261423B ?? ?=+ ? ?+??λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101 012320001B λλλ?? ?→--+ ? ?-+??，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ??→-- ? ?，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+??=-?，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -=+-∈ ? ? ?. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为----=442442221A ,122~000,000A -??故二次型f的秩为----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：??=11-211ξ，单位化：?=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：=????? ??=102-，01232ξξ，正交化：[][]==?==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：?===3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
''线性代数B 2011-2012学年第二学期期末考试A卷及答案
上海海洋大学试卷诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。
承诺人签名： 日 期：考生姓名： 学号： 专业班名：一、选择题（每题4分，共20分）1．矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001110001100011的元素12a 的代数余子式值为（ ）.A. 1B. 1-C. 2D. 2-2．已知3阶矩阵A 的行列式为1，则A 2的行列式为（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 8 3．设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）.A. A 的秩小于nB. A 的秩等于1n -C. 0A =D. 线性方程组0=Ax 只有零解4．已知34⨯阶矩阵A 的列向量组线性无关，则T A 的秩为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 45. 设Ax=b 是一非齐次线性方程组，12,ηη是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A. 12ηη-是Ax=0的一个解 B.121122ηη+是Ax=b 的一个解 C. 12ηη+是Ax=0的一个解D. 122ηη-是Ax=b 的一个解二、填空题（每题4分，共20分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111B ，则AB = . 2．已知向量组)3,1,2(1-=α，)6,,4(2-=k α线性相关，则=k .3．设3阶矩阵A 的秩为2，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020001P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100Q ，则PAQ 的秩为 . 4．设3151A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的特征值为 .5．设3阶可逆方阵A 与它的伴随矩阵*A 相等，则=A . 三、计算题（共54分）1. （8分）计算行列式1234112331101205---，并求1121314122A A A A +-+。
2．（8分）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101A ，求n A .3．（8分）已知100025013A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1-A .4．（10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ，且X A AX +=，求X .5．（10分）求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡422222323101的秩及其列向量组的一个极大无关组，并将不属于这个极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.6．（10分）求线性方程组12341234123423222547x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的通解.四、证明题（6分）证明：若方阵A 的行列式0 A ，则A 可逆.课程考试标准答案和评分标准一、选择题（每题4分，共20分） 1. B 2. D 3. A 4. C 5. C 二、填空题（每题4分，共20分）1． 2255-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 2． 2- .3． 2 . 4． 122,4λλ=-= . 5． 1 三、计算题（共54分）1. （8分）计算行列式1234112331101205---，并求1121314122A A A A +-+。
线性代数二类(A)参考答案及评分标准
广西师范大学全日制普通本科课程考核试题参考答案及评分标准 （2010—2011学年第二学期）课程名称：线性代数 课程序号：ZB07302301-3 开课学院：数学科学学院 任课教师：唐胜达、黎玉芳 年级、专业：2010级旅游管理、文化产业、会计(职师) 试卷序号：A 卷 考试时间：120分钟 考核方式：闭卷 开卷□ 实验操作□ 命题时间：2011年6月18日一、填空题（本大题共5小题，5个空，每空3分，共15分）1. 35-; 2. 4 ; 3. 不是; 4. 1021⎛⎫ ⎪⎝⎭; 5. 是.二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. D;2. C;3. A;4. B;5. C.三、计算题（本大题共5小题，第1、2、3题每题10分，第4、5题每题15分，共60分） 1.解:111[(1)]n a x a D x n a a a x=+-………………………3’=11100[(1)]0x a x n a x a-+--………………………7’= 1[(1)]()n x n a x a -+-- ………………………10’……………… 2’2.解: 对A 施行初等行变换2131112220---⎛⎫⎛⎫装订线1222010042~01001~010010013200132--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭……………6’可见~rA E ,因此A 可逆,且 ……………………8’1420132X A B --⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭. …………………10’3.解: 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵A~r11221021510011100000⎛⎫ ⎪- ⎪⎪- ⎪⎝⎭, …………………3’ 知()3R A =，故列向量组的最大无关组含3个向量，而三个非零行的非零首元在1、2、3列，故123a ,a ,a 为列向量组的一个最大无关组. …………………5’把A 变成行最简形矩阵A ~r 10010010310011100000⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭， …………………8’ 于是 4123523a =a +3a -a ,a =-a +a . …………………10’4.解：对增广矩阵B 施行初等行变换：1111011010.511131~00120.511230.500000r B ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， …………………4’可见()()2R A R B ==，故方程组有解，并有 …………………5’124340.520.5x x x x x =++⎧⎨=+⎩ …………………7’ 取240x x ==，则130.5x x ==，即得方程组的一个特解*0.500.50η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭…………………9’对应的齐次线性方程组124342x x x x x =+⎧⎨=⎩中，取2410,,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1311,,02x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即对应的齐次线性方程组的基础解系121110,,0201ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………13’于是所求的通解为()12121234110.5100,,.020.5010x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………15’ 5.解：A 的特征多项式为21111(1)(2),11A E λλλλλλ---=--=--+-故A 的全部特征值1232,1λλλ=-==. ……………… 3’对特征值12λ=-，解方程组(2)0,A E x +=由2111012121~011,111000r A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得基础解系为111,1ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭单位化，得111.1p -⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭……………… 6’ 对特征值231λλ==，解方程组()0,A E x -=由111111111~000,111000r A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系为23111,0.01ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………… 9’对12,ξξ正交化，得22110ηξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，23332221[,]11.[,]22ηξηξηηη⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 再把23,ηη单位化，得23111,102p p -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ……………… 12’令P ⎛ =⎝0，则P 是正交矩阵，并使得 200010001T P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． …………… 15’四、证明题（本大题共1小题，共10分）1. 解：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式123123101()()110,011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ,b ,b a ,a ,a …………… 3’记作B AK =.因为20,K =≠知K 可逆，所以 ……………5’()()R B R A =. …………… 7’因为A 的列向量组线性无关，所以()3R A =，从而()3R B =， …………… 9’ 因此B 的3个列向量线性无关，即123b ,b ,b 线性无关. …………… 10’。
《线性代数》期末试卷A(含答案)
《线性代数》期末试卷 (综合卷)一、填空与选择题（本题满分30分，每空3分）1. 如果矩阵1232636A x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭正定，则x 的取值范围是( 9x > ).2. 设3阶方阵11133112k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，若存在3阶非零方阵B ，使得=0AB ，则k =( 3- )，方阵B 的秩()R =B ( 1 )，=B ( 0 ).3. 行列式10010010a bab a b ab a b aba b++=++( 432234a a b a b ab b ++++ ).4. 已知线性方程组()12312312321232320x x x x x a x x ax x ++=⎧⎪+++=⎨⎪+-=⎩无解，则=a ( -1 ).5. 设3阶方阵A 相似于方阵B ，若A 有特征值1,1,2,-，则+=B E ( -4 ).6. 已知123,,ααα线性相关，而234,,ααα线性无关，则1234,,,αααα中 (4α )不能用另外3个向量线性表示.7. 如果123,,ξξξ是向量组A 的极大无关组，则：( A )也是向量组A 的极大无关组. （A ）122331,,ξξξξξξ+++ （B ）1223321,,2ξξξξξξξ++++ （C ）1213321,,23ξξξξξξξ++++ （D ）1323321,,32ξξξξξξξ++++ 8. 123,,,αααβ线性无关,而123,,,αααγ线性相关,则( D ).(A) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (B) 123,,,αααβγ+c 线性无关. (C) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (D)123,,,αααβγ+c 线性无关.二、 (本题满分10分) 已知矩阵430210001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，3阶方阵B 满足()1*--=-B E A E ，求1-B . 解:()()()()1*---=--B E B E B E A E ，()()**---=B A E E A E E ，()**-=B A E A ，()**-=B A A EA A A ，()-=B A E A A E ，又2=A ，于是()22-=B E A E ，()122-=BE A E ，从而 ()131021112102223002-⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B E A E A =。
线性代数11级试卷A
A
3
1
1 1 5
3 3 9
1 4 8
1
4
0
1
0
0
1 4 4
3 6 6
1 7 7
1
1
1
1
0
0
1 1 0
3 3
2 0
1 7
4 0
1
1
4
0
1
0
3 2
3 4
5
4
0
1
3 2
7 4
1 4
0
0
0
0
0
(5 分)
x1
3 2
x3
3 4
x4
5 4
则得
x2
3 2
x3
7 4
x4
1 4
x3 1x3 0x4 0
1．计算行列式
6. 用化二次型 f
120 1x120 23x22
0 0 5x32
2x1x2 2x1x3 6x2 x3 为标准型，并求所用的交换矩阵.
线内和纸卷正面，否则不记分)
10 0 4
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1．排列 4312 的逆序数为
.
4.234． ． ．求二已 设非次知A齐型,向B次量f为线(组x性n1,阶方x12方程, x阵(组31),，3,3若x1x1x)1x,1有215可2x2xx22逆2x2(2矩0393,1x阵xx,33331x)P3,248x，xx4344满4x1足(1104x,2的4, 通kx)1解x线3.性4相，x2关x则3，的称则对A称k与矩B阵相为似_.___________.____.
x4 0x3 1x4 0
（8 分）
第 2页共 2页
线性代数课程期末考试试卷(A卷)1
信息学院本科生2009－2010学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A 卷）专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩:说明：A T 表示矩阵A 的转置，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，O 是零矩阵, A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积.一、 客观题：1−3小题为判断题，在对的后面括号中填“√”，错的后面括号中填“⨯”，4−8为单选题，将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分，共16分)1. 方阵,A B 满足，则必有)AB BA =22()(A B A B A B -=+-。
( )2. 若方阵A 有0k A =（0k >为整数）, 则必有||0A =。
( )3. ,A B 为同型矩阵，且秩(A)＝秩(B)，则0AX = 与0是同解方程组。
( )BX =4. n 阶实对称矩阵A 正定，则以下结论错误的是( ) (A) 可以找到一个正交矩阵F ，使T F AF 为对角矩阵。
(B) 的所有的特征值均为正值。
A (C) 是不可逆矩阵。
A (D) 对某个12(,,,)0T n X x x x =≠ ，必有。
0T X AX >5. n 维向量,αβ正交，则内积,β=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 0 6. 下列说法不正确的是 ( )(A) 存在满足的两个非零阶矩阵和。
0PQ =(1n n >)P Q (B) 维实线性空间V 中任何个线性无关的向量都构成V 的一个基底。
(1)n n >n (C) 设V 是一个任意的维欧式空间，T 是V 中一个任意的线性变换，则V 中的零向量在T 作用下的象一定也是零向量。
n (D) 是线性空间V 中线性变换，向量组T 12,,,m ααα 线性无关，则12,,,T m T T αα α线性无关。
)7. 下列说法不正确的是 ( )(A) 相似矩阵有完全相同的特征多项式。
线性代数(2)试题A答案及评分标准
线性代数（2）试题A 答案及评分标准一、单项选择题(3×5):二、填空(3×10): 1.8，98 ，18 ，918. 2.1(7)4A E - . 3. 相关 , 3 .4. 2A ，12n A - .5. 12- .三、计算(45):1.【解】将第1列加至第2列，然后把新的第2列加至第3列，新的第3列加至第4列，依次直到第n 列加至第1n +列21122310000000000000012111C C n n n a a a a D a a ++---=====- (2)3212300000000000000012311C C n n a a a a a +---=====-= (4)112300000000000000001231n n C C n a a a a nn -+---=====-+ (3)12(1)(1)nnn a a a =-+ (1)2.【解】由2AXX B=+可得(2)A E X B -=，30010010020112010011014001012A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又 1201110012A E -=--=-≠， 故2A E -可逆，从而1(2)X A E A -=-. (3)32100100100100(2)011010011010012001001011r r A E E +骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢-=--揪井--珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫232(1)1001001001000100210100210011100111r rr +?骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢揪井-揪井--珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫 (5)由此得到，1(2)A E --=100021011⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ 11003636(2)02111410112331X A E B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2 3.【解】123412131110(,,,)052746A k αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ (1)2141,4r r r r+-−−−→ 12130303052702412k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪---⎝⎭213r ⨯−−−→12130101052702412k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪---⎝⎭ 324252r r r r-+−−−→12130101002200410k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭21()2r ⨯-−−−→12130101001100410k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭ (4)434r r+−−−→12130101001100014k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭122r r-−−−→10110101001100014k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭13r r-−−−→1002010100110014k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭ (3)当14k =时，向量组1234,,,a a a a 线性相关.线性相关时，秩为3，向量组的极大线性无关组是123,,.a a a (2)4.【解】 先对方程组的增广矩阵进行初等行变换112311361315101535107A a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪- ⎪⎝⎭ 213141,3r r r rr r---−−−−→11231024220484402423a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭32422r r r r--−−−→1123102422000050000a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭212r ⨯−−−→1004012110000500a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭……5 当5a =，线性方程组有解，且原方程等价于方程组1423441x x x x x = -⎧⎨=-2+ 1+⎩ 令 3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分别代入等价方程组对应的齐次方程组中求得基础解系120412,1001ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求特解： 令3400x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得00100ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (4)从而，所求方程组的通解为01122X c c ξξξ=++ (21,c c 为任意常数). ……1.四、证明(10):【证明】设1122...0n nk k k βββ+++=即 1121212()...(...)0n n k k k αααααα+++++++=∴12122(...)(...)...0n n n n k k k k k k ααα++++++++= (4)向量组12,,...,n ααα线性无关，∴ 122...0...0..............................0n n n k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩ (2)11...101...110 0...1=≠∴方程组仅有零解，即12...0n k k k ==== (3)∴向量组12,,,n βββ 线性无关． (1)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010-2011学年第2学期 考试科目：线性代数 试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（B ）成立(A) AB = AC ，A ≠ 0，则B = C (B) AB = AC ，A 可逆，则B = C (C) A 可逆，则AB = BA (D) AB = 0，则有A = 0，或B = 02. 设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2= I ，其中I 为单位阵（下同），则必有（C ）(A) A 的行列式等于1 (B) A 的逆矩阵等于I (C) A 的秩等于n (D) A 的特征值均为13．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（A ）(A) 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 (B) 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 (C) 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 (D) 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4．设n 元齐次线性方程组x 0A =的系数矩阵A 的秩为r ，则x 0A =有非零解的充分必要条件是（B ）5. 设A 为n 阶方阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵。
则：*A 等于 (C )(A) n r =(B) n r <(C) n r >(D) n r ≥(A) A(B)A1 (C) 1-n A(D) nA2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 已知行列式011103212=-a ，则数a =3.7. 设向量组1(,1,1)T k α=,2(1,2,1)T α=-, 3(1,1,2)T α=-线性相关，则数k =2-. 8. 设(1,1,5,3)T α=--, (9,2,3,5)T β=---,则α与β的距离为9，内积为37. 9. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1, 2, …, n ，则使tI A -为正定矩阵的数t 取值范围是t n >．10. 设矩阵A 和B 相似，其中A = 20022311x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B = 10002000y -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则x =0，y =2-.三、计算题11.(满分8分) 设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T .解答：C BA +T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210 T A 计算正确2分，T 4BA 正确分， C BA +T 2分12.（满分8分）计算行列式 D = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1 2 … n 1 x 2 … n 1 2 x … n … … … …1 2 3 … x 的值。
解：将D 的各列全部加到第一列，得3D = (x+1+2+…+n) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 1 2 … n1 x2 … n 1 2 x … n … … … …1 23 … x （3分） = (x+n(n+1)2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 0 0 … 01 x-1 0 … 01 1 x-2 … 0… … … … …1 1 1 … x -n （ 2分） = (x+n(n+1)2)(x-1)(x-2)…(x -n) （ 3分）13.(满分7分) 设 143153164A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 求 1A -.[解]：(A I)= ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -4 -3 1 0 0 1 -5 -3 0 1 0-1 6 4 0 0 1 （ 2分）→⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -4 -3 1 0 00 -1 0 -1 1 002 1 1 0 1 →⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0 -3 5 -4 00 1 0 1 -1 00 0 1 -12 1 →⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0 02 2 30 1 0 1 -1 00 0 1 -1 2 1 , （ 4分）所以 A -1= ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 2 31 -1 0-1 2 1 . （ 1分）用公式法酌情给步骤分四、解答题14.(满分10分) 已知方程组1123211232123x x ax x x x x ax x a ⎧++=-⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-++=⎩有无穷多解，求a 以及方程组的通解。
解法一：由方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<，因此其系数行列式411||112011aA a=-=-。
即1-=a 或4=a 。
（3分）当1-=a 时，该方程组的增广矩阵1111(|)11211111A b --⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪--⎝⎭11012301020000⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭于是()(|)23R A R A b ==<，方程组有无穷多解。
分别求出其导出组的一个基础解系13122T-⎛⎫⎪⎝⎭，原方程组的一个特解()100T -，故1-=a 时，方程组有无穷多解，其通解为()13100122TTk -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， （4分）当4=a 时增广矩阵1141(|)112114116A b -⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪-⎝⎭1141022000015-⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2(|)3R A R A b =<=，此时方程组无解。
（3分）解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
222111111111(|)112102200220110111100(1)(4)12a a a A b a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎝⎭+-- ⎪⎝⎭5由于该方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<。
因此21(1)(4)102a a a +-=-=，即1a =-。
求通解的方法与解法一相同。
15.（满分10分）求向量组()10,4,10,1T α=，()24,8,18,7T α=，()310,18,40,17T α=，()41,7,17,3Tα=的一个最大无关组，且将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示出来．1()123404101171734818704101,,,10184017020505171730521301315171731017173171732410104101041010104404101000000000410100000000αααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5112400000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭所以12,αα为向量组1234,,,αααα的一个最大无关组. （6分）3121522ααα=-+ （2分）4125144ααα=+ （2分）16.(满分6分) A ，B 为4阶方阵，AB+2B =0，矩阵B 的秩为2且|I+A |=|2I -A |=0。
（1）求矩阵A 的特征值；（2）A 是否可相似对角化？说明原因。
（3）求|A+3I |。
解：（1）由20I A I A +=-=知-1，2为A 的特征值。
02=+B AB ⇒(2)A I B +=，故-2为A 的特征值，又B 的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A 的特征值为-1，2，-2，-2。
（2分）（建议只求出-1，2也给2分）6（2）能相似对角化。
因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A 有四个线性无关的特征向量，故A 可相似对角化。
（2分）（3）3A I +的特征值为2，5，1，1。
故3A I +=10。
（2分）17.（满分10分）求一个正交变换，化二次型32312123222184444x x x x x x x x x f -+-++= 为标准型。
解：设：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4221A ，则：Tf x Ax = ， 1分 首先求 A 的特征根和特征向量令：()054221=-=----=-λλλλλE A ，得：01=λ ， 5=λ 。
2分01=λ时：()E A 0-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4221A ~ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0021 即：0221=-x x ， 1分取12=x ，得基础解系 121ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 。
单位化：，111251p ξξ⎫==⎪⎝⎭， 2分 52=λ时：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-5422515E A ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0012~1224 即：0221=+x x ， 1分取：22=x ，得基础解系 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212ξ ，单位化： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==21552ξp 2分 则：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211255P 。
在正交变换 P =下，标准型为 225y f = 。
1分五、证明题18.(满分6分) 设A 为正交矩阵，且1-=A ，试证0=+I A . 证明：()()0T T T T TA I A AA A I A A A I A I A I A I +=+=+=+=-+=-+∴+=（6分）。