测量平差教案

第一章绪论第一节观测误差一、观测值中为什么存在观测误差？观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。

有观测就有误差的结论。

二、观测误差的计算给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。

三、观测误差的分类及其处理1、分类给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。

结合测角、测距和水准测量的全过程，让学生分析哪些因素引起的误差属于粗差，那些哪些因素引起的误差属于系统误差，那些哪些因素引起的误差属于偶然误差。

2、处理总结粗差、系统误差和偶然误差的处理方法，让学生举例说明测量上哪些操作是为了消除系统误差影响的，那些计算改正为了消除系统误差影响的。

四、测量平差的任务根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。

第二节测量平差学科的研究对象研究对象为含有观测误差的各类观测值。

举例说明。

第三节测量平差的简史和发展一、测量平差理论的发展１、经典平差理论的发展主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。

２、近代平差理论的发展主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。

二、平差计算方法的发展１、手算阶段２、半自动平差阶段３、全自动平差阶段第四节测量平差的任务和内容一、任务讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。

二、内容课本各章的内容。

小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观测误差的定义、处理，以及测量平差的发展概况。

第二章误差分布与精度指标第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。

二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。

第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法（1）列表法（通过实例列表讲解）（2）绘图法（通过实例绘图讲解）（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。

（界限性）(2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。

（小误差占优性）(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。

（对称性）三、两个重要概念(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。

小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。

第三节衡量精度的指标；第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度一、精密度指标（一）观测量的精密度指标1、观测条件与精密度配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。

2、几种常用的精密度指标（1）方差与标准差推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例(2) 极限误差分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式(3) 相对误差给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。

(4) 平均误差与或然误差给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区，以及其与中误差的关系。

（二）观测向量的精度指标1、n维随机向量的方差阵导出n维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。

2、两随机向量的互协方差阵导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。

二、准确度和精确度指标分别给出准确度和精确度的定义，及其数值指标，绘图讲解其几何意义。

三、测量不确定度给出测量数据的不确定性、不确定度的概念，可测不确定度的计算方法，不可测不确定度的估计方法。

小结：精度指标分为精密度指标、准确度指标和精确度指标三种，观测成果的质量应用精确度指标衡量，精密度指标中的方差、极限误差、相对误差几个指标应重点掌握。

第三章协方差传播律及权第一节数学期望的传播律;)(C C E =);()(X CE CX E =);()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ 当X i 相互独立时（i =1,2, …,n ）,)()()(),,,(2121n n X E X E X E X X X E =第二节协方差传播律协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。

一误差的传递1、线性函数误差的传递02211...f x f x f x f Y n n ++++= n x n x x Y f f f ∆++∆+∆=∆ (2121)推导上述公式，讲解式中符号的含义 2、非线性函数误差的传递()n x x x f Y ...21=n x n x x Y f f f ∆++∆+∆=∆ (2121)推导上述公式，讲解式中符号的含义 3、函数向量误差的传递Y=FX+F 0 Y=F(X) ΔY =F ΔX讲解式中符号的含义，强调矩阵表达式与纯量表达式之间的相互表式 二、协方差的传递 1、基本公式 函数向量Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为ΔY =F ΔX ΔZ =K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====FD K DK D F D K D K D FD F D T XZYT X YZ T X ZTX Y 证明第一、第三式，并说明同理可证二、四式。

2独立观测量函数的方差传递221222221212...nTXY f f f FD Fσσσσ+++== 讲解式中符号的含义，说明公式应用的条件，强调公式的重要性。

3、分块向量函数向量的方差传递⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+YX Z r t r t 1,1,1, ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Xrr YX tr XYrt X tt D D DD D Z ,,,, 证明上式，对阵中元素加以说明，给出两向量不相关时该矩阵的形式。

通过五个典型例题的讲解说明方差-协方差传播公式的应用方法和计算中需注意的问题。

小结：协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律，用其解决观测值函数（向量）的精度评定问题。

本节重点是利用协方差传播律解题的方法和步骤，以及只有一个观测值函数，且观测值之间不相关时的协方差传播公式的应用。

第三节协方差传播律的应用1、水准测量的精度绘制具有N 个测站的水准高差示意图，应用协方差传播公式导出高差中误差计算公式：站σσN h =ˆ 进一步导出S 公里观测高差的中误差计算公式：k m ˆˆσσS h = 举例说明公式的应用。

2、同精度独立观测值的算数平均值的精度由算术平均值公式，应用协方差传播公式导出其中误差计算公式Nx σσ=举例说明公式的应用。

3、若干独立误差的联合影响n z ∆++∆+∆=∆ 21222212n Z σσσσ+++=即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。

4、平面控制点的点位精度绘支导线略图，求未知点点位中误差，用两种方法求解。

解法一： （1）、列函数式 （2）线性化（3）应用协方差传播公式计算坐标方差 （4）计算点位方差解法二：利用纵向方差和横向方差进行计算。

小结：本节的重点内容为水准测量高差和同精度独立观测算数平均值的精度计算问题，应熟记计算公式，能熟练应用公式进行相关计算。

第四节权与定权的常用方法一、权的定义权是衡量各观测值在平差结果中应起作用大小的数值。

()n i iiP ,...,2,1220==σσP i 为观测值L i 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。

观测值的权与观测值的方差成反比。

二、单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。

确定一组权时，只能用同一个σ0， 令σi =σ0，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。

凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。

权为1的观测值，称为单位权观测值。

无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。

举例（例〔1〕、例〔2〕）讲解。

三、测量中常用的定权方法1、水准测量的权（1）、用测站数定权（山地、起伏较大的丘陵）利用用测站数计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用测站数定权的公式。

NCP h =解释式中符号的含义。

（2）、用路线长度定权（平地）利用用路线长度计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用路线长度定权的公式。

SCP h =解释式中符号的含义。

举例（例〔3〕、例〔4〕、例〔5〕）讲解。

2、距离量测的权距离长度可通过钢尺丈量或测距仪测距得到。

下面分别讨论两种情况下的定权方法。

1) 钢尺量距的权SC PS=解释式中符号的含义。

2) 测距仪测距的权SSP =022σσ610－标称标称＋⋅=S S σσσ解释式中符号的含义。

3、等精度观测算术平均值的权利用等精度独立观测值算术平均值的方差计算公式和权的定义式导出利用观测次数定权的公式CPn S=说明公式中符号的含义。

小结：权是用来衡量观测成果的相对精度的，单位权方差可以根据计算方便任意选定，但观测值之间的比例关系不变。

水准测量的权与测站数或路线长度成反比；钢尺量测的权与距离长度成反比，光电测距的权用定义式计算，其中测距方差由固定误差和比例误差两项组成；等精度算术平均值的权与观测次数成正比。

应熟记定权公式，明确公式中各符号的含义，掌握利用公式解题的方法。

第五节协因数和协因数传播律一、协因数定义协因数n i p iiiiQ ,...,2,1/1202===σσ权可表示为iiiP Q =1方差和标准差可表式为QQ iiiii iσσσσ202,=⋅=二、协因数阵1、n 维随机向量X 的协因数阵 定义互协因数：ijijQ =σσ02利用方差协方差与协因数弧协因数的关系导出协因数阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Q QQQ Q Q DQnn n nXX对称............12221121120σ上式矩阵中，ijjiQ Q=。

当Q ij =0(i ≠j)时，则X i 和X j 互不相关。

2、分块向量的协因数阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Y X Z⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=QQ QQ QYYXXY X X式中，Q X 、Q Y 分别为X 、Y 向量的自协因数阵，而Q XY 、Q YX 分别为X 向量关于Y 向量的互协因数阵，Q XY 与Q YX 互为转置。

当Q XY 等于零时，表示X 、Y 互不相关。

三、权阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--P PP PP P P PP Q QQ Q Q Q Q QQQ Pnn n n n nnn m n n n .......................................21222211121112122221112111 观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，再利用权与协因数的倒数关系求权。