函数及其表示 函数的表示法
高中数学基础之函数及其表示
1．一种优先意识 函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的 原则． 2．两个关注点 (1)分段函数是一个函数． (2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．
核心考点突破
考点一 函数的概念
【例1】 (1)下列对应是从集合A到B的函数是( A ) A．A＝N，B＝N，f：x→y＝(x－1)2 B．A＝N，B＝R，f：x→y＝± x C．A＝N，B＝Q，f：x→y＝x－1 1 D．A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分 数相对应
为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 ．
4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的
式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段函数
的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
角度3：待定系数法求函数解析式 【例2－3】 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－ 2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝__2_x_＋__7__.
[思路引导] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)→代入已知条件→解出a、b→得f(x)．
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a －2b＝ax＋5a＋b，
角度2：分段函数与不等式问题
【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝ 1)≤1的解集是_(_－__∞__，__－__1_＋___2_]_．
－x＋1，x<0， x－1，x≥0，
则不等式x＋(x＋1)f(x＋
(2)设函数f(x)＝ _a_≤___2___．
1.2.2-函数的表示法(要用)
0 x ≤5 5 x ≤10 10 x ≤15 15 x ≤20
票价 y(元)
2
3
4
5
此分段函数的定义域为 (0,20]
此分段函数的值域为 {2,3,4,5}
①自变量的范围是怎样得到的？ ②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点
是怎样确定的？ ③每段上的函数解析式是怎样求出的？
作函数图象：
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 98 90 68 88.2
第二次 87 76 65
78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
请你表对格这能三否直位观同地学分在析高出一三学位年同度学成的绩数高学低学? 如习何情才况能做更一好的个比分较析三。个人的成绩高低?
分段函数
2. 化简函数 y | x 5 | x2 2x 1
解：由题意知 y = | x + 5 | + | x －1 |
y
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x ≤ 1 时，
6
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
一函次数函解数析：式y=一kx定+b是（方k≠程0）；
可看成关于x、y的方程。
二方次程函不数一：定y=是ax函2+数bx+解c 析（式a≠。0） 例如：x2+y2=1
复习回顾
(1)炮弹发射
（解析法）
h=130t-5t2 （0≤t≤26）
(2)南极臭氧层空洞 （图象法）
人教版数学必修一函数的含义及表达形式
二、函数及其表示（一）函数的概念1.函数的概念（1）函数的传统定义设在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个函数值，相应的就有唯一确定的一个y值与之相对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量（2）函数的近代定义一般地，设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
其中x是自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域就不是函①A,B都是非空的数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，例如，y=x−1x+1数②集合A是函数的定义域，给定A中一个x值有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以没有x与之对应，即{f(x)|x∈A}⊆B③符号y=f(x)表示“x对应的函数值”，f表示对应关系，“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”④f(a)，a∈A与f(x)的区别⑤函数的实质是集合A,B的对应关系，可以一对一、多对一，但不能一对多，而且集合A中的元素必须要用完，而集合B中的元素可以不用完例1：设集合M={x|0≦x≦2}，N={y|0≦y≦2},给出的下列四个图形中，其能够表示集合M 到集合N的函数关系的是（）2.函数的构成要素与函数相等一个函数构成要素为定义域、对应关系、值域值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数就只需要确定定义域和对应关系，即定义域和对应关系使“y是x的函数”的而两个基本条件要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需检验（1）定义域和对应关系是否给出；（2）根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一的函数值和它对应如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等①函数的定义域和对应关系一旦确定，值域就确定了，所以判断两个函数是否相等只需要判断他们的定义域和解析式是否相等就可以了，不需要在判断值域②满足定义域和值域相同的两个函数，不一定是相等的函数，例如：函数f(x)=x²与函数f(x)=(x-3)²例2：判断下列各组中的函数是否表示同一个函数（1）f(x)=|x-1|与g(x)=x−1，x≧1 1−x，x<1（2）f(x)=x与f(t)=(33)在判断对应关系是否相同时，两个函数可能表现形式不同，但经过适当地变形，可以化为相同的形式，这是也可以说它们具有相同的对应关系3.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，有时可以省略，如果未加特殊说明，那么函数的定义域就是指能使函数式有意义的所有实数x构成的集合在实际问题中，喊必须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围求函数的定义域：①如果f(x)是整式，那么其定义域是实数R②如果f(x)是分式，那么其定义域是使分母不为0的实数集合③如果f(x)是二次根式（偶次根式），那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合④如果f(x)是由以上几个部分式子构成的，那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}例3：求下列函数的定义域（1）f(x)=x+1+12−x（2）f(x)=x−2+233x+7（3）f(x)=4.函数的值域函数的值域是在对应法则f的作用下，自变量x在定义域内取值是相应的函数的集合求函数的某个函数值是，可以直接代入解析式，求的相应的函数值；求函数的值域时，可以采取不同的方法求解（1）观察法：对所求的函数解析式进行简单变形，通过观察，得出所求函数的值域如：函数y=11+x（2）配方法：若函数是二次函数，或可以化为二次函数形式，则可以通过配方法求出其值域，但是要注意自变量的取值范围如：求y=x-2x+3的值域（3）判别式法：将函数化为因变量y的二次方程，利用判别式∆≥0求函数的值域，常用于分母是二次函数的分式函数的值域如：求y=x+1x²+2x+2（4）换元法：对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而利用基本函数取值范围来求函数的值域如：求y=2x-3+13−4x的值域的函数的值域，舱采用分离常数法（5）分离常数法：用于求形如y=cx+dax+b的值域如：求y=3x−2x−1（6）图像法：做出函数的图像，有图像直观的得出函数值域5.区间设a，b是两个实数，且a＜b，区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：①区间的左端点必小于右端点②用数轴表示区间是，要特别注意包括在这个区间内的端点用实心圆点表示，不包括在这个区间内的端点用空心圆点表示③无穷大∞是一个符号，不是一个数，它不具备数的已瞎性质和运算法则④以“+∞”或“- ∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号⑤单元素集合不能用区间表示，如集合{0}不能表示为[0]或[0,0]的定义域可用区间表示为__________例4：函数y=1−1−x例5：已知集合A={x|5-x≥0}，集合B={x||x|-3≠0}，求A∩B，并用区间表示考点1：函数的求值问题1.已知函数f(x)=3x 3+2x,求f(f(1))的值2.已知f(x)=1-2x ，则f(12)=______3.已知f(x)=11+x （x ∈R ，且x ≠-1），g(x)=x ²+2（x ∈R ）（1）求f （2），g （2）的值（2）求f(g(2)) 的值考点2：求函数定义域1.求已知解析式的函数定义域1.求下列函数的定义域（1）y= −x 2x²−3x −2（2）y=4x+83 3x −2（3）y= x ²−3· 5−x ²（4）y= x +2+13−x。
函数及其表示(1)
预习讲义2.1 函数及其表示知识梳理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，其中所有的输入值x 组成的集合A 称为函数y ＝f (x )的定义域；将所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域. (3)函数的三要素：定义域、对应法则和值域. (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 2.映射的概念设A ，B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A 到集合B 的一个映射. 3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法.课前训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相同.( × )(3)f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2 －1≤x ≤1 x ＋1 x >1或x <－1 则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2 －1≤x ≤1－x ＋1 x >1或x <－1( √ )(4)函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是{y |y ≥1}. ( × )2.设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤4}，有以下4个对应法则： ①f ：x →y ＝x 2； ②f ：x →y ＝3x －2； ③f ：x →y ＝－x ＋4； ④f ：x →y ＝4－x 2.其中不能构成从A 到B 的函数的是________.(填序号) 答案 ④解析 容易作出题中给出的四个函数的图象，对于函数y ＝4－x 2，集合A 中的2对应的数为0，不在集合B 中. 3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________.答案 0解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0. 4.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合. 其中正确命题的序号有________. 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y ＝2x (x ∈N)的图象不是一条直线；对于④由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合.5、已知x x f lg )(3=，则)2(f = __________.答案：1lg 23.第二章 函数概念与基本初等函数2.1 函数及其表示例题精讲例1 (1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝_______2x ＋7 (2)如果f (1x )＝x 1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝________.1x －1（3）已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式.∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2,∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2).(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )的解析式.∵2f (x )＋f (1x )＝3x ，① 把①中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x.②①×2－②得3f (x )＝6x －3x ∴f (x )＝2x －1x(x ≠0).例2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________.(1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0. ①当a >0时，f (a )＝2a,2a＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3（2）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1 －1≤x <0 ，－x ＋1 0<x ≤1 ，则f (x )－f (－x )>－1的解集为________.①当－1≤x <0时，0<－x ≤1，此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x －2>－1，解得x <－12，则－1≤x <－12.②当0<x ≤1时，－1≤－x <0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1，∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x ＋2>－1，解得x <32，则0<x ≤1.故所求不等式的解集为[－1，－12)∪(0,1].例3运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米路程,按交通法规限制10050≤≤x (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油36022x +升, 司机的工资是每小时14元.（Ⅰ）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（Ⅱ）当x 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值（精确到小数点后两位，16.310≈）． 分析：根据题意建立y 与x 的函数关系，然后再求y 的最小值. 解：（Ⅰ）设行车所用时间为)(130h xt =∴2130141302(2),[50.100].360x y x x x⨯=⨯⨯++∈ 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是：130182130,[50.100].360y x x x ⨯⨯=+∈ （或：]100.50[,18132340∈+=x x x y ）（Ⅱ）16.821026360130218130≈≥⨯+⨯=x x y ， 当且仅当88.561018,360130218130≈=⨯=⨯x x x 即时，上述不等式中等号成立 16.82min =∴y .答：当x 约为56.88km/h 时，这次行车的总费用最低，最低费用的值约为82.16元.课后提升1．已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=答案：2.提示：因为34)(2++=x x x f ，所以)34()42(3)(4)()(2222+++++=++++=+b b x a ab x a b ax b ax b ax f又2410)(2++=+x xb ax f ，所以，⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=24341042122b b a ab a ，解得⎩⎨⎧==31b a 或⎩⎨⎧-=-=71b a ，所以25=-b a .2、已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解. (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误. 解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案 －343.已知定义域为R 的函数()f x 满足()22()().ff x xx f x x x -+=-+（I ）若(2)3f =，求(1)f ;又若(0)f a =，求()f a ;（II ）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式22222)() 2)(2)222322,(1)1 f(0)=a,f(00)00,()x f x x x f f a a f a a ∈+=-++=-++=-+=-+=-+=222解：(I)因为对任意x R,有f(f(x)-x 所以f(f(2)-2又由f(2)=3,得f(3-2）即若则即22000202000002000000220(II)(())(). () ,() () ()0()0()x R f f x x x f x x x x f x x x R f x x x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x ∈-+=-+=∈-+==-+==-=-+==因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有又因为，所以，故=0或=1若=0，则，即202202 0()1,() 1. () 1 ()xx x x x x f x x x f x x x f x x x x R --=≠-+==-+=-+∈但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。
《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的表示方法)
第三章 函 数
2．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
x
0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<20
y＝f(x)
4
6
8
10
解析：当 0<x<5 时，f(x)>x 的整数解为{1，2，3}． 当 5≤x<10 时，f(x)>x 的整数解为{5}． 当 10≤x<15 时，f(x)>x 的整数解为∅. 当 15≤x<20 时，f(x)>x 的整数解为∅. 综上所述，f(x)>x 的整数解的集合是{1，2，3，5}． 答案：{1，2，3，5}
栏目 导引
第三章 函 数
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路 程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间， 则较符合该学生走法的是( )
解析：选 D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所 以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的 距离，所以开始时距离最大，最后距离为 0.
栏目 导引
栏目 导引
第三章 函 数
函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)的定义域是________，值 域是________．
答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)
栏目 导引
第三章 函 数
函数的三种表示方法 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售 出台数 x(x 为正整数)与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表 法、图像法、解析法表示出来．
栏目 导引
第三章 函 数
函数图像的作法及应用 作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝2x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．
函数及其表示三种表示方法与分段函数
WENKU DESIGN
经济领域中的应用
分段函数在经济领域中常用于描述成本、价格、收益等随数量变化的情况。例如 ，在分析企业的生产成本时，可以根据产量分段计算固定成本和变动成本，从而 更准确地预测总成本。
分段函数还可以用于描述税收政策、补贴政策等随收入或消费量变化的情况，帮 助政府制定更加合理的经济政策。
函数及其表示三种表 示方法与分段函数
https://
REPORTING
目录
• 函数及其表示方法 • 分段函数 • 函数及其表示三种表示方法与分段函数的应
用 • 分段函数的实际应用
PART 01
函数及其表示方法
REPORTING
WENKU DESIGN
解析法
01
02
图象法的应用
图象法
通过绘制函数的图像来表示函数，直观地展示函 数的形态和变化趋势。
优点
直观易懂，能够清晰地展示函数的形态和变化趋 势。
缺点
对于复杂函数，绘制图像可能比较困难，且无法 精确表示函数的数学关系。
表格法的应用
表格法
通过表格的形式来表示函数，列出函数在不同自变量下的函数值。
优点
简单明了，能够快速查看函数在不同自变量下的值。
03
定义
解析法是一种通过数学表 达式来表示函数的方法。
特点
解析法精确度高，可以表 示任意函数，但形式可能 较为复杂。
示例
$f(x) = x^2 + 2x + 1$ 表示一个二次函数。
图象法
定义
图象法是通过绘制函数的 图形来表示函数的方法。
特点
图象法直观易懂，可以观 察函数的形状、趋势和变 化规律，但精度有限。
2.1 函数及其表示(新授学生版)
1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．2．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(k∈Z)；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)映射是特殊的函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为()A ．[32，＋∞)B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞)D ．(3，＋∞)2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x3＋1C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x2＋14．已知f (1x)＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________．题型一函数的概念例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝1(x ≥0)－1(x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则0))21((=f f 其中正确判断的序号是________．(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________引申探究本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域为________________．命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f (x )＝2221x ax a +--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)题型三求函数解析式例4(1)已知函数f (x －1)＝11x ，则函数f (x )的解析式为.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．2．分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝2x－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z2．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为() A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x4．(2015·陕西)设f (x )＝1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于()A ．－1 B.14C.12D.325．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为()A ．－2B ．2C ．－2或2D.2*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)7．(2016·济南模拟)已知函数f(1－x1＋x)＝x，则f(2)＝________.8．设函数f(x)＝113e,1,,1,x xx x-⎧<⎪⎨⎪⎩≥则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________________．9．(2015·浙江)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg(x2＋1)，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．*10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________．①[－x ]＝－[x ]；②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]；④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]；⑤离实数x 最近的整数是－[－x ＋12]．11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．12．已知f(x)＝f(x＋1)，－2<x<0，2x＋1，0≤x＜2，x2－1，x≥2.(1)求f(－32)的值；(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．。
高三一轮复习：函数及其表示
x≥－1， 即x≠1， x＜2，
－1≤x＜2， ，有 x≠1.
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1，或1＜x＜2}． (2)∵f (2x＋1)的定义域为(0,1)， ∴1＜2x＋1＜3， 即f (x)的定义域是(1,3)．
考基联动 考向导析 限时规范训练
反思感悟：善于总结，养成习惯 1．求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不 等式或不等式组，然后求出它们的解集． 2．f[g(x)]的定义域为[a，b]，指的是x的取值范围为[a，b]，而不是g(x)的取值范 围为[a，b]．
(
)
解析：由x－1＞0得x＞1 答案：C 4．若f (x)＝x2 ＋bx＋c，且f(1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________. 解析：∵f (x)＝x2 ＋bx＋c，f(1)＝0，f (3)＝0. ∴1＋3＝－b, 1×3＝c. 即b＝－4，c＝3. ∴f (x)＝x －4x＋3. ∴f (－1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8 1 5．已知f ＝x2 ＋5x，则f (x)＝________. x 1 1 1 2 1 1＋5t 解析：∵x≠0，∴令 ＝t，即x＝ (t≠0)，∴f(t)＝ ＋5·＝ 2 (t≠0)， x t t t t 1＋5x 故f (x)＝ 2 (x≠0)． x 1＋5x 答案： 2 (x≠0) x
函数及其表示
1．了解构成函数的要素；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 ( 如图
象法、列表法、解析 法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 4．会求一些简单函数的定义域.
考基联动
考向导析
限时规范训练
基础自查
1．函数的基本概念 (1)函数定义 给定两个非空 数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何 一个数
函数及其表示方法
函数及其表示方法（讲义）知识点睛一、映射设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．二、函数：1.（1）函数定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作()=，y f x x∈A．（2）构成函数的三要素：________、_________、_______．（3）两个函数相等⇔______________、__________________．（4）区间的表示：设a，b是两个实数，且a<b，规定：{x|a≤x≤b}=__________；{x|a<x<b}=__________；{x|a≤x<b}=__________；{x|a<x≤b}=__________；R=______________；{x|x≥a}=__________；{x|x>a}=__________；{x|x≤b}=__________；{x|x<b}=__________．（5）函数的表示方法：解析法、图象法、列表法．2.分段函数：对于定义域内的不同取值范围，函数的解析式不同．分段函数的值域是各段函数值域的并集．3.复合函数：若()()=∈∈⊆u g x x A u C'C，，则，且()()=∈∈y f u u C y B=与()u g x=的复合函数．y f u[()]()y f g x x A y B=∈∈，叫做函数()精讲精练1.给出以下对应：①集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；②集合A={x|x是直角三角形}，集合B={x|x是圆}，对应关系f：作三角形的外接圆；③集合A={x|x是希望中学的班级}，集合B={x|x是希望中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生；④A=N，B={1，2}，对应关系f：除以2的余数；⑤集合A={0，1，2}，集合B={0，1，12}，对应关系2f x y x→=：；⑥集合A={1，2}，集合B={0，1，12}，对应关系1f x yx→=：．是从集合A到集合B的映射的是__________________，是从集合A到集合B 的函数的是_____________．2.已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，在下列A到B的四种关系中，存在函数关系的个数是（）A．1B．2C．3D．43.下图中，能表示函数()y f x=的图象的是（）A．B．C．D．4.已知函数()f x的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示()f x的图象的只可能是（）A．B．C．D．5. 已知函数2()352f x x x =-+，则(3)f =___________；()f a -=___________；(3)f a +=_________________； ()(3)f a f +=____________．6. 已知函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)0f f ==，则(1)f -的值是_________．7. 给出下列六组函数：①0121y x y ==，；②12||y y x ==；③22()21g()21f x x x t t t =--=--，；④12y y ==；⑤12()()f x f x == ⑥1(0)||()()1(0)x x f x g x x x ⎧==⎨-<⎩≥，． 其中，表示同一函数的为_________________．8. 设全集为R，函数()f x =M ，则C R M 为（ ）A ．(-1，1)B ．[-1，1]C ．(-∞，-1)∪(1，+∞)D ．(-∞，-1]∪[1，+∞)10. 已知函数2()4f x x x k=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围为____________． 11. 直接写出下列函数的值域：①21{12345}y x x=+∈，，，，，：________________； ②2()[0,3]f x x x x =-∈，：________________；③211y x=+：________________； ④()f x ：________________； ⑤y x =+________________； ⑥312xy x-=+(0≤x ≤1)：________________．A．2B．2-C．3D．3-回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】二、1.（2）定义域 对应关系 值域 （3）定义域相同 对应关系完全一致（4）[a ，b ](a ，b ) [a ，b )(a ，b ](-∞，+∞)[a ，+∞) (a ，+∞) (-∞，b ] (-∞，b )【精讲精练】 1．①②⑥⑥2．B 3．D 4．D 5．14 2352a a ++231314a a ++23516a a -+6．8 7．②③⑤ 8．C 9．D 10．(4)+∞，11．①{3，5，7，9，11}；②1[6]4-，；③(0，1]；④[0，2]； ⑤(-∞，4]；⑥2[3]3， 12．24vtx d=π2[0]4d h vπ，[0，h ]13．（1）[1，2]；（2）[4，6]；（3）5[0]2，14．（1）222x x +-；（2）5；（3）115．B 16．(-∞，-1) 17．(-1，2)∪{3} 18．[-3，+∞) 19．D 20．12 21．A22．22222(0)2 (11) 43(0) 3 (11) x x x x x x x x x x x ≥≥≤或⎧⎧---⎨⎨-+<-+-<<⎩⎩ 23．()31()32f x x f x x =+=--或24．3(21)1(10)()1(01)3(12)x x f x x x ≤≤≤≤--<-⎧⎪--<⎪=⎨<⎪⎪<⎩；图象略函数及其表示方法（随堂测试）1. 若集合A =R ，B =R ，x ∈A ，y ∈B ，下列对应关系中，是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）2. 已知函数232(1)()(1)x x f x x ax x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥，若[(0)]=4f f a ，则实数a =____________.3. 函数r =f ( p )的图象如图所示．（1）函数r =f ( p )的定义域是什么？ （2）函数r =f ( p )的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？【参考答案】1．B 2．23．（1）[-5，0]∪[2，6)（2）[0，+∞)（3）025r r≤或<>函数及其表示方法（作业）25.下列说法中不正确的是（）A．函数值域中的每一个数在定义域中都有值相对应B．函数的定义域和值域一定是不包括数0的数集C．定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素26.函数y = f (x)的图象与直线x=1的公共点的个数是（）A．1 B．0C．0或1D．1或227.若1()xf xx-=，则方程f (4x)=x的根是（）A．12B．12-C．2D．-228. 若函数y = f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2}，值域为N ={y |0≤y ≤2}，则函数y =f (x )的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．29. 集合A ={x |0≤x ≤4}，B ={y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ）A ．12：f x y x →=B ．13：f x y x →= C ．23：f x y x →= D．：f x y →=30. 下列各项表示同一函数的是（ ）A ．21()1x f x x -=-与()1g x x =+B．()1f x =与()1g x x =- C．()f t =()g x =D ．()1f x =与1()g x x x=⋅31. 函数||x y x x=+的图象是图中的（ ）A ．B ．yD．32.已知2211()11x xfx x--=++，则f (x)的解析式为（）A．2()1xf xx=+B．22()1xf xx=-+C．22()1xf xx=+D．2()1xf xx=-+33.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为221y x=+，值域为{9，19}的“孪生函数”共有（）A．4个B．6个C．8个D．9个34.设集合A={a，b}，集合B={0，1}，则从集合A到B的不同映射共有_________个．35.下列对应关系：①A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，f x x→：的平方根；②A=R，B=R，f x x→：的倒数；③A=R，B=R，22f x y x→=-：；④A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：x x→的平方．其中是从集合A到集合B的函数的是_____________．36.（1）函数()f x=________________．（2）函数y=_____________________．37.直接写出下列函数的值域：①2124(2)2x x xy=--∈-，，：________________；②6[34]1y xx=∈-，，：________________；③()|32(26]|f x x x=--∈，，：________________；④()f x x=+________________．38. 已知函数(21)f x +的定义域为(2，5]，则函数(32)f x +的定义域为___________．39. （1）若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f =_________．（2）函数(1)f x +=()3f a =，则实数a =______．40. 函数f (x )在闭区间[-1，2]上的图象如图所示，此函数的解析式为________________________．41. 设函数221(1)()2(1)x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩≤，则1[](2)f f 的值为________． 42.已知(0)()(0)x f x x =<≥，若()(1)2f a f +-=，则a 的值为____________．43. 若函数246(0)()+6(0)x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨<⎪⎩≥，则不等式()(1)f x f >的解集为___________________．44. 已知()3+2g x x =，221[()](0)x f g x x x-=≠，则(1)f =________． 45. 函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩≤，若f (-4)= f (0)，f (-2)=-2，求方程()f x x =的解．46. 作出函数24||3y x x =-+的图象，并说明y 为何值时，有4个不同的x 值与之对应．【参考答案】1．B 2．C 3．A 4．B 5．C6．C 7．C 8．C 9．D 10．411．③④12．（1）[0，1]；（2）(-∞，-1)∪(-1，0)13．①5(2]2-，；②[2，3]；③[-2，1]；④(-∞，1]14．(1，3]15．（1）-1；（2）1116．1(10)1(02)2x x y x x ≤≤≤+-<⎧⎪=⎨-⎪⎩17．151618．±119．(-3，1)∪(3，+∞)20．821．123122x x x =-=-=，，22．当13y -<<时，有4个不同的值与之对应；图象略。
函数的概念及表示方法
函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是 非空实数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的 每一个实数，在集合B 中都有 唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ， 其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做 定义域 ，与x 的值相对应的y 值叫做 函数值 ，函数值的集合 叫做函数的 值域，显然，值域是集合B 的子集。
注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素： 值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 在本质上也是相同的,则称两个函数相等。
4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。
举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。
优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。
5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做 分段函数 。
拓展一 判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？ （ ）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二 函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是 （ ）拓展三 求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
人教数学B版必修一《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT课件(第2课时函数的表示方法)
(4)函数 f(x)＝x－＋x1＋，3，x≤x>1，1 是分段函数．(3)× (4)√
栏目导航
x2＋1，x≤1，
2．设函数 f(x)＝2x，x>1，
则 f(f(3))＝( )
A.15
B．3
2
13
C.3
D. 9
D [∵f(3)＝23≤1，
∴f(f(3))＝232＋1＝193.]
栏目导航
20
1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形 表示为定义在A上的函数图像的是( )
A
B
C
D
栏目导航
21
(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x12345
y45321
A.1
B．2
C．4
D．5
(1)D (2)B [(1)A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，
44
栏目导航
45
1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式 表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解 析式有意义的实数集 R 或 R 的子集．
2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与 x 轴、y 轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．
栏目导航
栏目导航
37
[解] (1)列表
x2345 …
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数 y＝2x的一部分，观察图像
可知其值域为(0,1]．
栏目导航
(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下：
高中数学必修一之知识讲解-函数及其表示方法
函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；x a x b a b<≤=；[){|},(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
函数及其表示
函数及其表示一、函数的概念及其构成要素函数在数学上的定义：给定一个数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数.例:设数集A={1、2、3、4、5},对A施加对应法则求平方，得B={1、4、9、16、25}也就是B=f(A)=A^2，这个关系式就是函数设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作或。
其中x叫作自变量，叫做x的函数，集合叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，叫做对应法则。
其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素。
定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。
一般书写为。
二、判断两个函数是否为同一个函数若两函数定义域相同,对应法则也相同,则称这两个函数相等。
其实就是看两个方面：1、看定义域是否相同，如果定义域不同，就算函数式形式相同，也不是相同的函数。
例如函数f（x）=x和g（x）=x²/x，尽管当x≠0时，两个函数相等，但是f（x）的定义域是全体实数，g（x）的定义域是x≠0，定义域不一样，所以不是相同的函数。
2、定义域相同的情况下，看相同的x计算出来的函数值是否一样，如果有相同的x算出来的函数值不一样，那么就不是相同的函数。
例如f（x）=x和g（x）=|x|，定义域相同，但是当x＜0的时候，函数值不同，所以不是相同的函数。
如上述两个方面都相同，那么就一定是相同的函数了。
三、函数的定义域及其求法1.如果f（x）为整式,其定义域是R2.如果f（x）=x分之1,其定义域是x≠03.如果f（x）=根号x,其定义域是x≥04.如果f（x）=x0,其定义域是x≠05.如果f（x）是由几个部分的式子构成,定义域是使几个部分有意义的公共部分（交集）6.已知f（x）的定义域是【1,2】,则f（x+1）的定义域是[0,1]7.已知f（x+1）的定义域是【1,2】,则f（x）的定义域是[2,3]四、函数的值域1：直接法：从自变量的范围出发，推出值域，也就是直接看咯。
函数及其表示法
指数表示法
使用指数函数的公式来表示函数，例如 $f(x) = e^x$。
优点
可以方便地表示快速增长或衰减的函数。
3
缺点
对于非指数型函数，可能不适用，且公式较为复 杂。
04 函数的参数表示法
参数方程的概念
参数方程定义
参数方程是一种描述函数关系的 方法，通过引入一个或多个参数， 将自变量和因变量的关系表示出 来。
分段函数的应用
解决实际问题
分段函数常常用于解决一些实际问题，例如利润计算、成本分析、人口统计等。通过分段来表示不同情况下的函数关 系，能够更准确地描述实际问题。
数学建模
在数学建模中，分段函数也经常被用来描述一些复杂的现象或关系。例如，在物理学、生物学、经济学等领域中，分 段函数可以用来描述一些非线性关系或突变现象。
01
Байду номын сангаас
02
03
观察图像形状
通过观察图像的形状，可 以初步判断函数的单调性、 周期性等性质。
分析函数性质
结合函数表达式和图像， 可以分析函数的极值点、 拐点等关键点，从而理解 函数的性质。
比较函数差异
通过比较不同函数的图像， 可以直观地了解它们之间 的差异和联系。
函数图像的应用
解决实际问题
教育与教学
在解决一些实际问题时，如最优化问 题、物理现象模拟等，可以通过绘制 函数图像来直观地理解和分析问题。
优点
简洁明了，易于理解和计算。
缺点
对于复杂的函数，可能难以找到合适的代数表示法。
三角表示法
三角表示法
使用三角函数的公式来表示函数，例如 $f(x) = sin(x) + cos(x)$。
优点
函数的定义及其表示法
定义: 设x与y是两个变量，D是实数集R的某个子集.
如果对任何的x D，变量y按照一定的规律，有确定
的数值与之对应，则称y是x的函数，记作
y=f (x) 称D为该函数的定义域.称x为自变量，称y为因变量.
当自变量x取数值 x0 D 时，与 x0对应的因变量y 的值称为函数y=f (x)在点x0 处的函数值，记为f (x0 ) 或y |xx0 .当x取遍D的各个数值时，对应的变量y取值 的全体组成数集称做这个函数的值域.
函数的记号f :表示自变量x与因变量y的对应规则，
也可用
F,, f1等, f.2
函数的定义域:使函数表达式有意义的自变量的
一切实数值所组成的数集.
实际问题中，函数的定义域由实际意义确定.
函数的值域:全体函数值的集合.
两个函数相同:(1)定义域相同 (2)对应规则相同
例1：设f(x)=x2-2x+3,求f(0),f(3),f(-3),f(a) 解：f(0)=3
2x+1 (x≥0) f(x)=
-2x (x<0) 就是一个分段函 数。这里f(1)=3,f(-1)=2。
分段函数的表达式虽然不止一个， 但它不是几个函数，而是一个函数.
例2 求函数y x 1的定义域 . x3
解 当分母x 3 0时,此函数式都有意义. 因此函数的定义域为 (,3)和(3,).
以确定相应的s值.
复利问题 :存入银行 元ko本金,月利率为2%,
那么在第t个月后的存款余额(本利和) 与at t的关系:
at ko 1.02t
两个变量按一定的规律相联系,其中一个变量 的变化将会引起另一个变量的变化,当前者(自变量) 的值确定后,后者(因变量)的值按照一定的关系相 应被确定.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型一 求函数值【例1】若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ．【例2】（2006年安徽高考）函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，则((5))f f = ．【例3】若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ．【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.【例5】已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值．典例分析板块二.函数的表示法【例6】若函数2()f x x =，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ ）A ．12()2x x f +≤12()()2f x f x +B ．12()2x x f +<12()()2f x f x + C ．12()2x x f +≥12()()2f x f x + D ．12()2x x f +>12()()2f x f x +【例7】（2006．台湾）将正整数18分解成两个正整数的乘积有：118⨯，29⨯，36⨯三种，又36⨯是这三种分解中两数的差最小的，我们称36⨯为18的最佳分解．当p q ⨯()p q ≤ 是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p F n q =，例如31(18)62F ==，下列有关函数()F n 的叙述，正确的序号为 （把你认为正确的序号都写上）⑴(4)1F =；⑵3(24)8F =；⑶1(27)3F =；⑷若n 是一个质数，则()F n 1n=；⑸若n 是一个完全平方数，则()1F n =【例8】设函数3(100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥⎧=⎨+<⎩求【例9】（2001上海理，1）设函数f （x ）＝812,(,1]log ,(1,)xx x -⎧∈-∞⎪⎨∈+∞⎪⎩，则满足f （x ）=14的x 值为 。
【例10】（2006山东 文2）设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题型二 求函数解析式一、定义法：【例11】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .【例12】设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +【例13】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f .【例14】设33221)1(,1)1(xx x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【例15】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.二、待定系数法：【例16】如果反比例函数的图象经过点(1,2)-，那么这个反比例函数的解析式为【例17】在反比例函数ky x=的图象上有一点P ，它的横坐标m 与纵坐标n 是方程2420t t --=的两个根，则k =【例18】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .三、换元（或代换）法：【例19】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式【例20】（1）已知1)f x =+，求()f x 及2()f x ；（2）已知()3()21f x f x x +-=+，求()f x .【例21】已知22111(),x x f x x x++=+求()f x ．【例22】设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .【例23】设()f x 满足1()()af x bf cx x+=（其中,,a b c 均不为0，且a b ≠±），求()f x ．四、反解函数法：【例24】已知2)(21+=-x a f x ，求)(x f .五、特殊值法：【例25】设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .六、累差法：【例26】若af 1lg)1(=，且当),0(,lg )()1(,21*∈-=-≥-N x a a x f x f x x 满足时，求)(x f .七、归纳法：【例27】已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f .八、微积分法：【例28】设2)1(,cos )(sin 22=='f x x f ，求)(x f .九、其他综合问题【例29】（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ； （4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
【例30】（2006重庆理21）已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2+x )=f (x )－x 2+x 。
（Ⅰ）若f (2)=3,求f (1)；又若f (0)=a ,求f (a )；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)= x 0。
求函数f (x )的解析表达式。
【例31】已知函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1(),f x x=则当(,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式为（ ）A ．1x -B ．12x --C ．12x +D ．12x -+【例32】（05全国卷I ）已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3)．⑴方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 的解析式； ⑵若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．题型三 分段函数【例33】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （2）|1||24|y x x =-++.【例34】函数()[]f x x=的函数值表示不超过x的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x∈-时，写出()f x的解析式，并作出函数的图象.【例35】画出下列函数的图象．（1）y＝x2－2，x∈Z且｜x｜2≤；（2）y＝－22x＋3x，x∈（0，2］；（3）y＝x｜2－x｜；（4）3232232xy x xx⎧⎪⎨⎪⎩≤≥＜－，＝－－＜－．．【例36】已知函数22()2xf x xx+⎧⎪=⎨⎪⎩(1)(12)(2)xxx--<<≤≥，⑴求()fπ；（2）若()3f a=，求a；⑶作出此函数的图象．【例37】作出函数()|2||1|f x x x=--+的图象．【例38】已知1,0()1,0xf xx≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x++⋅+≤的解集是．【例39】函数xy xx=+的图象是（）【例40】设2,(10)()[(6)],(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f的值为（）A．10B．11C．12D．13【例41】设函数11(0),2()1(0).x xf xxx⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a>，则实数a的取值范围是．【例42】若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = ．【例43】已知函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f x =，则x = ．【例44】由函数的解析式，求函数值⑴已知函数2()352f x x x =-+，求(1)f ，1f a ⎛⎫⎪⎝⎭，(1)f x +；⑵已知1(0)()π(0)0(0)x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪<⎩，求{}[(1)]f f f -； ⑶已知()f x 的定义域为{}0x x >，且()()()f xy f x f y =+，若(9)8f =，求(3)f ．【例45】已知f (x)=33x x-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.题型三 实际应用问题【例46】经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t 的函数，且销售量近似地满足关系ｇ（t ）＝－13 t ＋1093 （t ∈N *，0＜t ≤100)，在前40天内价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N *，0≤t ≤40），在后60天内价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N *，40＜t ≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).【例47】某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P ＝f （t ）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102 kg ，时间单位：天)【例48】季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0，16]，t∈N*试问该服装第几周每件销售利润L最大?【例49】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．【例50】某商场做活动，某款玩具小熊的单价是5元，买x （x ∈{1,2,3,4,5}）个玩具小熊需要y 元．试用函数的三种表示法表示函数()y f x =．【例51】如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从点B 开始，沿折线BCD向点A 运动．设点P 移动的距离为x ，ABP ∆的面积为y ，求函数()y f x =及其定义域，并根据所求函数画出函数图象．x yP A BCD【例52】如右图所示，在平行四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，5AB =，3BC =，点P 从起点D 出发，沿DC ，CB 向终点B 匀速运动，设点P 所走过的路程为x ，点P所经过的线段与线段AD 、AP 所围成的图形的面积为y ，y 随x 变化而变化，在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）【例53】如图，铁路线上AB长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米．现打算从AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨每千米的运费与公路每吨每千米的运费之比为3:5．为了使原料从供应站B到工厂C的运费最少，D点应选在何处？【例54】如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始，顺次经C、D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f(52)的值．PCDCB【例55】（2003北京春，理文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。