离散数学简介

– 某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己
理发的人理发。那么就产生了一个问题：理发师究 竟给不给自己理发？如果他给自己理发，他就是自 己理发的人，按照他的原则，他又不该给自己理发； 如果他不给自己理发，那么他就是不自己理发的人， 按照他的原则，他又应该给自己理发。这就产生了 矛盾。
数理逻辑


数理逻辑

现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑

命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何

欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
把这个问题转化为数学问题：把东、南、北及岛四区看成四个点，连接它们的七 座桥看成七条通路，如东区与北区由桥3相连，则它们之间有一条通路，南区与 北区没有桥直接相连，则它们之间就没有直接的通路。 以A代表岛区，B，C，D分别代表北、东、南三区，把这四个点和连接它们的代表 七座桥的通路在图上画出来，就得到图(2)． 问题可以叙述为：以A，B，C，D这四点中的任一点为起点，能否不重复地用一笔 便将上面的图形画出来 一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件，即图形是封闭联通的和图形中的奇 点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。

数理逻辑

集合论的产生是近代数学发展的重大事件
– 集合论本来是论证很严格的一个分支，被公认为是
数学的基础 – 在集合论的研究过程中，出现了一次称作数学史上 的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的 悖论引起。（悖论就是逻辑矛盾） – 罗素悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。
数理逻辑

罗素悖论中有许多例子，其中一个很通俗也很 有名的例子就是“理发师悖论”：
离散数学
南京大学信息管理学院 杨建林
简介

什么叫离散数学？
– 离散：分离，分散（空间）；与连续相对 – 离散对象（量）：不连续的，可分离的，如自然数。不同于
实数对象的集合，有限或可数 – 离散数学是以离散 ( 即非连续 ) 对象的 数量和空间关系 为研究 内容的若干个数学分支的总称。 – 包括数理逻辑、近世代数、古典概率、组合学、图论、集合 论、数论、自动机和形式语言、可计算性和可判定性、离散 几何、代数结构等。
离散数学


一 命题逻辑 二 谓词逻辑 三 集合论 四 图论 教材：耿素云，屈婉玲，离散数学，高教出版社， 2004
数理逻辑
逻辑一词源于希腊文，意思指：词、思想、理 性、规律等。 逻辑学研究的是：判别一个推理过程是否正确 的标准。 数理逻辑也叫符号逻辑，即用人工符号来书写 逻辑法则，它是一门涉及数学、逻辑学、哲学 等学科的横向交叉学科。
离散数学的由来与发展

离散数学是随着计算机科学与技术的产生发展和应用 领域的不断发展而逐步形成和发展起来的一门新兴学 科，作为一门课程开设于上世纪70年代初。
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简介

数论举例：费马大定理
x n y n z n (n 3)

勾股定理：特例32+42=52
简介
图论举例： 欧拉的七桥问题
数理逻辑

非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑

证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
简介
“ 离散”和“连续”之间的对立与统一是数学发展的

重要动力之一. 古代数学主要讨论整数等离散与离散化了的数量关系， 因而，那时数学被看成是研究上述数量关系的科学. 但随着数学理论的发展，处理离散数量关系的数学工 具在刻画和处理某类事务方面显得无能为力，因此出 现了处理连续数量关系的数学工具：微积分.
离散数学与计算机科学的关系


离散数学是计算机科学的理论基础 计算机的理论模型是离散的图灵机 本质上计算机只处理离散对象，但可通过近似和模拟 等手段处理连续对象（如求极值问题） 现代计算机越来越多地用于处理离散对象 离散数学在计算机科学中直接有用，是计算机科学的 工具
离散数学与计算机科学的关系
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力

简介

离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识
悖论的提出，促使许多数学家去研究集 合论的无矛盾性问题，从而产生了数理 逻辑的一个重要分支—公理集合论
数理逻辑

无理数的发现---第一次数学危机
– 毕达哥拉斯学派证明了勾股定理，由此发现
一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整 数之比（不可通约）

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无穷小是零吗？---第二次数学危机
– 龟兔赛跑，“兔子永远追不上乌龟”

– 18世纪著名古典数学问题之一 – 东普鲁士的哥尼斯堡城，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位
于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来 – 战争期间，破坏这七座桥。设想用一辆装载炸药的车，每过 一桥便炸毁该桥，车无法从原桥驶回 – 设计一种行驶路线的方案，要将七座桥都这样炸毁，不许遗 漏一座桥