离散数学简介

数理逻辑

非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑

证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明

数理逻辑

现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑

命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何

欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力

简介

离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识

– 18世纪著名古典数学问题之一 – 东普鲁士的哥尼斯堡城，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位
于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来 – 战争期间，破坏这七座桥。设想用一辆装载炸药的车，每过 一桥便炸毁该桥，车无法从原桥驶回 – 设计一种行驶路线的方案，要将七座桥都这样炸毁，不许遗 漏一座桥


– 某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己
理发的人理发。那么就产生了一个问题：理发师究 竟给不给自己理发？如果他给自己理发，他就是自 己理发的人，按照他的原则，他又不该给自己理发； 如果他不给自己理发，那么他就是不自己理发的人， 按照他的原则，他又应该给自己理发。这就产生了 矛盾。
数理逻辑

离散数学与计算机科学的关系


离散数学是计算机科学的理论基础 计算机的理论模型是离散的图灵机 本质上计算机只处理离散对象，但可通过近似和模拟 等手段处理连续对象（如求极值问题） 现代计算机越来越多地用于处理离散对象 离散数学在计算机科学中直接有用，是计算机科学的 工具
离散数学与计算机科学的关系
离散数学
南京大学信息管理学院 杨建林
简介

什么叫离散数学？
– 离散：分离，分散（空间）；与连续相对 – 离散对象（量）：不连续的，可分离的，如自然数。不同于
实数对象的集合，有限或可数 – 离散数学是以离散 ( 即非连续 ) 对象的 数量和空间关系 为研究 内容的若干个数学分支的总称。 – 包括数理逻辑、近世代数、古典概率、组合学、图论、集合 论、数论、自动机和形式语言、可计算性和可判定性、离散 几何、代数结构等。
把这个问题转化为数学问题：把东、南、北及岛四区看成四个点，连接它们的七 座桥看成七条通路，如东区与北区由桥3相连，则它们之间有一条通路，南区与 北区没有桥直接相连，则它们之间就没有直接的通路。 以A代表岛区，B，C，D分别代表北、东、南三区，把这四个点和连接它们的代表 七座桥的通路在图上画出来，就得到图(2)． 问题可以叙述为：以A，B，C，D这四点中的任一点为起点，能否不重复地用一笔 便将上面的图形画出来 一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件，即图形是封闭联通的和图形中的奇 点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。
离散数学


一 命题逻辑 二 谓词逻辑 三 集合论 四 图论 教材：耿素云，屈婉玲，离散数学，高教出版社， 2004
数理逻辑
逻辑一词源于希腊文，意思指：词、思想、理 性、规律等。 逻辑学研究的是：判别一个推理过程是否正确 的标准。 数理逻辑也叫符号逻辑，即用人工符号来书写 逻辑法则，它是一门涉及数学、逻辑学、哲学 等学科的横向交叉学科。
悖论的提出，促使许多数学家去研究集 合论的无矛盾性问题，从而产生了数理 逻辑的一个重要分支—公理次数学危机
– 毕达哥拉斯学派证明了勾股定理，由此发现
一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整 数之比（不可通约）

无穷小是零吗？---第二次数学危机
– 龟兔赛跑，“兔子永远追不上乌龟”
离散数学的由来与发展

离散数学是随着计算机科学与技术的产生发展和应用 领域的不断发展而逐步形成和发展起来的一门新兴学 科，作为一门课程开设于上世纪70年代初。
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简介

数论举例：费马大定理
x n y n z n (n 3)

勾股定理：特例32+42=52
简介
图论举例： 欧拉的七桥问题
简介
“ 离散”和“连续”之间的对立与统一是数学发展的

重要动力之一. 古代数学主要讨论整数等离散与离散化了的数量关系， 因而，那时数学被看成是研究上述数量关系的科学. 但随着数学理论的发展，处理离散数量关系的数学工 具在刻画和处理某类事务方面显得无能为力，因此出 现了处理连续数量关系的数学工具：微积分.

数理逻辑

集合论的产生是近代数学发展的重大事件
– 集合论本来是论证很严格的一个分支，被公认为是
数学的基础 – 在集合论的研究过程中，出现了一次称作数学史上 的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的 悖论引起。（悖论就是逻辑矛盾） – 罗素悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。
数理逻辑

罗素悖论中有许多例子，其中一个很通俗也很 有名的例子就是“理发师悖论”：