高三数学一轮复习 6.4基本不等式课件
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第6章 第4讲基本不等式-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共55张PPT
第六章 不等式 推理与证明
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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(2)ab－16＝a＋2b≥2 2ab，令 ab＝t，
则 t2－2
2t－16≥0⇒t≥2
2＋ 2
72＝4
2，
故 ab≥32，即 ab 最小值为 32.(当且仅当 a＝8，b＝4 时取等号)故选 B．
第六章 不等式 推理与证明
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第六章 不等式 推理与证明
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〔变式训练 1〕
(1)(角度 1)(2020·宁夏银川一中月考)已知正数 x、y 满足 x＋y＝1，则1x＋1＋4 y的最
小值为
(B )
A．2
B．92
C．134
D．5
第六章 不等式 推理与证明
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[解析] (1)令 t＝ x－1≥0，则 x＝t2＋1， 所以 y＝t2＋1＋t 3＋t＝t2＋tt＋4． 当 t＝0，即 x＝1 时，y＝0； 当 t＞0 时，即 x＞1 时，y＝t＋41t ＋1， 因为 t＋4t ≥2 4＝4(当且仅当 t＝2 时取等号)，所以 y＝t＋41t ＋1≤15， 即 y 的最大值为15(当 t＝2，即 x＝5 时 y 取得最大值)．
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第六章 不等式 推理与证明
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知识梳理 • 双基自测
第六章 不等式 推理与证明
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知识点一 重要不等式 a2＋b2≥____2_a_b____(a，b∈R)(当且仅当___a_＝__b____时等号成立)． 知识点二 基本不等式 ab≤a＋2 b(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a_>_0_，__b_>_0_； (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时等号成立； (3)其中a＋2 b叫做正数 a，b 的_算__术__平__均__数__， ab叫做正数 a，b 的__几__何__平__均__数__.
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(2)ab－16＝a＋2b≥2 2ab，令 ab＝t，
则 t2－2
2t－16≥0⇒t≥2
2＋ 2
72＝4
2，
故 ab≥32，即 ab 最小值为 32.(当且仅当 a＝8，b＝4 时取等号)故选 B．
第六章 不等式 推理与证明
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
第六章 不等式 推理与证明
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〔变式训练 1〕
(1)(角度 1)(2020·宁夏银川一中月考)已知正数 x、y 满足 x＋y＝1，则1x＋1＋4 y的最
小值为
(B )
A．2
B．92
C．134
D．5
第六章 不等式 推理与证明
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
第六章 不等式 推理与证明
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[解析] (1)令 t＝ x－1≥0，则 x＝t2＋1， 所以 y＝t2＋1＋t 3＋t＝t2＋tt＋4． 当 t＝0，即 x＝1 时，y＝0； 当 t＞0 时，即 x＞1 时，y＝t＋41t ＋1， 因为 t＋4t ≥2 4＝4(当且仅当 t＝2 时取等号)，所以 y＝t＋41t ＋1≤15， 即 y 的最大值为15(当 t＝2，即 x＝5 时 y 取得最大值)．
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第六章 不等式 推理与证明
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知识梳理 • 双基自测
第六章 不等式 推理与证明
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知识点一 重要不等式 a2＋b2≥____2_a_b____(a，b∈R)(当且仅当___a_＝__b____时等号成立)． 知识点二 基本不等式 ab≤a＋2 b(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a_>_0_，__b_>_0_； (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时等号成立； (3)其中a＋2 b叫做正数 a，b 的_算__术__平__均__数__， ab叫做正数 a，b 的__几__何__平__均__数__.
2017届高三数学一轮复习课件：6-4 基本不等式
第五页，编辑于星期六：点 五十八分。
微知识❹ 常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥ 2 ab (a＞0，b＞0)。
(2)ab≤ a＋2 b2
(a，b∈R)。
(3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)。 (4)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)。
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b。
第六页，编辑于星期六：点 五十八分。
第二十八页，编辑于星期六：点 五十八分。
[规律方法] (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建 立数学模型，转化为数学问题求解。 (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就 不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。
第二十九页，编辑于星期六：点 五十八分。
D．[－4,4]
解析：M＝a2＋a 4＝a＋4a。 当 a＞0 时，M≥4；当 a＜0 时，M≤－4。 答案：A
第十页，编辑于星期六：点 五十八分。
4．若 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值为__________。 解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5。 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立。 答案：5
第十九页，编辑于星期六：点 五十八分。
微考点
基本不等式的综合应用
角度一：基本不等式与其他知识综合的最值问题
【典例 2】若点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，其中 mn＞0，则m1 ＋1n的最 小值为________。
解析：因为点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2 ＝1，
取得“＝”，故选 D 项。
第十五页，编辑于星期六：点 五十八分。
微知识❹ 常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥ 2 ab (a＞0，b＞0)。
(2)ab≤ a＋2 b2
(a，b∈R)。
(3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)。 (4)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)。
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b。
第六页，编辑于星期六：点 五十八分。
第二十八页，编辑于星期六：点 五十八分。
[规律方法] (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建 立数学模型，转化为数学问题求解。 (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就 不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。
第二十九页，编辑于星期六：点 五十八分。
D．[－4,4]
解析：M＝a2＋a 4＝a＋4a。 当 a＞0 时，M≥4；当 a＜0 时，M≤－4。 答案：A
第十页，编辑于星期六：点 五十八分。
4．若 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值为__________。 解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5。 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立。 答案：5
第十九页，编辑于星期六：点 五十八分。
微考点
基本不等式的综合应用
角度一：基本不等式与其他知识综合的最值问题
【典例 2】若点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，其中 mn＞0，则m1 ＋1n的最 小值为________。
解析：因为点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2 ＝1，
取得“＝”，故选 D 项。
第十五页，编辑于星期六：点 五十八分。
高中数学课件_第六章_第四节_《基本不等式》2014
，
＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”. 答案：3
从而有1y＝
＝
(3x2－3x＋300)＋200×1.8
＋3x＋357≥417.
当且仅当
＝3x，即x＝10时，y1有最小值.
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用 最少.
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次
饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一
次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则 y2＝ ＝ (3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85 ＋3x＋303(x≥25). ＋3，
，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为 ，所以 －x＞0，
.
解析：因为0＜x＜
所以y＝5x(3－4x)＝20x(
－x)≤20
当且仅当x＝
即 x＝ 答案：
－ x，
时等号成立.
5.(2010· 忻州模拟)设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，
则 的最小值是 .
解析：由x－2y＋3z＝0得y＝
代入 得
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，
并求出最小总费用.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180· 2a ＝225x＋360a－360. 由已知xa＝360，得a＝ 所以y＝225x＋ ，
－360(x＞0).
)
解析：选项A、B、C中不能保证 答案：D
2.已知f(x)＝x＋
－2(x>0)，则f(x)有
(
)
A.最大值为0
C.最大值为2
B.最小值为0
高考数学一轮复习 6.4 基本不等式精品课件 理 新人教A版
2 即a＝b时等号成立，又因为 ＋ab≥2 ab
2 1 1 2 ＝ab时等号成立，所以 2 ＋ 2 ＋ab≥ ＋ab≥2 2 ，当且仅当 ab a b ab
12＝ 12 a b 2 ＝ab ab
，即a＝b＝ 2时取等号．
4
即时训练
已知x>0，y>0，z>0.
y z x z x y 求证：( ＋ )( ＋ )( ＋ )≥8. x x y y z z
a＋b 1．“a>0且b>0”是“ ≥ ab”的( 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
)
a＋b a＋b 解析：∵a>0，b>0，显然有 ≥ ab ，而 ≥ ab 时， 2 2 a>0，b>0不一定成立，如a＝0，b>0时．
答案：A
2．下列不等式证明正确的是(
＋
)
A．若a，b∈R ，则lga＋lgb≥2 lgalgb b a B．若a，b∈R，则 ＋ ≥2 a b
＋
ab ·＝2 ba
－b － a b a C．若a∈R ，ab<0，则 ＋ ＝－( ＋ ) a b a b ≤－2 D. ab> －a －b · ＝－2 b a 2ab a＋b
解析：若0<a<1则lga<0，所以A错，若a，b异号，则B错，D 中需要同号．
证明：x>0，y>0，z>0， y z 2 yz ∴ ＋ ≥ >0， x x x x z 2 xz ＋ ≥ >0， y y y x y 2 xy ＋ ≥ >0. z z z
y z x z x y ( ＋ )( ＋ )( ＋ ) x x y y z z 8 yz· xz· xy ≥ ＝8. xyz 等号成立的条件是x＝y＝z，故原不等式得证．
2017届高三数学一轮总复习(人教通用)课件：第6章 第四节 基本不等式
()
A．52
B．3
C．72
D．4
答案：B
第八页，编辑于星期六：一点 八分。
已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1，求证： 1x－11y－11z－1>8.
证明
第九页，编辑于星期六：一点 八分。
第十一页，编辑于星期六：一点 八分。
设a，b均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
第十七页，编辑于星期六：一点 八分。
[变式2] 母题的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，1a＋1b ＝4，则a＋b的最小值为________．
解析：由1a＋1b＝4，得41a＋41b＝1. ∴a＋b＝41a＋41b(a＋b)＝12＋4ba＋4ab≥12＋2 当且仅当a＝b＝12时取等号． 答案：1
第二十三页，编辑于星期六：一点 八分。
[变式6] 若母题变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得 am·an＝2 2a1， 则m1 ＋n4的最小值为________．
解析
第二十四页，编辑于星期六：一点 八分。
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排， 绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行 技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的 化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可 近似地表示为 y＝12x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳 得到可利用的化工产品价值为 100 元．
第四节
基本不等式
a>0，b>0 a＝b
第一页，编辑于星期六：一点 八分。
2ab 2
高三理科数学一轮复习 第六章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件
第四节 基本不等式及其应用
1
考
考纲概述
查 热
考查频次
备考指导
点
基本不等式: ab ≤ a+2b(a≥0,b≥0). (1)了解基本不等式 的证明过程;
(2)会用基本不等式 解决简单的最大(小) 值问题.
求 最 值
综 合 应 用
★★★★★ 基本不等式是重要考点,常见题型是 利用基本不等式求函数最值,注意三 个条件“一正二定三相等”,且经常考查 三个条件中有一个条件不满足时,如
D.4
【解题思路】先利用线性规划得到 a,b 的关系,再利用基本不等式求解.不等式组对应
的平面区域是一个四边形区域(包含边界),当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)经过点(1,4)
时取得最大值 8,则 a+4b=8,又 a>0,b>0,所以 a+4b=8≥2 4������������ = 4 ������������,解得 ab≤4,当
A.1������
+
1有最大值
������
4
C. ������ + ������有最大值 2
C
【解析】因为1
������
+
1 ������
=
B. ������������有最小值14
D.a2+b2
有最小值
2 2
1 ������
+
1 ������
(������
+
������)
=
2
+
������ ������
4
3.几个常用的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
1
考
考纲概述
查 热
考查频次
备考指导
点
基本不等式: ab ≤ a+2b(a≥0,b≥0). (1)了解基本不等式 的证明过程;
(2)会用基本不等式 解决简单的最大(小) 值问题.
求 最 值
综 合 应 用
★★★★★ 基本不等式是重要考点,常见题型是 利用基本不等式求函数最值,注意三 个条件“一正二定三相等”,且经常考查 三个条件中有一个条件不满足时,如
D.4
【解题思路】先利用线性规划得到 a,b 的关系,再利用基本不等式求解.不等式组对应
的平面区域是一个四边形区域(包含边界),当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)经过点(1,4)
时取得最大值 8,则 a+4b=8,又 a>0,b>0,所以 a+4b=8≥2 4������������ = 4 ������������,解得 ab≤4,当
A.1������
+
1有最大值
������
4
C. ������ + ������有最大值 2
C
【解析】因为1
������
+
1 ������
=
B. ������������有最小值14
D.a2+b2
有最小值
2 2
1 ������
+
1 ������
(������
+
������)
=
2
+
������ ������
4
3.几个常用的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
一轮复习课件 第6章 第4节 基本不等式
【考向探寻】 1．利用基本不等式判断所给的不等式是否成立； 2．利用基本不等式证明所给的不等式．
【典例剖析】
(1)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.
(2)解：方法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1， 即 a＝b＝12时等号成立．
方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8， 因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b 且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
(1)第一列货车到达 B 市所需时间为40a0 h，由于两列货车的 间距不得小于2a02 km，所以第 17 列货车到达 B 市所需时间为 40a0＋16·a2a02＝40a0＋14600a≥8，当且仅当40a0＝14600a即 a＝100(km/h) 时成立，所以最快需要 8 h，故选 B.
答案：B
(3)解：显然 a≠4，当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4 ＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－4－3 a＋4－a＋4 ≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4，＋ ∞)．
【典例剖析】
(1)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.
(2)解：方法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1， 即 a＝b＝12时等号成立．
方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8， 因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b 且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
(1)第一列货车到达 B 市所需时间为40a0 h，由于两列货车的 间距不得小于2a02 km，所以第 17 列货车到达 B 市所需时间为 40a0＋16·a2a02＝40a0＋14600a≥8，当且仅当40a0＝14600a即 a＝100(km/h) 时成立，所以最快需要 8 h，故选 B.
答案：B
(3)解：显然 a≠4，当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4 ＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－4－3 a＋4－a＋4 ≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4，＋ ∞)．
高考一轮复习理科数学课件基本不等式
误选项。
图形结合法
对于涉及图形的问题，可以画 出草图帮助理解题意和分析选
项。
填空题答题策略探讨
准确理解题意
明确题目所给条件和要 求，确定解题方向。
注意单位换算
在涉及单位换算的问题 中，要特别注意单位之 间的转换关系，避免出
错。
利用已知条件
尽量利用题目给出的已 知条件进行计算和推导
，减少运算量。
检查答案合理性
XX
PART 05
解题方法与技巧总结
REPORTING
选择题答题技巧分享
01
02
03
04
仔细审题
注意题目中的关键词和物理过 程，分析各选项之间的差异和
联系。
排除法
对于不确定的选项，可以先排 除明显错误的选项，再结合题 目信息和相关知识进行推断。
特殊值法
在某些情况下，可以代入特殊 值进行验证，从而快速排除错
概率模型中的期望和方差计算问题
01
利用基本不等式求期望和方差的界
在概率模型中，经常需要计算随机变量的期望和方差，这时可以利用基
本不等式来求解其上下界。
02 03
概率不等式证明
对于一些复杂的概率模型，可以通过构造不等式来证明其期望和方差的 性质，这种方法往往需要结合概率模型的特点和基本不等式的性质来进 行。
对于任意一组实数，至少有 $frac{1}{n}$的数与它们的平均数 的差的绝对值不超过平均数与这 组数的最大（或最小）值之差的 绝对值，其中$n$为实数的个数 。
切比雪夫不等式的意 义
反映了一组数的离散程度与它们 的平均数之间的关系。
切比雪夫不等式在代 数式中的应用
可以用于估计一组数的取值范围 、证明不等式等。
图形结合法
对于涉及图形的问题，可以画 出草图帮助理解题意和分析选
项。
填空题答题策略探讨
准确理解题意
明确题目所给条件和要 求，确定解题方向。
注意单位换算
在涉及单位换算的问题 中，要特别注意单位之 间的转换关系，避免出
错。
利用已知条件
尽量利用题目给出的已 知条件进行计算和推导
，减少运算量。
检查答案合理性
XX
PART 05
解题方法与技巧总结
REPORTING
选择题答题技巧分享
01
02
03
04
仔细审题
注意题目中的关键词和物理过 程，分析各选项之间的差异和
联系。
排除法
对于不确定的选项，可以先排 除明显错误的选项，再结合题 目信息和相关知识进行推断。
特殊值法
在某些情况下，可以代入特殊 值进行验证，从而快速排除错
概率模型中的期望和方差计算问题
01
利用基本不等式求期望和方差的界
在概率模型中，经常需要计算随机变量的期望和方差，这时可以利用基
本不等式来求解其上下界。
02 03
概率不等式证明
对于一些复杂的概率模型，可以通过构造不等式来证明其期望和方差的 性质，这种方法往往需要结合概率模型的特点和基本不等式的性质来进 行。
对于任意一组实数，至少有 $frac{1}{n}$的数与它们的平均数 的差的绝对值不超过平均数与这 组数的最大（或最小）值之差的 绝对值，其中$n$为实数的个数 。
切比雪夫不等式的意 义
反映了一组数的离散程度与它们 的平均数之间的关系。
切比雪夫不等式在代 数式中的应用
可以用于估计一组数的取值范围 、证明不等式等。
2019版高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式课件【优质ppt版本】
解 ∵log2ab＝1，∴ab＝2， ∴2a＋b≥2 2ab＝4，当 a＝1，b＝2 时，2a＋b 的最 小值为 4.
触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提： “一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
【变式训练 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大
值时 x 的值为( )
1132 A.3 B.2 C.4 D.3
解析
∵
0<x<1
，
∴
x·(3
－
3x)
＝
1 3
·3x·(3
－
3x)≤
1 3
3x＋23－3x2＝34，当 3x＝3－3x，即 x＝12时，x(3－3x)取得 最大值34.选 C.
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 做正数 a，b 的 几何平均数 ．
算术平均数
， ab叫
考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) 2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
触类旁通 求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能 灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元 法．
【变式训练 2】 (1)[2018·珠海模拟]已知 x>0，y>0，x ＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为( )
触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提： “一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
【变式训练 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大
值时 x 的值为( )
1132 A.3 B.2 C.4 D.3
解析
∵
0<x<1
，
∴
x·(3
－
3x)
＝
1 3
·3x·(3
－
3x)≤
1 3
3x＋23－3x2＝34，当 3x＝3－3x，即 x＝12时，x(3－3x)取得 最大值34.选 C.
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 做正数 a，b 的 几何平均数 ．
算术平均数
， ab叫
考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) 2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
触类旁通 求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能 灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元 法．
【变式训练 2】 (1)[2018·珠海模拟]已知 x>0，y>0，x ＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为( )
2025届高中数学一轮复习课件《基本不等式》ppt
(2)2a＋a＋3 b＋a－2 b＝(a＋b)＋(a－b)＋a＋3 b＋a－2 b，∵a>b>0，∴a＋b＋a＋3 b≥2 3，
当且仅当 a＋b＝ 3时等号成立，a－b＋a－2 b≥2 2，当且仅当 a－b＝ 2时等号成立，联
立aa－＋bb＝＝
3， 2，
a＝ 解得
b＝
3＋ 2
3－ 2
2， 2，
a＝ ∴当
高考一轮总复习•数学
第25页
维度 3 常数代换法求最值
典例 3(1)(2024·湖南长沙一中模拟)已知 p，q 为正实数且 p＋q＝3，则p＋1 2＋q＋1 1的最
小值为( )
A．23
B．53
C．74
D．95
(2)(多选)(2024·山东菏泽模拟)已知 a＞0，b＞0，且1a＋1b＝1，则下列说法正确的是( )
高考一轮总复习•数学
第17页
(3)当 x≥2 时，易知 y＝4x－2＋4x－1 5单调递增， x≥2 时，函数的单调性怎么确定呢？转化为复合函数. 即：y＝t＋1t ＋3，t＝4x－5，这 里 t≥3. 由复合函数易知其单调递增． ∴ymin＝4×2－2＋4×12－5＝139.
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 基本不等式a＋2 b≥ ab 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 算术平均数 ， ab叫做正数 a，b 的 几何平均数 ．
高考一轮总复习•数学
当且仅当1a＝1b，即 a＝b＝2 时，等号成立，故 A 错误；因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b＝ (a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当ba＝ab，即 a＝b＝2 时，
当且仅当 a＋b＝ 3时等号成立，a－b＋a－2 b≥2 2，当且仅当 a－b＝ 2时等号成立，联
立aa－＋bb＝＝
3， 2，
a＝ 解得
b＝
3＋ 2
3－ 2
2， 2，
a＝ ∴当
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维度 3 常数代换法求最值
典例 3(1)(2024·湖南长沙一中模拟)已知 p，q 为正实数且 p＋q＝3，则p＋1 2＋q＋1 1的最
小值为( )
A．23
B．53
C．74
D．95
(2)(多选)(2024·山东菏泽模拟)已知 a＞0，b＞0，且1a＋1b＝1，则下列说法正确的是( )
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(3)当 x≥2 时，易知 y＝4x－2＋4x－1 5单调递增， x≥2 时，函数的单调性怎么确定呢？转化为复合函数. 即：y＝t＋1t ＋3，t＝4x－5，这 里 t≥3. 由复合函数易知其单调递增． ∴ymin＝4×2－2＋4×12－5＝139.
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理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
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一 基本不等式a＋2 b≥ ab 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 算术平均数 ， ab叫做正数 a，b 的 几何平均数 ．
高考一轮总复习•数学
当且仅当1a＝1b，即 a＝b＝2 时，等号成立，故 A 错误；因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b＝ (a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当ba＝ab，即 a＝b＝2 时，
高考数学一轮总复习第6章6.4基本不等式课件理165.ppt
(2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
考向 利用基本不等式解决实际问题 例 3 [2017·湖南模拟]某项研究表明：在考虑行车安全 的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆 数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行 驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式 为 F＝v2＋761080v0＋v20l.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为_1_9_0_0__ 辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车 流量增加__1_0_0____辆/小时．
[解析] (1)当 l＝6.05 时，F＝v2＋187v6＋ 00200v×6.05，
∴
F
＝
76000v v2＋18v＋121
2．若 0≤x≤6，则 f(x)＝ x8－x的最大值为(
)
16 A. 3
B．4
43 C. 3
D. 5
解 析 ∵ 0≤x≤6 ， ∴ 8 － x>0 ， ∴ f(x) ＝ x8－x ≤x＋28－x＝4，当且仅当 x＝8－x，即 x＝4 时，等号成立．
故 f(x)的最大值为 4.
3．[课本改编]若 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝n 处取得最小
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值 范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到， 可利用函数的单调性求解．
【变式训练 3】 某厂家拟在 2018 年举行促销活动， 经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与 年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x＝3－m＋ k 1(k 为常数)，如果 不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投入为 8 万元．每生产一万件该 产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为 每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再 投入两部分资金)．
高考数学一轮复习 6.4基本不等式课件 文 湘教版
3/24/2019
a 2 b2 (3) 2
(4) (5)
≥
ab (a,b∈R ); 2
(a,b 同号且不为零).
2
b a ≥ a b
2
2 a 2 b2 a b + ≥ ≥ ab ≥ (a, b∈R ) 1 1 2 2 a b
上述五个不等式等号成立的条件是什么?
即(x+2y)min=4，故选 B. 【答案】 B
3/24/2019
4. (2014·广州模拟)若正实数 a，b 满足 ab＝2，则(1＋2a)(】(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2，2 ab ＝9. 当且仅当 2a＝b，即 a＝1，b＝2 时取等号. 【答案】9
1 1 （2）已知 a＞0，b＞0，a+b=1，求证： ≥4. a b
（3）已知 a，b＞0，求证：
3/24/2019
a b 4 . b2 a 2 a b
bc ac ab bc ac ， ， 都是正数.∴ + ≥2c,当且 a b c a b ac ab ab bc 仅当 a=b 时等号成立, + ≥2a,当且仅当 b=c 时等号成立, + ≥2b,当且仅当 b c c a
3.（2010·重庆卷）已知 x>0,y>0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值（ A.3 B.4 C.
9 2
2
2.已知 0＜x＜1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值为 1 3 1 2 A. B. C. D. 2 4 3 3
()
2
）
D.
11 2
x 2y 【解析】 8=x+2y+x·2y≤x+2y+ ， ，故解得：x+2y≥4，或 x+2y≤-8（舍） 2
高考数学一轮复习 第6章 第4节 基本不等式课件 新人教A版
精选ppt
11
【解析】 应用基本不等式：x，y∈R＋，x＋2 y≥ xy(当且仅 当 x＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等 号的条件．
当 x>0 时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以 lgx2＋14≥lg x(x>0)，故选 项 A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 x≠kπ，k∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不
D 不正确，∵x＜0，∴－x＞0
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16
∴y＝2－3x－4x＝2＋－3x＋－4x≥2＋4 3.
当且仅当－3x＝－4x，即 x＝－233时等号成立．
(2)由 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，得53x＋51y＝1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)53x＋51y
＝153＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5，
精选ppt
3
由公式 a2＋b2≥2ab 和 ab≤a＋2 b可以引申出的常用结论
(1)ba＋ab≥2(a，b 同号)；
(2)ba＋ab≤－2(a，b 异号)；
(3)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)(或 ab≤a＋2 b
2≤a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
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)
14
(2)(2014·贵阳模拟)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y
的最小值是( )
24 A. 5
28 B. 5
C．5
D．6
【思路点拨】 (1)借助均值不等式的使用条件“一正、二定、
三相等”逐一判断．(2)将条件变形53x＋51y＝1，然后注意“1”的代
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
+
+
则
所以
<
+
<
−
−
< <
<
+
−
−
<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+
基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和
( − ) 的最大值
( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件
重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +
当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法
的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =
+
，求
+
则
所以
<
+
<
−
−
< <
<
+
−
−
<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+
基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和
( − ) 的最大值
( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件
重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +
当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法
的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =
+
，求
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x1
x1
2 2当2且，仅当x=1+ 时取2 等号.故选C.
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12
4.已知x,y>0且x+4y=1,则 1 1 的最小值为( )
xy
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】选B.因为x,y>0且x+4y=1,
所以 1 1 (1 1 )x 4 y 1 4 y x 4 24 y x 5 9 ,
ab
范围是
.
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17
【解题视点】(1)利用基本不等式可解.
(2)利用基本不等式先求 x的y 取值范围,从而可求xy的最大值.
(3)一种思路是根据 1 1 将 3a，+b中的b用a表示,然后用基本
ab
不等式求范围;另一种思路是对 1 1变 形3 ,获得a+b与ab的
ab
关系,然后利用基本不等式消去ab建立a+b的不等式求解.
3
9 3 6
1
【解析】选D.由基本不等式可得 xy(xy)2 (3)2 1，
2
2 36
当且仅当x=y=1 时,xy取最大值 1 .故选D.
6
36
完整版ppt
11
3.若x>1,则 x 2 1 的最小值是( )
x 1
A . 2 2 B . 2 2 1 C . 2 2 2 D . 4
【解析】选C.由x>1得x-1>0,则x21x122
第四节 基本不等式
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1
完整版ppt
2
【知识梳理】
1.基本不等式: ab a b
2
(1)基本不等式成立的条件是_a_>_0_,_b_>_0_.
(2)等号成立的条件:当且仅当_a_=_b_时取等号.
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3
2.常用的几个重要不等式
(1) ab(ab)2a,bR.
2
(2)a+b≥__2__a_b__(a>0,b>0).
(3)a2+b2≥_2_a_b_(a,b∈R).
(4) a2b2(ab)2aba,b R .
22
以上不等式等号成立的条件均为a=b时取得.
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4
3.算术平均数与几何平均数
算术平均数
几何平均数
a>0,b>0 关系
ab
____2 ____
____a_b___
两个正数的算术平均数_不__小__于__它们的
7
⑤若a≠0,则
a2
1 a2
的最小值为2.
其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.③⑤
D.④⑤
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8
【解析】选D.①错误.当x<0时,函数值一定为负,最小值不是2.
②错误.当ab<0时,仍有(a b)2因 0此，对于不等式
2
当a,b中有0或一个负数时也是成立的.
ab (a b)2， 2
答案:5
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15
6.已知a,b∈(0,+∞),且满足8a+2b=ab-9,则ab的取值范围
是
.
【解析】由a,b∈(0,+∞)可得ab-9=8a+2b≥8 a b , 即ab-8 a-b 9≥0,
故 a b 9a b 1 0 ,得 a b 9 ,
故ab≥81,等号成立的条件是b=4a=18.
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18
【规范解答】(1)选A.因为a>0,b>0,所以ab>0,所以1 a 2 b 2
ab
1ab2 等1号ab当且2,仅当ab=1时取得.
ab
ab
(2)因为 1xy2xy 所2以xxyy ≤3x,y 当， 且仅当
3 4 34 12 3
x 即y , x= ,y=3 2时取等号,故xy的最大值为3.
简记:积定和最小.
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6
【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
①函数y=x+ 1 的最小值是2;
x
②ab≤ ( a b ) 2 成立的条件是ab>0;
2
③函数f(x)=cosx+ 4 ，x(0,) 的最小值等于4;
cos x
2
④x>0且y>0是 x y 2 的充分不必要条件;
yx
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③错误.虽然由基本不等式可得 fxcosx 4
cos x
2 cos x 4但由于4，其中的等号成立的条件是
cos x
cos x 4 ， cos x
即cosx=2,但这显然不成立,所以不能说函数的最小值是4.
完整版ppt
9
④正确.当x>0且y>0时一定有x y 但2，当 x 时y,不 2一
yx
几何平均数
完整版ppt
5
4.利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b为正实
M2
数,且a+b=M,M为定值,则ab≤__4__,等号当且仅当_a_=_b_时成立. 简记:和定积最大.
(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为正实 数,且ab=P,P为定值,则a+b≥_2___P _,等号当且仅当_a_=_b_时成立.
千米处.
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14
【解析】设仓库到车站的距离为x千米,由题意设
y1
Байду номын сангаас
yk 12,=
x
k2x,而当x=10时,y1=2,y2=8,于是k1=20,k254 = ,因此y12=x 0
4 x,所以
5
y1y22 x 04 5 x 当且2仅16 当x8,=5时取等号,所
以仓库应建在离车站5千米处.
,y2=
34
2
答案:3
完整版ppt
19
(3)方法一:由 1 1得 a3+b=3ab,所以 b 由于a a，>0,b>0,
ab
3a 1
1
可得a>1 .于是 aba a a 3 1a1
答案:[81,+∞)
完整版ppt
16
考点1 利用基本不等式求最值
【典例1】(1)(2014·福州模拟)已知a>0,b>0,则 1 a 2 b 2 的最
ab
小值是( )
A.2
B. 2 2
C.4
D.5
(2)已知x,y∈R+,且满足 x y 1，则xy的最大值为
.
34
(3)(2014·余姚模拟)已知正数a,b满足 1 1 3，则a+b的取值
yx
定有x>0且y>0,所以x>0且y>0x是 y 2 的充分不必要条件.
yx
⑤正确.因为a≠0,所以a2>0,所以 a2 a12 2 a等2号a12成2, 立的条件是a=±1.
完整版ppt
10
2.若x>0,y>0,且x+y= 1 ,则xy的最大值为( )
3
A .23 B .23 C .1 D .1
xyxy
xy xy
当且仅当 x 1 , y时 取1 等号.
36
完整版ppt
13
5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离 成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比, 如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万 元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站