高三数学一轮复习 6.4基本不等式课件

ab
范围是
.
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17
【解题视点】(1)利用基本不等式可解.
(2)利用基本不等式先求 x的y 取值范围,从而可求xy的最大值.
(3)一种思路是根据 1 1 将 3a，+b中的b用a表示,然后用基本
ab
不等式求范围;另一种思路是对 1 1变 形3 ,获得a+b与ab的
ab
关系,然后利用基本不等式消去ab建立a+b的不等式求解.
③错误.虽然由基本不等式可得 fxcosx 4
cos x
2 cos x 4但由于4，其中的等号成立的条件是
cos x
cos x 4 ， cos x
即cosx=2,但这显然不成立,所以不能说函数的最小值是4.
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④正确.当x>0且y>0时一定有x y 但2，当 x 时y,不 2一
yx
yx
定有x>0且y>0,所以x>0且y>0x是 y 2 的充分不必要条件.
yx
⑤正确.因为a≠0,所以a2>0,所以 a2 a12 2 a等2号a12成2, 立的条件是a=±1.
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10
2.若x>0,y>0,且x+y= 1 ,则xy的最大值为( )
3
A .23 B .23 C .1 D .1
千米处.
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【解析】设仓库到车站的距离为x千米,由题意设
y1
yk 12,=
x
k2x,而当x=10时,y1=2,y2=8,于是k1=20,k254 = ,因此y12=x 0
4 x,所以
5
y1y22 x 04 5 x 当且2仅16 当x8,=5时取等号,所
以仓库应建在离车站5千米处.
,y2=
简记:积定和最小.
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6
【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
①函数y=x+ 1 的最小值是2;
x
②ab≤ ( a b ) 2 成立的条件是ab>0;
2
③函数f(x)=cosx+ 4 ，x(0,) 的最小值等于4;
cos x
2
④x>0且y>0是 x y 2 的充分不必要条件;
yx
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答案:[81,+∞)
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考点1 利用基本不等式求最值
【典例1】(1)(2014·福州模拟)已知a>0,b>0,则 1 a 2 b 2 的最
ab
小值是( )
A.2
B. 2 2
C.4
D.5
(2)已知x,y∈R+,且满足 x y 1，则xy的最大值为
.
34
(3)(2014·余姚模拟)已知正数a,b满足 1 1 3，则a+b的取值
34
2
答案:3
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19
(3)方法一:由 1 1得 a3+b=3ab,所以 b 由于a a，>0,b>0,
ab
3a 1
1
可得a>1 .于是 aba a a 3 1a1
第四节 基本不等式
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1
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2
【知识梳理】
1.基本不等式: ab a b
2
(1)基本不等式成立的条件是_a_>_0_,_b_>_0_.
(2)等号成立的条件:当且仅当_a_=_b_时取等号.
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3
2.常用的几个重要不等式
(1) ab(ab)2a,bR.
2
(2)a+b≥__2__a_b__(a>0,b>0).
几何平均数
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5
4.利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b为正实
M2
数,且a+b=M,M为定值,则ab≤__4__,等号当且仅当_a_=_b_时成立. 简记:和定积最大.
(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为正实 数,且ab=P,P为定值,则a+b≥_2___P _,等号当且仅当_a_=_b_时成立.
3
9 3 6
1
【解析】选D.由基本不等式可得 xy(xy)2 (3)2 1，
2
2 36
当且仅当x=y=1 时,xy取最大值 1 .故选D.
6
36
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11
3.若x>1,则 x 2 1 的最小值是( )
x 1
A . 2 2 B . 2 2 1 C . 2 2 2 D . 4
【解析】选C.由x>1得x-1>0,则x21x122
xyxy
xy xy
当且仅当 x 1 , y时 取1 等号.
36
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13
5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离 成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比, 如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万 元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站
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【规范解答】(1)选A.因为a>0,b>0,所以ab>0,所以1 a 2 b 2
ab
1ab2 等1号ab当且2,仅当ab=1时取得.
ab
ab
(2)因为 1xy2xy 所2以xxyy ≤3x,y 当， 且仅当
3 4 34 12 3
x 即y , x= ,y=3 2时取等号,故xy的最大值为3.
答案:5
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6.已知a,b∈(0,+∞),且满足8a+2b=ab-9,则ab的取值范围
是
.
【解析】由a,b∈(0,+∞)可得ab-9=8a+2b≥8 a b , 即ab-8 a-b 9≥0,
故 a b 9a b 1 0 ,得 a b 9 ,
故ab≥81,等号成立的条件是b=4a=18.
7
⑤若a≠0,则
a2
1 a2
的最小值为2.
其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.③⑤
D.④⑤
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8
【解析】选D.①错误.当x<0时,函数值一定为负,最小值不是2.
②错误.当ab<0时,仍有(a b)2因 0此，对于不等式
2
当a,b中有0或一个负数时也是成立的.
ab (a b)2， 2
(3)a2+b2≥_2_a_b_(a,b∈R).
(4) a2b2(ab)2aba,b R .
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以wenku.baidu.com不等式等号成立的条件均为a=b时取得.
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4
3.算术平均数与几何平均数
算术平均数
几何平均数
a>0,b>0 关系
ab
____2 ____
____a_b___
两个正数的算术平均数_不__小__于__它们的
x1
x1
2 2当2且，仅当x=1+ 时取2 等号.故选C.
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12
4.已知x,y>0且x+4y=1,则 1 1 的最小值为( )
xy
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】选B.因为x,y>0且x+4y=1,
所以 1 1 (1 1 )x 4 y 1 4 y x 4 24 y x 5 9 ,