习题解答--第二章 牛顿定律

一、选择题2-4 下列说法中，哪个是正确的 [ ] （A ）物体总是沿着它所受的合外力方向运动； （B ）物体的加速度方向总与它受的合外力方向相同；（C ）作用在物体上的合外力在某时刻变为零，则物体在该时刻的速度必定为零； （D ）作用在物体上的合外力在某时刻变为零，则物体在该时刻的加速度也可能不等于零。

解答 根据∑=iia m F，加速度的方向与合外力的方向相同，而物体的运动方向则是速度的方向。

在一般情况下，速度的方向不一定与加速度的方向相同。

如竖直上抛中，物体上升时，力和加速度的方向向下，而速度方向却向上。

牛顿第二定律阐述了力对物体的瞬时作用规律，加速度和所受的合外力是同一时刻的瞬时量。

作用在物体上的合外力在某时刻变为零，则加速度也同时变为零，力和速度没有直接的联系。

所以应选（B ）。

2-5 下列说法中，哪个是正确的 [ ] （A ）物体受几个力的作用一定产生加速度； （B ）物体的速度越大，它所受的力一定也越大；、（C ）物体的速率不变，它所受的合外力一定为零； （D ）物体的速度不变，它所受的合外力一定为零。

解答 根据∑=iim ，合外力为零，则加速度也为零，物体保持原来的匀速直线运动，即不变。

物体受几个力作用时，若∑⋅==ii-2s m 00，则，但力和速度却没有直接关系。

且物体的速率不变，但方向可能改变，不能保持匀速直线运动状态，则它受的合外力就不一定为零。

所以应选（D ）。

2-6 当煤块自上而下不断地落入一节正在沿平直轨道运动的货车中时，货车受恒定的牵引力T F 的作用，不计一切摩擦，则在上述装煤过程中，（A ）货车的加速度逐渐减小，而速度逐渐增大； （B ）货车的加速度逐渐减小，速度也逐渐减小；（C ）货车的加速度逐渐减大，加速度也逐渐增大； （D ）货车的加速度逐渐减大，而速度逐渐减小； 解答 根据牛顿第二定律,TT F a Fm a m=恒定，增大，值减小，但方向不变，与速度同向，所以υ仍增大，应选（A ）。

2-7 两种材料之间的静摩擦系数μ通常用实验方法来测定，如图2-6所示。

斜面A 可以绕O 轴转动，与水平面成任意倾角，在斜面上放一重力为W 的金属块，改变倾角，若保持物体不在斜面A 上滑动的最大倾角为a ，则物体与斜面间的静摩擦系数μ为 [ ]>（A ）tan α （B ）cot α （C ）sin α （D ）cos α解答 物体受重力g m W =，斜面的支承力N F ，物体相对斜面有向下的滑动趋势，故存在着与此方向相反的静摩擦力f0F ，其方向沿斜面向上。

选Oxy 坐标系，如图2-7所示，按f0,cos F =sin ,N F ma F mg mg αα==，解得f0tan NF F α=由于f0fmax ,tan NN NF F F F F μμαμ==≤则有≤。

通常用这种方法可测定两种材料间的静摩擦系数μ，所以选（A ）。

2-8 如图2-8所示，质量均为m 的物体A 和B 用轻弹簧相连接，物体A 用细绳吊在天花板上。

物体A 和B 原先铅垂地处于静止状态，若细绳在C 处被绕断，则在段开的瞬间，物体A 和B 的加速度大小A B a a 和分别为 [ ]（A ）0,;A B a a g == （B ）2,;A B a g a g == （C ）2,0;A B a g a == （D ）g a a B A 2,0==。

解答 细绳绕断的一瞬间，绳的拉力N F T 0=,弹簧仍处于拉伸状态，物体 B 仍处于平衡状态，物体A 受力不平衡。

分析物体A 和B 受力情况，A 受重力g m W =和弹性T F ，方向竖直向下；B 受重力g m W =和弹性T F ，方向竖直向上。

选Ox 轴竖直向下，如图2-9所示，按a m F =，可列出物体A A T ma F mg =+；…物体B N 0==-B T ma F mg ；解之得22,0;A B g a m s α-==⋅，所以应选（C ）。

2-10 一水平转台绕铅直中心轴作匀角速转动，转台上与转轴相距为r 处放一小物块。

设物块与转台之间的静摩擦系数数为μ，如果物块不滑动，则转台的最大旋转角速度为[ ]（A ;gr μ （B ;g μ （C ;r μ （D grμ。

解答 物块随转台绕轴作圆周运动，物块不滑动，静摩擦力充当了向心力，则有2,gmg mr rμμωω==D ）。

2-11 设空敢阴力不坟，空气的浮力不变，一卸一示总质量为M （包括压舱沙袋），以在小为a 的加速度铅直下降，今令人喷饭使它以大小为a 的加速度铅直上升，则应从气球中掹掉沙袋的质量为 [ ] （A ）2;M g a α+ （B ）;M g a α+ （C ）2;M g α （D ）M gα。

解答 分析加速下降和抛沙袋拍后加速上升时气球的受力情况，设抛出沙袋的质量为m ，列牛顿第二定律，即加速下降Ma F Mg =-浮？加速上升()()a m M g m M F -=--浮联立求得 ag Mam +=2 所以应选（A ）2-12 一质量10kg 的物体在力()i t F 40120+=()SI 作用下沿Ox 轴作直线运动，在0t s =时，其速度时，则s 36==t i υ，它的速度为 [ ]解答 按题意，在变力作用下，物体的加速度不是恒量，需用积分来求解。

由牛顿第二定律m =，有dtd 1040120υ=+t对上式分离变量，并按题设条件，两边积分之，有⎰⎰+=tdt t 0)412(d 3υυυ初始条件为，，时，s 3s m 6s 0-10=⋅==t t υ，则有设速度为3υ 661254|4663023=+=+=-t t υ!由此得-13s m 72666⋅=+=υ，所以应选（C ）。

2-13 质量为m 的一辆机车沿平直轨道行驶，速度达到0υ时开始受空气阻力，大小为,T F k k υυ=式中为恒量，为机车速率，其他阻力不计，则其末速度随时间的变化规律为[ ]（A ）t mk -0e+=υυ （B ）0=;k meυυ--（C ）0=;kt mυυ （D ）t m k -=e 0υυ解答 由a m F =有t mkt t mk t m k m k -=⇒-=⇒-=⇒=-⎰⎰e ln d d dt d 0000υυυυυυυυυυ，所以应选（D ）。

三、填空题2-15 一质量为5kg 的物体，其运动方程为()t SI 362-=分别为Ox Oy 、轴正方向的单位矢量。

则物体所受力的大小F = ，其方向为 。

解答 由可得,6dtd 6dt d 362t t -==-==-=υυ ma F N 30)6(5-=-⨯==所以 F=30N,方向沿Oy 轴负方向。

￥2-16 一木块在倾角α的斜面上能以匀速0υ滑下，若使它以速率0υ沿斜面上滑，则它沿该斜面能够上滑的距离x 为 。

解答 当匀速下滑时，分析木块受力情况，如图2-13所示。

设滑动摩擦系数为μ，由，得ααμsin cos mg mg =αμtan =若以0υ沿斜面上滑时，木块受力情况如图2-14所示，上升到距离x 时速度为零，据此有axma mg mg 2s m 0)sin cos (202-2=-⋅=+-υααμ解得αυαυααμυυsin 4)sin 2(2)sin cos (2220202020g g g a x ==+--=-=2-17一质量10kg 的物体沿Ox 轴自静止开始运动，在Ox 轴方向所受的力为24()X F x SI =+ ，则物体在移动2m 时的速度大小υ= 。

解答 根据，有，xx m m F mm X d d dt d dt d dt d υυυ==== 、2(24)x dx m d υυυ+=⎰⎰按题设数据可算出11.55m s υ-=⋅2-18 一单摆的摆长为l ，摆锤的质量为m ，如图2-15所示 。

当单摆在摆动过程中，摆锤相对于平衡位置O 路径随时间t 的变化规律为00,gs s t s l=式中为正的恒量，则摆锤经低点时，摆线中的拉力T F = 。

解答 0gs s t l=由可得t lgl g s s a t l g l g s s t sin dt d cos dt d 0220-====υ达最低位置时，s =0m ，所以2gt k lπ=由此得 s υ=±？又由m =，有222T g F mg mms ll υ-== 由此可得2021T s F mg l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2-19 如图示，半径为R 、内表面光滑的半球形碗的内壁上，有一质量为m 的小球正以角速度ω在一水平面作匀速圆周运动。

求该小球作圆周运动的水平面离碗底的高度h =。

解答 选坐标系Oxy ，小球受两个力作用：重力m =和碗的支承力N ,图如2-17所示，按m =,分别列出Ox 、Oy 轴方向的分量式，即N 0cos sin 2=-=mg F mr F N N θωθ，将θsin R r =代入，解得2cos g Rθω=，所以()2cos 1ωθgR R h -=-=2-20 如图2-18所示，提升矿石用的传送带与水平面成倾角α，设传送带以加速度α运动。

为了使矿石在传送带上不滑动，则矿石与传送带之间的摩擦系数μ至少应为 。

解答 分析矿石受力情况，如图2-19所示，根据ma mg mg a m F =-=ααμsin cos 有，所以四、计算题：2-21 如图2-20所示，一质量为m 的物体置于水平地面上，已知物体与地面之间的摩擦系数为μ，试求拉力T 与水平方向的夹角ϕ为多大时，用力最省。

解答 选择坐标系Oxy ，物体受力情况如图2-21所示。

设物体沿Ox 轴正向运动，加速度为α，由m =，分别列出沿Ox 、Oy 轴的分量式，即NT N T F F mg F F maF F μϕϕ==-+=-f f 0sin cos 联解上列各式得cos sin T mgF μϕμϕ=+为了求T F 的最小值，可求cos sin ϕμϕ+的极大值，令cos sin y ϕμϕ+=，令0sin cos d d =-=ϕϕμϕy得arctan ϕμ=又~2arctan arctan 2(sin cos )d y d ϕμϕμμϕϕϕ===--故当tan ϕμ=时，所需拉力T F 为最小。

2-22 如图2-22所示，一根不可伸长的轻绳跨过一个定滑轮，两端挂有质量分别为M 和m 的物体A 和B ，且M >m ，托住物体A ，并由静止释放。

若滑轮的质量及一切摩擦均不计，试求：（1）绳子的张力T F 和系统的加速度a ；（2）物体A 的运动函数。

解答 （1）分析两物体的受力情况，以地面为参考系，分别以加速度方向为正方向如图2-23所示，按a m F =列出Ma F Mg ma mg F T T =-=-，联立求得2T M ma g M mMm F gM m-=+=+（2）已知初始条件，100,0t s m s υ-==⋅，以物体A 开始运动时的位置为坐标原点，则物体的初始位置为00x m =，取Ox 轴向下为正方向。