八年级数学知识点：黄金分割数
黄金分割数(老黄讲数学)
黄金分割数
在古希腊时期，有一天毕达 哥拉斯走在街上，经过铁匠 铺前时，他听到铁匠打铁的 声音非常好听，于是驻足倾 听。他发现铁匠打铁节奏很 有规律，这个声音的比例被 毕达哥拉斯用数学的方式表 达出来.
毕达哥拉斯 约公 元前580~~约前 500年 古希腊数 学家、哲学家1
概念 如图，在线段AB上找一个点C，使 AC:CB=CB:AB（或CB2=AB ·AC）,
应用 4、优选法——0.618法 例如：甲在1000以内任写一数，让乙猜， 乙每次说出一个数，甲要告诉他，这个 数大了，还是小了.
(1)如果乙按500, 250, 125…的顺序，每 次都猜中位数，则一定需要10次才能猜
中.(除非所写的正好是一个中位数)
应用 4、优选法——0.618法 例如：甲在1000以内任写一数，让乙猜， 乙每次说出一个数，甲要告诉他，这个 大了，还是小了.
A
C
B
这个比例就称为黄金比例(或黄金分割).
点C就称为线段AB的黄金分割点.
探究 黄金比例的值是多少呢？
A
C
B
可设AB=1，CB=x，则AC=1-x，
则(1-x):x=x:1，即x2+x-1=0，解得：
x1=
(舍去), x2=
这个值就称为黄金分割数.
≈0.618.
应用 1、五角星中存在黄金分割数：
如图，
A
△AMN∽△BFN∽△BDE； B N M E
AN=NB，DE=BM.
F
C
D
应用 2、有一位科学家曾提出： 在一棵树的生长过程中，
n年后的树枝数目 n+1年后的树枝数目
约是黄金分割数.
应用 3、一些美术家认为： 人的上、下身长之比接近黄金分割数， 就可以增加美感.
黄金分割法公式
黄金分割法公式
黄金分割法公式指的是指将一条线段分成两部分，其中较长部分与整条线段之比等于较短部分与较长部分之比，这个比例近似于
1:0.618。
黄金分割法公式可以表示为：
a/b = (a+b)/a = 1.618
其中a为较长部分长度，b为较短部分长度，1.618为黄金分割比例。
黄金分割法广泛应用于数学、艺术、建筑等领域，在设计中经常用来确定比例、尺寸和形状，以达到美学上的平衡和和谐。
黄金分割法也被认为是自然界中最常见的比例，如花瓣数量、植物枝干分支等等都具有黄金分割的特征。
黄金分割法的数学理论
ＡＢ ｂｂａ-ｂ ａ 黄金分割法的数学理论０．６１８０３３９８８……一个极为迷人而神秘的数字，它有着一个很动听的名字——黄金分割率。
黄金分割由２５００多年前古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯提出，并由数学家欧几里德第一次用几何的方法给出了计算。
古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。
这个数值不但在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面都发挥着不可忽视的作用。
（一） 黄金分割点的计算设一条线段ＡＢ的长度为ａ，Ｃ点在靠近Ｂ点的黄金分割点上且ＡＣ为ｂ，则： ＡＣ/ＡＢ=ＢＣ/ＡＣ ｂ^２=ａ×(ａ-ｂ)ｂ^２=ａ^２-ａｂａ^２-ａｂ+(１/４)ｂ^２=(５/４)×ｂ^２(ａ-ｂ/２)^２=(５/４)ｂ^２ ａ-ｂ/２=（√５/２）×ｂａ-ｂ/２=(√５)ｂ/２ａ=ｂ/２+(√５)ｂ/２ａ=ｂ(√５+１）/２ ｂ/ａ=(√５-１）/２人们常用希腊字母表示黄金比值。
根据定义，如果假设ａ是单位长度，那么，即有:黄金分割奇妙之处，在于其倒数为自身减１。
例如：１．６１８的倒数是０．６１８，恰为１．６１８-１。
因为：归纳一下，黄金分割存在以下特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即０．６１８。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于１．６１８。
（4）１．６１８与０．６１８互为倒数，其乘积则约等于１。
（5）任一数字如与后两数字相比，其值趋近于２．６１８；如与前两数字相比，其值则趋近于０．３８２。
（二）黄金分割中的数学思想●『斐波那契数列』说起黄金分割，就不得不提起大名鼎鼎的斐波那契数列。
斐波那契数列指的是这样一个数列：１，１，２，３，５，８，１３，２１……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(１/√５)×{[(１+√５)/２]^ｎ - [(１-√５)/２]^ｎ}斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？实际上，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
黄金分割比例公式
.
黄金分割律,又名黄金率,即把已知线段分成两部分,使其中一部分对于全部的比等于其余一部分对于这部分的比.最基本的公式就是把1分割成0.618与0.382,尔后再依据实际情况变化,再演变成其他的计算公式.
黄金分割律是公元前六世纪,希腊的大数学家毕达哥拉斯发现的.它的基本内容可以这样解释：如果把一条线段分成两部分,长段和短段的长度之比是1:0.618,整条线段和长段的比也是1:0.618时,才是和黄金一样最完美的分割,进行分割的这个点就叫黄金分割点.
计算公式(5^0.5-1)/2＝(2.236-1)/2=0.618
.。
初中数学《6、2黄金分割》知识点+教案课件+习题
知识点：数学定义把一条线段分成两段，使其中较长的一段是原线段与较小一段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
如图，C为线段AB上一点，如果有则点C叫做线段AB的黄金分割点。
设AB=1, AC=x，则解得，称之为黄金比，也叫中末比、中外比、黄金率。
我国古代称为弦分割。
黄金比的数值后人还称为黄金数。
视频教学：练习：1．(1)如图，若点C是AB的黄金分割点，AB＝1，则AC≈_______，BC≈_______．(2)－条线段的黄金分割点有_______个．2．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为_______℃（精确到1℃）．3．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽约等于_______．（精确到0.1）4．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<pb，则 </pb，则( )A．AP2＝AB·PB B．AB2＝AP·PBC．PB2＝AP·AB D．AP2＋BP2＝AB25．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为 ( ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm课件：教案：一、教学目标1．了解黄金分割的概念，求作任意线段的黄金分割点；2．进一步理解线段的比，增强知识的综合运用能力．二、教学过程1.自主先学，温故知新蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感．请你量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB 的比值．上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽，现请你度量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值．通过计算，你有何发现？观察习题6.1第5题“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学喜欢哪一个矩形？你能说明喜欢的理由吗？2.组织互学，巩固提高例1.如图，点B在线段AC上，且．设AC＝1，求AB的长．说一说像上图那样，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割（golden section），点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC（或BC 与AB）的比值称为黄金比．在计算中，通常取它的近似值0.618．3.提升研学，适度强化议一议(1)．如图：点B是线段AC的黄金分割点，线段AC还有黄金分割点吗？若有，你能找出它吗？这两个黄金分割点有何特点？注：一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的．(2)．如果把化为乘积式是怎么样的？结合图形你怎么理解它？(3)．你对多数同学选择喜欢这个矩形找到原因了吗？长与宽的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，这种矩形给人以美感．你能举例说一说生活中有哪些黄金矩形吗？做一做1．如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝100cm，则BC＝_______________cm.2．如图，点B在线段AC上（AB＞BC）若AB＝2，BC＝a－1，则当a为何值时，点B是线段AC的黄金分割点？4.迁移再学，拓展延申例2. (1) 如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以点C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于点D，再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于点E.求证：＝ (比值叫做AE与AB的黄金比).(2) 如果一个等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图②中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC(不写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字母进行标注).5.当堂训练，及时反馈(1). 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则()A. AP2＝AB·PBB. AB2＝AP·PBC. PB2＝AP·ABD. AP2＋BP2＝AB2(2). 如图，C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，AB＝AE.若矩形EACD的面积为8，则正方形GCBF的周长为()A. 8B. 2C. 4D. 8(3). ①一条线段的黄金分割点有个；②如图，若B是线段AC的黄金分割点(AB＞BC)，AC＝20 cm，则AB的长为cm.(4). 据有关实验测定，当气温与人体正常体温(37 ℃)的比为黄金比时，人体感到最舒适，这个气温约为℃(精确到1 ℃).(5). 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士的身高为165 cm，下半身长x cm与身高l cm的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为cm(精确到1 cm).(6).如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D、E是边BC的两个黄金分割点，求△ADE的面积.6.归纳小结，颗粒归仓（1）知识层面：（2）方法层面：。
初中黄金分割点公式
初中黄金分割点公式
初三数学黄金分割公式是是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，用分数表示为√5减1除以2，取其前三位数字的近似值是0点618，由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这个分割点就叫做黄金分割点，通常用Φ表示，这是一个十分有趣的数字，以0点618来近似表示，通过简单的计算就可以发现1减0点618除以0点618约等于0点618，即一条线段上有两个黄金分割点。
黄金分割数列公式及原理
黄金分割数列公式及原理
哎呀呀，说起黄金分割数列公式及原理啊，这可真是个有意思的东西呢！
你知道吗，就好像我们平常吃的巧克力，一块一块的，那黄金分割数列就像是把这些巧克力按照一种特别的方式排列起来。
想象一下哈，我们从第一个巧克力开始，然后呢，后面一个巧克力的大小呀，就跟前一个巧克力有个特定的关系，就好像它们之间有根隐形的线牵着一样。
比如说吧，第一个巧克力是 1，那下一个巧克力可能就是 1 加上前面那个 1 呀，就变成 2 啦，然后再下一个呢，就是前面两个巧克力的和，也就是 1 加 2 等于 3 啦。
再接着呢，就是 2 加 3 等于 5，3 加 5 等于 8，就这么一直延续下去。
这就是黄金分割数列啦！
这就好像我们走路一样，一步一步的，每一步的距离都有那么点特别的规律。
而且啊，你会发现这个数列越往后，数字之间的比例就越接近那个神奇的黄金分割比例呢！就好像大自然中的很多东西，花呀、叶子呀，它们的生长好像都遵循着这个规律呢。
哎呀，我也说不太清楚啦，但就是觉得这黄金分割数列真的好神奇呀，就像生活中的小惊喜一样，等着我们去发现和探索呢！嘿嘿！
怎么样，我这样说是不是让你对黄金分割数列公式及原理有点感觉啦？哈哈！。
黄金分割资料
黄金分割是一个古老的数学方法。
对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。
什么叫黄金分割把线段AB分成两条线段AC和CB（AC＞CB），且CB比AC的比值等于AC比AB 的比值时,(比值约等于0.618),那么，线段AB被点C分割成黄金比。
点C叫做线段AB的黄金分割点。
“0.618”叫做黄金分割数。
一、形形色色的黄金分割【建筑】早在公元前五世纪，希腊建筑家就知道0.618的比值是协调，平衡的结构。
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。
但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。
古时候的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金数的比来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观。
黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。
在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。
古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑。
建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。
连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。
高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。
【艺术】1483年左右，达芬奇画的一副未完成的油画，包围着圣杰罗姆躯体的黑线，就是一个黄金分割的矩形，当时达芬奇似乎有意利用这一黄金分割的比值。
“检阅”是法国印象派画家舍勒特的一副油画，它的画杠结构比例也正是0.618的比值。
英国在画家斐拉克曼的名著《希腊的神话和传说》一书中，工绘有96幅美人图。
每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿。
如果仔细量一下她们的比例也都也雅典娜相似。
画家们发现，按0.618∶1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。
八年级数学-比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a dc b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
8．三角形一边的平行线：△ABC 中，DE ∥BC 那么1、EC AE DB AD = 2、BC DE AC AE AB AD == 3、ACEC AB DB = 9、三角形一边的平行线的判定：△ABC 中，EC AE DB AD = AC AE AB AD = ACEC AB DB = 知其一，则DE ∥BC 10、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.c c bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知dc b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b =c 2∶d 2 B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
八年级数学黄金分割
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 的宽与长之比也接近0.618;
普通树叶
节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中 央，而总是站在舞台的1／3处，站在舞台 上侧近于0.618的位置才是最佳的位置;
叶子中的黄金分割
图中主叶 脉与叶柄 和主叶脉 的长度之 和比约为 0.618
神奇的黄金数
植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽 的绿色世界．尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列 顺序（称为叶序），却是极有规律的。
10.2黄
金
分
割
查阅 & 欣赏
探索身边的 “黄金分割”
为什么翩翩起舞的 芭蕾舞演员要掂起脚? 为什么身材苗条的时装 模特还要穿高跟鞋?为 什么她们会给人感到和 谐、平衡、舒适、美的 感觉?
黄金身材比例
黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
探索交流
什么是黄金分割
C B
五角星是我们常见的图形.在图 A 4-4中,度量点C到点A,B的距离.
数学美的魅力 1 雕塑断臂女神维纳斯的体 型完全与黄金比相符,即以 人的肚脐为分界点,上身与 下身之比,或者说下身与全 身之比约是0.618 这样 的身体给人的感觉就是非 常的匀称，充满着美感.
数学美的魅力 1 著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完 美的体现了黄金分割在油画艺术上的应 用。通过下面两幅图片可以看出来，蒙 娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于 完美的体现了黄金分割，使得这幅油画 看起来是那么的和谐和完美.
2．在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618， 越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的 芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某女士身 高1.68米，下半身1.02米，她应该选择多高的 高跟鞋看起来更美呢？
黄金分割的正确计算方法
黄金分割的正确计算方法
黄金分割是一种美学比例，也是一种数学比例，它是指一条线段分为两部分，使整条线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比。
黄金分割比例被广泛运用在建筑、绘画、雕塑等艺术领域，被认为是最具美感的比例之一。
在数学中，黄金分割比例被表示为Φ（phi），其值约为1.618。
黄金分割的正确计算方法可以通过以下步骤进行：
1. 设定问题，首先，我们需要明确需要计算黄金分割的线段长度，例如线段AB的长度为x。
2. 建立等式，根据黄金分割的定义，我们可以建立如下等式，(x-a)/a = a/x，其中a为较短部分的长度。
3. 解方程，将等式进行变形，得到x^2 ax a^2 = 0。
然后，我们可以使用一元二次方程的求根公式来解这个方程，得到x = (1+√5)a/2 或 x = (1-√5)a/2。
4. 计算结果，根据上述公式，我们可以计算出黄金分割的两个部分的长度。
需要注意的是，黄金分割比例是一个无理数，无法用有限的小数表示，因此在实际计算中，我们可以采用近似值来进行计算。
通常情况下，我们可以取Φ的近似值1.618进行计算。
除了通过数学方法计算黄金分割外，我们还可以通过绘图的方式来构造黄金分割。
通过绘制正方形和正三角形，我们可以很容易地构造出黄金分割比例。
总之，黄金分割是一种重要的美学比例和数学比例，它在艺术和设计中具有广泛的应用。
掌握黄金分割的正确计算方法，可以帮助我们更好地理解和运用这一比例，从而创作出更具美感和和谐的作品。
八年级数学知识点黄金分割数
八年级数学知识点：黄金分割数黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
黄金分割:黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割线:黄金分割线是一种古老的数学方法。
黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。
后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。
黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。
黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0.618和0.382，它们有如下一些特点：(1)数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
(2)前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0.618。
(3)后一数字与前一数字之比例，趋近于1.618。
(4)1.618与0.618互为倒数，其乘积则约等于1。
(5)任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2.618;如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0.382。
理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0.618和0.382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即： (1)0.191、0.382、0.5、0.618、0.809 (2)1、1.382、1.5、1.618、2、2.382、2.618黄金分割点:把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
八年级数学黄金分割
2．在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618， 越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的 芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某女士身 高1.68米，下半身1.02米，她应该选择多高的 高跟鞋看起来更美呢？
下课了!
结束寄语
学无止境 没有最好,只有更好
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数学美的魅力 2
古埃及胡夫金字塔
古希腊巴特农神庙
文明古国埃及的金字塔，形似方锥， 大小各异。但这些金字塔底面的边 长与高这比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在建筑时高 和宽也是按黄金比0.618来建立， 他们认为这样的长方形看来是较 美观；其大理石柱廓，就是根据 黄金分割律分割整个神庙的.
开启
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
AC BC AB AC
那么称线段AB被点C黄金分割
(golden section),点C叫做线段AB的黄金分
割点,AC与AB的比叫做黄金比.
5 1 AC : AB : 1 0.618: 1. 2
议一议
AC BC , AB AC
1．如果把 化为乘积式是怎么 样的？结合图形你怎么理解它？ 2．一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星 中有几个黄金分割点？
智慧
古希腊时期的 巴台农神庙
如图是古希腊时期的巴台农神 庙, 如果把图中虚线表示的矩 形画成下图中的ABCD，以矩 形ABCD的宽为边在其内部作 正方形AEFD,那么我们可以惊 BC AB 奇的发现 ,
BE BC
AEຫໍສະໝຸດ B点E是AB的黄金分割点吗?矩形 ABCD的宽与长的比是黄金比吗?D
F
C
人们发现在九宫格的4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地 方，在国外的摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.顾名思义， 被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到 “眼球”:)
数学之美黄金分割
数学之美黄金分割黄金分割是数学中一个非常有趣的概念，它不仅在数学领域有着重要的应用，也在艺术、建筑和自然界中被广泛运用。
黄金分割具有独特的美学特性，被认为是一种对称和谐的比例关系。
本文将介绍黄金分割的定义、性质以及重要应用领域。
一、黄金分割的定义黄金分割也叫做黄金比例，是指将一条线段分成两部分，使整条线段的长度与较短部分的长度的比值等于较短部分与较长部分的比值。
用数学表达式表示就是：若将线段分成A、B两部分，A部分的长度与整条线段的长度的比值等于整条线段的长度与B部分的长度的比值，即(A+B)/A = A/B = φ（φ为黄金分割常数）。
二、黄金分割的性质黄金分割具有多个有趣且重要的性质，这些性质使得黄金分割在各个领域中被广泛应用。
1. 近似等比关系：黄金分割比值φ约等于1.6180339887，它是一个无理数，也是一个无限不循环小数，这使得黄金分割具有近似等比关系的特性。
很多自然界中的现象和规律都可以被描述为近似等比关系，如花瓣的排列、树叶的分布等。
2. 可连续无限分割：黄金分割比值φ具有可连续无限分割的性质，即一个长度为1的线段，按黄金分割比例划分，可以无限次地进行分割，每次分割都得到一个新的黄金分割点。
这个性质在艺术、建筑和设计中被广泛运用。
3. 黄金矩形：黄金分割比值φ还可以构造出黄金矩形，它是一个长宽比等于黄金分割比值的矩形。
黄金矩形被认为是一种最具美感的矩形比例，被广泛应用于建筑设计、绘画和摄影中。
三、黄金分割的应用领域黄金分割在多个领域中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用领域。
1. 艺术与设计：黄金分割被认为是美的象征，它在绘画、雕塑和摄影等艺术形式中经常被运用。
艺术家们常常将画面或作品划分为黄金分割的比例，以达到更好的审美效果。
2. 建筑与城市规划：黄金分割在建筑设计中起到重要的指导作用。
许多经典的建筑作品，如古希腊的帕台农神庙和文艺复兴时期的圣彼得大教堂，都采用了黄金分割的比例来构造建筑形态和空间布局。
黄金分割及答案
黄金分割（一）、主要知识点： 1.黄金分割的定义在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中215-＝AB AC ≈0.618. ABC推导黄金比过程。
设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以xxx -=11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 . 注意：（1）一条线段有2个黄金分割点。
（2）较长线段较短线段原线段较长线段黄金比==（3）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形 （4）黄金分割点把线段分成一长一短，则较长线段较短线段原线段较长线段=，即：点C 是线段AB 的黄金分割点：①若AC>BC,则ACBCAB AC = ；②若AC<BC,则BCACAB BC = . 2．如何作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.作图原理：可设AB=1,，则BD=21,则由勾股定理可知25=AD .可进一步求出AE, AC.从而解决问题。
3.比例的基本性质：如果a b cd =,那么ad=bc ，逆命题也成立。
4.合比性质：如果a b c d =，那么a b b c d d +=+；如果a b c d =，那么a b b c dd -=-。
5.等比性质：如果a b c d ==……=mn（b ＋d ＋……＋n ≠0）；那么，a c m b d n ab ++++++=（二）、典型习题： 一、选择题1．等边三角形的一边与这边上的高的比是_________． A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶3 D ．1∶32．下列各组中的四条线段成比例的是_________． A ．a =2，b =3，c =2，d =3 B ．a =4，b =6，c =5，d =10 C ．a =2，b =5，c =23，d =15 D ．a =2，b =3，c =4，d =13．已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是_________． A ．a ∶d =c ∶b B ．a ∶b =c ∶dC ．d ∶a =b ∶cD ．a ∶c =d ∶b4．若ac =bd ，则下列各式一定成立的是_________．A ．d c b a =B ．c c b d d a +=+C ．c d b a =22D ．dacd ab =5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是_________．A ．AM ∶BM =AB ∶AM B ．AM =215-AB C ．BM =215-AB D ．AM ≈0．618AB 二、填空题6．在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________．7．正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________． 8．若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________． 9．若53=-b b a ，则b a=________． 10．若AE ACAD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________． 三、解答题 11．已知342=+x y x ，求y x ．12．在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时高为1．5 m 的测杆的影长为2．5 m ，那么古塔的高是多少?13．在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD －DC =2 cm ，求B C ．14．如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．分式（一）、主要知识点： 1.分式的定义分母中含有字母的式子叫做分式，成立的条件：分母不为0 。
八年级数学知识点：黄金分割数
八年级数学知识点：黄金分割数八年级数学知识点：黄金分割数黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
黄金分割:黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0618或1618∶1，即长段为全段的0618。
0618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割线:黄金分割线是一种古老的数学方法。
黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0618，那么，这样比例会给人一种美感。
后，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。
黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。
黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。
（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。
（）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。
理顺下，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．、0．618、0．809 （2）1、1．382、1．、1．618、2、2．382、2．618黄金分割点:把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
初中数学知识点：黄金分割
初中数学知识点：黄金分割提起初中数学，那可真是充满了各种神奇又有趣的知识点，其中让我印象特别深刻的就是黄金分割。
记得那时候，我们的数学老师是个戴着厚厚眼镜，看起来特别严肃但实际上很风趣的人。
有一天，他在黑板上写下了“黄金分割”这几个大字，然后神秘兮兮地对我们说：“同学们，今天咱们要探索一个超级神奇的数学概念！”老师开始在黑板上画图，一边画一边讲解：“黄金分割简单来说呢，就是把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。
”我们听着这一串定义，好多同学都一脸懵。
老师似乎早有预料，他笑着说：“别着急，咱们来实际操作一下。
”他拿出一根长长的绳子，让我们分成小组，自己动手去感受黄金分割。
我和同桌开始摆弄起那根绳子，按照老师说的方法，努力想要找出那个神奇的分割点。
“哎呀，我觉得差不多就在这儿。
”同桌指着一个地方说道。
我摇摇头：“不对不对，感觉还得再往这边挪一点。
”我们俩争论不休，折腾了好久，终于觉得找到了那个似乎满足条件的点。
当我们把结果给老师看的时候，老师微微一笑，说：“不错不错，有点接近啦，但还不是特别精确。
”然后他亲自给我们示范，那认真的样子，就好像在完成一件极其重要的艺术品。
经过老师的指导，我们恍然大悟，原来这看似简单的黄金分割，要真正找准确还真不容易。
后来，老师又给我们讲了很多关于黄金分割在生活中的应用。
他说：“你们看，很多著名的建筑，像巴黎圣母院、埃菲尔铁塔，它们的设计都运用到了黄金分割，所以看起来特别美观、和谐。
”“还有啊，咱们的人脸也有黄金分割的规律。
”老师指着自己的脸说，“如果五官的比例符合黄金分割，那这个人看起来就会比较漂亮或者帅气。
”听到这儿，班里的同学都开始互相打量起来，还不时发出笑声。
为了让我们更深入地理解，老师还让我们回家量一量自己家里的家具、窗户的尺寸比例，看看有没有符合黄金分割的。
我回到家，第一件事就是拿着尺子开始量家里的窗户。
我一边量，一边嘴里还念叨着老师教的那些数值。
八年级数学黄金分割
智慧
古希腊时期的 巴台农神庙
如图是古希腊时期的巴台农神 庙, 如果把图中虚线表示的矩 形画成下图中的ABCD，以矩 形ABCD的宽为边在其内部作 正方形AEFD,那么我们可以惊 BC AB 奇的发现 ,
BE BC
A
E
B
点E是AB的黄金分割点吗?矩形 ABCD的宽与长的比是黄金比吗?D
F
C
人们发现在九宫格的4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地 方，在国外的摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.顾名思义， 被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到 “眼球”:)
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 的宽与长之比也接近0.618;
普通树叶
节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中 央，而总是站在舞台的1／3处，站在舞台 上侧近于0.618的位置才是最佳的位置;
叶子中的黄金分割
图中主叶 脉与叶柄 和主叶脉 的长度之 和比约为 0.618
神奇的黄金数
植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽 的绿色世界．尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列 顺序（称为叶序），却是极有规律的。
神奇的黄金数
叶子间的137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道， 一周是360°， 360°-137.5°=222.5° 137.5°∶222.5°≈0.618．
瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然 隐藏着0.618． 有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规 律的．
忠实的伙伴
人体美学观察受到种 族、社会、个人各方 面因素的影响，牵涉 到形体与精神、局部 与整体的辩证统一， 只有整体的和谐、比 例协调，才能称得上 一种完整的美.本次讨 论的问题主要为美学 观察的一些定律.
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八年级数学知识点：黄金分割数www.5y 黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
黄金分割:黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割线:黄金分割线是一种古老的数学方法。
黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。
后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。
黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。
黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。
（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。
（5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。
理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618黄金分割点:把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，用分数表示为/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：/0.618=0.6一条线段上有两个黄金分割点。
无限不循环小数a，ba:b=:a通常用希腊字母Ф表示这个值。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。
例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
确切值为（√5-1）/2）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
黄金矩形:若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。
黄金分割线:由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。
与数列的关系:让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f/f=1，得X=1/（1+X）。
有限式=无限式对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
对等式进行类似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。
这样一个简洁的无穷连分式和无穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感。
黄金分割法在摄影中的应用：一幅优秀的摄影作品，不仅要有深刻的主题思想和内容，同时还应具备与内容相一致的优美形式和协调的构图。
初学摄影，在取景时了解和掌握黄金分割法。
对于提高作品美学价值很有帮助。
黄金分割法，就是把一条直线段分成两部分，其中一部分对全部的比等于其余一部分对这一部分的比，常用2：3，3：5，5：8等近似值的比例关系迸引美术设计和摄影构图，这种比例也称黄金律。
在摄影构图中，常使用的概略方法，就是在画面上横、竖各画两条与边平行、等分的直线，将画面分成9个相等的方块，称九宫图。
直线和横线相交的4个点，称黄金分割点。
根据经验，将主体景物安排在黄金分割点附近，能更好地发挥主体景物在图面上的组织作用，有利于周围景物的协调和联系，容易引起美感，产生较好的视觉效果，使主体景物更加鲜明、突出。
另外，人们看图片和书刊有个习惯，就是由左向右移动，视线经过运动，往往视点落于右侧，所以在构图时把主要景物、醒目的形象安置在右边，更能收到良好的效果。
初学摄影取景，可选选用“黄金分割法”的练习构图，经过多次实践，有了自己的经验和体会以后，就可根据实际情况自己进行创作了。
如果都千篇一律，生搬硬套这一种形式，也不可取，时间久了反而会束缚自己的创作思想，使拍出的照片四平八稳，缺乏变化，贫乏无味，就谈不上有什么艺术性。
用黄金分割法确定主体的位置，并没有完成构图的整个过程，还应注意安排必要的空间，考虑主体与陪体之间的呼应，充分表达主题的思想内容。
同时，还要考虑影调，光线处理，色彩的表现等等。
为了提高基本功，还有很重要的一点，就是要认真学习美学知识，加强美学修养，并通过拍摄实践，不断总结，积累经验，多拍出一些有较高艺术水平的照片来。
发现历史：由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
黄金分割:黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割线:黄金分割线是一种古老的数学方法。
黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。
后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。
黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。
黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。
（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。
（5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。
理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618黄金分割点:把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，用分数表示为/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：/0.618=0.6一条线段上有两个黄金分割点。
无限不循环小数a，ba:b=:a通常用希腊字母Ф表示这个值。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。
例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
确切值为（√5-1）/2）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
黄金矩形:若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。
黄金分割线:由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。
与数列的关系:让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f/f=1，得X=1/（1+X）。
有限式=无限式对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
对等式进行类似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。
这样一个简洁的无穷连分式和无穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感。
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