工程流体力学第6章-流体流动微分方程19p
合集下载
工程流体力学课件第6章：流体动力学第二部分
对于理想流体，粘性力为零，因此N-S方程简化为
6.4.2伯努利方程
需要强调指出的是，伯努利方程有以下适用条件限制： (1)质量立只有重力； (2)理想流体； (3)稳定流动； (4)不可压缩流体； (5)沿流线。
6.4.3 无旋流动的伯努利方程
除了无旋流动外，6.4.2节中的其他限制条件照样需要， 即伯努利方程的适用条件为：
。A点的坐标为(x,y,z)，由于
平行六面体是微元的，所以可以认为同一作用面上各
点的应力相同。
在平行六面体的各个面上，任意点的表面力分为法向力 和切向力。假设法向力以外法线方向为正，而过A点的 三个平面上的切向力方向与坐标轴方向相反，其它三 个面上的切向向力的方向与坐标轴的方向相同。
在直角坐标系中，垂直于x轴的作用面AC上任意点的应力 可分解为
6.2 粘性流体的运动微分方程
6.2.1 运动方程的推导
实际流体是有粘性的，它阻碍流体微元形状的改变。粘 性流体中切应力的存在，不仅改变了阻碍流动的摩擦 力，而且也影响了法向力的性质。
下面在流场中取出一微元平行六面体来推导粘性流体
的运动微分方程。如图6-1所示，微元平行六面体ABC
D的边长分别为
为了便于看出N-S方程在什么情况下可以积分
6.4 理想流体流动
在N-S方程中，粘性力项包含二阶偏导数，是求解N-S方 程的主要困难所在。但是对于一些常见流体，比如水 和空气，粘性很小，在某些情况下忽略其粘性是合理 的。忽略了粘性后的N-S方程，求解要容易得多。我们 称忽略了粘性的流体为理想流体(Ideal fluids/Inviscid fl uid/Nonviscous fluid/Frictionless fluid)。
1、均匀流动(Uniform flow) 最简单的平面流动是流线为彼此平行的直线，流速大小
6.4.2伯努利方程
需要强调指出的是，伯努利方程有以下适用条件限制： (1)质量立只有重力； (2)理想流体； (3)稳定流动； (4)不可压缩流体； (5)沿流线。
6.4.3 无旋流动的伯努利方程
除了无旋流动外，6.4.2节中的其他限制条件照样需要， 即伯努利方程的适用条件为：
。A点的坐标为(x,y,z)，由于
平行六面体是微元的，所以可以认为同一作用面上各
点的应力相同。
在平行六面体的各个面上，任意点的表面力分为法向力 和切向力。假设法向力以外法线方向为正，而过A点的 三个平面上的切向力方向与坐标轴方向相反，其它三 个面上的切向向力的方向与坐标轴的方向相同。
在直角坐标系中，垂直于x轴的作用面AC上任意点的应力 可分解为
6.2 粘性流体的运动微分方程
6.2.1 运动方程的推导
实际流体是有粘性的，它阻碍流体微元形状的改变。粘 性流体中切应力的存在，不仅改变了阻碍流动的摩擦 力，而且也影响了法向力的性质。
下面在流场中取出一微元平行六面体来推导粘性流体
的运动微分方程。如图6-1所示，微元平行六面体ABC
D的边长分别为
为了便于看出N-S方程在什么情况下可以积分
6.4 理想流体流动
在N-S方程中，粘性力项包含二阶偏导数，是求解N-S方 程的主要困难所在。但是对于一些常见流体，比如水 和空气，粘性很小，在某些情况下忽略其粘性是合理 的。忽略了粘性后的N-S方程，求解要容易得多。我们 称忽略了粘性的流体为理想流体(Ideal fluids/Inviscid fl uid/Nonviscous fluid/Frictionless fluid)。
1、均匀流动(Uniform flow) 最简单的平面流动是流线为彼此平行的直线，流速大小
第六节 流体流动的微分方程
( ρu z ) ( ρu z ) ρu z + z dz dxdy ρu z dxdy = z dxdydz
控制体内任意时刻的流体质量为 ρdxdydz ,因此累积速 率为: ρ
θ dxdydz
由此可得连续方程如下:
( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) ρ + + + =0 x y z θ
向量形式为 :
ρ + ( ρu ) = 0 θ
某些情况下,连续性方程可以得到简化.例如稳态流 动时, ρ θ = 0 有:
( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) + + =0 x y z
对于不可压缩流体, ρ =常数,此时无论是稳态流 动还是非稳态流动,连续性方程均简化为
ρ
u x u y u z + + =0 x y z
3.运动方程 . 简化得运动方程的最终形式为:
Du x 2u x 2u x 2u x p u x u y u z )+ ( ) = ρX + ( + + + + ρ 2 2 2 Dθ x 3 u y p u x u y u z ρ = ρY + ( + + )+ ( + + ) 2 2 2 Dθ y 3 y x y z x y z Du y
�
【学习指导】 学习指导】
1.学习目的 . 通过本知识点的学习,应了解分析流体流动问题的 两种方法,随体导数及体积形变速率的基本概念;掌 握连续性方程推导的方法;了解运动方程推导过程中 的一些基本思路和概念. 2.本知识点的重点 . 随体导数的概念和连续性方程的推导. 3.本知识点的难点 . 本知识点无难点. 作业:P133 第20题
控制体内任意时刻的流体质量为 ρdxdydz ,因此累积速 率为: ρ
θ dxdydz
由此可得连续方程如下:
( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) ρ + + + =0 x y z θ
向量形式为 :
ρ + ( ρu ) = 0 θ
某些情况下,连续性方程可以得到简化.例如稳态流 动时, ρ θ = 0 有:
( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) + + =0 x y z
对于不可压缩流体, ρ =常数,此时无论是稳态流 动还是非稳态流动,连续性方程均简化为
ρ
u x u y u z + + =0 x y z
3.运动方程 . 简化得运动方程的最终形式为:
Du x 2u x 2u x 2u x p u x u y u z )+ ( ) = ρX + ( + + + + ρ 2 2 2 Dθ x 3 u y p u x u y u z ρ = ρY + ( + + )+ ( + + ) 2 2 2 Dθ y 3 y x y z x y z Du y
�
【学习指导】 学习指导】
1.学习目的 . 通过本知识点的学习,应了解分析流体流动问题的 两种方法,随体导数及体积形变速率的基本概念;掌 握连续性方程推导的方法;了解运动方程推导过程中 的一些基本思路和概念. 2.本知识点的重点 . 随体导数的概念和连续性方程的推导. 3.本知识点的难点 . 本知识点无难点. 作业:P133 第20题
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
3) y = 0 将 y=0 代入
驻点：
把驻点坐标代入流函数y：
过驻点流函数值：y = 0
物体轮廓线方程为：
求物体半宽b/2： 把 x=0 代入物体轮廓线方程：
y：物体半宽b/2
已知流函数 -> 速度场，压强场 在物体前部：附面层很薄 粘性影响大的流动区域：很薄 计算结果：与实验较符合
在物体后部：附面层增厚 形成：尾部旋涡 无粘流势流理论：不再适用
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
每一流动都满足拉普拉斯方程：
什么条件？ 无旋条件 二维不可压连续方程：
不可压平面有势流动的流函数方程
不可压连续方程和无旋条件 －> 流函数方程 流函数方程－拉普拉斯方程：仅适用于不可压平面有势流 动
不可压平面有旋流动或可压缩平面有势流动： 不存在流函数方程
三、边界条件： 流体：从无穷远流向某物体 条件：不分离 物面法向流体速度：0，即物面是一条流线
都存在流函数
只有无Байду номын сангаас流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
工程流体力学流体运动学
05
流体流动的实验研究
实验设备与技术
风洞实验
01
利用风洞模拟实际流体流动，通过测量风速、压力等参数，研
究流体动力学特性。
水槽实验
02
在封闭水槽中模拟流体流动，通过观察流体的运动状态和测量
相关参数，研究流体运动规律。
粒子图像测速技术（PIV）
03
利用激光片光源照射流体，通过捕捉流体内粒子的运动轨迹，
有限体积法
将计算区域划分为一系列控制体积，通过求解控 制体积上的离散方程来获取流场信息。
有限元素法
将计算区域划分为一系列离散点，通过求解这些 离散点的偏微分方程来获取流场信息。
3
有限差分法
将计算区域划分为一系列网格点，通过求解这些 网格点上的差分方程来获取流场信息。
有限体积法
优点
适用于复杂边界和流场，易于处理流 体运动中的自由表面和流动分离等问 题。
流体动力学基本方程
质量守恒方程
表示流体的质量随时间的变化规 律，即单位时间内流出的质量等 于单位时间内流入的质量减去体 积的变化率。
动量守恒方程
表示流体的动量随时间的变化规 律，即单位时间内流出的动量等 于单位时间内流入的动量减去作 用力。
能量守恒方程
表示流体的能量随时间的变化规 律，即单位时间内流出的能量等 于单位时间内流入的能量减去作 用力所做的功。
流体动量定理
动量定理
表示流体动量的变化与作用力之 间的关系，即流体动量的变化等 于作用力与时间的乘积。
动量定理的应用
在工程中，动量定理常用于分析 流体对物体产生的冲击力和流体 管道中的压力变化。
03
流体运动学在工程中的应 用
流体机械
流体机械是利用流体的动能、势能、压力能等能量转换的 机械，如水轮机、汽轮机、喷气发动机等。流体运动学在 流体机械的设计、优化和控制中起着重要的作用。
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
② μ和ρ随温度变化不大时，温度对流场(速度和压力)的影响很小，这
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
流体流动动微分方程
微元体表面 微元体表面
( vx v z ) ( v y vz ) ( vz 2) z方向动量 - z 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量
22
微元体表面 微元体表面
6-2.2 动量流量及动量变化率
微元体内的动量变化率：
微元内x方向 ( v x ) = dxdydz t 动量的变化率
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
引用随体导数的概念，可表示为另一种形式为：
D v x v y v z ( )0 Dt x y z
v 速度矢量
D / Dt
是密度
v
D ( v ) 0 Dt
7
6-1 连续性方程-直角坐标中的
输出微元体 输入微元体 ( v x ) ( v y ) ( vz ) [ ]dxdydz x y z 的质量流量 的质量流量 微元体内的 = dxdydz 质量变化率 t
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t ( v) 0 t
( vx 2 ) ( v y vx ) ( vz vx ) x方向动量 - x 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量 微元体表面 微元体表面
( vx v y ) ( v y 2 ) ( vz v y ) y方向动量 - y方向动量 =[ + ]dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量
xy
yx
dz dx yz
zx dz z xx xx dx
工程流体力学
§1.1 流体的定义
一、流体特征（续）
液体与气体的区别 液体的流动性小于气体； 液体具有一定的体积，并取容器的形状； 气体充满任何容器，而无一定体积。
流体的定义
流体是一种受任何微小的剪切力作用时，都 会产生连续变形的物质。 流动性是流体的主要特征。
§1.2 连续介质假说
微观：流体是由大量作无规则热运动的分子所组成， 分子间存有空隙，在空间上是不连续的。
在通常情况下，一个很小的体积内流体的分子数量极多；
例如，在标准状态下，1mm3体积内含有2.69×1016个气体分 子，分子之间在10-6s内碰撞1020次。
宏观：流体力学研究流体的宏观机械运动，研究的是 流体的宏观特性，即大量分子的平均统计特性。 结论：不考虑流体分子间的间隙，把流体视为由无 数连续分布的流体微团组成的连续介质。
1686年牛顿（Newton,I.）发表了名著《自然哲学的数学原理》 对普通流体的黏性性状作了描述，即现代表达为黏性切应力 与速度梯度成正比—牛顿内摩擦定律。为了纪念牛顿，将黏 性切应力与速度梯度成正比的流体称为牛顿流体。 18世纪～ 19世纪，流体力学得到了较大的发展，成为独立的一门学科。 古典流体力学的奠基人是瑞士数学家伯努利(Bernoulli，D．) 和他的亲密朋友欧拉(Euler，L.)。1738年，伯努利推导出了 著名的伯努利方程，欧拉于17 55年建立了理想流体运动微分 方程，以后纳维(Navier,C .-L.-M.-H.)和斯托克斯(Stokes， G．G．)建立了黏性流体运动微分方程。拉格朗（Lagrange）、 拉普拉斯(Laplace)和高斯(Gosse)等人，将欧拉和伯努利所 开创的新兴的流体动力学推向完美的分析高度。但当时由于 理论的假设与实际不尽相符或数学上的求解困难，有很多疑 不能从理论上给予解决。
第六章 流体运动微分方程讲解
ρvy
x
v y
( v y ) y
dy
x
( vx ) vx dx x ρv z
y
4
可得输入微元体的质量流量：
vx dydz vy dxdz vz dxdy
输出微元体的质量流量为：
( v y ) ( vx ) ( vx dx)dydz ( v y dy)dxdz x y ( vz ) ( vz dz)dxdy z
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
代入上式的第一式并整理得：
20
Dvx vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
vy vy vy 1 p fy ( 2 2 2 ) 同 Dt y x y z 理 2 2 2 1 p vz vz vz 得 Dvz fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z Dvy
5
则输出与输入之差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( )dxdydz x y z
微元体内质量变化率为：
dxdydz t
6
根据质量守恒原理有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
或
( v ) 0 t
x
v y
( v y ) y
dy
x
( vx ) vx dx x ρv z
y
4
可得输入微元体的质量流量：
vx dydz vy dxdz vz dxdy
输出微元体的质量流量为：
( v y ) ( vx ) ( vx dx)dydz ( v y dy)dxdz x y ( vz ) ( vz dz)dxdy z
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
代入上式的第一式并整理得：
20
Dvx vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
vy vy vy 1 p fy ( 2 2 2 ) 同 Dt y x y z 理 2 2 2 1 p vz vz vz 得 Dvz fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z Dvy
5
则输出与输入之差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( )dxdydz x y z
微元体内质量变化率为：
dxdydz t
6
根据质量守恒原理有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
或
( v ) 0 t
流体力学第6章流体运动微分方程
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
（1）两板固定不动; （2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动； 两板间流体运动的速度分布。
y 流向 b x
33
解：由于流体水平运动，则有
f x 0, f y g , f z 0
由于流动是一维的，有vy=vz=0；
由于流动是定常的，有
v y v x v z 0 t t t
d vx p 2 x dy
2
(4)
思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？
对上式进行两次积分可得
1 p 2 vx y C1 y C2 2 x
(5)
37
下面根据两种情况下的不同边界条件来 确定常数C1，C2。 （1）两板固定不动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b 0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
《工程流体力学》 第六章 管内流动及水力计算
r02
4
d dl
(p
gh)
l
vl max
vl
r0
ro2
4
d dl
(p
gh)
粘性流体在圆管中作层
所以，vl
2020/6/11
ro2 r 2
4
d dl
( p gh)
流流动时，流速的分布为
一旋转抛物面。
12
《工程流体力学》 第六章 管内流动和水力计算
§6.4 圆管中的层流流动
三、平均速度和流量
qV
0
0
H
h1 9m；h2 0.7m； hw 13m 求： H
2 h1
h2
2
解 ： 由 伯努 利方 程（ 地面 为0位 势）
（H
h1
)
pa
g
0
h2
pa
g
2
22
2g
hw
紊流流动: 1.0
得H
2 2
2g
hw
h2
h1
42 2 9.806
13 0.7 9
5.52
(m)
2020/6/11
4
《工程流体力学》 第六章 管内流动和水力计算
持前种情况下的流速不变，流动又为何状态？
解：（1） v
qV A
4qV d 2
4 0.01 1.27m / 0.12
s
Re vd 1.27 0.1 1.27 105 2000
1106
所以水为紊流状态。
（2）
Re
vd
1.27 0.1
1.14 104
1114
2000
2020/6/11
μt —流 体 的 脉 动 粘 度 ；
工程流体力学第6章课件
φ = Vx x φ = Vy y φ = Vz z
grad = ＝V
→
§6-1 势函数和流函数
(1)速度势的势函数φ (1)速度势的势函数φ，有势流就是无旋流 速度势的势函数 有势流
grad = ＝V
→
Vz 2 V y = z = y z = z y = z y y Vx 2 Vz = x = z x = x z = x z z
dQ = Vx dy V y dx =
B
y
dy +
x
dx = dψ
∴ Q = ∫ dψ = ψ B ψ A
A
两条等Ψ 两条等Ψ线，Ψ值之差即为流 过这两条流线间的体积流量
§6-1 势函数和流函数
（4）不可压平面势流的势函数，流函数方程 不可压平面势流的势函数，
φ φ 将势函数表达式 = Vx， = Vy 代入连续方程 y x Vx V y φ φ 2φ 2φ + = + = 2 + 2 = 0 x y x x y y x y
§6-2 平面势流叠加原理和几种简单的平面定 常势流
(1)势流叠加原理 (1)势流叠加原理 (2)均匀直线运动 (2)均匀直线运动φ＝ax+by ψ=ay-bx (3)点源和点汇 (3)点源和点汇φ＝(Q/2π)lnr ψ=(Q/2π)θ (4)点涡 有势涡） 点涡（ (4)点涡（有势涡）φ＝(Γ/2π)θ ψ=- (Γ/2π)lnr
φ＝(M/2π)(x/r^2) ψ=-(M/2π)(y/r^2)
(3)圆柱绕流（均直流＋偶极流） (3)圆柱绕流（均直流＋偶极流） 圆柱绕流
φ＝Vcosθ(r+R^2/r) ψ=Vsinθ(r-R^2/r)
零流线、远场流动、圆柱表面流动、圆柱表面压强
工程流体力学
这就是质量守恒方程的微分形式。
二、质量守恒方程的积分形式
在时刻t,控制体内流体有一定 质量，若在dt时间内流出控制体 的质量,大于流入的质量，则控制 体内的质量减少，反之则增加。 因此质量守恒定律可表述为： （单位时间内流出控制体的质量） －( 单 位 时间 内 流入 控 制体 的质 量)+单位时间内控制体质量的变 化率=0。
u n ds 0
S
u 0
当流体为不可压缩均质流体时，连续性方 程为:
u u x y u z u 0 x y z
例：试证下列不可缩流体运动存在的可能性。
(1) u x 2x 2 y, u y 2 y 2 z, u z 4( x y) z xy
则作用在V上的总质量力为：
Fv
V
S上的总面力为：
S
p ns
控制体系统内的动量是：
u v
V
于是，动量定理可以写成下列表达式：
d uv V Fv pns dt V S d v d u dt v V u dt V Fv pns V S
将运动方程的三个分量方程用矢量方程表示：
将运动方程的三个分量方程用矢量方程表示：
du F P dt
式中P为二阶应力张量，其具体形式为：
xx P yx zx
xy yy zy
xz yz zz
二、运动方程的积分形式 任取一体积为V、边界面积为S的 控制体系统。根据动量原理，动量的 变化率等于作用于该体积上的质量力 和表面力之和。以 F 表示作用在单位 质量上的质量力分布函数，以 pn 表示 作用在单位面积上的面力分布函数(如 图示)， n P 。 pn
工程流体力学第6章-流体流动微分方程19p
流体质点 的加速度
体积力+表面 力
(单位体积)
mai Fi ix, y, z
运动方程+连 续性方程共4个 方程，涉及9个 变量：3个速度 分量，6个独立 应力分量： vx , vy , vz
xx , yy , zz yx xy , zx xz zy yz
为使方程封闭 尚需补充方程。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
yy
p
2
vy y
2 3
vx x
vy y
vz z
流体表面正应力: σn ( p n )n
附加正应力：
n
2
vn n
2 3
(
v)
仅与线应 自身方向线 其它方向线
变率有关 应变率贡献 应变率贡献
zz
p
2
vz z
2 3
vx x
vy y
vz z
v z z
z vr
x
r
y
x
z r
x r sin cos y r sin sin
vr z r cos
v
v
y
柱坐标系连续性方程:
t
1 r
r
(rvr )
1 r
(
v
)
z
(vz )
0
对于不可压缩流体:
1 (rvr ) 1 v vz 0 r r r z
球坐标系的 连续性方程：
t
1 r2
切应力: 仅与剪切应变速率相关 理想流体或静止流体： 表面取向无关
xy
yx
vx y
vy x
yz
zy
工程流体力学ppt第6章理想流体平面势流
§6-2 几种简单的平面势流
1、均匀平行流
深度和宽度很大的流体流过平面时的流动称 均匀平行流。 特点：各点速度大小相等，方向相同。 设均匀流与 x 轴成 角，速度 v 0 ，分速度
1 v y v x 由， z ( ) C 故为有势流动。 2 x y
v x、v y， x v0 cos ，v y v0 sin 。 v
v y， v x x y
代入，即有：
2 0 2 x y
2 2
0
2
也是调和函数，也可变为求一定起始边界 条件的拉氏方程。 、 满足数学上的柯西黎曼条件，故 、 为共扼调和函数，知其
一就可求另一个。
②平面流动中两条流线间通过的流体流量， 等于两条流线的流函数之差。这也正是流函 数的物理意义。证明从略。
2 2 2 2
由连续方程
对有势 v x， v y， v z x y z 2 2 2 代入 2 2 0 2 x y z
v x v y v z 0 x y z
为调和函数
解有势流动的问题，变成了解满足一定边界 条件的拉普拉斯方程。 注意：不可以用拉普拉斯方程作为判定速度 势存在的判据。 ③沿任意曲线上的速度环量Γ等于曲线两端点 上的速度势之差，而与曲线形状无关。
1.速度势函数
若函数 P( x、y、z）、Q( x、y、z） 偏导数在单连通域中单值连续 R( x、y、z）
则当：
这是 Pdx Q d y R d z 为某函数
P Q y x Q R z y R P x z
成立，
( x、y、z )
全微分存在的充要条件。
则 且有
第6章-流体流动微分方程-讲义分析
不可压缩流体的连续性方程： const D Dt 0，
v 0 or vx vy vz 0 x y z
物理意义: (v) 是流体体积变形速率，v=0表示不可压缩流体运动过程 中，不管其形状怎样变化，其体积不会改变。因此，只要是不可压缩流 体，无论稳态流动还是非稳态流动，其连续性方程都一样。
(vx ) (vy ) (vz ) 0 or ( v) 0
x
y
z t
t
其展开形式为：
t
vx
x
vy
y
vz
z
vx x
vy y
vz z
0
工 6 流体流动微分方程
程
Sichuan University
流 6.1 连续性方程 —— 6.1.1直角坐标系中的连续性方程(续)
yz y
zz z
dxdydz
工 6 流体流动微分方程
程
Sichuan University
流 6.2 运动微分方程的建立 —— 6.2.2 动量流量及动量变化率
体 力 学
微元体净输出的x、y、z方向的动量流量：
微元面上 x 方向的动量通量：如图
vyvx
(vyvx y
)
dy
其中箭头方向仅表示输入输出方向。
流体流动连续性方程：微元质量守恒分析连续性方程 运动微分方程的建立：微元受力与动量分析应力形式的运动方程 粘性流体的运动方程：流体本构方程及讨论运动微分方程(N-S方程) 流动微分方程的应用：N-S方程应用概述与举例
对流传热N-S方程 (Boussinesq Equation of Motion) 湍流时均化N-S方程(雷诺方程)
v
v
y
x
第6章 流体流动微分方程
（6-1）
为了获得（6-1）的数学 表达式—连续性方程，不妨 对图６-１所示的微元体进行 分析。该微元体取自流场中 的任意点Ａ，微元体在x、y、 z方向的边长分别为dx、dy、 dz，其六个面两两相互平行 且分别垂直于x、y、z。流体 在Ａ点的密度为ρ，速度为ν， 其x、y、z方向的分量分别 为 ν x、 ν y、 ν。一般而言， z 速度ν和密度ρ均为坐标x、y、 z和时间ｔ的函数。
体积力是由于外力场 （如重力场、离心力场、电 磁场等）的作用在微元体整 个体积上所产生的力又称为 彻体力。由于体积力的大小 与流体的质量成正比，故又 称质量力。如6-3所示，若 微元体中单位质量流体的体 积力在x、y、z方向的分量 分别为 f x、 f y、 f z ，则
微元体在x方向的质量力 = f x ρd x d yd z 微元体在y方向的质量力 = f y ρd x d yd z 微元体在z方向的质量力 = f z ρd x d yd z
（6-12）
所以，流场中任一点的9个应力分量中，只有6个分 量是独立的。
微元体表面力的总力分量
为简明起见， 从ｙ方向视图来观 察微元体个表面上 ｘ和ｚ方向的应力 分量，如图６－４ 所示。若以Ａ点相 邻表面上的应力为 基准，则与Ａ点不 相邻的表面上的应 力将产生一个随距 离变化的增量。
例如在Ａ处且垂直于ｚ方向的微元面上的正应力为σ zz ，则在距离dz的平行面上的正应力就为 σ zz＋( ∂σ zz /∂z)dz 。由此并根据上述关于应力下标和方向的规定，不难标出 微元体个表面上ｘ和ｚ方向的正应力和切应力，如图６-４ 所示。 于是，将各表面上ｘ方向的应力与相应的微元面积的 dydz、dxdz或dxdy相乘，然后将ｘ轴正方向的各表面力与 ｘ轴负方向的各表面力相减可得
为了获得（6-1）的数学 表达式—连续性方程，不妨 对图６-１所示的微元体进行 分析。该微元体取自流场中 的任意点Ａ，微元体在x、y、 z方向的边长分别为dx、dy、 dz，其六个面两两相互平行 且分别垂直于x、y、z。流体 在Ａ点的密度为ρ，速度为ν， 其x、y、z方向的分量分别 为 ν x、 ν y、 ν。一般而言， z 速度ν和密度ρ均为坐标x、y、 z和时间ｔ的函数。
体积力是由于外力场 （如重力场、离心力场、电 磁场等）的作用在微元体整 个体积上所产生的力又称为 彻体力。由于体积力的大小 与流体的质量成正比，故又 称质量力。如6-3所示，若 微元体中单位质量流体的体 积力在x、y、z方向的分量 分别为 f x、 f y、 f z ，则
微元体在x方向的质量力 = f x ρd x d yd z 微元体在y方向的质量力 = f y ρd x d yd z 微元体在z方向的质量力 = f z ρd x d yd z
（6-12）
所以，流场中任一点的9个应力分量中，只有6个分 量是独立的。
微元体表面力的总力分量
为简明起见， 从ｙ方向视图来观 察微元体个表面上 ｘ和ｚ方向的应力 分量，如图６－４ 所示。若以Ａ点相 邻表面上的应力为 基准，则与Ａ点不 相邻的表面上的应 力将产生一个随距 离变化的增量。
例如在Ａ处且垂直于ｚ方向的微元面上的正应力为σ zz ，则在距离dz的平行面上的正应力就为 σ zz＋( ∂σ zz /∂z)dz 。由此并根据上述关于应力下标和方向的规定，不难标出 微元体个表面上ｘ和ｚ方向的正应力和切应力，如图６-４ 所示。 于是，将各表面上ｘ方向的应力与相应的微元面积的 dydz、dxdz或dxdy相乘，然后将ｘ轴正方向的各表面力与 ｘ轴负方向的各表面力相减可得
工程流体力学 第6章 粘性流体管道内流动
de 2ab ab
第6章 粘性流体管道内流动
6.4 管内流动的两种损失
不可压粘性流体的总流伯努利方程：
V12 p1 V22 p2 1 gz1 2 gz2 hw 2 2
hw——单位重量流体损失的能量。
1.沿程（水头）损失
渐变流中由于流体微团、层间、流体与管壁间粘性摩擦引
教学内容
第0章 绪论 第1章 流体的主要物理性质 第2章 流体静力学 第3章 流体流动的基本方程 第4章 旋涡理论和势流理论 第5章 相似理论与量纲分析 第6章 粘性流体管内流动 第7章 粘性流体绕物体的流动
第6章 粘性流体管内流动
6.1 粘性流体中的应力分析
理想流体—无粘性，无切向应力； 实际流体—有粘性，存在切向应力，表现为阻碍流体运动的 摩擦力，消耗机械能。
是t时刻的脉动速度但脉动速度的时均量为零即u010tuudtt?在横向也存在横向脉动且第6章粘性流体管道内流动在横向yz也存在横向脉动且0vw依上法湍流中有瞬时压强p时均压强脉动压强p且pppp01tppdtt?010tppdtt?若湍流中各物理量的时均值如不随时间而变仅是空间点的函数即uvwp?第6章粘性流体管道内流动随时间而变仅是间点的函数即uuxyzppxyz?则被称为恒定的湍流运动但湍流的瞬时运动总是非恒定的
时，随着 当逐渐加大玻璃管内流速到达某一上临界值 Vcr 玻璃管内流速的再增大，颜色水与周围清水混合，使整个圆管 都带有颜色，表明此时质点的运动轨迹极不规则，各层质点相 互掺混，称这种流动状态为湍流。
从层流到湍
流的转捩阶段称
为过渡流，一般 将它作为湍流的 初级阶段。
第6章 粘性流体管道内流动
6.3.2 层流和湍流
6.2 不可压缩粘性流体的运动微分方程
第6章 粘性流体管道内流动
6.4 管内流动的两种损失
不可压粘性流体的总流伯努利方程：
V12 p1 V22 p2 1 gz1 2 gz2 hw 2 2
hw——单位重量流体损失的能量。
1.沿程（水头）损失
渐变流中由于流体微团、层间、流体与管壁间粘性摩擦引
教学内容
第0章 绪论 第1章 流体的主要物理性质 第2章 流体静力学 第3章 流体流动的基本方程 第4章 旋涡理论和势流理论 第5章 相似理论与量纲分析 第6章 粘性流体管内流动 第7章 粘性流体绕物体的流动
第6章 粘性流体管内流动
6.1 粘性流体中的应力分析
理想流体—无粘性，无切向应力； 实际流体—有粘性，存在切向应力，表现为阻碍流体运动的 摩擦力，消耗机械能。
是t时刻的脉动速度但脉动速度的时均量为零即u010tuudtt?在横向也存在横向脉动且第6章粘性流体管道内流动在横向yz也存在横向脉动且0vw依上法湍流中有瞬时压强p时均压强脉动压强p且pppp01tppdtt?010tppdtt?若湍流中各物理量的时均值如不随时间而变仅是空间点的函数即uvwp?第6章粘性流体管道内流动随时间而变仅是间点的函数即uuxyzppxyz?则被称为恒定的湍流运动但湍流的瞬时运动总是非恒定的
时，随着 当逐渐加大玻璃管内流速到达某一上临界值 Vcr 玻璃管内流速的再增大，颜色水与周围清水混合，使整个圆管 都带有颜色，表明此时质点的运动轨迹极不规则，各层质点相 互掺混，称这种流动状态为湍流。
从层流到湍
流的转捩阶段称
为过渡流，一般 将它作为湍流的 初级阶段。
第6章 粘性流体管道内流动
6.3.2 层流和湍流
6.2 不可压缩粘性流体的运动微分方程
工程流体力学相关概念公式
第二章流体及其物理性质流体：是一种受任何微小剪切力作用都能连续变形的物质。
流体连续介质假说：可以不去考虑分子间存在的空隙，而把流体视为由无数连续分布的流体微团所组成的连续介质。
作用在流体上的力：表面力和质量力。
流体密度：单位体积内所具有的质量。
压缩性：随着压强的增高，体积便缩小。
压缩系数：用单位压强所引起的体积变化率。
膨胀性：随着温度的升高，体积便膨胀。
体胀系数：单位温升所引起的体积变化率。
粘性：流体微团间发生相对滑移时产生切向阻力的性质。
牛顿内摩擦定律：作用在流层上的切向应力与速度梯度成正比，其比例系数为流体的动力粘度。
粘性与温度的关系：液体的粘度随温度上升而减小，气体的年度随温度上升而增大。
牛顿流体：凡作用在流体上的切向应力与它所引起的角变形速度（速度梯度）之间的关系符合牛顿内摩擦定律的流体。
第三章流体静力学流体静压强两个特性：一。
流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。
二。
静止流体中任一点流体静压强的大小与其作用面在空间的方位无关，只是该点坐标的连续函数，即静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相等。
等压面：压强相等的各点组成的面。
作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点的等压面。
帕斯卡原理：施于在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。
水头：单位重量流体所具有的能量用液柱高度表示。
压力体：液体作用在曲面上的总压力的铅直分力的大小恰好等于压力体的液体重力，但并非作用在曲面上的一定是它上面压力体的液体重力。
（纯数学概念，与体内有无液体无关）第四章流体运动学和流体动力学基础流体运动的描述方法：欧拉方法和拉格朗日方法。
流线：在某一瞬时，一条曲线上的每一点的速度矢量总是在该点与此曲线相切。
流管：在流场内作一本身不是流线又不相交的封闭曲线，通过这样的封闭曲线上各点的流线所构成的管状表面。
有效截面：处处与流线相垂直的流束的截面。
湿周：在总流的有效截面上，流体同固体边界接触部分的周长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
流体质点 的加速度
体积力+表面 力
(单位体积)
mai Fi ix, y, z
运动方程+连 续性方程共4个 方程，涉及9个 变量：3个速度 分量，6个独立 应力分量： vx , vy , vz
r
(r2vr )
1 r sin
(v
sin )
1 r sin
(v )
0
6.2 运动微分方程的建立 —— 6.2.1 作用于流体微元上的力
动量守恒方程：
微元体输出 的动量流量
-
微元体输入 的动量流量
+
微元体内的 动量变化率
F
微元体体积力与表面力(应力)：如图
zy
zy z
dz
zz
zz z
x
方向：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx x
yx y
zx z
y
方向：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fy
xy x
yy y
zy z
z
方向：
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
fz
xz x
yz y
zz z
流体质量 (单位体积)
(vx ) (vy ) (vz ) 0 or ( v) 0
x
y
z t
t
其展开形式为：
t
vx
x
vy
y
vz
z
vx x
vy y
vz z
0
6.1 连续性方程 —— 6.1.1直角坐标系中的连续性方程(续)
连续性方程(续)：
t
vx
x
vy
y
vz
z
将微元体 x 方向动量的净输出流量、变化率，以及x方向的体积力、表面力 代入动量守恒方程可得：
(vx2 ) x
(vyvx ) y
(vzvx ) vx
z
t
fx
xx x
yx y
zx z
vx
(
t
vx x
vy y
vz z
)
( vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
)
简化后得：以应力表示的运动方程：( y、z 方向同理)
dz
zx
zx z
dz
微元体x、y、z方向的体积力:
xx
xy yx
xx
xx x
dx
f x dxdydz，f y dxdydz，f z dxdydz
微元体上的表面力:
x
方向:
xx
xx x
dx
dydz
xxdydz
yx
yx y
dy
dxdz
yxdxdz
z
xz dz
dy
dx
yy yz
物理意义: (v) 是流体体积变形速率，v=0表示不可压缩流体运动过程 中，不管其形状怎样变化，其体积不会改变。因此，只要是不可压缩流 体，无论稳态流动还是非稳态流动，其连续性方程都一样。
6.1 连续性方程 —— 6.1.2柱坐标和球坐标系中的连续性方程
柱坐标系、球坐标系：如图
z
vz
x r cos y r sin
)
dx
输出微元面的 x 方向动量流量为:
(vxvx
vxvx x
dx)dydz
y
dy A dx
v y vx
vz vx x
(vyvx
vyvx y
dy)dxdz
(vzvx
vzvx z
dz)dxdy
因此: 微元体净输出的 x 方向动量流量：
(vx2 x
)
(vyvx y
)
(vzvx z
)
dxdydz
微元体x、y、z方 向动量的变化率：
vx x
vy y
vz z
0
根据物理量 的质点导数和矢量v的散度定义:
D Dt
t
vx
x
vy
y
vz
z
,
v vx vy vz x y z
连续性方程可表示为： D ( v) 0
Dt
不可压缩流体的连续性方程： const D Dt 0，
v 0 or vx vy vz 0 x y z
流体流动微分方程——流体力学主干方程
包括：连续性方程，运动微分方程—Navier-Stokes方程(N-S方程)； 连续性方程及N-S方程是粘性流体流动质量守恒和动量守恒的数学表达， 具有普遍的适应性。
本章主要内容
流体流动连续性方程：微元质量守恒分析连续性方程 运动微分方程的建立：微元受力与动量分析应力形式的运动方程 粘性流体的运动方程：流体本构方程及讨论运动微分方程(N-S方程) 流动微分方程的应用：N-S方程应用概述与举例
对流传热N-S方程 (Boussinesq Equation of Motion) 湍流时均化N-S方程(雷诺方程)
6.1 连续性方程 —— 6.1.1直角坐标系中的连续性方程
质量守恒方程： 微元体输出
的质量流量
-
微元体输入 的质量流量
+
微元体内的 质量变化率
0
微元体质量守恒分析：如图
vy
(vy y
微元体净输出的x、y、z方向的动图
vyvx
(vyvx y
)
dy
其中箭头方向仅表示输入输出方向。
输入微元面的 x 方向动量流量为:
v x v x
vxvxdydz vyvxdxdz vzvxdxdy
z
dz
vz
vx
( vz vx z
)
dz
vxvx
(vxvx x
fy
fz fx
单位质量
y
A zx zy
体积力
zz
x
zx
zx z
dz
dxdy
zxdxdy
xx x
yx y
zx z
dxdydz
y
方向:
xy x
yy y
zy z
dxdydz
z
方向:
xz x
yz y
zz z
dxdydz
6.2 运动微分方程的建立 —— 6.2.2 动量流量及动量变化率
)
dy
微元面法向速度和质量通量：
vx , vy , vz ；vx , vy , vz
微元面净输出的质量流量:
(vx x
)
(vy y
)
(vz z
)
dxdydz
vx
z
y
微元体质量变化率： dxdydz
t
dz dy
A
vz
( vz z
)
dz
vx
( vx x
)
dx
dx
vy
vz
x
连续性方程：以上结果代入质量守恒方程有
x : vx dxdydz
同理: 微元体净输出的 y 方向动量流量：
(v x x
vy
)
(
v
2 y
y
)
(vzvy z
)
dxdydz
t y : vy dxdydz
t
微元体净输出的 z 方向动量流量：
(vxvz x
)
(vyvz y
)
(vz2 z
)
dxdydz
z : vz dxdydz t
6.2 运动微分方程的建立 —— 6.2.3 以应力表示的运动方程
v z z
z vr
x
r
y
x
z r
x r sin cos y r sin sin
vr z r cos
v
v
y
柱坐标系连续性方程:
t
1 r
r
(rvr )
1 r
(
v
)
z
(vz )
0
对于不可压缩流体:
1 (rvr ) 1 v vz 0 r r r z
球坐标系的 连续性方程：
t
1 r2