向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广

图1

0PA S PB S PC S ⋅+⋅+⋅=奔驰定理证明：若'''0PA PB PC ++=，则'''P A B C ∆为重心，不妨设''',,xPA PA yPB PB zPC PC === 0x P A y P B z P C ⋅++= (1) ''''''1||||

||||sin PB C PB C PBC

S xS PB PC S

PB PC BPC yz xyz

=⋅∠=

''

PA C PAC

yS

S xyz

=

，''

PA B PAB

zS

S xyz

=

'''''

P B C

P A C

P A B

S

S

S

==又

::::P B C P A C P B C

x y z S S S ∴= 0P A S P B S P C

S ⋅+⋅+⋅=式可化为 奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位

向量的关系，将它们放入单位圆中。图2

如图2，已知P A B C 为单位圆，，，在圆上， AP BP CP 、

、所对的角分别为 αβγ，，则 sin sin sin 0AP BP CP αβγ++= 真·奔驰定理

这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。

奔驰车标

接下来，我们要证明的就是这个了。

这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。

于是整个定理就得到了证明。

二、奔驰定理在向量中应用

例1、若ABC 内接于以O 为圆心，以1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=,则该ABC 的面积为 。

AO AB AC λμ=+，设，

ABC 为内部一点2340A P P B P C ++=，则ABC

的面积为（

既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向，当然有向面积不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。因为我没有想出合适的符号，所以用了向量的符号。在三角函数定义时，三角函数线是有向线段，x 轴上方为正，下方为负

图3

如图3，已知P 为平面内一点，则

0BPC APC APB PA S PB S PC S ∆∆∆⋅+⋅+⋅= EX ·奔驰定理

这个是对奔驰定理的推广，我称它为【EX ·奔驰定理】。

那么最后我们对它做进一步推广，大家可以来思考一下。

推广2、【EX ·奔驰定理-A 】将三角形改为多边形，结论是否依旧成立？

推广3、【EX ·奔驰定理-B 】将三角形改为棱锥，P 为顶点，结论是否依旧成立？

若不成立，需要如何修改？