正项级数敛散性地判别方法
级数收敛与发散的判定方法
级数收敛与发散的判定方法级数是由一系列连加的无穷项组成的数列。
在数学中，判断一个级数是收敛还是发散是一个重要的问题。
下面我将介绍几种常见的方法来判定级数的收敛性或发散性。
一、正项级数收敛判定法正项级数是指级数的每一项都是非负数。
对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判定其收敛性或发散性。
1. 比较判别法：如果一个正项级数的每一项都小于等于另一个已知收敛的正项级数的对应项，那么这个级数也是收敛的；如果一个正项级数的每一项都大于等于另一个已知发散的正项级数的对应项，那么这个级数也是发散的。
2. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
3. 根值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的根的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
二、交错级数收敛判定法交错级数是指级数的每一项交替正负。
对于交错级数，我们可以使用以下方法进行判定。
1. 莱布尼茨判别法：对于交错级数，如果级数的每一项绝对值递减趋向于零，并且满足单调性条件，即后一项的绝对值不大于前一项的绝对值，那么该级数收敛。
三、级数收敛判定法对于非正项级数，也有一些方法可以判定其收敛性。
1. 绝对收敛判别法：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛。
2. 条件收敛判别法：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么它是条件收敛的。
四、其他级数的判定方法除了上述常见的判定法外，还有一些特殊的级数判定方法。
1. 积分判别法：将一个级数与一个函数的积分进行比较，如果积分收敛，则级数收敛；如果积分发散，则级数发散。
2. 定积分法：将级数的前n项求和表示为一个关于n的函数，然后对该函数进行定积分，如果定积分收敛，则级数收敛；如果定积分发散，则级数发散。
总结：级数的收敛与发散的判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法、条件收敛判别法、积分判别法和定积分法等。
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳级数是数列之和的概念在数学中的推广。
级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。
下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。
一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。
1.比较判别法对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。
2.比较判别法的极限形式对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：（1）若0<c<∞，则∑b_n收敛或发散，则∑a_n也收敛或发散。
（2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。
比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。
二、比值判别法比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在：（1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛；（2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散；（3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。
比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。
三、积分判别法积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减；（2）级数∑a_n与函数积分∫f(x)dx存在以下关系：a_n=f(n)，则（a）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上收敛，则级数∑a_n也收敛；（b）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上发散，则级数∑a_n也发散。
第二节正项级数及其敛散性判别法
第二节 正项级数及其敛散性判别法正项级数是数项级数中比较简单，但又很重要的一种类型．若级数∑∞=1n nu中各项均为非负，即u n ≥0(n =1，2，…)，则称该级数为正项级数．这时，由于u n =s n -s n -1， 因此有s n =s n -1＋u n ≥s n -1,即正项级数的部分和数列｛s n ｝是一个单调增加数列．我们知道，单调有界数列必有极限，根据这一准则，我们可以得到判定正项级数收敛性的一个充分必要条件．定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是正项级数∑∞=1n nu的部分和数列｛s n ｝有界．例1 试判定正项级数∑∞=122sin n nnπ的敛散性． 解 由s n =21121121218141212sin 8sin 4sin 21264-⎪⎭⎫⎝⎛-=++++<++++n n nn πππ＜1, 即其部分和数列｛s n ｝有界，因此正项级数∑∞=1πn nn2sin 2收敛． 直接应用定理1来判定正项级数是否收敛，往往不太方便，但由定理1可以得到常用的正项级数的比较判别法．定理2 (比较判别法) 设有两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，如果存在正整数N ，使当n＞N 时，u n ≤v n 成立，那么(1) 若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛；(2) 若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv也发散．证 我们不妨只对结论(1)的情形加以证明. 设∑∞=1n nu的前n 项和为A n ，∑∞=1n nv的前n 项和为B n ,于是A n ≤B n ．因为∑∞=1n nv收敛，由定理1，就有常数M 存在，使得B n ≤M (n =1,2,3,…)成立．于是A n≤M (n =1,2,3,…)，即级数∑∞=1n nu的部分和数列有界，所以级数∑∞=1n nu收敛．证明结论(2)的方法与上面相同，读者不难自行完成． 推论1 (比较判别法的极限形式) 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv满足nnn v u ∞→l i m=ρ，则(1) 当0＜ρ＜+∞时，∑∞=1n nu与∑∞=1n nv具有相同的收敛性；(2) 当ρ=0时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu亦收敛；(3) 当ρ=+∞时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu亦发散．证 (1) 由于nnn v u ∞→lim=ρ＞0，取ε=2ρ＞0，则存在N ＞0,当n ＞N 时，有ρ-n n v u ＜2ρ即n v ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2ρρ＜u n ＜n v ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2ρρ．由比较判别法，知结论成立．结论(2)、结论(3)的证明类似，请读者自己完成．例2 判断级数∑∞=1n nn 31sin2的收敛性． 解 由于0≤2n n 31sin ＜2n ·n 31=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32，而级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛132n n 收敛，由比较判别法知∑∞=1n n n 31sin2收敛． 例3 讨论p -级数∑∞=1n pn1的敛散性．解 当p =1时，p -级数即为调和级数∑∞=1n n 1,它是发散的． 当p ＜1时，p n 1≥n 1＞0，由∑∞=1n n 1发散及比较判别法知，∑∞=1n p n1发散．当p ＞1时，由习题8-1的习题3知，正项级数加括号不影响其收敛性．现对级数从左至右依次按1，2，22， (2),…个项对p -级数加括号，得１＋⎪⎭⎫⎝⎛+p p 3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++p p p p 71615141+⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181 +…． 而⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 3121＜⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 2121=121-p ,⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 7141＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 4141 =2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-p ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 8181 =181-p =3121⎪⎭⎫ ⎝⎛-p ，………………于是，p -级数加括号后的级数的每一项均小于以r =121-p （＜1)为公比的等比级数的相应项，而该等比级数收敛，故由比较判别法知，原级数∑∞=1n p n 1收敛． 综上所述，当p ＞1时，∑∞=1n p n 1收敛；当p ≤1时，∑∞=1n p n1发散．例4 判断级数∑∞=+1n n n )1(12的敛散性．解 因为231)1(1lim2n n n n +∞→=nn n n +∞→323lim =2111lim n n +∞→=1，而p -级数∑∞=1231n n收敛(p =23＞1)，故由推论1知∑∞=+1n n n )1(12收敛．例5 试证明正项级数∑∞=+++1n n nn 2512发散． 证 注意到2512+++n n n ＞28n n =n181⋅ (n =1,2,3,…)，因调和级数∑∞=1n n1是发散的，由比较判别法知，∑∞=+++1n n n n 2512发散．仔细分析例4与例5，我们就会发现，如果正项级数的通项u n 是分式，而其分子分母 都是n 的多项式(常数是零次多项式)，只要分母的最高次数高出分子的最高次数一次以上(不 包括一次)，该正项级数收敛，否则发散．利用比较判别法，把要判定的级数与等比级数比较，就可建立两个很有用的判别法．定理3 ［达朗贝尔(d ′Alembert)比值判别法］ 设有正项级数∑∞=1n nu，如果极限n n n u u 1lim+∞→=ρ，那么(1) 当ρ＜1时，级数收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，级数发散；(3) 当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散． 证 (1) 由于nn n u u 1lim+∞→=ρ＜1，因此总可找到一个小正数ε0＞0，使得ρ+ε0=q ＜1．而对此给定的ε0，必有正整数N 存在，当n ≥N 时，有不等式ρ-+nn u u 1＜ε0 恒成立．得nn u u 1+＜ρ+ε0=q ． 这就是说，对于正项级数∑∞=1n nu，从第N 项开始有u N +1＜qu N ， u N +2＜qu N +1＜q 2u N ，…．因此正项级数u N +u N +1+u N +2+…=nn Nu∞=∑的各项(除第一项外)都小于正项级数u N +qu N +q 2u N +…=∑∞=1n Nu ·q n -1 的各对应项，而级数∑∞=1n Nuq n -1是公比的绝对值|q|＜1的等比级数，它是收敛的，于是由比较判别法可知，级数nn Nu∞=∑收敛，由上节性质1，知∑∞=1n nu也收敛．(2) 由于nn n u u 1lim +∞→=ρ＞1,可取ε0＞0，使得ρ-ε0＞1．对此ε0，存在N ＞0,当n ＞N 时，有ρ-+nn u u 1＜ε0 恒成立．得nn u u 1+＞ρ-ε0＞1 这就是说正项级数∑∞=1n nu从第N 项开始，后项总比前项大．这表明n n u ∞→lim ≠0，因此，由级数收敛的必要条件可知，正项级数∑∞=1n nu发散．(3) 当ρ=1时，正项级数∑∞=1n nu可能收敛，也可能发散．这个结论从p -级数就可以看出．事实上，若∑∞=1n nu为p -级数，则对于任意实数p ，有nn n u u 1lim+∞→=ppn n n 1)1(1lim +∞→=1, 但当p ≤1时，p -级数发散；p ＞1时，p -级数收敛．例6 试证明正项级数∑∞=1πn nn 3tan 2收敛．证 因为n n n u u 1lim +∞→=nn n n n 331tan 2tan 2lim 1ππ⋅⋅++∞→=32＜1，所以由比值判别法知，级数收敛．例7 讨论级数2!∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1n n x n （x ＞0）的敛散性．解 因为nn n u u 1lim +∞→=n n n n x n n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→!1)!1(lim 1=ex n x nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim， 所以当x ＜e,即e x ＜1时，级数收敛；当x ＞e ，即ex＞1时，级数发散． 当x =e 时，虽然不能由比值判别法直接得出级数收敛或发散的结论，但是，由于数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11是一个单调增加而有上界的数列，即nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11≤e (n =1,2,3,…)，因此对于任意有限的n ，有n n u u 1+=n n n n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111e＞1． 于是可知，级数的后项总是大于前项，故n n u ∞→lim ≠0，所以级数发散．例7说明，虽然定理3对于p =1的情形，不能判定级数的敛散性，但若能确定在n n n u u 1lim+∞→=1的过程中，n n u u1+是从大于1的方向趋向于1，则也可判定级数是发散的．此外，凡是用比值判别法判定发散的级数，都必有n n u ∞→lim ≠0．定理4 ［柯西(Cauchy)根值判别法］ 设正项级数∑∞=1n nu满足n n n u ∞→lim =ρ，那么(1) 当ρ＜1时，∑∞=1n nu收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，∑∞=1n nu发散；(3) 当ρ=1时，∑∞=1n nu可能收敛，也可能发散．它的证明与定理3的证明完全相仿，这里不重复了．但同样要注意的是，若ρ=1，则级数的敛散性仍需另找其他方法判定．例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12的敛散性．解 因为n nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→12lim =12lim +∞→n n n =21＜1, 故级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n nn n 12收敛．例9 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛1n na x 的敛散性，其中x ,a 为正常数．解 因为n nn a x ⎪⎭⎫⎝⎛∞→lim =ax a x n =∞→lim ． 故当x ＞a 时，a x＞1，级数发散；当0＜x ＜a 时，ax ＜1，级数收敛；当x =a 时，一般项u n =1不趋于零，级数发散．习题9-21． 判定下列正项级数的收敛性： (1)∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2)∑∞=+1n n n 1; (3)∑∞=++1n n n n )2(2;(4)∑∞=+1n n n )5(12；(5)∑∞=+1n na )1(1(a ＞0); (6)∑∞=+1n nba 1(a , b ＞0); (7)()∑∞=--+1n a n a n 22 (a ＞0);(8)∑∞=-+1n n n 1214； (9) ∑∞=⋅1n nnn 23； (10) ∑∞=1n nn n !;(11)∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ; (12)∑∞=1n n n3； (13)∑∞=1n n n 22)!(2；(14) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn 3sin 2;(16) ∑∞=1πn nn n 2cos 32． 2． 试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n nnx ;(2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。
求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。
以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。
1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。
例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。
但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。
2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。
若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。
其中，$a_n$和$b_n$都是正数。
3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。
该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。
此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。
将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。
若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。
正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。
在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。
这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。
我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。
对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。
本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。
希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。
1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。
正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。
正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。
通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。
深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。
1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。
关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。
在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。
目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。
这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数是指级数中所有的项均为非负数的级数，即对于级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，其中a_n\geq0。
正项级数的收敛性和发散性对于数学分析和实际问题都具有重要意义，在实际应用中，我们经常需要对正项级数的收敛性进行判定。
针对正项级数的收敛性和发散性，数学中有多种方法来进行判定，本文将对这些方法进行总结比较。
一、比较判别法比较判别法是判定正项级数收敛性和发散性的常用方法之一。
该方法的基本思想是通过比较给定级数与一个已知级数的大小关系来判定。
比较判别法分为两种情况，分别是比较判别法和极限比较判别法。
比较判别法是指对于给定级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n和另一个级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n，如果对于任意n均有a_n\leq b_n，且级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n收敛，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n也收敛；如果级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n发散，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n也发散。
比较判别法的优点是简单易用，只需找到一个已知级数与待判定级数的大小关系即可进行判定；缺点是对于不同的级数，需要选择合适的已知级数进行比较，因此并不是所有情况都适用。
2. 极限比较判别法极限比较判别法的优点是适用范围广，可以处理更多的情况，但缺点是需要计算极限值，有时可能较为复杂。
二、积分判别法积分判别法是判定正项级数收敛性和发散性的另一种重要方法。
对于给定正项级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，如果a_n是连续函数f(x)在[1,+\infty)上的值，且f(x)在[1,+\infty)上单调递减，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n与函数的积分\int_{1}^{\infty}f(x)dx的收敛性是一致的。
积分判别法的优点是利用了函数积分的性质，简化了级数的判定过程；但缺点是需要对函数进行积分运算，有时可能不太容易求得积分结果。
7.2正项级数敛散性的判别
∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级 数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级 数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例 判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性 、 当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数 、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念 二、比较判别法 三、比值判别法 四、*根值判别法 根值判别法
一、正项级数
称为正项级数 正项级数. 定义 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数 称为正项级数.
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判 断 ∑ u n的 敛 散 性 .
n=1
∞
对欲求级数进行 缩小应缩小为发 发 散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大， 放大，缩小的方向
正项级数敛散性的判别
(1 an )
1
1
1
1
(1 a1 ) (1 a1 ) (1 a1 )(1 a2 )
1
1
(1 a1 )(1 a2 ) (1 an1 ) (1 a1 )(1 a2 )
(1 an )
1 1
(1 a1 )(1 a2 )
(1 an ) 1 {Sn }有界.
n1 n (n2 1)
解：
n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛
,
所以原级数收敛.
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 ln(n 1)
解：
1 1
ln(n 1) n 1
且
1 发散,
n1 n 1
所以原级数发散.
例
判断级数
n1
n 2n
1
n
的敛散性.
解：
n n 2n 1
1 2
n
且
n1
1 2
n
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
n4 1- n4 1 的敛散性.
解：
n1
n4 1- n4 1
2 n4 1
n4 1
2
1
解
lim 3n n n 1
3n
3n
lim
n
3n
n
1
lim
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数是一种特殊的级数，指其中所有的项都是非负数。
在数学和物理等领域中，正项级数被广泛应用。
为了研究正项级数的敛散性，数学家们提出了很多敛散性判别法。
1. 比较判别法比较判别法是判断正项级数敛散性的最基本方法之一。
如果对于级数 $\sum a_n$ 和级数 $\sum b_n$，存在正常数 $C$，使得对于充分大的 $n$，都有 $a_n \leq Cb_n$，那么若级数 $\sum b_n$ 收敛，则级数 $\sum a_n$ 收敛，反之则发散。
比较判别法原理的思路是将待求级数和已知级数比较，将待求级数与已知收敛的级数比较，若待求级数的项小于已知级数的项，则待求级数收敛；若待求级数的项大于已知级数的项，则待求级数发散。
比较判别法需要能选择一个已知级数，使得比较条件能够确定，最好的情况是能选择极大简单（或极小复杂）的已知级数。
例如，在比较判别法的应用中，经常使用常数级数 $\sum C$ 的敛散性，当 $C=0$ 时收敛，当 $C > 0$ 时发散。
因此，只要 $a_n$ 的增长快于常数，就能证明级数 $\suma_n$ 发散。
极限判别法的适用条件为比值必须是存在的，即当 $n$ 充分大时，$\frac{a_n}{b_n}$ 有意义。
比较判别法和极限判别法的区别在于，比较判别法可以比较不同级数之间的项，而极限判别法必须将比值限定在同一个级数内进行比较。
3. Cauchy判别法Cauchy判别法和其他方法不同的地方在于，它并不结合其他级数进行比较，而是对直接对级数的项进行判断。
它的适用条件是需要找到一个不依赖于 $n$ 的实数$\varepsilon$，这也是极度苛刻的。
积分判别法是利用一般函数积分或其他积分的性质来判断正项级数的敛散性。
设$f(x)$ 是定义在 $[1,\infty)$ 上的连续正函数，若 $\int_1^\infty f(x)dx$ 收敛，则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ 也收敛。
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记1.柯西(Cauchy)积分判别法认为：如果正项级数以n→∞收敛，则其和sum(sn)=lim(n→∞)得到的结果为它的积分sum(Sn).2.证明柯西(Cauchy)积分判别法：首先，用反证法：假设正项级数Sn不收敛，那么lim(n→∞)Sn != sum(Sn).其次，我们假设正项级数Sn一定会收敛，此时我们可以证明lim(n→∞)Sn=sum(Sn)。
首先，我们用数学归纳法证明：令n=1，令M是该正项级数的极限，如果S1<M，则总和sum(Sn)<M；如果S1=M，则总和sum(Sn)=M。
其次，我们用数学归纳法证明：令N>1，令S1,S2,...,Sn-1<M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M；如果S1,S2,...,Sn-1=M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M。
最后，综上所述，无论Sn怎么变化，sum(Sn)的最终结果都小于极限M，因而满足总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn。
由此可知，如果正项级数Sn收敛，那么总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn，从而证明了柯西(Cauchy)积分判别法。
综上所述，柯西(Cauchy)积分判别法是完备的，即如果正项级数Sn收敛，则sum(Sn) = lim(n→∞)Sn; 如果正项级数Sn不收敛，则sum(Sn) !=lim(n→∞)Sn。
因此，柯西(Cauchy)积分判别法可以有效地确定积分是否收敛。
如果有多个级数收敛，那么我们可以将多个级数收敛表示成一个函数f(x)，将f(x)在正项级数收敛的区间[a,b]上进行积分，即sum(Sn)=∫f(x)dx；由柯西(Cauchy)积分判别法可知，积分的值sum(Sn)等于极限lim(n→∞)Sn；因此，我们可以用柯西(Cauchy)积分判别法来确定多个级数收敛的总和。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。
在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。
关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。
此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。
如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。
本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。
一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。
而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。
1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。
为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。
定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。
为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。
同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。
一个正项级数敛散性的判别法
一个正项级数敛散性的判别法
正项级数敛散性是指一个级数能够在某种给定的运算规则下被加起来，表示为一个有穷的值。
它允许积分，求和，数组操作以及定义特定类型的序列的可行性。
鉴于其运算的复杂性，正项级数敛散性广泛应用于计算数学，统计学，机器学习等领域。
正项级数敛散性的判别法是指识别任意可求正项级数敛散性序列是否为有穷数的过程。
换句话说，它检查序列中是否有一项或多项位于极限，以检测序列是否有穷。
正项级数的敛散性表示的是序列的最后一项的特性。
若序列的最后一项是有限的，则该序列敛散；若序列的最后一项是无限的，则该序列不敛散。
例如，以下是一个最基本的级数：a_n=1/n^2。
该序列的最后一项是无限的，因此该序列不敛散。
正项级数敛散性的判别法测试可分为三步：首先，检查有限比，它由西格玛紧缩度度量表示；其次，计算绝对正项级数的和；最后，依据给定的条件来定义是否有限。
与奇偶性判断法相比，正项级数敛散性判断法有更少的变量限制，可使用于更多情况下。
总之，正项级数敛散性的判别法是通过检查有限比、计算绝对正项级数的和，以及依据给定条件来判断序列是否有穷的过程，作为鉴别级数是否有穷的效率高、功能强大的数学工具，可广泛应用于计算数学、统计学和机器学习等领域。
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正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。
正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。
根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。
关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。
英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。
因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。
我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。
因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。
2正项级数敛散性判别法2.1判别敛散性的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数1nn u∞=∑收敛⇔0,,,,N N n N p N ε+∀>∃∈∀>∀∈有12n n n p u u u ε++++++<。
取特殊的1p =，可得推论：若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。
2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）： 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为两个正项级数，且有limnn nu l v →∞=，于是（1）若0l <<+∞，则1nn u∞=∑与1nn v∞=∑同时收敛或同时发散。
（2）若0l =，则当1nn v∞=∑收敛时，可得1nn u∞=∑收敛。
（3）若l =+∞，则当1nn v∞=∑发散时，可得1nn u∞=∑发散。
正项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有：比较判别法、比值判别法和根植判别法。
由于比值法与根值法的固定模式，其使用较为方便。
但比较判别法在应用时，由于需要对原有级数进行适当的放缩，选择与之比较的对象级数，学生学习时都感到难度较人。
2.2.1当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时，将借助无穷小量(无穷大量)阶的概念来分析比较判别法的使用，进而给出如何选择比较对象的快捷方法。
由于lim 0n n u →∞≠时，级数1nn u∞=∑必发散。
从而，只需考虑lim 0n n u →∞=时，正项级数1nn u∞=∑的敛散性判别。
借助“无穷小量阶的比较”，即无穷小量趋丁零速度的比较这一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等价理解为 （1）当0l <<+∞，即n u 与n v 是同阶无穷小量（n →∞）时，1nn u∞=∑与1nn v∞=∑同敛散。
（2）当0l =且1nn v∞=∑收敛，即n u 是较n v 的高阶无穷小量（n →∞）时，必有1nn u∞=∑收敛。
（3）若l =+∞且1nn v∞=∑发散，即n u 是较n v 的低阶无穷小量（n →∞）时，可得1nn u∞=∑发散。
这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。
因此可以通过无穷小量(或者无穷大量)阶的比较，简化1nn u∞=∑的通项n u 或对n u 进行适当放缩，进而利用已知级数的敛散性来判别1nn u∞=∑的敛散。
例1、判别级数21ln n n n ∞=∑和12n n nn ∞=-∑的敛散性。
分析：在实际题目中，常见的无穷大量有ln n ，()()0,1an n a a a >>等。
其发散的速度：在n →∞时，()()ln 01an n na a a <<><<>。
从而，（1）()()()2221ln 11,0,;2,1,2a a na a n n n na n a n n n n n n nn--<=>→∞<>→∞--。
结合比较判别法的使用。
故（1）中的比较对象21an-的a 的取值应保证21a ->，即01a <<。
（2）中的比较对象11a n -的a 的取值应保证11a ->，即2a >。
解：（1）可取12a =，有232ln lim 01n nn n →∞=。
又3121n n ∞=∑收敛，则由比较判别法可知21ln n n n ∞=∑也收敛。
（2）可取3a =，有22lim 01n n nn n→∞-=。
又211n n ∞=∑收敛，则由比较判别法可知12nn n n∞=-∑也收敛。
使用正项级数比较判别法时需要熟记P-级数11p n n ∞=∑以及等比级数()110,0n n aq a q ∞-=≠≠∑的敛散性，再结合本文给出的利用阶的概念对级数通项进行放缩的方法．便能较快捷地选定常用作比较对象的P-级数或等比级数的具体形式，准确判别出正项级数的敛散性。
[1]同样，我们可以利用等价无穷小来判断正项级数的敛散性，仍需熟记P-级数11p n n ∞=∑的敛散性。
[2] 2.2.2当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象。
例2：判别级数12sin3n nn π∞=∑的敛散性。
分析：考虑当0x >时，sin x x <，则2sin ,2sin 233333nnnn n n n πππππ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，而123nn π∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是公比213q =<的收敛级数，故原级数收敛。
2.3根值判别法以及两个推广定理一（根值判别法的极限形式）： 有正项级数1nn u∞=∑，若n l =，则（1）当1l <时，级数1nn u∞=∑收敛。
（2）当1l >时，级数1nn u∞=∑发散。
2.3.1一般的情况例1：判别级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑的敛散性。
解：由于1lim 1212n n n n n →∞===<+，根据柯西判别法的推论，可得级数121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛。
2.3.2根值判别法推广，若将判别极限nnn 在一定条件下将比原判别方法更为精细，且应用围也有所推广。
引理一：如果()101,2,n n u u n +≥≥=，则级数1n n u ∞=∑收敛当且仅当级数1nn mn m u ∞=∑收敛。
[3] 引理二：设1nn u∞=∑与1nn v∞=∑为两个正项级数，且存在正整数N ，当n N >时，不等式()10,1,2,,1n n n nm i m i u v i mm +++≤=--成立，则若级数1n n v ∞=∑收敛必有级数1n n u ∞=∑收敛；若级数1nn u∞=∑发散必有级数1nn v∞=∑发散。
定理二：设1nn u∞=∑为正项级数，m 为大于1的自然数。
若级数通项满足()11,2,3,,lim n n n n u v n u ρ+→∞≤==，则当1m ρ<时级数收敛；当1mρ>级数发散；而当1mρ=时，级数的敛散性不能判定。
[4] 定理三：设1nn u∞=∑为正项级数，m 为大于1的自然数。
如果n ρ=其中10,1,2,,1n n i m m +=--，则当1m ρ<时级数收敛；当1m ρ>级数发散；而当1mρ=时，级数的敛散性不能判定。
[4]定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细。
定理的应用不再详细举例，比如对级数1n e ∞=∑及()3113nnn n n ∞=⎤-⎣⎦∑，值或根值判别法不能判别其敛散性，但用本文的定理二或定理三其敛散性即可判别。
2.4达朗贝尔判别法(比值判别法)及其推广 定理三（比值判别法的极限形式）：有正项级数1n n u ∞=∑（0n u >），且1lim n n nu l u +→∞=1）当1l <时，级数1nn u∞=∑收敛。
2）当1l >时，级数1nn u∞=∑发散。
2.4.1一般的情况例1：判别级数的敛散性。
解：由于()()11!111!111limlim lim lim 11n n nn n n n n n n n n n n n u n u n ε++++⎛⎫→∞→∞→∞→∞+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥====< ⎪+⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以根据达朗贝尔判别法的推论知，级数1!n n n n ∞=∑收敛。
2.4.2比值判别法的推广，在借鉴比值判别法的基础上，通过对构成正项级数的解析式进行分析给出了判断正项级数敛散性的一种方法。
定理一：设()y f x =是取值为正且可导的函数。
1）如果存在负数a ，使得当x 足够大时有()()f x a f x '<，则正项级数()0n f n ∞=∑收敛；2）如果存在正数b ，使得当x 足够大时有()()f x b f x '>，则正项级数()0n f n ∞=∑发散；3）如果不存在满足以上条件的实数，则正项级数()0n f n ∞=∑可能收敛，也可能发散。
[5]定理一的应用不再详细举例，比如对级数12n n n ∞=∑、13ln nn n ∞=∑和()1ln nn n n ∞=∑的敛散性则可用上述的定理。
[5]2.5比式与根式审敛法的推广 正项级数的审敛法有很多种，其中以达朗贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最基础也是使用频率最高的两种方法。
一般情况下，这两种审敛法都是分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的审敛法。
定理一：设(),0,01,2,n n n n n w u v u v n =⋅≥≥=。
若1,limnn n n v u v v →∞-==。
则1）当1uv <时，级数1nn w∞=∑收敛；2）当1uv >时，级数1nn w∞=∑发散；[6]例1：判定级数()111tan 221nn n n n n π∞-=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑的敛散性。
解：设()1,1tan 212nn n n n u v n n π-⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭。
则1lim 212n n n n →∞==+ ()()1111tan1122lim lim lim2tan22n n n n n n n nn n n vv n n ππππ++→∞→∞→∞-++===⋅ 由于1111224⨯=<，所以原级数()111tan 221nn n n n n π∞-=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑收敛。