16—17学年下学期七年级优等生学科竞赛数学试题(附答案)

育才竞赛数学试卷（勾股定理）
一、综合题
1、国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．
请问哪种方案更优惠？
2、（1）问题发现：如图1，△ACB
和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，易证△BCE ≌△ACD ．则
①∠BEC ＝＿＿＿＿＿＿°；②线段AD 、BE 之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，若AE ＝15，DE ＝7，求AB 的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP ＝8，求BD的长．
3、【问题发现】
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，若B，D，E在同一直线上，连接AE．（1）请你在图中找出一个与△AEC全等的三角形：；
（2）∠AEB的度数为；CE，AE，BE的数量关系为．
【拓展探究】
如图2，△ACB是等腰直角三角形，∠AEB=90°，连接CE，过点C作CD⊥CE，交BE于点D，试探究CE，AE，BE的数量关系，并说明理由．
【解决问题】
如图3，在正方形ABCD中，
CD=5，点P为正方形ABCD外一点，∠APC=90°，且AP=6，试求点P到CD的距离．
二、作图题
4、图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．
具体要求如下：
三、计算题
5、如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C 是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
(1)求证：四边形OGCH是平行四边形。

(2)当点C 在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度。

(3)求证：是定值。

四、选择题
6、为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案。

小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中。

如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高
度(精确到0.01m ，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)是（）
A．0.62m B．0.76m C．1.24m D．1.62m
7、如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC、AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于（）
A．1 B ．C ．D．2
8、园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，且AB⊥BC，这块草坪的面积是( )
A．24m2B．36m2C．48m2D．72m2
)
9、已知如图，在△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于D，CD=2，则BD的长为(
10、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3＋b4的值为（）
A．35 B．43 C．89 D．
97
五、填空题
11、在等腰Rt△ABC中。

AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD．使点C、D在AB的
同侧，再以CD为一边作等边△CDE，使得C、E在AD 的异侧，若AE=1，则CD的长为。

12、如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为________
13、如图所示，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B处的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱形的侧面爬到B点，则最短路程是。

(结果保留整数)
14、两人从同一地点同时出发，一人以20米／分的速度向北直行，一人以30米／分的速度向东直行，10分钟后他们之间的距离是。

15、如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36 º的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之
比为.若AB=,则MN= ．
参考答案一、综合题
1、解：（1）∵双曲线过A（3，），
∴k=20．
把B（-5，a）代入，得
a=-4．
∴点B的坐标是（-5，-4）．
设直线AB的解析式为，
将A（3，）、B（-5，-4）代入，得
解得：．
∴直线AB的解析式为：
（2）四边形CBED是菱形．理由如下：
点D的坐标是（3，0），点C的坐标是（-2，0）．∵BE∥x轴，
∴点E的坐标是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四边形CBED是平行四边形．（6分）
在Rt△OED中，，
∴，
∴ED=CD．
∴四边形CBED是菱形．
2、．解：（1）①120°……………………2分，②AD＝BE……………………………4分
（2）
（3）如下图所示
由（2）知△BEC≌△APC，
∴BE=AP＝5，∠BEC=∠APC＝150°，
∵∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，∠APD=30°，∠EPC=60°，
∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，∠DPC＝120°
又∵∠DPE＝∠DPC＋∠EPC＝120°＋60°＝180°，即D、P、E在同一条直线上
∴DE=DP+PE=8+4=12，BE=5，
∴∴BD的长为13
3、【考点】LO：四边形综合题．
【分析】【问题发现】（1）根据等边三角形的性质、全等三角形的判定定理证明△AEC≌△BDC；
（2）根据△AEC≌△BDC，得到∠AEC=∠CDB=120°，计算即可；
【拓展探究】证明△AEC≌△BDC，得到△ECD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质计算；
【解决问题】分点P在AD上方、点P在AB的左侧两种情况，根据相似三角形的性质计算．【解答】解：【问题发现】（1）△AEC≌△BDC，
证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECA=∠DCB，
在△AEC和△BDC中，
，
∴△AEC≌△BDC，
故答案为：△BDC；
（2）∠CDB=180°﹣∠CDE=120°，
∵△AEC≌△BDC，
∴∠AEC=∠CDB=120°，AE=BD，
∴∠AEB=60°，
BE=DE+BD=CE+AE；
故答案为：60°；CE+AE=BE；
【拓展探究】∵CD⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
∵∠AEB=90°，∠ACB=90°，
∴A、E、C、B四点共圆，
∴∠EAC=∠DBC，
在△AEC和△BDC中，
，
∴△AEC≌△BDC，
∴AE=BD，CE=CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴ED=CE，
∴BE=DE+BD=CE+AE；
【解决问题】当点P在AD上方时，连接AC、PD，作PH⊥CD交AD的延长线于H，
∵AD=5，
∴AC=10，
则PC==8，
由拓展探究可知，PD==，
∵PH∥AD，
∴∠DPH=∠ADP，
∴∠DPH=∠ACP，
∴PH=PD×=；
当点P在AB的左侧时，同理PH=．
二、作图题
4、如图（a）、图（b）、图（c）
三、计算题
5、证明：（1）连结OC交DE于M，由矩形得OM＝CG，EM＝DM 因为DG=HE所以EM－EH＝DM－DG得HM＝DG
（2）DG不变，在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，所以DG＝1
（3）设CD＝x,则CE＝，由得CG＝
所以所以HG＝3－1－
所以3CH2＝
所以
四、选择题
6、C
7、D
8、B
9、C
10、B
五、填空题
11、
12、49cm2
13、25
14、100米
15、。