一次函数和二次函数.doc

第二章第二单元 一次函数和二次函数

1．一次函数

（ 1）一次函数的概念

函数

叫做一次函数，它的定义域是

R ，值域为 R.

一次函数的图象是

，其中 k 叫做该直线的

，b 叫做该直线在 y 轴上

的

．

一次函数又叫 ．

（ 2）一次函数的性质

①函数的改变量y ＝

与自变量改变量

x ＝

的比值等

于

， k 的大小表示直线与 x 轴的

．

②当 k>0 时，一次函数是 ；当 k<0 时，一次函数是

． ③当 b ＝ 0 时，一次函数为 ，是

； 当 b ≠0 时，它

． ④直线 y ＝ kx ＋b 与 x 轴的交点为

，与 y 轴的交点为

。

2．二次函数

（ 1）函数 y ＝ ax 2＋bx ＋ c (a ≠ 0 ) 叫做 ，它的定义域为 R.

（ 2）二次函数的性质与图象

图象

函数性质

定义域

x ∈ R

a>0

a<0

值域

2

2

y

[ 4ac

b ,

)

y

( , 4ac b

]

4a

4a

a ＞ 0

奇偶性

b=0 时为偶函数， b ≠ 0 时既非奇函数也非偶函数

a>0

a<0

x (

, b

]时递减 ,

x

( , b ]时递增 , 单调性

2a

b 2a

x

[

b )时递增 x

[

,

)时递减

,

2a

a ＜ 0

2a

图象特点

1 对称轴 : x

b ; 2 顶点:( b

, 4ac b 2

)

2a

2a 4a

抛物线有最低点，

抛物线有最高点，

当 x

b

当 x

b

时， y 有最小值

时， y 有最大值

最值

2a

2a

4ac b 2 4ac b 2

y min

y max

4a

4a

(3) 配方法

将二次函数 y＝ ax 2

＋bx＋ c 配成顶点式 y＝x a( － h)

2

＋ k 来求抛物线的顶点和函数 y 的最值

问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（ 4）二次函数解析式的三种形式

①一般式： f（ x）= ax2+bx+c(a ≠ 0) .

2

③两根式： f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠ 0)，x1、x2为两实根．

3．待定系数法

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，

形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。可先把所求函数写为一般这种通过求待定系数来

题型一一次函数的图象和性质

1 y (m 2)x m

2 3m 2

，它的图象在

y

轴上的截距为

4

，则 m 的

、已知一次函数

值为（）

（A）4 （B）2 （C）1 （D） 2或1

【答案】． C；

2、一次函数y kx k ，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过（）

（ A ）第一、二、三象限

（ C）第一、二、四象限【答案】． B ；（B ）第一、三、四象限（D ）第二、三、四象限

3、已知函数y 3x 5 x 5,5 ，则其图象的形状为（）

（ A ）一条直线（ B ）一条线段（ C）一系列点（D）不存在【答案】． B ；

4．如果ab>0， bc<0，那么ax＋ by ＋ c＝0 的图象的大致形状是（）

【答案】

A

5．已知直线 y ＝ kx ＋b 过点小关系是 （ ） A ． y 1>y 2 B ． y 1

A( x 1， y 1) 和 B (x 2， y 2 ) ，若 k<0 且 x 1

C ． y 1＝ y 2

D ．不能确定 【解析】 ∵ k ＜ 0，∴ y ＝ kx ＋ b 是减函数．

∴当 x 1＜x 2 时， y 1＞ y 2. 【答案】 A

题型二 二次函数的图象和性质

1．二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的图象如右图所示，则 ( )

A ． a>0， b>0

B ． a>0，c>0

C ． b>0， c>0

D ． a 、 b 、 c 均小于 0 【解析】 由图象开口向下知 a<0，而－ b/2a>0 ，∴ b>0

又 f (0 ) ＝ c>0. 【答案】 C 2. 若二次函数 f x

ax 2

4 a 2 x b

对任意的实数ｘ都满足 f (3 x) f (3 x) ，则实

( ) 2

数ａ的值为

（

）

Ａ．

3

Ｂ．－ 3

Ｃ．－３

Ｄ．３

2

2

【答案】 Ｄ．

【方法技巧】 在解决与二次函数对称轴有关的问题时如果能合理应用下面的结论会简化解

题过程：若函数对任意的实数ｘ满足

f (x m) f (x m) ，则 f ( x) 的对称轴是ｘ＝ｍ．

3．已知函数 f(x) ＝2x 2－ 3x ＋ 1，

(1) 求这个函数图象的顶点坐标和对称轴方程；

(2) 求这个函数的最小值；