导数在实际生活中的应用1教案

导数在实际生活中的应用1

教学目标

1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用

2、提高将实际问题转化为数学问题的能力

教学重点理利用导数解决生活中的一些优化问题

教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题

教学过程

一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

二．新课讲授

1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方

面：

（1）与几何有关的最值问题；

(2)与物理学有关的最值问题；

(3)与利润及其成本有关的最值问题；

(4)效率最值问题。

2、解决优化问题的方法：

首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

3

三．例题讲解

4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海

_ x _ x

_ 60

_ 60

x

报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小

解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为

128

x

dm,此时四周空白面积为 128512

()(4)(2)12828,0S x x x x x x

=++-=++>

求导数，得'

2512()2S x x

=-。

令'

2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。

于是宽为128128

816

x ==。

当(0,16)x ∈时，'

()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'

()S x >0. 因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。

所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。

5、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省

解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积

S=2πRh+2πR 2

由V=πR 2h ，得2

V

h R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2 令 22()V

s R R

'=-+4πR=0

解得，R=3

2V π，从而h=2V R

π=2

3()

2V

V ππ

=34V π=23V π

即h=2R

因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

6、在边长为60 cm 的正

方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它

的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大最大容积是多少

解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602

x

h -=

cm ，得箱子容积 260)(3

22

x x h x x V -== )600(<

2

3()602

x V x x '=- )600(<

令 2

3()602

x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，

并求得V(40)=16 000

由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3

解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ， 则得箱子容积x x x V 2

)260()(-=)300(<

由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小， 所以最大值出现在极值点处． 事实上，可导函数

2

60)(322

x x h x x V -==、x x x V 2

)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，

从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

练习：在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益

函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）、如果C(x)＝10005003.0102

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6

++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低

(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

（2）、如果C(x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－，那么怎样定价，可使利润最大

变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ， 价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8

1

25-

=．求产量q 为何值时，利润L 最大 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格． 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211

252588

R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-

=- ⎪⎝⎭， 利润2211

25(1004)2110088

L R C q q q q q ⎛

⎫=-=-

--=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1

214

L q '=-+

令0L '=，即1

2104

q -+=，求得唯一的极值点q =答：产量为84时，利润L 最大

四、回顾反思：

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