chap4 对称要素组合定理及对称型
4周公度第四版结构化学第四章分子的对称性
4.1.2 反演操作和对称中心
与对称中心 i 对应的对称操作叫反演或倒反 i 。 若将坐标原点放在对称中心处，则反演操作将空间 任意一点（x, y, z）变为其负值（-x, -y, -z），反演操
作的矩阵表示为：
y
i
x
x ' 1 0 0 x ' y y 0 1 0 z' z 0 0 1
3
C
1
1 3
C32
1 2
E
3
2 2
1 C3
1
2
3
C
2 3
3
1
1 ˆ2 2 ˆ1 ˆ ˆ ˆ C3C3 C3 C3 E
操作和逆操作
ˆ 的逆，反之 A ˆ为 A ˆ ˆ BA ˆˆ E ˆ ,则 B ˆ 也为 逆操作: 若 AB ˆ 的逆。 B
写为 显然，对于 C
1 ˆ ˆ A B 1 ˆ ˆ BA
两个 d 反式二氯乙烯 ClHC=CHCl
平面型分子中至少有一个镜面，即 分子平面。
镜面的例子
一个 v
一个包含OH键 的平面 另一个垂直于它
两个 d
H2O
镜面的例子
CO2 , H2, HCl 等直线分子有无数个 v 镜面
4.1.4 旋转反演操作( Î n )和反轴(In )
这一个复合对称操作：先绕轴旋转3600/n(并未进入等价 图形)，接着按对称中心(在轴上)进行反演(图形才进入等价 图形)。对应的操作为:
基转角: a =(360/n)°能使物体复原的最小旋转角
ˆ C 1 ˆ C 3
360 a 360 1 360 a 120 3
ˆ C 2 ˆ C 4
第四章分子的对称性
Cn , 再凭 先凭借某一轴线施行旋转操作
借此轴线上的一点进行反演操作 i 的复合操作 称为旋转反演操作, 称为旋转反演操作 , 施行旋转反演操作所凭 借的轴线称为反轴 In.
与两个操作的先后顺序无关. I n = C n i = i C n 与两个操作的先后顺序无关.
旋转反演操作 I n = Cn i
与两个操作的先后顺序无关. S n = σ h C n = C nσ h 与两个操作的先后顺序无关.
例:映转操作 S4
映转操作 S 4 = σ h C 4
B B A D C
A D C
C4
σh
D C A
σh
C B A
D
B
C4
映转轴 S4
<5> 旋转反演操作 In = C n i 和反轴 In
C2 i
i.
H2O
C6H6
<4> 映转操作 S n = σ h C n 和映转轴 Sn
先凭借某一轴线施行旋转操作 Cn , 再凭借与
此轴垂直的平面进行反映操作 σ h 的复合操作
称为映转操作, 施行映转操作所凭借的几何 称为映转操作 , 元素为一轴线,称为映转轴. 元素为一轴线,称为映转轴.
A B D C
C4
B A D C
i
A
C D B
i
C D A B
C4
反轴 In
§4-2 对称元素的组合
对称操作的乘积: 对称操作的乘积:先施行操作 A ,再施行 操作 的效果相同, 操作 B ,总的效果与施行操作 C 的效果相同, 的乘积, 就说 C 是 A 和 B 的乘积,记为 C = AB . 两个夹角为α的对称面的交线, <1> 两个夹角为 α 的对称面的交线 , 一定是 σ V1 σ V2 一个基转角为 2α的 重对称轴. n 重对称轴. α
图形推理对称知识点总结
图形推理对称知识点总结一、基本概念1. 对称轴：对称图形上的直线，对称图形在这条直线两侧的部分完全相同。
2. 对称中心：对称图形上的点，对称图形上任意一点都可以通过对称中心找到对应的点，使得这两个点关于对称中心对称。
3. 对称图形：对称图是指通过某个对称变换，图形能够重合的图形。
4. 对称变换：指图形在直线、点或者平面上的对称移动。
二、图形的对称分类1. 按对称轴分类：- 垂直对称：对称轴为垂直线，如正方形、长方形等。
- 水平对称：对称轴为水平线，如等边三角形、圆等。
- 斜对称：对称轴为斜线，如等腰三角形、菱形等。
2. 按对称次数分类：- 奇次对称：对称轴上的点不动，图形经过对称后和原来的位置有区别。
- 偶次对称：对称轴上的点随着对称存在的次数成对出现。
三、对称的性质1. 对称图形的性质：- 对称图形的对角、对边、对顶角相等。
- 对称图形的对边互为垂直平分线。
- 对称图形的对角线互相垂直且平分。
2. 对称中心的性质：- 同一个图形的对称中心只有一个。
- 对称中心一定在对称图形的内部、外部或边上。
四、对称的判定方法1. 观察法：通过观察图形的外观，判断其是否对称。
2. 折叠法：将图形按对称轴折叠，两边是否完全重合即可判定是否对称。
3. 水平/垂直线判断法：通过水平和垂直线的对称性质判断图形是否对称。
五、对称图形的应用1. 制作图案：对称图形易于绘制，可以用来制作装饰图案、传统刺绣等。
2. 场合布置：对称图形的布局美观大方，常用来布置庆典场合、展览会等。
3. 平面设计：对称图形的应用广泛，可用来设计商标、字体、广告等。
六、图形推理对称题型1. 找对称中心：给定一个对称图形，要求找出其对称中心的位置。
2. 补全对称图形：给定一部分对称图形，要求补全其对称部分，使得整体对称。
3. 判断对称图形：给定一组图形，要求判断哪些是对称的，哪些不是。
4. 进行对称变换：给定一组图形，要求进行一定次数的对称变换，找出最终的对称图形。
第二节对称元素组合原理
第二节对称元素组合原理第二节对称元素组合原理反映面之间的组合 ?反映面与旋转轴的组合 ?旋转轴与对称中心的组合 ?反映面与反轴的组合 ?旋转轴之间的组合反映面之间的组合反映面之间的组合定理：两个反映面相交，其交线为旋转轴，基转角为反映面相交角的2倍。
图示反映面之间的组合若维持交线位置和二反映面夹角不变，仅改变二反映面的取向则改变中间过渡点B的位置，而对A、C点相对位置无影响，即动作的效果仍然一样。
反映面之间的组合推论：基转角为2α的旋转轴可以分解为两个夹角为α的反映面的连续操作。
P1 ? P2 = Ln反映面之间的组合反映面与旋转轴的组合反映面与旋转轴的组合定理：如果有一反映面穿过一n次旋转轴，则必同时有n个反映面穿过此旋转轴。
Ln + P/ = Ln nP/ m? Ln = m ? m1 ? m2 = I ? m2 = m2 注：“+”表示组合，“?”表示连续动作图示反映面与旋转轴的组合L3 60° BA m1C m2万花筒定理反映面与旋转轴的组合在与m成α/2角度处有一反映面后，可以推断每隔α/2角度便360 ° 有一反映面，共有(α 2 ) = 2 n 个反映面。
但其中第1个与第?α? ? = 180 ° ， n+1个，第2个与第n+2个，···反映面间夹角为n × ? ?2? 实际上相重合，因此反映面的数目仅有n个，与旋转轴的轴次相同。
此定理又形象地称为万花筒定理。
旋转轴与对称中心的组合旋转轴与对称中心的组合定理：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。
L2n + C = L2n m⊥ C L2 ? C = m⊥首先证明L2 的情况旋转轴与对称中心的组合L2 ? C = m⊥L4与对称中心组合图示旋转轴与对称中心的组合推论一：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称中心。
偶次旋转轴与反映面的组合L2n + P⊥ = L2n P⊥C L2 ? P⊥ = C推论二：反映面和对称中心的组合，必有一垂直反映面的二次轴。
数学对称知识点总结
数学对称知识点总结数学中的对称性是一个非常重要的概念，它涉及到几何、代数以及许多其他数学领域。
对称性是指物体或形状具有相对称的性质，也就是说，它们可以被某种变换保持不变。
在这篇文章中，我们将总结一些与对称性相关的重要知识点，包括几何中的对称性、代数中的对称性以及一些其他领域的应用。
1. 几何中的对称性在几何中，对称性是一个非常重要的概念。
一个形状或物体可以具有各种不同类型的对称性，包括轴对称、中心对称和旋转对称等。
轴对称：一个形状或物体如果可以被某一条直线分成两部分，使得这两部分完全相同，那么这个形状或物体就具有轴对称性。
轴对称的形状通常具有对称轴，也就是分割它们的直线。
例如，正方形、矩形和圆形都具有轴对称性。
中心对称：一个形状或物体如果可以被某一点分成两部分，使得这两部分完全相同，那么这个形状或物体就具有中心对称性。
中心对称的形状通常具有旋转中心，也就是分割它们的点。
例如，正五边形、正六边形和正八边形都具有中心对称性。
旋转对称：一个形状或物体如果可以通过某一个点旋转一定角度后变成原来的样子，那么这个形状或物体就具有旋转对称性。
旋转对称的形状通常具有旋转中心和旋转角度。
例如，正三角形、正六边形和正八边形都具有旋转对称性。
这些对称性是几何中的重要概念，它们在研究和描述各种形状和物体时起着至关重要的作用。
对称性的性质也是很多数学问题的解题关键，比如在求解几何问题、计算面积和周长等方面都有重要的应用。
2. 代数中的对称性在代数中，对称性也是一个非常重要的概念。
代数中的对称性通常指的是一个函数或表达式在变量交换或变换操作下保持不变的性质。
具体来说，代数中的对称性可以分为函数对称性和方程对称性两个方面。
函数对称性：一个函数如果在变量交换或变换操作下保持不变，那么它就具有函数对称性。
常见的函数对称性包括奇函数和偶函数。
奇函数：一个函数 f(x) 如果对于任意实数 x 都有 f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。
对称相关数学知识点总结
对称相关数学知识点总结一、几何中的对称在几何中，对称是一个非常基本的概念。
对称主要包括轴对称和中心对称两种类型。
1.轴对称轴对称是指如果图形绕某条直线旋转180度后仍能重合，那么就称这个图形具有轴对称性。
轴对称的特点是对称轴两边的图形完全相同。
常见的轴对称图形包括正方形、长方形、圆等。
在轴对称的图形中，我们可以找到一条或多条轴对称轴。
轴对称的性质：①.图形的轴对称轴上的每个点和对称轴上对应的点互为对称点，他们与对称轴的距离相等。
②.图形的轴对称轴将图形分成两部分，这两部分中的每个点关于轴对称轴都互为对称点。
2.中心对称中心对称是指如果图形绕一个点旋转180度后仍能重合，那么就称这个图形具有中心对称性。
中心对称的特点是图形中心与对称中心的每个点互为对称点。
中心对称的性质：①.图形的中心对称中心上的每个点和对称中心上对应的点互为对称点，他们与对称中心的距离相等。
②.对于中心对称的图形，我们可以找到中心对称中心，使得图形中的每个点都关于中心对称中心对称。
几何中的对称性在很多图形的研究中都有着重要的应用。
比如在研究正多边形时，就要探讨其轴对称和中心对称的性质；在研究对称图形的面积时，要考虑对称性对面积的影响等。
二、代数中的对称在代数中，对称性主要体现在函数、方程、矩阵等方面。
1.函数的对称在函数中，常见的对称形式有偶函数和奇函数。
对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(x)= f(–x)，那么就称f(x)为偶函数；如果对于任意的x，有f(x)=–f(–x)，那么就称f(x)为奇函数。
偶函数的特点是其图象关于y轴对称，奇函数的特点是其图象关于原点对称。
在实际问题中，偶函数和奇函数的对称性质经常用来简化计算，研究函数的性质等。
2.方程的对称在方程中，一些特殊形式的方程也有对称性。
比如，关于x、y的二次齐次方程ax^2 +by^2 = 0，如果交换x和y的位置方程不变，那么就称此方程具有对称性。
另外，有一些特殊形式的方程也具有对称性，比如关于x、y、z的二次齐次方程ax^2 +by^2 + cz^2 = 0，可以根据其对称性来研究解的性质。
对称的知识点总结
对称的知识点总结一、对称性的概念对称性是指物体或事物在某种变换下保持不变的性质，由此产生了一些规则和不变性。
换句话说，对称性就是变换不改变某些性质的性质。
在几乎所有的自然科学领域中，都会涉及到对称性的问题，对称性也是许多自然规律的基础。
1. 对称性的概念对称性是现代数学的一个基本概念，是指一种性质：在某种约定的变换下，对象保持不变。
举个简单的例子，把一个正方形旋转90度，它还是一个正方形，这就是一个简单的对称性。
通常情况下，我们讨论对称性时主要是指几何形状的对称性，但实际上，对称性也体现在代数、几何、拓扑等多种数学领域。
2. 对称性的基本概念对称性是指物体或事物在某种变换下保持不变的性质，由此产生了一些规则和不变性。
3. 对称性的作用对称性是世界上普遍存在的一种性质，它无处不在，影响着我们周围的一切。
对称性在自然科学和数学中起到了举足轻重的作用，它帮助我们解释了很多自然现象，为我们提供了一些重要的工具和思想。
二、对称性的种类对称性种类繁多，基本种类包括平移对称、旋转对称、轴对称、中心对称等，每种对称性都有其特点和应用。
了解各种对称性的特点和应用有助于我们更好地理解对称性在自然界中的普遍性。
1. 平移对称平移对称是指物体在平行于某一直线方向上的位移是保持不变的。
简单来说，就是将物体沿某一方向挪动后，它仍然是原来的样子。
平移对称性在数学中有着广泛的应用，它是代数结构的一个基本概念，也是几何形状的一个重要特征。
2. 旋转对称旋转对称是指物体在某一角度的旋转下是保持不变的。
以圆形为例，它在任何角度的旋转下都是一样的，这就是旋转对称。
旋转对称性是世界上普遍存在的一种性质，许多物体和现象都具有旋转对称性。
3. 轴对称轴对称是指物体相对于某一条直线的旋转180°后还是原来的样子，这条直线就被称为对称轴。
许多几何图形和生物形态都具有轴对称性，这种对称性在现实生活中具有很重要的应用。
4. 中心对称中心对称是指物体相对于一点的镜像对称性，这一点称为对称中心。
chap4 对称要素组合定理及对称型解读
红锌矿
逆定理
若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对
称轴，其基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他n个 包含Ln的P。 思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理4 若有一L2垂直于Lin，或有一P包含Lin
n为奇数时——必有n个L2垂直于Lin和n个P包含Lin；
n为偶数时——必有n／2个L2垂直于Lin和n／2个P包含Lin。 Lin P// =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P// （n为偶数） Linn L2 nP//（n为奇数）
第三节 对称要素的组合定理
对称要素的组合问题提出
例如：立方体3L44L36L29PC
对称要素有时并不是孤立的，且对称要素(操作) 之组合也
可导出新的对称要素(操作) 。 对称要素组合（共存）是有规律的，其规律是： 必须遵循对称要素的组合定理； 不符合对称要素组合定理的共存形式不可能存在。
定理1
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（面式）： 根据组合规律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
（1）A类对称型的推导：
5 ）对称轴 L n 与垂直它的对称面，以及包含它的对称面的组合（轴面
式）：
垂直Ln的P与包含Ln的P的交线，必为垂直Ln的L2， 即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC（偶数）
7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合（反伸
面式）： 根据组合规律：当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
对称群s4及其正规子群a4,k4的若干性质
对称群s4及其正规子群a4,k4的若干性质群S4是一个实对称群，它是由4个元素组成的群，这四个元素可用{e,a,b,c}表示，且满足交换律，即$a*b=b*a$，群S4有一个子群A4和另一个子群K4。
A4是一个偶交换群，具有4个元素，它们可以用{e,a,b,ab}表示，这4个元素是相等的，它们都满足交换律，即$a*b=b*a$而其非自反元素$a,b$满足$a*b=b*a=ab\ne$。
K4则是一个c-群，具有4个元素，它们可以用{e,a,b,c}表示，这4个元素是不等的，它们都满足交换律，即$a*b=b*a$而其非自反元素$a,b,c$满足$a*b=b*a=ab=c\ne$。
群S4是一个实对称群，而它的子群A4和K4则是该群不可分离的两个正规子群。
从某种意义上讲，群S4的子群A4和K4才是这个群的真正的“基本”要素，这两个正规子群为群S4提供了特殊的含义和特殊的性质。
群A4是一个偶交换群，具有4个元素，它们可以用{e,a,b,ab}表示，其非自反元素$a,b$满足$a*b=b*a=ab\ne$，而它的左零元和右零元分别为$e*a=a^2=e$和$e*b=b^2=e$，因此群A4是有限群，它是一个符合可交换律的群，它具有以下性质：1. 群A4是一个完全正规的偶交换群，此群满足可交换律，并且其元素是有序的，但没有自反元素。
2. 每个元素的幂正好是2，态度函数恒定且为1。
3. 群A4是一个左结合群和右结合群。
4. 群A4有一个相应的共轭A4群。
K4则是一个组成群，它具有4个元素，可以用{e,a,b,c}表示，它们都满足可交换律，并且其元素是不等的，即$a*b=b*a=ab=c\ne$，其左零元和右元为$e*a=a^3=e$和$e*b=b^3=e$，因此K4是有限群，它也具有以下性质：1. 群K4是一个完全正规的组成群，此群满足可交换律，其元素是不等的，而且没有自反元素。
2. 每个元素的幂正好是3，态度函数恒定且为1。
初步认识对称形的基本概念知识点总结
初步认识对称形的基本概念知识点总结对称形的基本概念知识点总结对称形是指一个物体、形状或图形可以通过一个中心轴、直线或点来实现完全或部分对称的特性。
对称形在数学、艺术和自然界中都有广泛的应用和意义。
本文将对对称形的基本概念进行总结，包括对称轴、对称图形和对称关系等方面的内容。
1. 对称轴对称轴是在对称形中起重要作用的概念。
对称轴是一条直线，通过这条直线可以将对称形分为两个对称的部分。
对称轴可以是垂直于平面的直线，也可以是水平于平面的直线，还可以是其他任意方向的直线。
在对称形中，对称轴是一个基准线，两侧的部分完全或部分相等。
2. 对称图形对称图形是指在平面上具有对称性的图形。
常见的对称图形有正方形、矩形、圆形等。
在正方形中，四条边长度相等且相互平行，且具有4条对称轴。
在矩形中，对称轴为两条相互平行的边。
在圆形中，对称轴可以是任意直径线。
对称图形具有美观和稳定的特性，应用广泛于建筑设计、艺术创作和图形设计等领域。
3. 对称关系对称关系是指在两个元素之间存在一种对称性质，即对第一个元素的某种运算得到的结果与第二个元素本身相等。
在数学中，对称关系有多种形式，如数的相等关系、集合的等价关系和函数的对称性等。
对称关系在代数、几何和图论等数学领域中有深入的研究和应用。
4. 对称的应用对称形广泛应用于各个领域和行业。
在建筑设计中，对称形可以使建筑物更加均衡和稳定，营造和谐美观的空间氛围。
在艺术创作中，对称形可以使作品具有平衡和和谐的美感，增强观赏者的审美享受。
在生活中，对称形也体现在日常用品中，如镜子的对称性和马路两侧的对称排列等。
总结：对称形是一种重要的概念，它在数学、艺术和自然界中都有广泛的应用。
对称形的基本概念包括对称轴、对称图形和对称关系等方面内容。
了解对称形的基本概念有助于我们更好地理解和应用对称形在各个领域中。
对称形的美学价值和实用性使得它成为人们在设计和创作中不可或缺的元素。
通过对对称形的学习和理解，我们可以更好地欣赏和运用对称形的魅力。
探寻对称的奥秘了解对称形
探寻对称的奥秘了解对称形式与应用对称是一种普遍存在于自然界和人类文化中的现象，它具有美感和和谐感。
许多学科领域都对对称进行了研究和应用。
本文将探寻对称的奥秘，了解对称形式与应用。
一、对称的定义和分类对称是指某一物体、图形或系统具有中心对称、镜像对称或轴对称等性质。
中心对称是指物体或图形相对于中心对称轴具有相同的形状和排列方式；镜像对称是指物体或图形在某一平面上的投影具有相同的形状和排列方式；轴对称是指物体或图形相对于某一轴线具有相同的形状和排列方式。
根据对称性质的不同，对称可以进一步分为几何对称、时间对称、电荷对称等。
几何对称是指物体或图形在空间中的对称性；时间对称是指物理过程在时间上的对称性；电荷对称是指物理系统在正电荷和负电荷变换下具有对称性。
二、对称在数学中的应用对称在数学中有着重要的应用，例如在几何学、代数学和组合学中。
在几何学中，对称可以帮助我们研究图形的性质和构造。
例如，对称的多边形具有相等的内角和边长，这有助于我们计算和推导多边形的性质。
在代数学中，对称可以用来描述和处理方程和函数的性质。
例如，对称函数具有关于某一轴线对称的性质，这有助于我们简化函数的表达式和求解方程。
在组合学中，对称是研究对象排列和组合方式的重要工具。
例如，对称的排列方式可以帮助我们计算对象的种类和数量，还可以用来解决棋盘问题和密码学中的对称密码。
三、对称在自然界中的表现对称在自然界中普遍存在，从微观到宏观都有涉及。
例如，许多生物体都具有对称的结构和形态。
植物的花瓣、动物的身体、晶体的结构等都展现了对称的美感和和谐感。
此外，对称还在物理学、化学和天文学等领域中发挥着重要的作用。
物理学中的对称原理和对称破缺可以帮助我们理解和解释物质和能量的行为。
化学中的对称结构和对称分子可以影响物质的性质和反应。
天文学中的对称天体和对称宇宙结构揭示了宇宙的奥秘和规律。
四、对称在艺术中的应用对称在艺术中起到了重要的作用，例如在绘画、雕塑和建筑中。
七年级对称集合知识点归纳总结
七年级对称集合知识点归纳总结在七年级的数学学习中，对称集合是一个重要的概念。
通过对称集合的学习，我们能够更深入地理解数学中的对称性质，并能够应用到解决实际问题中。
本文将对七年级对称集合的知识点进行归纳总结。
一、对称性的基本概念1. 对称性定义：对称性是指物体或图形能够通过某个中心点、直线或平面进行翻转、旋转或镜像后重合的性质。
2. 对称元素：对称元素是指使图形保持不变的中心点、直线或平面。
3. 对称轴：对称轴是指使图形能够对称的直线。
4. 对称中心：对称中心是指使图形能够对称的中心点。
5. 垂直对称：垂直对称是指图形绕垂直对称轴对称后能够重合。
6. 水平对称：水平对称是指图形绕水平对称轴对称后能够重合。
7. 中心对称：中心对称是指图形绕中心对称中心对称后能够重合。
二、对称集合的运算1. 交集运算：对称集合的交集是指两个对称集合中共有的元素组成的集合。
交集运算可以用符号“∩”表示。
2. 并集运算：对称集合的并集是指两个对称集合中所有的元素组成的集合。
并集运算可以用符号“∪”表示。
3. 补集运算：对称集合的补集是指在某个全集中除去该对称集合的元素所形成的集合。
补集运算可以用符号“-”表示。
三、对称集合的性质1. 交换律：对称集合的交集与并集满足交换律，即A∩B = B∩A，A∪B = B∪A。
2. 结合律：对称集合的交集与并集满足结合律，即(A∩B)∩C =A∩(B∩C)，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
3. 分配律：对称集合的交集与并集满足分配律，即A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。
4. 对偶律：对称集合的交集与并集满足对偶律，即(A∩B)' = A'∪B'，(A∪B)' = A'∩B'。
四、应用举例1. 图形的对称性：通过对称集合的概念，我们可以判断一个图形是否具有对称轴或对称中心，从而在绘画、几何图形设计等方面得到应用。
函数的对称知识点总结
函数的对称知识点总结一、基本概念1. 对称轴和对称中心对称轴是指对称图形相对称的轴线，它将图形分成两个相互对称的部分。
在二维空间中，对称轴是一条直线；在三维空间中，对称轴是一个平面。
对称轴的定义有助于我们理解对称图形的性质和特点。
对称中心是指对称图形的中心点，它是对称图形上所有对称轴的交点，也是图形上所有对称点的中心。
对称中心的概念对于研究对称图形的对称性质和特点非常重要。
2. 对称图形对称图形是指具有对称性质的几何图形。
常见的对称图形包括对称多边形、对称图案、对称曲线等。
对称图形在几何学中有着广泛的应用，它们具有一些特殊的性质和定理。
3. 对称性质对称性质是指对称图形所具有的一些特殊性质和定理。
例如，对称图形的对称轴上的任意点都是对称点，对称图形的对称轴之间的距离是相等的，对称图形的面积和周长具有一些特殊的关系等。
对称性质是研究对称图形的基本方法之一。
二、对称的类型1. 点对称点对称是指图形围绕某一点进行对称，具体来讲，如果图形上任意一点与对称中心的连线都与对称轴垂直且相等，那么这个点就是对称点。
点对称是最基本的对称类型，几乎所有的对称问题都可以通过点对称来进行分析。
2. 垂直对称垂直对称是指图形围绕某一条垂直线进行对称，具体来讲，如果图形上任意一点关于对称轴对称，那么这个点就是对称点。
垂直对称在几何学中应用非常广泛，许多几何图形都具有垂直对称性质。
3. 水平对称水平对称是指图形围绕某一条水平线进行对称，具体来讲，如果图形上任意一点关于对称轴对称，那么这个点就是对称点。
水平对称也是几何学中常见的对称类型，许多几何图形都具有水平对称性质。
4. 中心对称中心对称是指图形围绕某一点进行对称，具体来讲，如果图形上任意一点与对称中心的连线都与对称轴相等但反向，那么这个点就是对称点。
中心对称是一种比较特殊的对称类型，它在代数学和分析学中有着广泛的应用。
三、对称的应用1. 几何图形的研究对称在几何学中有很多应用，例如对称图形的性质和定理、对称多边形的面积和周长关系、对称曲线的性质和特点等。
42 对称元素的组合与对称操作群 1 对称元素的组合当两个对称元素按某种相对位置同时存在时必定能推导出第三
▲ 有逆元素：G中任一元素R都存在逆元素R-1，R-1 亦属于G， 且RR-1=R-1R=E 群中元素的数目称为群的阶次。
群的举例： 例：全体正、负整数和零的集合对于加法运算构成 一个 群。G={0、±1、±2、……}
4.3 分子点群
分子中全部对称操作的集合构成分子点群(point groups ). 群中的元素数目称为群的阶.符号用熊夫利符号表示. 分子点群包括低阶群Cn 、Cnh 、 Cnv 、 Cni 、 Sn 、 Dn、Dnh、
Dnd及高阶群T 、Td 、Th 、 O、 Oh 、 I 、Ih;
1. Cn 群：只有1个Cn CHFClBr
（1）两个旋转轴的组合 （2）旋转轴与镜面的组合 （3）偶次轴与和它垂直的镜面的组合
（1）旋转轴的组合
C2
C2
Cn
C2 (夹角为
2π 2n
的C2轴，
必然在交点出 现然在交 C2垂直的Cn轴)
Cn
C2
Cn
nC2
Cn
(两C2夹
角
为2π 2n
)
（2）两个镜面的组合
C（n 两夹角为22πn 的镜镜面，交线Cn )
D2d : B2Cl4
D3d点群
H
H
H
H
H
H
乙烷交错型
D4d 单质硫
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
ˆ v
ˆ v
ˆ v'
Eˆ
Cˆ 1 2
ˆv ' ˆ v' ˆ v
Cˆ 1 2
Eˆ
由乘法表看到：每一行（或每一列）都是分子中全部对称操 作的重新排列。
4第四讲 晶体对称规律
类
2 空间格子类型与晶体常数特点
• 2.1空间格子的划分
2.1.1平行六面体的选择 对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
• 对于一个空间点阵，可以划分出一个平行六面体作为一个 基本单位，整个空间点阵可以由这个单位平行六面体在三 维空间的平移而产生。划分平行六面体的方式有很多，但 应遵循以下原则： 1）所选平行六面体的对称性应符合整个空间点阵的对称 性； 2）在不违反对称的前提下，应选择棱与棱之间直角关系 为最多的平行六面体； 3）在遵循前二条件的前提下，所选平行六面体的体积应 为最小； 4）当对称性规定棱间的交角不为直角时，则在遵循前三 个条件的前提下，应选择结点间距小的行列作为平行 六面体的棱，且棱间交角近于直角的平行六面体。
定理一：LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半) 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基 转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的 L2 。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
思考: 两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么 对称轴?
因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)。
• 具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个 序号位中规定了写什么方向上的对称要素(序号位与方 向对应，这是国际符号的最主要的特色),对称意义完 全相同的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个就 行了（简化，这是国际符号的另一特色）. 不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同, 所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定 不要弄混淆. 每个晶系的国际符号写法见表3 (此表很重要，要熟记！).
• 例2：四方四面体：有一个Li4，有P包含Li4 • （或L2垂直于
第四章 晶体对称要素组合和国际符号
第四章晶体对称要素组合和国际符号四、关于倒转轴L i n：能够在晶体中出现的L i1、L i2、L i3、L i4、L i6，除L i4是一种独立的对称要素外，其余四种倒转轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其关系如下：L i1=C L i2=P L i3=L3C L i6=L3P（P⊥L3）分别说明如下：L i1为旋转360o后反伸，因为图形旋转360o后复原，也就是说等于不旋转而单纯反伸，所以L i1=C。
L i2为旋转180o后反伸，如图，点1围绕L i2旋转180o后，再凭供L i2上的一点反伸与点2重合，但由图可见，凭籍垂直于L i2（过中心）的对称面的反映，也同样可以使点1与点2重合。
因此，L i2=P，L i3为旋转120o后反伸，如图1经L i3的作用可以依次获得1、2、3、4、5、6共6个点，而由点1开始通过L3的作用可获得点1、3、5，再通过C的作用又获得点2、4、6，总共获得6个点，与由L i3所推导出来的完全相同，因此，L i3=L3C；L i6为旋转60o后反伸，从点1开始，旋转60o反伸获得点2，依次类推，可获得点1、2、3、4、5、6共6个点，若将L i6代之以L3P上，由点1开始，经L3的作用可获得点1、3、5，再经过垂直于L3的作用又可获得点2、4、6，与L i6和L i4。
（加讲，判断L i4、L i6的方法）。
五、对称要素的组合在结晶多面体中，可以有一处公款称要素单独存在，也可以有若干个对称要素组合在一起。
经数学上运用群论的方法推导，对称要素的组合服从以下规律，即对称要素缚合定理：定理一：如果有一个对称面包含L n，则必有n个对称面包含L n，即L n2P11→L n np。
此定理也可理解为：对称面的交线必为对称轴，其基转角为相邻=对称面的夹角的二倍（由对称面反推对称轴）。
举例：锆石：有对称面包含L4，则必有4个P包含L4，记为L44P1t；又：两相邻对称面的交线为L，两相邻P的夹角为45o，则L的基转角为45×2=90o，此时对称轴为L4。
对称元素组合点群优秀课件
对称元素的组合
• 二次轴(L2)+对称面(P) • Step 1: reflect • Step 2: rotate
对称元素的组合
•二次轴(L2)+对称面(P) •Step 1: reflect •Step 2: rotate
•存在第二个对称面 L2 + P = L2 2P
对称元素的组合
• 四次轴(L4)+对称面(P)
可以推到出4个新组合。
晶体对称元素可能组合
(4) 对称轴Ln 与包含它的对称面以及垂直它的对称
面的组合。
Ln ·P(||) ·P() Ln ·P(||) ·P() ·L2
Ln n L2 (n+1) P
Ln n L2 (n+1) P （n为奇数）
Ln n L2 (n+1) PC （n为偶数） 可以推到出3个新组合。
晶体对称元素可能组合
•A类组合（高次轴（n > 2）不多于1个），共27个； 含10个“单独存在”的对称元素。
(1) 对称轴+对称轴：
• 高次轴不多于1个，所以只考虑 Ln 和L2组合 •Ln 和L2平行，按对称轴选取原则，只选 取的是高次轴，没有组合。 •Ln 和L2斜交时，出现多个Ln ，非A类组合。 只考虑垂直组合
• B类组合（高次轴多于1个），共5个。
• 3L2 4 L3 视为B类组合的原始形式，与L2 、与对称 心、与包含的对称面、与包含的对称面且有垂直L2
的组合时，可得到4个新的组合：
3L44L36L2 、 3L44L33PC 、 3L4i 4L36L2 、 3L44L36L29PC
晶体32种点群组合汇总
例如：具有Li42L2 2P对 称组合的黄铜矿晶体
对称元素重点
分子对称性无机化学上册(p112~1191. 对称性2. 对称操作与对称元素（1）反映与镜面（2）旋转与旋转轴（3）反演与对称的中心（4）旋转与反映轴及其对映操作（5）旋转－反演轴与旋转－反演操作 3. 分子的对称类型4. 分子的性质与对称性的关系对称元素分子对称性可分成5种对称元素。
（1）旋转轴：分子绕轴旋转度角后与原分子重合，此轴也称为n 重旋转轴，简写为Cn 。
例如水分子是C 2而氨是C 3。
一个分子可以拥有多个旋转轴；有最大n 值的称为主轴，为直角坐标系的z 轴，较小的则称为副轴。
n≥3的轴称高次轴。
（2）对称面：一个平面反映分子后和原分子一样时，此平面称为对称面。
对称面也称为镜面，记为σ。
例如水分子有两个对称面：一个是分子本身的平面，另一个是垂直于分子中心的平面。
包含主轴，与分子平面垂直的对称面称为垂直镜面，记为σv ；而垂直于主轴的对称面则称为水平镜面，记为σh 。
等分两个相邻副轴夹角的镜面称等分镜面，记作σd 。
一个对称面可以笛卡尔坐标系识别，例如(xz或(yz。
（3）对称中心：从分子中任一原子到分子中心连直线，若延长至中心另一侧相等距离处有一个相同原子，且对所有原子都成立，则该中心称为对称中心，用i表示。
对称中心可以有原子，也可以是假想的空间位置。
例如四氟化氙（XeF 4）的对称中心位于Xe 原子，而苯（C 6H 6）的对称中心则位于环的中心。
（4）旋转反映轴：分子绕轴旋转度，再相对垂直于轴的平面进行反映后分子进入等价图形，记为S n 。
该操作是旋转与反映的复合操作，例子有四面体型的含有三个S 4轴的四氟化硅，以及有一个S 6轴的乙烷的交叉式构象。
（5）恒等元素：简写为E ，取自德语的Einheit ，意思为“一”。
恒等操作即分子旋转360°不变化的操作，存在于每个分子中。
这个元素似乎不重要，但此条件对群论机制和分子分类却是必要的。
对称操作这5种对称元素都有其对称操作。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四节 对称型（点群）
1、对称型的概念 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型 或点群。 一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点 群。 根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中 可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这 32个对称型怎么推导出来？
第三节 对称要素的组合定理
对称要素的组合问题提出
例如：立方体3L44L36L29PC
➢ 对称要素有时并不是孤立的，且对称要素(操作) 之组合也
可导出新的对称要素(操作) 。 ➢ 对称要素组合（共存）是有规律的，其规律是：
必须遵循对称要素的组合定理； 不符合对称要素组合定理的共存形式不可能存在。
定理1 如果有一个L2垂直于Ln，则 ①必有n个L2垂直于Ln； ②任意相邻两个L2的夹角为Ln的基转角的一半。
如果L2与Ln斜交有可能
出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了
（1）A类对称型的推导： 3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合（中心式）： 根据组合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为：
L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。
（1）A类对称型的推导：
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（面式）： 根据组合规律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据组合规律：当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
• 这样推导出来的对称型共有27个，见表4－2。 • 还有5个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。
可能的对称型为：(L1L22P=L22P ）；L22L23PC=3L23PC； （L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。
（1）A类对称型的推导： 6）旋转反伸轴单独存在（倒转式）：
可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合（反伸 面式）：
L4 4L2 5PC L6 6L2 7PC
Lin =L3
C
Li4
Li6 =L3 P
L3 3L2 3PC
Li4 2L2 2P Li6 3L2 3P= L3 3L2 4P
第五节 晶体的对称分类
晶体
高次轴的有 无及多少
低、中、高级晶族
属于同一对 称型的晶体
7大晶系 32晶类
低级晶族
三斜晶系 单斜晶系 正交晶系
思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理4 若有一L2垂直于Lin，或有一P包含Lin n为奇数时——必有n个L2垂直于Lin和n个P包含Lin； n为偶数时——必有n／2个L2垂直于Lin和n／2个P包含Lin。
Lin P// =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P// （n为偶数）
2、对称型的推导 依据：对称型中高次轴数量多少： A类对称型（高次轴不多于一个） B类对称型（高次轴多于一个） （1）A类对称型的推导
1）对称轴Ln单独存在（原始式）： 可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6 。
（1）A类对称型的推导： 2）对称轴与对称轴的组合（轴式）：
在这里我们只考虑Ln与垂直它的L2的组合。根据上节所述对 称要素组合规律LnL2→LnnL2，可能的对称型为： （L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2
（1）A类对称型的推导：
5）对称轴Ln与垂直它的对称面，以及包含它的对称面的组合（轴面 式）： 垂直Ln的P与包含Ln的P的交线，必为垂直Ln的L2，
即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC（偶数） Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2nP（奇数）
Ln LnnL2 Ln P(C) Ln nP Ln nL2
(n+1)P(C)
L1 L2 3L2
L2 PC
L2 2P 3L2 3PC
Lin
Lin nL2 nP
Lin n/2L2 n/2P
Lin = C Li2 = P
L3 L33L2
L4 L44L2 L4 PC L6 L66L2 L6 PC
L3 3P
L4 4P L2的夹角是Ln基转角的一半
逆定理 若两L2相交，在交点并垂直两L2必产生Ln，其基 转角是两L2夹角的两倍，并在垂直于Ln平面内导出n个L2。
思考: 两个L2相交30°, 交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?
定理2 若一对称面P垂直于偶次轴Ln(偶)，其交点处必然存在 对称中心C。 Ln P LnP C (n为偶数)
定理3 若有一对称面P包含对称轴Ln，则 ①必有n个P包含Ln； ②相邻两个P的夹角为Ln的基转角的一半。
Ln P// LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）
（定理3与定理1对应）
例如：L6 P// L66P//
红锌矿
逆定理 若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对 称轴，其基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他n个 包含Ln的P。
无L2或P L2＋P<3 L2+P3
晶 体
三方晶系
1L3
中级晶族
四方晶系
1L4
六方晶系
1L6
高级晶族
等轴晶系
4L3
晶体的对称分类
石膏
逆定理 若有一偶次对称轴Ln(偶)与对称中心C共存，则过C且 垂直该对称轴必有一对称面P； Ln C LnP C (n为偶数)
或若有一对称面P与对称中心C共存，则过C且垂直于P必有一 个偶次对称轴。 P C L2P C
该定理说明：
L2、P、C三者中任意两者可 产生第三者。