高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册
高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc
空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。
1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。
同济第五版高数下第七章课件
向量代数与空间解析几何
一 基本要求
1.理解空间直角坐标系 理解空间直角坐标系. 理解空间直角坐标系 2.理解向量的概念及其表示 掌握单位向量、 理解向量的概念及其表示; 理解向量的概念及其表示 掌握单位向量、 方向余弦、 方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表 达式进行向量运算的方法． 达式进行向量运算的方法． 3.掌握向量的运算 线性运算、内积、外积）. 掌握向量的运算(线性运算 内积、外积） 掌握向量的运算 线性运算、 4.了解两个向量垂直、平行的条件． 了解两个向量垂直、平行的条件． 了解两个向量垂直
分别求适合下列条件的直线方程： 例5 分别求适合下列条件的直线方程： （1）通过点 ）通过点(1,0,-3)且与平面 3 x − 4 y + z − 10 = 0 且与平面 垂直； 垂直； (2)通过点 通过点(1,0, -2)且与平面 3 x + 4 y − z + 6 = 0 通过点 且与平面 平行,又与直线 x − 3 = y + 2 = z 垂直； 垂直； 平行 又与直线
(
)
(
P0
)
l
例2 解
r uuu 已知向量OA
的模为8,且已知它与 轴和 的模为 且已知它与x轴和 且已知它与
π
r uuu ,求 OA 的坐标表达式． 的坐标表达式． 求 3
y轴正向的夹角均为 轴正向的夹角均为
r uuu 设与 OA 同向的单位向量为
1 其中 cos α = cos β = cos = 3 2 又 cos γ = ± 1 − cos α − cos β = ±
• 一般式 • 截距式
Ax + By + Cz + D = 0
同济第五版高数下第七章课件
z
（3）同理在xOz面上的投影
也为线段.
1 z 2, y 0 | x | 3 2 ;
O
y
x
例4 求抛物面 y z x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面 上的投影曲线方程. z
2 2
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
z: b 0 b 0 b ,
令 2 ,
h 2b
( t , b
z
x a cos t y a sin t z vt v
)
则上升的高度: 称为螺距.
h
x
o
z
y
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
2 2
例6 求上半球面 和锥面 所围的立体在 xoy 面上的投影. 解 所求投影是二曲面交线在xoy 面上的 投影曲线所围之域 . 二曲面交线
x o
z
C
1
y
在xoy 面上的投影曲线 所围区域为圆域:
x y 1, z 0.
2 2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
( t为 参 数 )
当给定 t
( x 1 , y 1 , z 1 ),
t1
时,就得到曲线上的一个点
随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例3 如果空间一点M在圆柱面 x y a 上以角速度 绕z轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z轴上升，那么点M构成的图形叫做 螺旋线. 试建立其参数方程. z 取时间t为参数， 动点从A点出发, 解 经过t 时间，运动到M点. M 在 xoy 面的投影 M ( x , y , 0 )
(完整版)高等数学第七章向量
第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。
1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。
（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。
（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。
( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。
（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。
（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。
（ ） 二、填空题。
1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。
4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。
6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。
三、选择题。
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。
四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
高等数学同济第五版第7章答案
习题7-11 设u a b 2c v a 3b c 试用a 、b 、c 表示2u 3v 解 2u 3v 2(a b 2c )3(a 3b c )2a 2b 4c 3a 9b 3c 5a 11b 7c2 如果平面上一个四边形的对角线互相平分 试用向量证明这是平行四边形 证明 →→→OA OB AB -= →→→OD OC DC -=而→→OAOC -= →→OBOD -=所以→→→→→→AB OA OB OB OA DC -=-=+-=这说明四边形ABCD 的对边AB CD 且AB //CD 从而四边形ABCD 是平行四边形3 把ABC 的BC 边五等分 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D4 再把各分点与点A 连接试以→c =AB 、→a =BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→A D 3、→AD 4解 →→→ac 5111--=-=BD BA A D →→→ac 5222--=-=BD BA A D →→→ac 5333--=-=BD BA A D →→→ac 5444--=-=BD BA A D4 已知两点M 1(0 1 2)和M 2(1 1 0) 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→212M M -解 →)2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=M M →)4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-M M5 求平行于向量a(6 76)的单位向量解 11)6(76||222=-++=a平行于向量a (6 7 6)的单位向量为)116 ,117 ,116(||1-=a a 或)116 ,117 ,116(||1--=-a a6 在空间直角坐标系中 指出下列各点在哪个卦限？A (1 2 3)B (2 3 4)C (2 3 4)D (2 3 1) 解 A 在第四卦限 B 在第五卦限 C 在第八卦限 D 在第三卦限7 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置 A (3 4 0) B (0 4 3) C (3 0 0) D (0 1 0) 解 在xOy 面上 的点的坐标为(x y 0) 在yOz 面上 的点的坐标为(0 y z ) 在zOx 面上 的点的坐标为(x 0 z ) 在x 轴上 的点的坐标为(x 0 0) 在y 轴上 的点的坐标为(0 y 0) 在z 轴上 的点的坐标为(0 0 z )A 在xOy 面上B 在yOz 面上C 在x 轴上D 在y 轴上8 求点(a b c )关于(1)各坐标面 (2)各坐标轴 (3)坐标原点的对称点的坐标解 (1)点(a b c )关于xOy 面的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于yOz 面的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于zOx 面的对称点为(a b c ) (2)点(a b c )关于x 轴的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于y 轴的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于z 轴的对称点为(a b c ) (3)点(a b c )关于坐标原点的对称点为(a b c )9 自点P 0(x 0 y 0 z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线 写出各垂足的坐标 解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上 垂足的坐标分别为(x 0 y 0 0)、(0 y 0 z 0)和(x 0 0 z 0)在x 轴、y 轴和z 轴上 垂足的坐标分别为(x 0 0 0) (0 y 0 0)和(0 0 z 0)10 过点P 0(x 0 y 0 z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解 在所作的平行于z 轴的直线上 点的坐标为(x 0 y 0 z ) 在所作的平行于xOy 面的平面上 点的坐标为(x y z 0)11 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上 其底面的中心在坐标原点 底面的顶点在x 轴和y 轴上 求它各顶点的坐标 解 因为底面的对角线的长为a 2 所以立方体各顶点的坐标分别为 )0 ,0 ,22(a - )0 ,0 ,22(a )0 ,22 ,0(a - )0 ,22 ,0(a) ,0 ,22(a a - ) ,0 ,22(a a ) ,22 ,0(a a - ) ,22 ,0(a a12 求点M (4 3 5)到各坐标轴的距离解 点M 到x 轴的距离就是点(4 3 5)与点(4 0 0)之间的距离 即345)3(22=+-=x d点M 到y 轴的距离就是点(4 3 5)与点(0 3 0)之间的距离 即 415422=+=y d点M 到z 轴的距离就是点(4 3 5)与点(0 0 5)之间的距离 即5)3(422=-+=z d13 在yOz 面上 求与三点A (3 1 2)、B (4 2 2)和C (0 5 1)等距离的点解 设所求的点为P (0 y z )与A 、B 、C 等距离 则 →2222)2()1(3||-+-+=z y PA →2222)2()2(4||++++=z y PB→222)1()5(||-+-=z y PC由题意 有 →→→222||||||PC PB PA ==即 ⎩⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3z y z y z y z y 解之得y 1 z 2 故所求点为(0 1 2)14 试证明以三点A (4 1 9)、B (10 1 6)、C (2 4 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形 解 因为→7)96()11()410(||222=-+--+-=AB →7)93()14()42(||222=-+-+-=AC→27)63()14()102(||222=-+++-=BC所以→→→222||||||AC AB BC += →→||||AC AB =因此ABC 是等腰直角三角形 15 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(30 2) 计算向量→21M M 的模、方向余弦和方向角解 →)1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21-=---=M M→21)2()1(||22221=++-=M M21cos -=α 22cos =β 21cos =γ32πα= 43 πβ= 3πγ=16 设向量的方向余弦分别满足(1)cos 0 (2)cos 1 (3)cos cos 0 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解 (1)当cos 0时 向量垂直于x 轴 或者说是平行于yOz 面 (2)当cos 1时 向量的方向与y 轴的正向一致 垂直于zOx 面 (3)当cos cos 0时 向量垂直于x 轴和y 轴 平行于z 轴 垂直于xOy 面17 设向量r 的模是4 它与轴u 的夹角是60 求r 在轴u 上的投影 解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u18 一向量的终点在点B (2 1 7) 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为44 7 求这向量的起点A 的坐标解 设点A 的坐标为(x y z ) 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-774142z y x解得x2 y3 z 0点A 的坐标为A (23 0) 19 设m 3i 5j 8k n 2i 4j 7k 和p5ij 4k 求向量a 4m 3n p在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量 解因为a 4m 3n p 4(3i 5j 8k )3(2i 4j 7k )(5i j 4k )13i 7j 15k 所以a 4m 3n p 在x 轴上的投影为13 在y 轴上的分向量7j习题7-21 设a =3i -j -2k b =i +2j -k 求(1)a ×b 及a b (2)(-2a )×3b 及a 2b(3)a 、b 夹角的余弦解 (1)a ×b =3´1+(-1)´2+(-2)´(-1)=3kj i kj i b a 75121 213++=---=⨯(2)(-2a )×3b =-6a ×b = -63=-18a 2b =2(ab )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a 2 设a 、b 、c 为单位向量 且满足a +b +c =0 求a ×b +b ×c +c ×a 解 因为a +b +c =0 所以(a +b +c )×(a +b +c )=0 即 a ×a +b ×b +c ×c +2a ×b +2a ×c +2c ×a =0于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a3 已知M 1(1-1 2)、M 2(33 1)和M 3(3 1 3) 求与→21M M 、→32M M 同时垂直的单位向量解 →)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21-=-+-=M M →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32-=---=M M→→kj i k j i n 446220 1423221--=--=⨯=M M M M172161636||=++=n)223(171)446(1721k j i k j i e --±=--±=为所求向量4 设质量为100kg 的物体从点M 1(3 1 8)沿直线称动到点M 2(1 4 2) 计算重力所作的功(长度单位为m 重力方向为z 轴负方向) 解F =(0 0 -1009 8)=(0 0 -980) →)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21--=---==M M SW =F ×S =(0 0 -980)×(-2 3 -6)=5880(焦耳)5 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处 有一与→1OP 成角1的力F 1作用着 在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处 有一与→2OP 成角1的力F 1作用着问1、2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零 再注意到对力矩正负的规定可得 使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|×sin 1x 2|F 2|×sin 20 即 x 1|F 1|×sin 1x 2|F 2|×sin 2 6 求向量a =(4 -3 4)在向量b =(2 2 1)上的投影解 2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=⨯+⨯-⨯=⋅-++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b7 设a =(3 5 -2) b =(2 1 4) 问l 与m 有怎样的关系 能使得l a +m b与z 轴垂直?解 l a +m b =(3l +2m , 5l +m , -2l +4m ), l a +m b 与z 轴垂Ûl a +m b ^kÛ(3l +2m , 5l +m , -2l +4m )×(0, 0, 1)=0, 即-2l +4m =0, 所以l =2m . 当l =2m 时, l a +m b 与z 轴垂直. 8 试用向量证明直径所对的圆周角是直角 证明 设AB 是圆O 的直径 C 点在圆周上则→→OAOB -= →→||||OA OC = 因为→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC所以→→BCAC ⊥ ∠C 909 设已知向量a 2i 3j k b i j 3k 和c i 2j 计算 (1)(a ×b )c (a ×c )b (2)(a b )(b c ) (3)(a b )×c解 (1)a ×b 21(3)(1)138 a ×c 21(3)(2)8 (a ×b )c (a ×c )b 8c 8b8(c b )8[(i2j )(ij 3k )]8j24k(2)a b3i4j4kbc 2i 3j 3kkj kj i c b b a --=--=+⨯+332443)()((3)kj i kj i b a +--=--=⨯58311132(a b )×c81(5)(2)10210 已知→j i 3+=OA →k j 3+=OB , 求D OAB 的面积.解 根据向量积的几何意义 →→||OB OA ⨯表示以→OA 和→OB 为邻边的平行四边形的面积于是D OAB 的面积为→→||21OB OA S ⨯=因为→→kj i kj i +--==⨯33310301OB OA →→191)3()3(||223=+-+-=⨯OB OA所以三角形D OAB 的面积为→→1921||21=⨯=OB OA S 12 试用向量证明不等式||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数 并指出等号成立的条件解 设a (a 1 a 2 a 3) b (b 1 b 2 b 3) 则有||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅于是 ||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++其中当),cos(^b a 1时 即a 与b 平行是等号成立习题7-31 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程. 解 设动点为M (x y z ) 依题意有(x 2)2(y 3)2(z 1)2(x 4)2(y 5)2(z 6)2即 4x 4y 10z 6302 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程. 解 球的半径14)2(31222=-++=R球面方程为(x 1)2(y 3)2(z 2)214即 x 2y 2z 22x 6y 4z 03 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y +2z =0表示什么曲面? 解 由已知方程得(x 22x 1)(y 24y 4)(z 22z 1)141即 2222)6()1()2()1(=++++-z y x所以此方程表示以(1 21)为球心 以6为半径的球面4 求与坐标原点O 及点(2 3 4)的距离之比为12的点的全体所组成的曲面的方程 它表示怎样曲面？解 设点(x y z )满足题意 依题意有21)4()3()2(222222=-+-+-++z y x z y x化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x它表示以)34 ,1 ,32(---为球心 以2932为半径的球面 5 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x6 将zOx 坐标面上的圆x2z 29绕z 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程.解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x2y 2z 297 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 29y 29z 236双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 24z 29y 2368 画出下列方程所表示的曲面: (1)222)2()2(ay a x =+-(2)19422=+-y x ;(3)14922=+z x ;(4)y 2z 0(5)z =2-x 2.9 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形 (1)x 2解在平面解析几何中 x 2表示平行于y 轴的一条直线 在空间解析几何中 x 2表示一平行于yOz 面的平面(2)y x 1解 在平面解析几何中 y x 1表示一条斜率是1 在y 轴上的截距也是1的直线 在空间解析几何中，y x 1表示一平行于z 轴的平面(3)x 2y 24解 在平面解析几何中 x 2y 24表示中心在原点 半径是4的圆 在空间解析几何中 x 2y 24表示母线平行于z 轴 准线为x 2y 24的圆柱面(4)x 2y 21解 在平面解析几何中 x 2y 21表示双曲线 在空间解析几何中 x 2y 21表示母线平行于z 轴的双曲面10 说明下列旋转曲面是怎样形成的:(1)1994222=++z y x ;解 这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的 或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的(2)14222=+-z y x解 这是xOy 面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转一周而形成的 或是yOz 面上的双曲线1422=+-z y 绕y 轴旋转一周而形成的(3)x 2y 2z 21解 这是xOy 面上的双曲线x 2y 21绕x 轴旋转一周而形成的 或是zOx 面上的双曲线x 2z 21绕x 轴旋转一周而形成的(4)(z a )2x 2y 2解 这是zOx 面上的曲线(z a )2x 2绕z 轴旋转一周而形成的 或是yOz 面上的曲线(z a )2y 2绕z 轴旋转一周而形成的 11 画出下列方程所表示的曲面(1)4x 2y 2z 24(2)x 2y 24z 24(3)94322y x z +=习题7 41 画出下列曲线在第一卦限的图形:(1)⎩⎨⎧==21y x(2)⎩⎨⎧=---=0422y x y x z ;(3) ⎩⎨⎧=+=+222222az x a y x .2 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形: (1)⎩⎨⎧-=+=3215x y x y解 在平面解析几何中 ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示直线y 5x 1与y 2x 3的交点)317 ,34(-- 在空间解析几何中 ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示平面y 5x1与y 2x3的交线 它表示过点)0 ,317 ,34(-- 并且行于z 轴(2)⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x解 在平面解析几何中⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y3的交点(03)在空间解析几何中 ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y 3的交线 3 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解 把方程组中的x 消去得方程3y 2z 216 这就是母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 22z216 这就是母线平行于y 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 4 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.解 由x z 1得z 1x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 22x y 28 这是母线平行于z轴 准线为球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程 于是所求的投影方程为 ⎩⎨⎧==+-082222z y x x5 将下列曲线的一般方程化为参数方程:(1)⎩⎨⎧==++x y z y x 9222 ;解 将yx 代入x 2y 2z 29得2x 2z 29 即13)23(2222=+z x令tx cos 23= 则z 3sin t故所求参数方程为 tx cos 23= ty cos 23= z 3sin t(2)⎩⎨⎧==+++-04)1()1(222z z y x .解 将z0代入(x 1)2y 2(z 1)24得(x 1)2y 23令t x cos 31+= 则t y sin 3=于是所求参数方程为 tx cos 31+= t y sin 3= z 06 求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程解 由前两个方程得x2y 2a 2 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎩⎨⎧==+0222z a y x由第三个方程得b z =θ代入第一个方程得bza x cos = 即axb z arccos =于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y axb z由第三个方程得bz=θ代入第二个方程得bz a ysin = 即ayb z arcsin=于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==a yb z x arcsin 07 求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体x 2+y 2£ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解 圆柱体x 2+y 2£ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2£ax 它含在半球2220y x a z --≤≤在xOy 面上的投影x 2y 2a 2所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2£ax为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影 由圆柱面方程x 2+y 2ax 得y 2ax x 2 代入半球面方程222y x a z --= 得ax a z -=2(0x a ) 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为 ax a z -≤≤20(0x a ) 即z 2ax a 2 0x a z 08. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在三坐标面上的投影.解 令z 4得x 2y 24 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在xOy 面上的投影为x 2y 24令x 0得z y 2 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在yOz 面上的投影为y 2z 4令y 0得z x 2 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在zOx 面上的投影为x 2z 4习题7 51. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x -7y +5z -4=02. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n (2, 9, -6) 所求平面的方程为 2(x 2)9(y 9)6(z 6)0 即2x 9y 6z 12103. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n 1(1, -1, 2)(1, 1, -1)(0 2 3) n 1(1, -1, 2)(-2, -2, 2)(3 1 0) 所求平面的法线向量为 kj i kj i n n n 69301332021++-=-=⨯=所求平面的方程为3(x 1)9(y 1)6(z 1)0 即x 3y 2z 04. 指出下列各平面的特殊位置 并画出各平面 (1)x 0解 x 0是yOz 平面 (2)3y 10解 3y 10是垂直于y 轴的平面 它通过y 轴上的点)0 ,31,0((3)2x 3y 60解 2x 3y 60是平行于z 轴的平面 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和2(4)03=-y x解 03=-y x 是通过z 轴的平面 它在xOy 面上的投影的斜率为33(5)y z 1解 y z 1是平行于x 轴的平面 它在y 轴、z 轴上的截距均为1 (6)x 2z 0解 x 2z 0是通过y 轴的平面 (7)6x 5z 0解 6x 5z 0是通过原点的平面5 求平面2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解 此平面的法线向量为n (2 2 1) 此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==i n i n i n α此平面与zOx 面的夹角的余弦为 321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n j n j n β此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==k n k n k n γ6. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.解 所求平面的法线向量可取为 kj i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=所求平面的方程为(x 1)(y 0)3(z 1)0 即x y 3z 407 求三平面x 3y z 1 2x y z 0 x 2y 2z 3的交点 解 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=++3220213z y x z y x z y x得x 1 y 1 z 3 三个平面的交点的坐标为(11 3)8 分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx 面且经过点(2, -5, 3);解 所求平面的法线向量为j (0 1 0) 于是所求的平面为 0×(x 2)5(y 5)0×(z 3)0 即y 5 (2)通过z 轴和点(-3, 1, -2);解 所求平面可设为Ax By 0因为点(-3, 1, -2)在此平面上 所以 3A B 0 将B 3A 代入所设方程得 Ax 3Ay 0 所以所求的平面的方程为 x 3y 0(3)平行于x 轴且经过两点(4 0 2)和(5 1 7) 解 所求平面的法线向量可设为n (0 b c ) 因为点(4 0 2)和(5 1 7)都在所求平面上 所以向量n 1(5 1 7)(4 0 2)(1 1 9)与n 是垂直的 即b 9c 0 b 9c 于是 n (0 9c c )c (0 9 1) 所求平面的方程为9(y 0)(z 2)0 即9y z 20 9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离. 解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为1221|1012221|222=++-⨯+⨯+=d习题7 61. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线51123-==-z yx 的直线方程.解 所求直线的方向向量为s (2 1 5) 所求的直线方程为531124-=+=-z y x2. 求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程.解 所求直线的方向向量为s (-1, 0, 2)(3, -2, 1)(4 2 1) 所求的直线方程为112243-=+=--x y x3. 用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .解 平面x y z 1和2x y z 4的法线向量为n 1(1 1 1) n 2(2 11) 所求直线的方向向量为 kj i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中 令y 0得⎩⎨⎧=+=+421z x z x 解得x 3 z 2 于是点(3 0 2)为所求直线上的点 所求直线的对称式方程为 32123+==--z yx参数方程为x 32t y t z23t4. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量n 可取为直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 的方向向量即kj i kj i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=所平面的方程为16(x 2)14(y0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 6505 求直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的夹角的余弦解 直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的方向向量分别为kj i kj i s -+=--=431233351 kj i kj i s 105101831222+-=-=两直线之间的夹角的余弦为 010)5(10)1(4310)1()5(4103||||) ,cos(2222222121^21=+-+-++⨯-+-⨯+⨯=⋅⨯=s s s s s s6 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行解 直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 的方向向量分别为kj i kj i s 531121211++=--= kj i kj i s 15391123632---=---=因为s 23s 1 所以这两个直线是平行的7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程.解 因为两平面的法线向量n 1(1 0 2)与n 2(0 1 3)不平行 所以两平面相交于一直线 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s 即kj i kj i s ++-=-=32310201所求直线的方程为 14322-=-=-z y x8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线12354zy x =+=-的方向向量s 1(5 2 1)垂直 因为点(3 1 2)和(4 3 0)都在所求的平面上 所以所求平面的法线向量与向量s 2(4 3 0)(3 1 2)(1 4 2)也是垂直的 因此所求平面的法线向量可取为kj i kj i s s n 229824112521--=-=⨯=所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 5909 求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x yz 10的夹角解 直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 的方向向量为)2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i kj i s -+=-+=--=--⨯=平面x y z 10的法线向量为n (1 1 1) 因为s ×n 214(1)(2)(1)0所以s n从而直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x y z 10的夹角为010 试确定下列各组中的直线和平面间的关系(1)37423zy x =-+=-+和4x2y 2z 3解 所给直线的方向向量为s (2 7 3) 所给平面的法线向量为n (42 2)因为s ×n (2)4(7)(2)3(2)0 所以s n 从而所给直线与所给平面平行 又因为直线上的点(3 4 0)不满足平面方程4x 2y 2z 3 所以所给直线不在所给平面上(2)723zy x =-=和3x 2y 7z 8 解 所给直线的方向向量为s (3 2 7) 所给平面的法线向量为n (32 7)因为s n 所以所给直线与所给平面是垂直的 (3)431232--=+=-z y x 和xy z 3解 所给直线的方向向量为s (3 1 4) 所给平面的法线向量为n (1 11)因为s ×n 3111(4)10 所以s n 从而所给直线与所给平面平行 又因为直线上的点(2 2 3)满足平面方程x y z 3 所以所给直线在所给平面上11 求过点(1 2 1)而与两直线 ⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 和⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x平行的平面的方程解 直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 的方向向量为kj i kj i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-⨯-=直线⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 的方向向量为kj kj i s --=--=-⨯-=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1所求平面的法线向量可取为 kj i kj i s s n -+-=----=⨯=11032121所求平面的方程为(x 1)(y 2)(z 1)0 即x y z 0 12. 求点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.解 平面的法线向量为n (1 2 1) 过点(1 2 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211-=-=+z y x将此方程化为参数方程x 1t y 22t z t 代入平面方程x +2y -z +1=0中得(1t )2(22t )(t )10 解得32-=t 再将32-=t 代入直线的参数方程得35-=x 32=y 32=z 于是点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影为点)32 ,32 ,25(-13 求点P (3 1 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离解 直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的方向向量为kj kj i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-⨯-=过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为3(y 1)3(z 2)0 即y z 10 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+-+0104201z y z y x z y x 得x 1 21-=y 23=z点P (3 1 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离就是点P (31 2)与点)23,21 ,1(-间的距离 即 223)232()211()13(22=-++-+-=d14 设M 0是直线L 外一点 M 是直线L 上任意一点 且直线的方向向量为s 试证 点M 0到直线L 的距离 →||||0s s ⨯=M M d解 设点M 0到直线L 的距离为d L 的方向向量→MN =s 根据向量积的几何意义 以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→→→||||00s ⨯=⨯M M MN M M又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→||||s ⋅=⋅d MN d 因此→||||0s s ⨯=⋅M M d →||||0s s ⨯=M M d15 求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4xy z 1上的投影直线的方程解 过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为(23)x (4)y (12)z 90为在平面束中找出与已知平面垂直的平面 令(4 1 1)×(23 412)0 即4×(23)(1)×(4)1×(12)0解之得1113-=λ 将1113-=λ代入平面束方程中 得17x31y 37z 117故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x16 画出下列各曲面所围成的立体图形(1)x 0 y 0 z 0 x 2 y 1 3x 4y 2z 120(2)x 0 z 0 x 1 y 2 4y z =(3)z 0z 3 x y 0 03=-y x x2y 21(在第一卦限)(4)x 0 y 0 z 0 x2y 2R 2 y 2z 2R 2(在第一卦限)总习题七 1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ]坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量→OM 的坐标为___________. 解 M (x x 0 y y 0 zz 0) →), ,(z y x OM =提示 自由向量与起点无关 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变(2)设数l 1、l 2、l 3不全为0, 使l 1a +l 2b +l 3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的. 解 共面(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, -1, 10), c =b -l a , 且a ^c , 则l =____________. 解3提示 因为a ^c , 所以a ×c 0 又因为由a ×c a ×b a ×a 241(1)210(221222)279 所以3(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ×b +b ×c +c ×a =____________. 解 23-提示 因为a +b +c =0 所以(a +b +c )×(a +b +c )=0即 a ×a +b ×b +c ×c +2a ×b +2a ×c +2c ×a =0 于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a(5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ´b +b ´c +c ´a |=____________.解36 提示 c (a b )a ´b +b ´c +c ´a a b b (a b )(a b )a a b b a b a 3a b |a ´b +b ´c +c ´a |3|a b |3|a |×|b |3×3×436 2. 在y 轴上求与点A (1, -3, 7)和点B (5, 7, -5)等距离的点. 解 设所求点为M (0 y 0) 则有12(y 3)27252(y 7)2(5)2即 (y 3)2(y 7)2解得y 2 所求的点为M (0 2 0)3. 已知D ABC 的顶点为A (3,2,-1)、B (5,-4,7)和C (-1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度.解 线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(-=+--+ 所求中线的长度为30)23()11()14(222=-+--++=d4. 设D ABC 的三边→a =BC 、→b =CA 、→c =AB , 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、b 、c 表示→AD 、→BE 、→CF , 并证明→→→0=++CF BE AD . 解 →→→ac 21+=+=BD AB AD →→→ba 21+=+=CE BC BE →→→cb 21+=+=AF CA CF→→→0=+-=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明 设D E 分别为AB AC 的中点 则有→→→→→)(21AB AC AD AE DE -=-=→→→→→ABAC AC BA BC -=+=所以 →→BC DE 21=从而DE //BC且||21||BC DE =6. 设|a b ||a b |, a =(3, -5, 8), b =(-1, 1, z ), 求z .解a b (2 4 8z ) a b (4 6 8z ) 因为|a b ||a b |, 所以222222)8()6(4)8()4(2z z -+-+=++-+解得z 17. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角.解 |a b |2(a b )×(a b )|a |2|b |22a ×b |a |2|b |22|a |×|b |cos(a^b )76cos 3213=++=π|a b |2(a b )×(a b )|a |2|b |22a ×b |a |2|b |22|a |×|b |cos(a^b )16cos 3213=-+=π设向量a +b 与a -b 的夹角为则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ72arccos =θ8. 设a +3b ^7a -5b , a -4b ^7a -2b , 求) ,(^b a .解 因为a +3b ^7a -5b , a -4b ^7a -2b ,所以 (a +3b )×(7a -5b )=0, (a -4b )×(7a -2b )=0,即 7|a |2+16a ×b -15|b |2 =0, 7|a |2-30a ×b +8|b |2=0, 又以上两式可得b a b a ⋅==2||||,于是 21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a , 3) ,(^π=b a .9. 设a =(2, -1, -2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时) ,(^b a 最小？并求出此最小值.解 2^2321||||) ,cos(z z +-=⋅⋅=b a b a b a .因为当2) ,(0^π<<b a 时, ) ,cos(^b a 为单调减函数. 求) ,(^b a 的最小值也就是求22321)(z z z f +-=的最大值.令0)2(431)(2/32=+--⋅='z z z f , 得z =-4. 当z =-4时, 22) ,cos(^=b a , 所以422arccos ) ,(min ^π==b a .10 设|a |4 |b |36) ,(^π=b a , 求以a2b 和a 3b 为边的平行四边形的面积解 (a 2b )(a 3b )3a b 2b a 5b a 以a 2b 和a 3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=⨯=-⨯+b a a b a b b a b a11 设a (2 3 1) b (1 2 3) c (2 1 2) 向量r 满足r ^a r ^b Prj c r 14 求r 解 设r (x y z )因为r ^a r ^b 所以r ×a 0 r ×b 0 即 2x 3y z 0 x 2y 3z 0又因为Prj c r14 所以14||1=⋅c c r 即2x y 2z 42 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+-4222032032z y x z y x z y x得x 14 y 10 z 2 所以r (14 10 2)另解 因为r ^a r ^b所以r 与k j i kj i b a ---=--=⨯57321132平行故可设r(75 1) 又因为Prj c r14 所以14||1=⋅c c r r ×c 42 即(725112)42 2 所以r (14 10 2)12 设a (1 3 2) b (2 3 4) c (3 12 6) 证明三向量a 、b 、c 共面 并用a 和b 表示c证明 向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a b )×c 0 因为 ki kj i b a 36432231--=---=⨯(a b )×c (6)(3)012(3)6所以向量a 、b 、c 共面 设c a b 则有 (2 33 24)(3 12 6)即有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=+-642123332μλμλμλ解之得5 1 所以c 5a b13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解 根据题意 有222)2()1()1(||-+++-=z y x z或 z 2(x 1)2(y 1)2(z 2)2化简得(x 1)2(y 1)24(z 1) 这就是点M 的轨迹方程14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z 2x2旋转轴为z 轴(2)136936222=++z y x解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x 旋转轴为y 轴(3)z 23(x 2y 2)解 旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线y z 3= 旋转轴为z 轴(4)144222=--z y x解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=-y x 旋转轴为x 轴15 求通过点A (3 00)和B (0 0 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程 解 设所求平面的法线向量为n (a b c )→)1 ,0 ,3(-=BA xOy 面的法线向量为k(00 1)按要求有→=⋅BA n 3cos ||||π=⋅⋅k n k n即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-2103222c b a c c a解之得c 3a a b 26±= 于是所求的平面的方程为 0326)3(=+±-z y x即 3326=++z y x 或3326=+-z y x16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-01x z y 的垂线, 求此平面方程.解 直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的方向向量为s (0 11)(1 0 0)(0 11) 设点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的垂线交于点(x 0y 0 z 0) 因为点(x 0 y 0 z 0)在直线⎩⎨⎧==+-01x z y 上 所以(x 0 y 0 z 0)(0 y 0 y 01) 于是 垂线的方向向量为s 1(1 y 01 y 0) 显然有s ×s 10 即y 01y 00 210-=y 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(001--=+-=y y s所求平面的法线向量可取为 j i k j i k s k n --=-+-⨯=⨯=21)2121(1所求平面的方程为 0)1()1(21=+---y x 即x 2y 1017. 求过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0, 又与直线21311zy x =-=+相交的直线的方程.解 过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0的平面的方程为 3(x 1)4(y 0)(z 4)0 即3x -4y +z -1=0 将直线21311zy x =-=+化为参数方程x 1t y 3t z 2t 代入平面方程3x -4y +z -1=0 得3(1t )4(3t )2t 1解得t 16 于是平面3x -4y +z -1=0与直线21311zy x =-=+的交点的坐标为(15 1932) 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标 所求直线的方向向量为s (15 19 32)(-1, 0, 4)(16 19 28) 所求直线的方程为 28419161-==+z yx18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使ABC 的面积最小. 解 设所求的点为C (0 0 z ) 则→) ,0 ,1(z AC -= →)1 ,2 ,0(--=z BC因为 →→kj i kj i 2)1(212001+-+=---=⨯z z z z BC AC所以ABC 的面积为→→4)1(421||2122+-+=⨯=z z BC AC S令04)1(4)1(284122=+-+-+⋅=z z z z dz dS 得51=z 所求点为)51 ,0 ,0(C19. 求曲线⎩⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在三个坐标面上的投影曲线的方程. 解 在xOy 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=--=-+-02)1()1(2222z y x y x , 即⎩⎨⎧=+=+022z yx y x .在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=---±+-=0)12()1(222y z x x z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222y z x z xz x .在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=-+---±=0)1()12(222x y z y z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222x z y z yz y .20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影. 解 锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为 ⎩⎨⎧=+=0222z y x x , 即⎩⎨⎧==+-01)1(22z y x ,所以, 立体在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧=≤+-01)1(22z y x . 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+-01)22(222x y z ,所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-01)22(222x y z .锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为 ⎩⎨⎧==0||y x z 和⎩⎨⎧==02y xz所以, 立体在zOx 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤02y x z x 21 画出下列各曲面所围立体的图形(1)抛物柱面2y 2x 平面z 0及1224===zy x(2)抛物柱面x 21z 平面y 0 z 0及x y 1(3)圆锥面22y x z +=及旋转抛物面z 2x 2y 2 (4)旋转抛物面x 2y 2z 柱面y 2x 平面z 0及x 1。
(完整版)高等数学空间解析几何练习
向量代数与空间解析几何第一部分 向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。
(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。
3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。
4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。
5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。
6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分 向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。
向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。
2。
向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。
3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3． 利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。
(完整版)§7空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章空间分析几何与向量代数A一、1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角.3、设m3i 5j 8k , n 2i 4j 7k ,p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的夹角的余弦 .2、知M1(1, 1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.3、设a(3,5, 2), b (2,1,4) ，问与知足_________时，a b z轴.三、1、以点 (1,3,-2)为球心，且经过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2y 2z 22x 4 y 2z0 表示______________曲面.3、 1) 将 xOy 坐标面上的y22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为 ___________________.2) 将 xOy 坐标面上的x2y 22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为 ___________________.3) 将 xOy 坐标面上的4x29 y 236 绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为 _____________________.4）在平面分析几何中y x2表示____________图形。
在空间分析几何中y x 2表示______________图形.5）画出以下方程所表示的曲面(1)z24( x 2y2 )(2) z4( x2y 2 )四、x 2 y 2 1在平面分析几何中表示 ____________图形，在空间解1、指出方程组 4 9y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面x2 y2 z2 9 与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程.3、求上半球0 za2 x 2 y2与圆柱体x2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 .五、1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点 (2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 52、求过点 (0,2,4)且与两平面x 2z 1 ,y3z 2 平行的直线方程.3、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方程 .3x 04、求过点 (3,1,-2) 且经过直线x 4y 3z的平面方程 .5 2 1x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求以下直线与直线、直线与平面的地点关系1) 直线x 2y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x y z 7 21 12) 直线 x 2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 1 47、求点 (3,-1,2)x y z 1 0到直线y z 4 的距离 .2x 0B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b 3, a b { 1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知 a 和 b 为两非零向量， 问 t 取何值时， 向量模 | a t b |最小？并证明此时 b (atb ) .4、求单位向量 n ，使 n a 且 n x 轴，此中 a (3,6,8) .5、求过 z 轴，且与平面 2x y 5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 ( 3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0 的平面 .x 2y z 1 0 l 2 x y z 7、求过直线y z2 0 ，且与直线 ：1 平行的平面 .2x128、求在平面: x y z 1 上，且与直线y 1L ：垂直订交的直线方程 .z 19、设质量为 100kg 的物体从空间点M 1 (3,1,8) ，挪动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为 m ） .10、求曲线y 2 z 22x 0在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积2x 4 y z 0 y z 1上的投影直线方程 .12、 . 求直线y 2z9在平面 4x3xC1、设向量 a, b, c 有同样起点 , 且a b c 0 ，此中 0 ， , , 不全为零 ,证明 : a,b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线 L ：x2y 12订交成 角的直线方程 .21 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x4 y z100 又与直线x1 y 3z订交的直线方1 12程 .4、求两直线 L 1 ：x 1yz与直线L 2：xy z2的最短距离 .1163 05、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b 2, (a,b)a xba.，求 limx3xx 2 y7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章 空间分析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1 M 2 =2, cos1 21 23, cos ,cos , ,,32 22343、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的重量为 7j二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3i j k a b312 5ij 7k1 21（2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b 2( a b) 10i 2 j14k^ a b3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2 { 2,4, 1},M 2M 3 {0, 2,2}i j ka M 1M 2 M 2M3 2 4 1 6i 4 j 4k0 2 2a { 6 ,2 4 , 4 }a 2 17 17 2 17即为所求单位向量。
向量代数与空间解析几何 期末复习题 高等数学下册
第七章 空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ]A. 第一卦限B. 第二卦限C. 第三卦限D. 第四卦限2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ]A. 椭圆B. 圆C. 椭圆柱面D. 圆柱面3.直线312141:1+=+=-z y x l 与⎩⎨⎧=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4π B. 3π C. 2π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ]A. )(42y x z +=B. 2224y x z +±=C. x z y 422=+D. x z y 422±=+6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13- B. 13 C. 23- D. 237. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)8.方程22222x y z a b+=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面9. 已知a ϖ={0, 3, 4}, b ϖ={2, 1, -2},则=b proj a ϖρ[ C ]A. 3B.31- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. 222()a b a b =•B. 222()a b a b ⨯=⨯C. 22()()a b a b •=⨯D. 2222()()a b a b a b •+⨯=11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，则1l 与2l 的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 CA.关于XOZ 平面对称B.关于XOY 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA.2221x y z ++=B.221x y z ++=C.21x y z ++=D.221x y z ++=15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C A.2a a a = B. 2()a a b a b ••= C. 2()a b b ab ••= D. 222()a b a b =• 16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 BB.D.17．已知直线l 方程2303450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系是CA. l 在π内B. l 垂直于πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 B A. ,a b 夹角4π B. ,a b 夹角34π C. ,a b 夹角可能34π或4π D.以上都不对 19.已知||1=a，||=b ¶(,)4π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1(B) 1220.设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。
高等数学(同济大学第五版)第七章 空间解析几何与向量代数()
习题7-11. 设u =a −b +2c , v =−a +3b −c . 试用a 、b 、c 表示2u −3v .解 2u −3v =2(a −b +2c )−3(−a +3b −c )=2a −2b +4c +3a −9b +3c =5a −11b +7c .2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证明 ; ,→→→OA OB AB −=→→→OD OC DC −=而, ,→→OA OC −=→→OB OD −=所以.→→→→→→AB OA OB OB OA DC −=−=+−=这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD ,从而四边形ABCD 是平行四边形.3. 把ΔABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把各分点与点A 连接. 试以、表示向量、、A 3、A4.→c =AB →a =BC →A D 1→A D 2→D D →解 →→→a c 5111−−=−=BD BA A D , →→→a c 5222−−=−=BD BA A D , →→→a c 5333−−=−=BD BA A D , →→→a c 5444−−=−=BD BA A D . 4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, −1, 0). 试用坐标表示式表示向量及.→→21M M 212M M −→)2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21−−=−−=M M )4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221−=−−−=−M M 解 , .→ 5. 求平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量.解 11)6(76||222=−++=a ,平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量为6 ,7 ,6(1−=a 111111||a 或)6 ,7 ,6(1−−=−a 111111||a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？A (1, −2, 3);B (2, 3, −4);C (2, −3, −4);D (−2, −3, 1).解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:A (3, 4, 0);B (0, 4, 3);C (3, 0, 0);D (0, −1, 0).解 在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ).在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ).A 在xOy 面上,B 在yOz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上.8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , −c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(−a , b , c ); 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , −b , c ).(2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , −b , −c ); 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(−a , b , −c ); 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(−a , −b , c ).(3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(−a , −b , −c ).9. 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0, 0)、(0, y 0, z 0)和(x 0, 0, z 0). 在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y 0, 0)和(0, 0, z 0).10. 过点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解 在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y 0, z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上, 点的坐标为(x , y , z 0).11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标.解 因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为)0 ,0 ,2(a −, )0 ,0 ,2(a , )0 ,2 ,0(a −, )0 ,2 ,0(a , ) ,0 ,22(a a −, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a −, ) ,22 ,0(a a . 12. 求点M (4, −3, 5)到各坐标轴的距离.解 点M 到x 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+−=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, −3, 0)之间的距离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=−+=z d .13. 在yOz 面上, 求与三点A (3, 1, 2)、B (4, −2, −2)和C (0, 5, 1)等距离的点.解 设所求的点为P (0, y , z )与A 、B 、C 等距离, 则,→2222)2()1(3||−+−+=z y PA ,→2222)2()2(4||++++=z y PB .→222)1()5(||−+−=z y PC 由题意, 有, →→→222||||||PC PB PA ==即 ⎩⎨⎧−+−=++++−+−=−+−+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3z y z y z y z y 解之得y =1, z =−2, 故所求点为(0, 1, −2).14. 试证明以三点A (4, 1, 9)、B (10, −1, 6)、C (2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.解 因为→7)96()11()410(||222=−+−−+−=AB ,→7)93()14()42(||222=−+−+−=AC ,→27)63()14()102(||222=−+++−=BC ,所以, .→→→222||||||AC AB BC +=→→||||AC AB = 因此ΔABC 是等腰直角三角形.15. 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角. →21M M 解 →)1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21−=−−−=M M ;→21)2()1(||22221=++−=M M ;21cos −=α, 22cos =β, 21cos =γ; 32πα=, 43 πβ=, 3πγ=. 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0; (2)cos β=1; (3)cos α=cos β=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 (1)当cos α=0时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.(2)当cos β=1时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.(3)当cos α=cos β=0时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.17. 设向量r 的模是4, 它与轴u 的夹角是60°, 求r 在轴u 上的投影.解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u . 18. 一向量的终点在点B (2, −1, 7), 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4, −4, 7. 求这向量的起点A 的坐标.解 设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得,⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−774142z y x 解得x =−2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (−2, 3, 0).19. 设m =3i +5j +8k , n =2i −4j −7k 和p =5i +j −4k . 求向量a =4m +3n −p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n −p =4(3i +5j +8k )+3(2i −4j −7k )−(5i +j −4k )=13i +7j +15k ,所以a =4m +3n −p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .习题7−21. 设a =3i −j −2k , b =i +2j −k , 求(1)a ⋅b 及a ×b ; (2)(−2a )⋅3b 及a ×2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3×1+(−1)×2+(−2)×(−1)=3,k j i kj i b a 75121 213++=−−−=×. (2)(−2a )⋅3b =−6a ⋅b = −6×3=−18,a ×2b =2(a ×b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 2. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0, 于是 23)111(21)(21−=++−=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . 3. 已知M 1(1, −1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量.→21M M →32M M 解 , . →)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21−=−+−=M M →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32−=−−−=M M →→k j i k j i n 446 220 1423221−−=−−=×=M M M M , 172161636||=++=n ,)223(171)446(1721k j i k j i e −−±=−−±=为所求向量. 4. 设质量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点M 2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m , 重力方向为z 轴负方向).解F =(0, 0, −100×9. 8)=(0, 0, −980), . →)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21−−=−−−==M M S W =F ⋅S =(0, 0, −980)⋅(−2, 3, −6)=5880(焦耳).5. 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处, 有一与成角θ→1OP 1的力F 1作用着; 在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处, 有一与成角θ→2OP 1的力F 1作用着. 问θ1、θ2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|⋅sin θ1−x 2|F 2|⋅sin θ2=0,即 x 1|F 1|⋅sin θ1=x 2|F 2|⋅sin θ2.6. 求向量a =(4, −3, 4)在向量b =(2, 2, 1)上的投影.解2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=×+×−×=⋅−++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b .7. 设a =(3, 5, −2), b =(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa +μb 与z 轴垂直? 解 λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ),λa +μb 与z 轴垂⇔λa +μb ⊥k⇔(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,即−2λ+4μ=0, 所以λ=2μ . 当λ=2μ 时, λa +μb 与z 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证明 设AB 是圆O 的直径, C 点在圆周上, 则, .→→OA OB −=→→||||OA OC = 因为,→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=−=+⋅−=−⋅−=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC 所以, ∠C =90°.→→BC AC ⊥ 9. 设已知向量a =2i −3j +k , b =i −j +3k 和c =i −2j , 计算: (1)(a ⋅b )c −(a ⋅c )b ; (2)(a +b )×(b +c );(3)(a ×b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2×1+(−3)×(−1)+1×3=8, a ⋅c =2×1+(−3)×(−2)=8,(a ⋅b )c −(a ⋅c )b =8c −8b =8(c −b )=8[(i −2j )−(i −j +3k )]=−8j −24k .(2)a +b =3i −4j +4k , b +c =2i −3j +3k ,k j k j i c b b a −−=−−=+×+332443)()(. (3)k j i k j i b a +−−=−−=×58311132, (a ×b )⋅c =−8×1+(−5)×(−2)+1×0=2.10. 已知, , 求ΔOAB 的面积.→j i 3+=OA →k j 3+=OB 解 根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是ΔOAB 的面积为→→||OB OA ×→OA →OB →→|21OB OA S ×=.因为→→k j i k j i +−−==×33310301OB OA , →→191)3()3(||223=+−+−=×OB OA , 所以三角形ΔOAB 的面积为→→1921|21=×=OB OA S . 12. 试用向量证明不等式:||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数, 并指出等号成立的条件.解 设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则有,||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅于是 ||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++, 其中当=1时, 即a 与b 平行是等号成立.) ,cos(^b a习题7−31. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程.解 设动点为M (x , y , z ), 依题意有(x −2)2+(y −3)2+(z −1)2=(x −4)2+(y −5)2+(z −6)2,即 4x +4y +10z −63=0.2. 建立以点(1, 3, −2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程.解 球的半径14)2(31222=−++=R ,球面方程为(x −1)2+(y −3)2+(z +2)2=14,即 x 2+y 2+z 2−2x −6y +4z =0.3. 方程x 2+y 2+z 2−2x +4y +2z =0表示什么曲面?解 由已知方程得(x 2−2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1,即 2222)6()1()2()1(=++++−z y x ,所以此方程表示以(1, −2, −1)为球心, 以6为半径的球面.4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？解 设点(x , y , z )满足题意, 依题意有21)4()3()2(222222=−+−+−++z y x z y x , 化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34 ,1 ,32(−−−为球心, 以2932为半径的球面. 5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x .6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2−9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2−9y 2−9z 2=36.双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2+4z 2−9y 2=36.8. 画出下列方程所表示的曲面:(1)222)2()2(a y a x =+−;(2)19422=+−y x ;(3)14922=+z x ;(4)y 2−z =0;(5)z =2−x 2.9. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:析几何中, x =2表示平行于y 轴的一条直线; 在空间解析几何中, x =2表示一析几何中, y =x +1表示一条斜率是1, 在y 轴上的截距也是1的直线; 在空几何中, x 2+y 2=4表示中心在原点, 半径是4的圆; 在空间解析几何中, 几何中, x 2−y 2=1表示双曲线; 在空间解析几何中, x 2−y 2=1表示母线平行旋转曲面是怎样形成的:(1)x =2;解在平面解张平行于yOz 面的平面.(2)y =x +1;解 在平面解间解析几何中，y =x +1表示一张平行于z 轴的平面.(3)x 2+y 2=4;解 在平面解析x 2+y 2=4表示母线平行于z 轴, 准线为x 2+y 2=4的圆柱面.(4)x 2−y 2=1.解 在平面解析于z 轴的双曲面.10. 说明下列 (1)1222=++z y x ; 994 解 这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的. (2)122=+−z y ; 42x 这是xOy 面上的双曲线1422=−y x 解 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线142=+−z y 绕y 轴旋转一周而形 z 1面上的双曲线x 2−y 2=12成的. (3)x 2−y 2−2=; 解 这是xOy 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的双曲线而形成的.a )2=x 2绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线而形成的.( (3x 2−z 2=1绕x 轴旋转一周 (4)(z −a )2=x 2+y 2 .解 这是zOx 面上的曲线(z −(z −a )2=y 2绕z 轴旋转一周 11. 画出下列方程所表示的曲面:(1)4x 2+y 2−z 2=4;2)x 2−y 2−4z 2=4; )94322y x z +=.习题7−41. 画出下列曲线在第一卦限内的图形:(1 (2)⎩⎨⎧==21y x ;)⎩⎨⎧=−−−=0422y x y x z ;(3) =+222az x .2. 下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形:⎩⎨⎧=+222a yx 指出(1)⎧+=15x y ; ⎩⎨−=32x y 解 在平面解析几何中, 表示直线y =5x +1与y =2x −3的交点⎩⎨⎧−=+=3215x y x y )317 ,34(−−; 在空间解析几何中, 表示平面y =5x +1与y =2x −3的交线, 它表示过点⎩⎨⎧−=+=3215x y x y )0 ,317 ,34(−−, 并且行于z 轴.(2)⎪⎩⎪⎨⎧22y x ==+3194y . 解 在平面解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y =3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y =3的交线. 3. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线的柱面方程. 解 把方程组中的x 消去得方程3y 2−z 2=16, 这就是母线平行于x 轴且通过曲线y z x z y 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16, 这就是母线平行于y 轴且通过曲线y z x z y 的柱面方程. 4. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.行于z 轴, 准线为=0z 列曲线的一般方程化为参数方程:(1; ⎩⎨⎧=−+=++0162222222y z x z y x ⎩⎨⎧=−+=++0162222222x ⎩⎨⎧=−+=++0162222222x 解 由x +z =1得z =1−x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2−2x +y 2=8, 这是母线平球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为⎧=+−82222y x x . ⎩⎨ 5. 将下)⎩⎨⎧==++x y z y x 9222解 将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2=9, 即13)23(2222=+z x . 令t x cos 23=, 则z =3sin t . 故所求参数方程为t x cos 23=, t y cos 23=, z =3sin t . (2). ⎩⎨⎧==+++−04)1()1(222z z y x 解 将z =0代入(x −1)2+y 2+(z +1)2=4得(x −1)2+y 2=3.令t x cos 31+=, 则t y sin 3=,于是所求参数方程为t x cos 31+=, t y sin 3=, z =0.6. 求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 解 由前两个方程得x 2+y 2=a 2, 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为. ⎩⎨⎧==+0222z a y x 由第三个方程得bz =θ代入第一个方程得 b z a x cos =, 即ax b z arccos =, 于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y a x b z . 由第三个方程得bz =θ代入第二个方程得 b z a y sin =, 即ay b z arcsin =, 于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==a y b z x arcsin 0. 7. 求上半球2220y x a z −−≤≤与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解 圆柱体x 2+y 2≤ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax , 它含在半球2220y x a z −−≤≤在xOy 面上的投影x 2+y 2≤a 2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax . 为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影, 由圆柱面方程x 2+y 2=ax 得y 2=ax −x 2, 代入半球面方程222y x a z −−=, 得ax a z −=2(0≤x ≤a ), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为ax a z −≤≤20(0≤x ≤a ), 即z 2+ax ≤a 2, 0≤x ≤a , z ≥0.8. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影.解 令z =4得x 2+y 2=4, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤4. 令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4. 令y =0得z =x 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2≤z ≤4.习题7−51. 求过点(3, 0, −1)且与平面3x −7y +5z −12=0平行的平面方程.解 所求平面的法线向量为n =(3, −7, 5), 所求平面的方程为3(x −3)−7(y −0)+5(z +1)=0, 即3x −7y +5z −4=0.2. 求过点M 0(2, 9, −6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, −6), 所求平面的方程为2(x −2)+9(y −9)−6(z −6)=0, 即2x +9y −6z −121=0.3. 求过(1, 1, −1)、(−2, −2, 2)、(1, −1, 2)三点的平面方程.解 n 1=(1, −1, 2)−(1, 1, −1)=(0, −2, 3), n 1=(1, −1, 2)−(−2, −2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为k j i k j i n n n 69301332021++−=−=×=, 所求平面的方程为−3(x −1)+9(y −1)+6(z +1)=0, 即x −3y −2z =0.4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面:(1)x =0;解 x =0是yOz 平面.(2)3y −1=0;解 3y −1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,31 ,0(. (3)2x −3y −6=0;解 2x −3y −6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和−2.(4)03=−y x ;解 03=−y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为33. (5)y +z =1;解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1.(6)x −2z =0;解 x −2z =0是通过y 轴的平面.(7)6x +5−z =0.解 6x +5−z =0是通过原点的平面.5. 求平面2x −2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦.解 此平面的法线向量为n =(2, −2, 1).此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+−+=⋅⋅==i n i n i n α; 此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^−=+−+−=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+−+=⋅⋅==k n k n k n γ. 6. 一平面过点(1, 0, −1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, −1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112−+=−=×=, 所求平面的方程为(x −1)+(y −0)−3(z +1)=0, 即x +y −3z −4=0.7. 求三平面x +3y +z =1, 2x −y −z =0, −x +2y +2z =3的交点.解 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−−=++3220213z y x z y x z y x 得x =1, y =−1, z =3. 三个平面的交点的坐标为(1, −1, 3).8. 分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx 面且经过点(2, −5, 3);解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为0⋅(x −2)−5(y +5)+0⋅(z −3)=0, 即y =−5.(2)通过z 轴和点(−3, 1, −2);解 所求平面可设为Ax +By =0.因为点(−3, 1, −2)在此平面上, 所以−3A +B =0,将B =3A 代入所设方程得Ax +3Ay =0,所以所求的平面的方程为x +3y =0,(3)平行于x 轴且经过两点(4, 0, −2)和(5, 1, 7).解 所求平面的法线向量可设为n =(0, b , c ). 因为点(4, 0, −2)和(5, 1, 7)都在所求平面上,所以向量n 1=(5, 1, 7)−(4, 0, −2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的, 即b +9c =0, b =−9c ,于是 n =(0, −9c , c )=−c (0, 9, −1).所求平面的方程为9(y −0)−(z +2)=0, 即9y −z −2=0.9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z −10=0的距离.解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z −10=0的距离为1221|1012221|222=++−×+×+=d .习题7−61. 求过点(4, −1, 3)且平行于直线51123−==−z y x 的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为531124−=+=−z y x . 2. 求过两点M 1(3, −2, 1)和M 2(−1, 0, 2)的直线方程.解 所求直线的方向向量为s =(−1, 0, 2)−(3, −2, 1)=(−4, 2, 1), 所求的直线方程为112243−=+=−−x y x . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线. ⎩⎨⎧=++=+−421z y x z y x 解 平面x −y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, −1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++−=−=×=. 在方程组中, 令y =0, 得, 解得x =3, z =−2. 于是点(3, 0, −2)为所求直线上的点.⎩⎨⎧=++=+−421z y x z y x ⎩⎨⎧=+=+421z x z x 所求直线的对称式方程为32123+==−−z y x ; 参数方程为x =3−2t , y =t , z =−2+3t .4. 求过点(2, 0, −3)且与直线垂直的平面方程. ⎩⎨⎧=+−+=−+−012530742z y x z y x 解 所求平面的法线向量n 可取为直线的方向向量, 即 ⎩⎨⎧=+−+=−+−012530742z y x z y x k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++−=−−=−×−=. 所平面的方程为−16(x −2)+14(y −0)+11(z +3)=0, 即16x −14y −11z −65=0.5. 求直线与直线的夹角的余弦. ⎩⎨⎧=+−=−+−02309335z y x z y x ⎩⎨⎧=−++=+−+0188302322z y x z y x 解 直线与的方向向量分别为 ⎩⎨⎧=+−=−+−02309335z y x z y x ⎩⎨⎧=−++=+−+0188302322z y x z y xk j i k j i s −+=−−=431233351, k j i k j i s 105101831222+−=−=. 两直线之间的夹角的余弦为010)5(10)1(4310)1()5(4103||||) ,cos(2222222121^21=+−+−++×−+−×+×=⋅×=s s s s s s . 6. 证明直线与直线平行. ⎩⎨⎧=++−=−+7272z y x z y x ⎩⎨⎧=−−=−+028363z y x z y x 解 直线与的方向向量分别为 ⎩⎨⎧=++−=−+7272z y x z y x ⎩⎨⎧=−−=−+028363z y x z y x k j i k j i s 531121211++=−−=, k j i k j i s 15391123632−−−=−−−=. 因为s 2=−3s 1, 所以这两个直线是平行的.7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y −3z =2平行的直线方程.解 因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, −3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即k j i k j i s ++−=−=32310201. 所求直线的方程为14322−=−=−z y x . 8. 求过点(3, 1, −2)且通过直线12354z y x =+=−的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线12354z y x =+=−的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, −2)和(4, −3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, −3, 0)−(3, 1, −2)=(1, −4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n 229824112521−−=−=×=. 所求平面的方程为8(x −3)−9(y −1)−22(z +2)=0, 即8x −9y −22z −59=0.9. 求直线与平面x −y −z +1=0的夹角. ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x解 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x )2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i k j i s −+=−+=−−=−−×=, 平面x −y −z +1=0的法线向量为n =(1, −1, −1).因为s ⋅n =2×1+4×(−1)+(−2)×(−1)=0,所以s ⊥n , 从而直线与平面x −y −z +1=0的夹角为0. ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系:(1)37423z y x =−+=−+和4x −2y −2z =3; 解 所给直线的方向向量为s =(−2, −7, 3), 所给平面的法线向量为n =(4, −2, −2).因为s ⋅n =(−2)×4+(−7)×(−2)+3×(−2)=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(−3, −4, 0)不满足平面方程4x −2y −2z =3, 所以所给直线不在所给平面上.(2)723z y x =−=和3x −2y +7z =8; 解 所给直线的方向向量为s =(3, −2, 7), 所给平面的法线向量为n =(3, −2, 7). 因为s =n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.(3)431232−−=+=−z y x 和x +y +z =3. 解 所给直线的方向向量为s =(3, 1, −4), 所给平面的法线向量为n =(1, 1, 1).因为s ⋅n =3×1+1×1+(−4)×1=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, −2, 3)满足平面方程x +y +z =3, 所以所给直线在所给平面上.11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线和 ⎩⎨⎧=−+−=+−+01012z y x z y x ⎩⎨⎧=+−=+−002z y x z y x 平行的平面的方程.解 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−+−=+−+01012z y x z y x k j i k j i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1−−=−−=−×−=, 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=+−=+−002z y x z y xk j k j i s −−=−−=−×−=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1. 所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n −+−=−−−−=×=11032121, 所求平面的方程为−(x −1)+(y −2)−(z −1)=0, 即x −y +z =0.12. 求点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影.解 平面的法线向量为n =(1, 2, −1). 过点(−1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211−=−=+z y x . 将此方程化为参数方程x =−1+t , y =2+2t , z =−t , 代入平面方程x +2y −z +1=0中, 得(−1+t )+2(2+2t )−(−t )+1=0, 解得32−=t . 再将32−=t 代入直线的参数方程, 得35−=x , 32=y , 32=z . 于是点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影为点32 ,32 ,25(−. 13. 求点P (3, −1, 2)到直线的距离. ⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x 解 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x k j k j i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(−−=−−=−×−=. 过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为−3(y +1)−3(z −2)=0, 即y +z −1=0.解线性方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=−+=−+−=+−+0104201z y z y x z y x 得x =1, 21−=y , 23=z . 点P (3, −1, 2)到直线的距离就是点P (3, −1, 2)与点⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x )23 ,21 ,1(−间的距离, 即 23)32()11()13(22=−++−+−=d .14. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离→||||0s s ×=M M d . 解 设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量, 根据向量积的几何意义, 以和为邻边的平行四边形的面积为 →MN =s →M M 0→MN ,→→→||||00s ×=×M M MN M M 又以和为邻边的平行四边形的面积为. 因此→M M 0→MN →||||s ⋅=⋅d MN d , →||||0s s ×=⋅M M d →||||0s s ×=M M d . 15. 求直线在平面4x −y +z =1上的投影直线的方程. ⎩⎨⎧=−−−=+−0923042z y x z y x 解 过直线的平面束方程为 ⎩⎨⎧=−−−=+−0923042z y x z y x (2+3λ)x +(−4−λ)y +(1−2λ)z −9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 −1, 1)⋅(2+3λ, −4−λ, 1−2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(−1)⋅(−4−λ)+1⋅(1−2λ)=0. 解之得1113−=λ. 将1113−=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y −37z −117=0.故投影直线的方程为. ⎩⎨⎧=−−+=+−011737311714z y x z y x 16. 画出下列各曲面所围成的立体图形:(1)x =0, y =0, z =0, x =2, y =1, 3x +4y +2z −12=0;4y z =; (2)x =0, z =0, x =1, y =2, (3)z =0, z =3, x −y =0,03=−y x , x 2+y 2=1(在第一卦限内);2, y 2+z 2=R 2(在第一卦限内).(4)x =0, y =0, z =0, x 2+y 2=R总习题七1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ] 坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量的坐标为___________.→OM 解 M (x −x 0, y −y 0, z −z 0), .→) , ,(z y x OM = 提示: 自由向量与起点无关, 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变.(2)设数λ1、λ2、λ3不全为0, 使λ1a +λ2b +λ3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的. 解 共面.(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, −1, 10), c =b −λa , 且a ⊥c , 则λ=____________.解3.提示: 因为a ⊥c , 所以a ⋅c =0.又因为由a ⋅c =a ⋅b −λa ⋅a =2×4+1×(−1)+2×10−λ(22+12+22)=27−9λ, 所以λ=3.(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =____________. 解 23−. 提示: 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21−=++−=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . (5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ×b +b ×c +c ×a |=____________.解36.提示: c =−(a +b ),a ×b +b ×c +c ×a =a ×b −b ×(a +b )−(a +b )×a =a ×b −b ×a −b ×a =3a ×b ,|a ×b +b ×c +c ×a |=3|a ×b |=3|a |⋅|b |=3⋅3⋅4=36.2. 在y 轴上求与点A (1, −3, 7)和点B (5, 7, −5)等距离的点.解 设所求点为M (0, y , 0), 则有12+(y +3)2+72=52+(y −7)2+(−5)2,即 (y +3)2=(y −7)2,解得y =2, 所求的点为M (0, 2, 0).3. 已知ΔABC 的顶点为A (3,2,−1)、B (5,−4,7)和C (−1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度. 解 线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(−=+−−+. 所求中线的长度为 30)23()11()14(222=−+−−++=d .4. 设ΔABC 的三边、、, 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、→a =BC →b =CA →c =ABb 、c 表示→AD 、、, 并证明→BE →CF.→→→0=++CF BE AD 解 →→→a c 21+=+=BD AB AD , →→→b a 21+=+=CE BC BE , →→→c b 21+=+=AF CA CF . →→→0=+−=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD 5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明 设D , E 分别为AB , AC 的中点, 则有→→→→→)(21AB AC AD AE DE −=−=, ,→→→→→AB AC AC BA BC −=+=所以 →→BC DE 21=, 从而DE //BC , 且||21||BC DE =. 6. 设|a +b |=|a −b |, a =(3, −5, 8), b =(−1, 1, z ), 求z .解a +b =(2, −4, 8+z ), a −b =(4, −6, 8−z ). 因为|a +b |=|a −b |, 所以222222)8()6(4)8()4(2z z −+−+=++−+, 解得z =1.7. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a −b 的夹角. 解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a −b |2=(a −b )⋅(a −b )=|a |2+|b |2−2a ⋅b =|a |2+|b |2−2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=−+=π. 设向量a +b 与a −b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅−=−⋅+−=−⋅+−⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.8. 设a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b , 求 .) ,(^b a 解 因为a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b ,所以 (a +3b )⋅(7a −5b )=0, (a −4b )⋅(7a −2b )=0,即 7|a |2+16a ⋅b −15|b |2 =0, 7|a |2−30a ⋅b +8|b |2 =0,又以上两式可得b a b a ⋅==2||||,于是 21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a , 3) ,(^π=b a . 9. 设a =(2, −1, −2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时最小？并求出此最小值. ) ,(^b a 解 2^2321||||) ,cos(z z +−=⋅⋅=b a b a b a . 因为当2) ,(0^π<<b a 时, 为单调减函数. 求的最小值也就是求) ,cos(^b a ) ,(^b a 22321)(z zz f +−=的最大值.令0)2(431)(2/32=+−−⋅=′z z z f , 得z =−4. 当z =−4时, 22) ,cos(^=b a , 所以422arccos ) ,(min ^π==b a .10. 设|a |=4, |b |=3, 6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )×(a −3b )=−3a ×b +2b ×a =5b ×a .以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=×=−×+b a a b a b b a b a . 11. 设a =(2, −3, 1), b =(1, −2, 3), c =(2, 1, 2), 向量r 满足r ⊥a , r ⊥b , Prj c r =14, 求r . 解 设r =(x , y , z ).因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r ⋅a =0, r ⋅b =0, 即2x −3y +z =0, x −2y +3z =0.又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , 即 2x +y +2z =42.解线性方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=++=+−=+−4222032032z y x z y x z y x 得x =14, y =10, z =2, 所以r =(14, 10, 2).另解 因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r 与k j i k j i b a −−−=−−=×57321132平行, 故可设r =λ(7, 5, 1). 又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , r ⋅c =42, 即 λ(7×2+5×1+1×2)=42, λ=2,所以r =(14, 10, 2).12. 设a =(−1, 3, 2), b =(2, −3, −4), c =(−3, 12, 6), 证明三向量a 、b 、c 共面, 并用a 和b 表示c .证明 向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a ×b )⋅c =0. 因为k i k j i b a 36432231−−=−−−=×, (a ×b )⋅c =(−6)×(−3)+0×12+(−3)×6=0,所以向量a 、b 、c 共面.设c =λa +μb , 则有(−λ+2μ, 3λ−3μ, 2λ−4μ)=(−3, 12, 6),即有方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=−=−−=+−642123332μλμλμλ解之得λ=5, μ=1, 所以c =5a +b .13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, −1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解 根据题意, 有222)2()1()1(||−+++−=z y x z ,或 z 2=(x −1)2+(y +1)2+(z −2)2,化简得(x −1)2+(y +1)2=4(z −1),这就是点M 的轨迹方程.14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z =2x 2, 旋转轴为z 轴.(2)136936222=++z y x ; 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x , 旋转轴为y 轴. (3)z 2=3(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线y z 3=, 旋转轴为z 轴.(4)144222=−−z y x . 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=−y x , 旋转轴为x 轴.15. 求通过点A (3, 0, 0)和B (0, 0, 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程. 解 设所求平面的法线向量为n =(a , b , c )., xOy 面的法线向量为k =(0, 0, 1).→)1 ,0 ,3(−=BA 按要求有, →0=⋅BA n 3cos ||||π=⋅⋅k n k n , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=−2103222c b a c c a ,解之得c =3a , a b 26±=. 于是所求的平面的方程为0326)3(=+±−z y x ,即 3326=++z y x , 或3326=+−z y x .16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, −1, 1)到直线的垂线, 求此平面方程.⎩⎨⎧==+−001x z y 解 直线的方向向量为s =(0, 1, −1)×(1, 0, 0)=(0, −1, −1). ⎩⎨⎧==+−001x z y 设点(1, −1, 1)到直线的垂线交于点(x ⎩⎨⎧==+−001x z y 0, y 0, z 0). 因为点(x 0, y 0, z 0)在直线⎩⎨⎧==+−001x z y 上, 所以(x 0, y 0, z 0)=(0, y 0, y 0+1). 于是, 垂线的方向向量为 s 1=(−1, y 0+1, y 0).显然有s ⋅s 1=0, 即−y 0−1−y 0=0, 210−=y . 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(001−−=+−=y y s . 所求平面的法线向量可取为j i k j i k s k n −−=−+−×=×=21)2121(1, 所求平面的方程为0)1()1(21=+−−−y x , 即x +2y +1=017. 求过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x −4y +z −10=0, 又与直线21311z y x =−=+相交的直线的方程.解 过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x −4y +z −10=0的平面的方程为3(x +1)−4(y −0)+(z −4)=0, 即3x −4y +z −1=0.将直线21311z y x =−=+化为参数方程x =−1+t , y =3+t , z =2t , 代入平面方程3x −4y +z −1=0, 得3(−1+t )−4(3+t )+2t −1=0,解得t =16. 于是平面3x −4y +z −1=0与直线21311z y x =−=+的交点的坐标为(15, 19, 32), 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标.所求直线的方向向量为s =(15, 19, 32)−(−1, 0, 4)=(16, 19, 28),所求直线的方程为28419161−==+z y x . 18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使ΔABC 的面积最小. 解 设所求的点为C (0, 0, z ), 则, .→) ,0 ,1(z AC −=→)1 ,2 ,0(−−=z BC 因为 →→k j i k j i 2)1(212001+−+=−−−=×z z z z BC AC , 所以ΔABC 的面积为→→4)1(421|2122+−+=×=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+−+−+⋅=z z z z dz dS , 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 19. 求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程. ⎩⎨⎧−+−=−−=2222)1()1(2y x z y x z 解 在xOy 面上的投影曲线方程为, 即. ⎩⎨⎧=−−=−+−02)1()1(2222z y x y x ⎩⎨⎧=+=+022z y x y x 在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=−−−±+−=0)12()1(222y z x x z , 即. ⎩⎨⎧==+−−++002342222y z x z xz x 在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=−+−−−±=0)1()12(222x y z y z , 即. ⎩⎨⎧==+−−++002342222x z y z yz y 20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影. 解 锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为, 即, ⎩⎨⎧=+=0222z y x x ⎩⎨⎧==+−01)1(22z y x 所以, 立体在xOy 面上的投影为. ⎩⎨⎧=≤+−01)1(22z y x 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+−01)22(222x y z , 所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+−01)22(222x y z .锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为和⎩⎨⎧==0||y x z ⎩⎨⎧==02y x z , 所以, 立体在zOx 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤02y x z x . 21. 画出下列各曲面所围立体的图形:1224===z y x ; (1)抛物柱面2y 2=x , 平面z =0及 0及x +y =1;(2)抛物柱面x 2=1−z , 平面y =0, z =(3)圆锥面22z y x +=2−x −y =及旋转抛物面z 22;(y 2=x , 平面z =0及x =1.4)旋转抛物面x 2+y 2=z , 柱面。
高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册
第七章 空 间 解 析 几 何第 一 节 作 业一、选择题（单选）：1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：（A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：（A ）.54)(;54)(;5)3()(;5)3(4222222222+++-+-+D C B答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。
第 二 节 作 业设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用第 三 节 作 业一、选择题（单选）： 已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M.22,21,21)(.22,21,21)(;22,21,21)(;22,21,21)(-------D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。
{}.6,7,6.3.34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 四 节 作 业一、选择题（单选）：)()()()(:.1D C B A b a ρρρρρρρρρρ上的投影为在向量 答：（ ）.//)(;)(;)(;//)(:0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρρρρρρρρρρρ=⊥=⋅ 答：（ ）.6321)(;14321)(;14321)(;6321)(:,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρρρρρρρ答：（ ）二、试解下列各题：{}{}.,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.,,4,1,2,2,5,3.3.,5,4,3,,2,85,3),(.13221321321321求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ.,3,3.7.)()()(,2,3,32.6.,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ∆+=+=⋅⨯+⨯+-=+-=+-=⋅+⋅+⋅=++ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 五 节 作 业选择题（单选）：1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36 （C ）4X 2-9(y 2+z 2)=36; (D) 4x 2-9y 2=36.答：（ ）2. 方程y 2+z 2-4x+8=0表示：（A ）单叶双曲面； （B ）双叶双曲面； （C ）锥面； （D ）旋转抛物面。
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第七章 空 间 解 析 几 何第 一 节 作 业一、选择题（单选）：1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：（A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：（A ）.54)(;54)(;5)3()(;5)3(4222222222+++-+-+D C B答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。
第 二 节 作 业设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用第 三 节 作 业一、选择题（单选）：已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M.22,21,21)(.22,21,21)(;22,21,21)(;22,21,21)(-------D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。
.{}.6,7,6.3.34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 四 节 作 业一、选择题（单选）：)()()()(:.1D C B A b a ρρρρρρρρρρ上的投影为在向量 答：（ ）.//)(;)(;)(;//)(:0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρρρρρρρρρρρ=⊥=⋅ 答：（ ）.6321)(;14321)(;14321)(;6321)(:,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρρρρρρρ答：（ ）二、试解下列各题：{}{}.,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.,,4,1,2,2,5,3.3.,5,4,3,,2,85,3),(.13221321321321同时垂直的单位向量求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ..,3,3.7.)()()(,2,3,32.6.,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ∆+=+=⋅⨯+⨯+-=+-=+-=⋅+⋅+⋅=++ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 五 节 作 业选择题（单选）：1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36（C）4X2-9(y2+z2)=36; (D) 4x2-9y2=36.答：（）2. 方程y2+z2-4x+8=0表示：（A）单叶双曲面；（B）双叶双曲面；（C）锥面；（D）旋转抛物面。
空间解析几何与向量代数测试题
空间解析几何与向量代数测试题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题六一、 填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100→=→OM 则向量角为,600_________________.3. 过()3,1,2-点且平行于向量{}3,2,2-=和{}5,3,1--=的平面方程为__________.{}{}=-=-=→→λλλ则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a .5. ()向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M - =→a ________________{}{}上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1-==→→a b .的模等于则向量已知→→→→→→→-==⎪⎭⎫ ⎝⎛==n m a n m n m 3260,,2,50.垂直的平面方程是且与平面过点⎩⎨⎧=+-+=-+--012530742)3,0,2(z y x z y x .9. 设a b c →→→,,两两互相垂直,且a b c →→→===121,,,则向量s a b c →→→→=+-的模等于_____________.10． 过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.1 =⎩⎨⎧=-+-=+-+D x z y x D z y x 则轴有交点与若直线,06222032.二、 选择题1． 表示方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面=y B A():.0)(;)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面=y D C2． :,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k j i a →→→→→++=⎪⎭⎫⎝⎛+-±⎪⎭⎫⎝⎛++±→→→→→→k j i B k j i A 33)(33)(():22)(22)答⎪⎭⎫ ⎝⎛+±⎪⎭⎫⎝⎛-±→→→→k i D k i C3.=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→→→→→b a b a b a 则且已知,4,,2,1π ():.5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A +4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴; (C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( ) 5．则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,>>→→→→b a b a→→→→→→→→->+-=+b a b a B b a b a A )(;)(():)()(答→→→→→→→→+=+-<+ba b a A b a b a C6．是旋转曲面1222=--z y x 轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A )( 轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B )( 轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )( ():)(答轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoz D7. :,0,0结论指出以下结论中的正确设向量→→→→≠≠b a ;0)(垂直的充要条件与是→→→→=⨯b a b a A ;0)(平行的充要条件与是→→→→=⋅b a b a B ;)(平行的充要条件与的对应分量成比例是与→→→→b a b a C():.0),()(答则是数若=⋅=→→→→b a b a D λλ8. =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→→→c b a c b a 则为三个任意向量设,,,→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯b c a c B bc c a A )()( ():)()(答→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯cb ac D cb c a C9.方程x y y 224912+==⎧⎨⎪⎩⎪在空间解析几何中表示 (A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( ) 10. 对于向量,,，有（A ） 若0=⋅b a ，则,中至少有一个零向量（B ） ()())(c a c b c b a ⋅+⋅=⋅+（C ） ()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ （D ） ()()0=⋅⋅1 1. 方程y z x 22480+-+=表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )12.双曲抛物面(马鞍面)()x p y qz p q 22200-=>>,与xoy 平面交线是 (A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( )三、 计算题（本题共6小题，每小题8分，满分48分。
高等数学第七章空间解析几何与向量代数试题[1]
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(一)选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ ）A ）B ）C ） 6D ）9532. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ ）A ） B C ） D ）13811815818. 设求是：（）,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r a b ⨯r r A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k9. 设⊿的顶点为，求三角形的面积是：（ ABC (3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -）A ）B ）C ）D ）33623643210. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．填空题(1) a ∙b = （公式）(2) a ·b = （计算）(3).=⨯b a r r (4)][c b a r r r =(5) 平面的点法式方程是(6) 三维向量 21M M 的模为| 21M M |=(7) 坐标面的曲线绕轴旋转生成的旋转曲面的方程是：yoz 0),(=z y f z (8) 已知两点与，与向量方向一致的单位向量= 。
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第七章空间解析几何第一节作业一、选择题(单选)：1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是：(A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 )答：()2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为：(A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252.答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。
第二节作业设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v.第三节作业一、选择题(单选)：已知两点M'2,2，•一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为:1 1 V2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2(A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2答：()二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量.3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量第四节作业一、选择题（单选）：1. 向量a 在b 上的投影为：答:（）2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是：（A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件；（D ） a //b 的必要但不充分条件答:（）3.向量a,b,c 两两垂直，w—1- — a 1, b —1-J)2, C 3,则s a b c 的长度为 (A)1 2 3 6; 2 2 2(B)1 2 314; (C)J12 22 32; (D) J1 2 3勺6.答:（）(A)(B)-a a b(D)、试解下列各题4. 已知M 1 (1, 1,2), M 2 (3,3,1)和M 3(3,1,3),求与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的单位向量1.设(a,b)3,且a5, b8,求 |a2设 x X i i X 2 j X 3 k 与^三向^量a i3,4,5,求向量x.i j,a 2 i k,a 3k 的数量积分别为3. 设a 3,5, 2 ,b 2,1,4 , ab 与z 轴垂直，求与的关系.5. 已知a,b,c为单位向量且满足a b c0,求a b b c c a.6. 已知a 2i 3j k,b i j 3k,c i 2j,求(a b) (b c)和(a b) c.7. 已知OA i 3k,OB j 3k,求OAB的面积.第五节作业选择题(单选)：1. 在xoy面上的曲线4x2-9y2=36绕x轴旋转一周，所得曲面方程为：(A)4(x2+z2)-9y2=36; (B) 4(x 2+z2)-9(y 2+z2)=36(C)4X 2-9(y2+z2)=36; (D) 4x 2-9y2=36.答：() 2.方程y2+z2-4x+8=0 表示:(A )单叶双曲面；(B)双叶双曲面; (C)锥面; (D)旋转抛物面。
2x2y 2 z 3.求曲线 164 5 x2z 3 01关于xoy 面的投影柱面方程4. 求球面x 2 y 2 z 2 9与平面x z 1的交线在xoy 面上的投影的方程第六节作业试解下列各题 1.求母线平行于y 轴且通过曲线2x 22x 2 2y z2 2y z16的柱面方程2.将曲线的一般方程99化为参数方程第七节作业一、填空题：1. _____________________________________________________________________________ 平面A i x+B i y+C i z+D 1=0与平面A2X+B 2y+C2Z+D2=0互相平行的充要条件是_____________________________2. 使平面x+ky-2z=9与平面2x-3y+z=0成才角的k值为_______________________ 。
3. 平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为。
4. 过点（5，-7，4）且在三坐标轴上截距相等的平面方程为_______________________________________________二、试解下列各题：1. 一平面过点（1，0，-1）且与a 2,1,1和b 1, 1,0平行，求此平面的方程。
2. 求平行于x轴且经过点（4, 0，-2）和（5，1，7）的平面方程。
3. 求经过两点（3，-2，9），（-6，0，4）且与平面2x-y+4z-8=0垂直的平面方程。
4. 求点（1，2，1）到平面x+27+2z-10=0的距离。
5. 求平面2x-2y+z+5=0与yoz面的夹角余弦。
第八节作业一、填空题：1•点（1, 2, 3）到直线--4的距离为_____________________________ 。
1 3 22. _______________________________________________________________ 过点（2，-3，4）且与平面3x-y+2z=4垂直的直线方程为________________________________________________ 。
3•点燃，3，1）在直线x=t-7,y=2t-2,z=3t-2 上的投影为 _________________________________________________2 、、4. 经过点（3，4，-4），方向角为一,一，------- 的直线方程为。
3 4 35. 点（-1，2，0）在平面x=2y-z+1=0上的投影为____________________________________________________ .二、试解下列各题：1.求过点（0，2，4）且与平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程。
2x 2.求直线3x 4y z 0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。
y 2z 9 03.求过直线晋且垂直于平面x 4y 3z 70的平面方程.4.求过点(2, 1,3)且与直线冷专相交又平行于平面3x 2y z 5 0 的直线方程.5.求过点(3,1,2)且通过直线的平面方程.y z 16.求从点(0, -1 , 1)到直线x 2z 7的垂线方程和长度。
0第九节作业第七章综合作业一、 填空题（每小题 5分，共25分）：1. 平行于向量a 6i 2j 3k 的单位向量是2. 向量a 4, 3,4在向量b 2,2,1上的投影为3. 已知 OA i 3k,OB j 3k,则 OA OB ____________________________ .4. 直线x y z 0的标准方程为x y 2 0-----------------------------------------------------5. 过点（3,1, 2）且通过直线-―4 -―3z 的平面方程为52---------------------------------二、 选择题（单选）（每小题5分，共20分）：1.已知同 1,0 返(a,b)—,则 |a b | 4(A)1；(B)12;(C)2;(D)、5.答：（）2.平面3x-3y-6=0的位置是：（A ）平行xoy 平面；B ）平行Z轴，但不通过z 轴；（C ）垂直于z 轴；（D ）通过z 轴。
答：（）3.直线 L 1：x 2y z 7与L 2：2x y z 73x 6y 3z 2x y z8的关系是:（A ） L 1 L 2； （B ） L 1与L 2相交不垂直；（6L 1//L 2； （D ） L 1与L 2为异面直线•答：（）4•直线上与平面4x 2y 2z 3的关系是：27 3（A ）平行但直线在平面上；（B ）直线在平面上；（C ）垂直相交；（D ）相交但不垂直。
答：（）2 2求曲线y z2x在xoy 面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线。
三、试解下列各题（每小题12分，共48分）：4x y 3z 11. 一平面通过直线y ,且垂直于平面2x y 5z 3 0,求此平面方程.x 5y z 2 '2.求通过直线晋y 3 3,且平行于直线x 4 y z 6的平面方程.3. 求过点（-1, 0，4），且平行于平面相交的直:3x 4yz 10 0,并与直线线方程。
4. 一平面通过平面x 5y z 0和x z 4 0的交线,且与平面x 4y 8z 12 0成45角，求其方程.四、设a 0,b 0,试证:|a b||a| |b|（7分）.70/11。