惯性矩计算

z0
z
h I z I z0 A 2 bh3 h2 bh 12 4 1 3 bh 3
7
2
[例] 求图示截面对z 轴的惯性矩。
20
解：
40
z1 C1 C C2 80
I z I z矩 2 I z圆
I z矩 2( I z1 A1 y12 )
20 20
Iz I y
d4
dA
,
y
5
§A-3 惯性矩平行轴定理
O a y C y0 (A) y y0 dA
z
I z y 2dA ( yC a ) 2 dA
A
A
z0
2 yC dA 2a yC dA a 2 dA A A A
I z0 2bS z0 a 2 A
2416.76 mm4
12
y2
12
§ A-4 极惯性矩 惯性矩 惯性积
y
定义：
dA y
截面对 o 点的极惯性矩为
0
2 I ρ Aρ dA

x
x
截面对 x ,y 轴的惯性矩分别为
Iy Ix
A x dA
2
A y dA
2
因为
ρ2 x 2 y 2
y
dA y x
所以
1 3 by 3
1 3 wenku.baidu.comh 3
2
2. 圆形截面的惯性矩
dA d d
C d
D dA z
y sin
I z y 2dA
A

4
D/2
0
d sin 2 d
3 0
D/2 0
2
Iz
D
64
4 D4 64
[
4
]
sin 2 2 [ ]0 2 4
h
b I z y b( y)dy (h y ) y 2dy 0 0 h h 3 bh b 3 b 4 y y 4h 0 12 3
2
h
b (h y ) h
9
h
h-y
dy
b(y)
b
h
C b
2h/3 h/3
z0 z
y z
I z I z0 Ad 2
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
2
dA = b dy
h 2 h 2 2 3
I x A y dA
y
2
bh I x A y dA by dy 12
hb 12
3
dy
Iy
bh bh h I z0 I z Ad 12 2 3 bh3 36
2
3
2
10
[例] 求图示T形截面对z0轴的
16 4 C1 C C2 y
惯性矩。
解：确定形心位置。
z y1 z0 4
4 16 2 4 12 10 y1 4 16 4 12
40
40 z
40 z2
20
80 1603 404 402 2 ( 402 ) 12 64 4
2.30341107 mm4
8
[练习] 求图示三角形截面对z 和z0 轴的惯性矩。
h h-y b(y) b
dy
y z
h C b
2h/3 h/3
z0
z
解： b( y )

3
3. 环形截面的惯性矩
Iz
D d C z

64
(D4 d 4 )
(1 4 )
Iz
y
D4
64
其中， = d/D
4
4. 极惯性矩与惯性矩的关系
I p 2dA ( y 2 z 2 )dA
A A
O
z

z
y
Iz I y
对于圆截面，
64 d4 I p 2I z 32
S z0 0
I z I z0 Aa 2
截面对任一轴的惯性矩，等于对其形心轴z0的惯性矩加
上截面面积与两轴间距离平方的乘积。 6
同理可得：
I y I y Ab 2
0
其中，y0为形心轴，y轴与y0轴平行，相距为b。 [例] 求图示矩形截面对z 轴的惯性矩。
h/2 h/2 C b
12
y2
5.43 mm
y2 16 5.43 10.57 mm
11
16
I z0 I z1 A d I z2 A2d
2 1 1
2 2
z y1 z0 4
4
C1 C C2 y
16 43 4 16 (5.53 2) 2 12 4 123 4 12 (10.57 6)2 12
Iρ Aρ2dA
I = Ix + Iy
x
0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。 若 x , y 两坐标轴中有一个为
y dA y
截面的对称轴， 则截面对 x , y 轴的
dx dx
x
惯性积一定等于零 。
h/2 h/2 C dA z y dy
b
bh Iz 12
3
I z y dA 2
2 A
h/ 2
0
by 2dy
2 3 by 3
h/2 0
1 3 bh 12
[练习] 求图示矩形截面对z轴的惯性矩。
dA h b y z
解： I z

A
y dA by 2dy
2 0
h 0
h
dy
§A-2 惯性矩
一 、截面惯性矩 O
2
z y z dA
I z y dA,
2 A
I y z dA
A
分别称 为截面对 z 与 y轴的惯性矩。 惯性矩恒为正，单位为：m4。 组合图形的惯性矩 A1 A2 z y
I z I z1 I z 2 I zi
1
二、简单截面的惯性矩 1. 矩形截面的惯性矩
h
C
y x
b
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。 解：因为截面对其圆心 O 的 极惯性矩为
y
πd Iρ 32
4
I x I y Iρ
Ix Iy
4
x
所以
πd Ix Iy 64