线段中点问题
专题：线段中点的有关计算
教学设计——专题：线段中点的有关计算一、教学目标：1、通过专题的学习，对典型的题目讲解，使学生熟练掌握线段中点的有关计算；2、通过题型由易到难的设置，使学生掌握此类题目的解决方法和解题思路，提高分析问题、解决问题的能力。
二、重点难点重点：线段中点的计算方法,解题思路和常规解法的梳理是难点。
二、教学过程：（一）温故知新：若M是线段AB中点，你可以得到哪些结论？（二）线段型：一个中点1、如图,M是线段AB的中点（1）若AB=10cm，求AM的长；（2）若AM=3cm, 求AB的长. （三）线段型：两个中点2、如图,C是线段AB的一点M、N分别；是AC、BC的中点（1）若AB=10cm，AC=6cm，求MN的长；（2）若AB=10cm，求MN的长;（3）若AB=a，那么MN的长呢？（四）线段延长线型：一个中点3、如图,C是线段AB延长线上的一点，M是AC的中点，若AB=6cm，BC=4cm, 求BM的长；变式：如果M是BC的中点,求AM的长。
（五）线段延长线型：两个中点4、如图,C是线段AB延长线一点，M、N分别是AC、BC的中点（1）若AB=10cm，BC=4cm，求MN的长（2）若AB=10cm，求MN的长;（3）若AB=a，那么MN的长呢？（六）归纳总结知识方面：AB是线段，C是线段AB的一点线段型：一个中点：线段型：两个中点AB是线段，C是线段AB延长线上的一点线段延长线型：一个中点线段延长线型：两个中点数学思想：转化的思想教师寄语：数学充满着生命力，细心观察，善于思考，积极探索，你一定会有更大的发现！祝同学们学习进步！。
线段的中点定义
线段的中点定义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：线段的中点是指连接线段两端点的直线上刚好一分为二的点，也就是位于线段中心的点。
中点是线段的特殊点之一，具有很多性质和应用。
线段的中点可以作为线段的对称轴。
如果以线段的中点为中心，将整个线段进行旋转180度，那么线段就会完美重合，这就意味着线段的中点同时也是线段的对称中心。
这种对称性可以应用于很多几何问题中，例如寻找图形的对称轴，求解对称图形的性质等。
线段的中点可以用来构造含有中垂线的几何问题。
中点和线段上的一个点可以确定一条唯一的中垂线，中垂线是过线段中点且垂直于线段的直线。
利用中点和中垂线的性质，我们可以解决很多有关直角三角形、平行四边形等几何问题。
线段的中点还可以与其他线段的中点结合，形成中线。
中线是连接一个三角形的两个顶点与对边中点的线段，此线段通过三角形的重心点和平行中线两个性质，有助于解决关于三角形的面积、内切圆、外接圆、旁切圆等问题。
由此可见，线段的中点在几何学中具有重要的地位和广泛的应用。
在解决几何问题时，我们经常需要利用线段的中点进行推导和证明。
掌握线段的中点的性质与应用，有助于提高解决几何问题的能力和效率。
线段的中点不仅仅是一条线段上的一个点，更是连接线段两端点的纽带和桥梁，具有丰富的性质和应用价值。
熟练掌握线段的中点的定义与相关性质，能够帮助我们更好地理解和应用几何学知识，为解决几何问题提供重要的线索和思路。
希望大家能够加深对线段中点的认识，充分发挥其在解决几何问题中的作用。
【2000字】第二篇示例：线段的中点是指连接线段两端点的临界点，该点位于线段的中间位置，使得该点到线段两端点的距离相等。
线段的中点在几何学中具有重要的意义，不仅可以帮助我们计算线段的长度，还可以用于找到两个点之间的中心点。
在几何学中，线段是由两个端点所确定的一段直线，它具有一定的长度。
线段的中点是指连接线段两端点的临界点，将线段分成两等长的部分。
线段的中点通常用字符M来表示，如线段AB的中点为M，则可以表示为AM=MB。
4.2.2线段中点和差问题
设M地距离工厂5km， N地距M地10km， 那么N地到工厂的距离为 （ D ）
A5km B15km C5km或15km D不能确定
M,N，工厂，不在一条直线上
AC=6cm,点D是线段AC的三等分点， 则AD= ___2_或__4___ cm
画图能力 （1）点D靠近A或点D靠近C
点C是线段AB的三等分点， AB=6cm，则AC= __2_或__4____ cm
1、在已知线段上。
2、把已知线段分成两条相等线段的点
在一条直线上顺次取A、B、C三点， 使AB=4cm，BC=3cm,如果点O是 线段AC的中点O，求线段OB的长度是多少？
变式：将上题中的“顺次”去掉， 又会是怎样的结果呢？
直线l上有A、B、C三点，且AB=8cm，BC=5cm， 求线段AC的长。
A
B
C
A，B，C是一条公路上的三个村庄， A，B间路程为100 km，A，C间路程为40 km， 现在A，B之间建一个车站P， 设P，C之间的路程为x km. (1)用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和； (2)若路程之和为102 km，则车站应建在何处？ (3)若要使车站到三个村庄的路程总和最小，
(2)100＋x＝102，x＝2，车站在 C 左、右两侧 2 km 处均 可；
(3)当 x＝0 时，x＋100＝100，车站建在 C 处时路程和最 小，路程和为 100 km.
数学·课标版（BS）
第四章复习
2．如图 4－4，A、B、C 是三个居住人口数量相同的住 宅小区的大门所在位置，且 A、B、C 三点共线，已知 AB ＝120 米，BC＝200 米，E、F 分别是 AB、BC 的中点，为 了方便三个小区的居民出行，公交公司计划在 E 点或 F 点 设一公交停靠站点，为使从三个小区大门步行到公交停靠点 的路程之和最小，你认为公交车停靠点的位置应设在哪里， 为什么？
线段中点的有关计算
教学设计——专题：线段中点的有关计算一、教学目标：1、通过专题的学习，对典型的题目讲解，使学生熟练掌握线段中点的有关计算；2、通过题型由易到难的设置，使学生掌握此类题目的解决方法和解题思路，提高分析问题、解决问题的能力。
二、重点难点重点：线段中点的计算方法,解题思路和常规解法的梳理是难点。
二、教学过程：（一）温故知新：假设M是线段AB中点，你可以得到哪些结论？〔二〕线段型：一个中点1、如图,M是线段AB的中点〔1〕假设AB=10cm，求AM的长；〔2〕假设AM=3cm, 求AB的长. 〔三〕线段型：两个中点2、如图,C是线段AB的一点M、N分别；是AC、BC的中点〔1〕假设AB=10cm，AC=6cm，求MN的长；〔2〕假设AB=10cm，求MN的长;〔3〕假设AB=a，那么MN的长呢？〔四〕线段延长线型：一个中点3、如图,C是线段AB延长线上的一点，M是AC的中点，假设AB=6cm，BC=4cm, 求BM的长；变式：如果M是BC的中点,求AM的长。
〔五〕线段延长线型：两个中点4、如图,C是线段AB延长线一点，M、N分别是AC、BC的中点〔1〕假设AB=10cm，BC=4cm，求MN的长〔2〕假设AB=10cm，求MN的长;〔3〕假设AB=a，那么MN的长呢？〔六〕归纳总结知识方面：AB是线段，C是线段AB的一点线段型：一个中点：线段型：两个中点AB是线段，C是线段AB延长线上的一点线段延长线型：一个中点线段延长线型：两个中点数学思想：转化的思想教师寄语：数学充满着生命力，细心观察，善于思考，积极探索，你一定会有更大的发现！祝同学们学习进步！。
小专题( 七 ) 巧解有关线段的中点问题
小专题( 七 ) 巧解有关线段的中点问题线段的中点把线段分成相等的两部分,因此在解决与线段中点有关的计算题时,利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算,再结合有关数学思想来解决问题.类型1 方程思想1.如图,点C 在线段AB 上,E ,F 分别是AB ,AC 的中点.若BC=4,求EF 的长.解:设CE=x ,则BE=x+4,因为E 是AB 的中点,所以AE=BE=x+4. 因为AC=AE+CE=2x+4,F 是AC 的中点, 所以CF=12AC=x+2,所以EF=CF-CE=x+2-x=2.2.如图,已知线段AB 和CD 的公共部分BC=13AB=13CD ,M ,N 分别为线段AB ,CD 的中点.若MN=14,求线段AB 的长.解:设BC=x ,则AB=CD=3x ,因为M ,N 分别为AB ,CD 的中点,所以BM=CN=32x.又MN=BM+CN-BC ,即32x+32x-x=14,解得x=7,所以AB=3x=21.3.已知A ,M ,N ,B 依次为一条直线上的4个点,若AM ∶MN=5∶2,NB-AM=12,AB=24,求线段BM 的长.解:设AM=5x ,MN=2x ,则NB=12+5x , 所以5x+2x+( 12+5x )=24,解得x=1, 所以BM=AB-AM=24-5=19.4.线段AD 被点B ,C 分成了2∶3∶4三部分,M 是线段AD 的中点.若MC=2,求线段AD 的长. 解:设AB=2x ,则BC=3x ,CD=4x ,线段AD 的长为2x+3x+4x=9x ,因为M 是线段AD 的中点,所以MD=12AD=4.5x.因为CD=4x ,MC=2,所以MC=MD-CD=4.5x-4x=0.5x=2,解得x=4, 所以AD=9x=9×4=36.5.如图,点B ,D 在线段AC 上,BD=13AB=14CD ,线段AB ,CD 的中点E ,F 之间的距离是10 cm,求线段AB 的长.解:设BD=x ,则AB=3x ,CD=4x.所以AD=AB-BD=2x ,AC=AD+CD=2x+4x=6x. 因为E ,F 分别是线段AB ,CD 的中点, 所以AE=12AB=32x ,FC=12CD=2x ,所以EF=AC-AE-FC=6x-32x-2x=10,解得x=4, 所以AB=3x=12 cm .类型2 分类讨论思想6.已知线段AB=12 cm,直线AB 上有一点C ,且BC=2 cm,D 是线段AB 的中点,求线段CD 的长. 解:因为D 是线段AB 的中点,所以BD=12AB=6 cm .①当点C 在线段AB 的延长线上时,CD=BD+BC=8 cm; ②当点C 在线段AB 上时,CD=BD-BC=4 cm .综上,线段CD 的长为4 cm 或8 cm .7.在一条直线上顺次取A ,B ,C 三点,已知AB=5 cm,O 是线段AC 的中点,且OB=1.5 cm,求线段BC 的长.解:①若点O 在线段BC 上,则OC=OA=AB+OB=6.5 cm, 所以BC=OB+OC=8 cm;②若点O 在线段AB 上,则OC=OA=AB-OB=3.5 cm, 所以BC=OC-OB=2 cm .综上,线段BC 的长为2 cm 或8 cm .8.如图,已知AB=14,C ,D 是线段AB 上的两个点,且满足AC ∶CD ∶DB=1∶2∶4,M 是线段AC 的中点.( 1 )若N 是线段CB 的中点,求线段MN 的长度;( 2 )若N 是线段AB 上一点,满足DN=1DB ,求线段MN 的长度. 解:( 1 )设AC=x ,则CD=2x ,DB=4x. 所以x+2x+4x=14,解得x=2,所以AC=2,CD=4,DB=8,CB=12.因为M 是线段AC 的中点,所以MC=12AC=1. 因为N 是线段CB 的中点,所以CN=12CB=6. 所以MN=MC+CN=1+6=7.( 2 )因为DB=8,DN=14DB ,所以DN=14×8=2.分以下两种情况:①当点N 在线段CD 上时,MN=MC+CD-DN=1+4-2=3; ②当点N 在线段DB 上时,MN=MC+CD+DN=1+4+2=7. 综上所述,线段MN 的长度为3或7.9.如图,C 是线段AB 的中点.( 1 )若点D 在线段CB 上,且DB=3.5 cm,AD=6.5 cm,求线段CD 的长度;( 2 )若将( 1 )中的“点D 在线段CB 上”改为“点D 在直线CB 上”,其他条件不变,请画出相应的示意图,并求出此时线段CD 的长度;( 3 )若线段AB=12 cm,点C 在AB 上,且D ,E 分别是AC 和BC 的中点. ①当C 恰是AB 的中点时,则DE= 6 cm; ②当AC=4 cm 时,求DE 的长;③当点C 在线段AB 上运动时( 点C 与A ,B 重合除外 ),求DE 的长. 解:( 1 )因为DB=3.5 cm,AD=6.5 cm,所以AB=10 cm . 因为C 为AB 的中点,所以CB=5 cm, 所以CD=5-3.5=1.5 cm .( 2 )①点D 在线段BC 上,CD=1.5 cm, ②如图,点D 在CB 的延长线上,则AB=AD-DB=3.所以BC=1.5,所以DC=1.5+3.5=5. ( 3 )②DE=6 cm .③设AC=x cm,则BC=( 12-x )cm, 又因为D ,E 分别为AC ,BC 的中点, 所以CD=x 2,CE=12-x2, 所以DE=CD+CE=x2+12-x2=6 cm .类型3 整体思想10.如图,C,D是线段AB上的任意两点,M是AC的中点,N是BD的中点.若CD=2,MN=8,求AB 的长.解:因为M是AC的中点,N是BD的中点,所以AC=2MC,BD=2DN.因为CD=2,MN=8,MN=MC+CD+DN,所以2+MC+DN=8,即MC+DN=6,所以AB=AC+CD+DB=2MC+CD+2DN=2( MC+DN)+2=2×6+2=14.11.如图,C,D是线段AB上任意两点,E是线段AC的中点,F是线段BD的中点.若EF=a,CD=b,求AB的长.解:因为E是AC中点,F是BD中点,所以AE=EC,DF=FB,又因为EF=a,CD=b,所以EC+DF=EF-CD=a-b,所以AE+FB=EC+DF=a-b,所以AB=AE+EF+FB=( AE+FB)+EF=a-b+a=2a-b.类型4动态思想12.如图,在数轴上有A,B,C,D四个点,且线段AB=4,CD=6,已知点A表示的数是-10,点C表示的数是8,若线段AB以每秒6个单位长度的速度,线段CD以每秒2个单位长度的速度在数轴上运动( A在B的左侧,C在D的左侧).( 1 )B,D两点所表示的数分别是-6,14.( 2 )若线段AB向右运动,同时线段CD向左运动,经过多少秒时,BC=2?( 3 )若线段AB,CD同时向右运动,同时点P从原点出发以每秒1个单位长度的速度向右运动,经过多少秒时,点P到点A,C的距离相等?解:( 2 )①当点B在点C左边时,得6t+2t+2=14,解得t=1.5;②当点B在点C右边时,得6t+2t-2=14,解得t=2.综上,经过1.5秒或2秒时,BC=2.( 3 )①当P是线段AC的中点时,.根据题意得2t+8-t=t-( 6t-10 ),解得t=13②当点A与点C重合时,根据题意得2t+8-t=( 6t-10 )-t,解得t=9,2综上,经过13秒或92秒时,点P 到点A ,C 的距离相等.13.如图,已知数轴上有三点A ,B ,C ,它们对应的数分别为a ,b ,c ,且c-b=b-a ,点C 对应的数是20.( 1 )若BC=30,求a ,b 的值.( 2 )如图2,在( 1 )的条件下,动点P ,Q 分别从A ,C 两点同时出发向左运动,同时动点R 从B 点出发向右运动,点P ,R ,Q 的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒,M 为PR 的中点,N 为RQ 的中点,在R ,Q 相遇前,多少秒时恰好满足MR=4RN ?( 3 )如图3,在( 1 )的条件下,O 为原点,动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发,P 向左运动,Q 向右运动,P 点的运动速度为8个单位长度/秒,Q 点的运动速度为4个单位长度/秒,N 为OP 的中点,M 为BQ 的中点,在P ,Q 运动的过程中,PQ-2MN 的值是否发生变化?若不变,求其值;若变化,请说明理由.解:( 1 )a=-40,b=-10.( 2 )由( 1 )可得AB=BC=30.设x 秒时,Q 在R 右边,恰好满足MR=4RN. 因为MR=12( 8x+4x+30 ),RN=12( 30-4x-2x ),所以当MR=4RN 时,12( 8x+4x+30 )=4×12( 30-4x-2x ),解得x=2.5, 所以R ,Q 相遇前,2.5秒时恰好满足MR=4RN. ( 3 )设运动的时间为t ,则AP=8t ,CQ=4t. 由( 1 )可得AB=BC=30,点C 表示20, 所以AO=40,AC=60,BO=10,所以PQ=AP+AC+CQ=8t+60+4t=60+12t. 因为N 为OP 的中点,M 为BQ 的中点, 所以NO=12OP ,BM=12BQ ,所以MN=NO+MB-OB=1OP+1BQ-OB=1( 40+8t )+1( 30+4t )-10=25+6t , 所以PQ-2MN=( 60+12t )-2( 25+6t )=10, 即PQ-2MN 的值不发生变化,是定值10.。
巧用线段中点(或分点)的有关计算
(2)几秒后，恰好有OA:OB＝1:2? 设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA:OB＝1:2.
度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
如图所示．
MN＝
1 2
b
cm.理由如下：
因为点M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝
1 2
AC，NC＝
1 2
BC，
所以MN＝MC－NC＝ 1 AC－ 1 BC
2
2
＝
1 2
(AC－BC)＝
1 2
b
cm.
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题型3 与线段中点有关的操作题
3． (1)如图，已知点C在线段AB上，线段AB＝12，点M，
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
所以BN＝
1 2
BC＝
12×8＝4(cm)．
所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图②所示．
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
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题型1 与线段分点有关的计算(设参法)
4．如图，B，C两点把线段AD分成2:4:3三部分，M是 AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．
解：设AB＝2k cm，
则BC＝4k cm，CD＝3k cm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k(cm)．
北师大专题17 线段中点或角的计数问题含答案
专题17 线段中点或角的计数问题一、线段中点问题1. 如图，点C为线段AB上一点，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若AC+BC=acm，其他条件不变，直接写出线段MN的长为．【答案】（1）7cm；（2）12a cm．【解析】【分析】（1）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（（2）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（【详解】（1（∵点M（N分别是AC（BC的中点（AC=8（CB=6（∴CM=12AC=12×8=4（CN=12BC=12×6=3（∴MN=CM+CN=4+3=7cm（（2（∵点M（N分别是AC（BC的中点（∴CM=12AC（CN=12BC（∴MN=CM+CN=1 2AC+12BC=12（AC+BC（=12AB=12a（cm（（故答案为12a cm（【点睛】本题考查了两点间的距离（连接两点间的线段的长度叫两点间的距离（2. 画线段MN=3㎝，在线段MN上取一点Q，使MQ=NQ，延长线段MN至点A，使AN=MN；延长线段NM至点B，使BN=3BM，根据所画图形计算：（1）线段BM的长度；（2）线段AN的长度；（3）试说明Q是哪些线段的中点？图中共有多少条线段？它们分别是？【答案】（1）1.5㎝；（2）1.5㎝；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA所以Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点．图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA.【解析】【分析】先根据题意画出几何图形（1）根据BN=3BM可得到MN=2BM，而MN=3cm，即可得到线段BM的长；（2）根据AN=12MN即可得到线段AN的长；（3）由（1）与（2）得到BM=MQ=NQ=NA，即QB=QA，QM=QN，则点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图形中共有BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA10条线段．【详解】如图所示：（1）（MN=3cm，BN=3BM，（BM=12MN=12×3=1.5（cm ）；（2）（MN=3cm，AN=12 MN（AN=1.5cm；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA，（QB=QA，QM=QN，（点Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA．【点睛】本题考查了两点间的距离、射线与线段的定义，解题的关键是熟记两点间的距离的定义：两点的连线段的长叫两点间的距离．二、线段分点问题3. 如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是线段AD的中点，CD ＝6 cm，求线段MC的长．【答案】3cm【解析】【分析】设AB=2x，BC=4x，CD=3x，再根据CD=6cm求出x的值，故可得出线段AD的长度，再根据M是AD的中点可求出MD的长，由MC=MD-CD即可得出结论．【详解】解：∵B，C两点把线段AD分成2：4：3三部分，∴设AB=2x，BC=4x，CD=3x，∵CD=6cm，即3x=6cm，解得x=2cm，∴AD=2x+4x+3x=9x=9×2=18cm，∵M是AD的中点，∴MD=12AD=12×18=9cm，∴MC=MD-CD=9-6=3cm．【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．4. A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒的速度同时向左运动．（1）几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？（2）几秒后，恰好有OA：OB=1：2.【答案】（1）95（1.8）秒；（2）1或9秒.【解析】【分析】（1）根据原点恰好在两点正中间，分别表示出原点两旁的长度求出即可；（2）利用①B与A相遇前，②B与A相遇后分别表示出线段长度得出等式即可．【详解】（1）设运动时间为x秒，根据题意得出：x+3=12-4x，解得：x=1.8，答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间；（2）设运动时间为x秒，分两种情况：①B与A相遇前：12-4x=2（x+3），解得：x=1，②B与A相遇后：4x-12=2（x+3），解得：x=9，答：1秒或9秒后，恰好有OA：OB=1：2．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论得出是解题关键．三、线段条数的计数问题5. 先阅读文字，再解答问题．如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可以得到3条线段，其中以A 1为端点的向右的线段有2条，以A 2为端点的向右的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有______条，以A 3为端点的向右的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)．(2)在一条直线上取五个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有________条，以A 3为端点的向右的线段有________条，以A 4为端点的向右的线段有______条，共有________＋________＋________＋________＝______(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有________条线段．(4)乘火车从A 站出发，沿途经过5个车站方可到达B 站，那么A ，B 两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？(只考虑硬座情况) 【答案】（1）3；2；1；3；2；1；6；（2）4；3；2；1；4；3；2；1；10；（3）(1)2n n -；（4）21种；42种 【解析】【分析】（1）分别找出以A 1，A 2，A 3为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （2）分别找出以A 1，A 2，A 3，A 4为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （3）由前面的规律可看出，当直线上有n 个点时，线段总数为(1)2n n -； （4）画出图形，结合图形，表示出线段的条数，就可以知道车票的种数，从而可得结论．【详解】解：(1)在一条直线上取四个点，如图以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A 共3条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A 共2条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，1条，共有3＋2＋1＝6(条)．(2)在一条直线上取五个点，如图，以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A ，15A A 共4条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A ，25A A 共3条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，35A A ，共2条，以A 4为端点的向右的线段有45A A ，1条，共有4＋3＋2＋1＝10(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有(1)2n n -条线段． (4)从A 站出发，沿途经过5个车站到达B 站，类似于一条直线上有7个点，如图，此时共有线段7(71)2⨯-＝21(条)，即A ，B 两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A ，B 两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．【点睛】此题主要考查学生数线段条数及规律型题的掌握情况，找到线段条数与直线上点的个数之间的联系，是解题的关键．四、平面内直线相交所得交点与平面的计数问题6. 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图．列表如下：(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________．(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． (3)当直线条数为n 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 【答案】(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5 (2)45；56；（3）(1)2n n -；n(n 1)12+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2， 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4， 可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分，四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分，五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，即n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=1+(+1)2n n 部分 （2）代入（1）中的规律可得结果； （3）由（1）可得结论．【详解】解：（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3=4(41)2⨯-=6， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+45(51)=2⨯-=10，∴可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分， 两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分， 四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分， 五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，∴n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=[1+(+1)2n n ]部分 （2）当n=10时，最多有10(101)=452⨯-个交点，把平面最多分成1+10(10+1)=562⨯部分． （3）当直线条数为n 时， 最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)2n n -个交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦部分． 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交有(1)2n n -个交点．本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．五、关于角的个数的计数问题7. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过角的顶点A ，(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？ (2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？ (3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？ (4)在角的内部作n 条射线，那么图中一共有几个角？【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）(1)(2)2n n ++【解析】【分析】（1）根据图形判断即可；（2）根据图形可判断出在（1）的基础上再增加一条射线，则增加3个角，进行计算即可；（3）根据图形判断在（2）的基础上再增加一条射线，则增加4个角，进行计算即可；（4）根据前面结论进行总结即可．【详解】解：（1）如题图①，已知∠BAC ，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC 的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角； （2）题图①中有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中的三条射线再组成三个角，则题图②中一共有1＋2＋3＝6(个)角；（3）如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中的四条射线再组成四个角，即题图③中一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角；（4）由（1）、（2）、（3）可知：在角的内部作一条射线，一共有1＋2＝3(个)角， 在角的内部作两条射线，一共有1＋2＋3＝6(个)角， 在角的内部作三条射线，一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角，所以如果在一个角的内部作n 条射线，则图中一共有1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝(1)(2)2n n ++ (个)角．【点睛】本题考查了角的计数，通过观察，正确归纳总结出规律是解题关键．。
七上数学中点问题解题技巧和方法
七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。
在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。
2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。
假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。
- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。
- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。
- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。
三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。
例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。
分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。
2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。
3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。
4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。
四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。
线段的中点问题专项训练(30道)
线段的中点问题专项训练（30道）【题型1 单个中点问题】1．如图，已知DB＝2，AC＝10，点D为线段AC的中点，求线段BC的长度．2．如图，C是线段AB上的一点，N是线段BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求AN的长．3．如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝12，AC＝4CD．（1）求AC的长；（2）若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长．4．如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝9cm，那么线段AC的长度是多少？5．如图，已知AD=12DB，E是BC的中点，BE=15AC＝2cm．（1）求BC的长；（2）求DE的长．6．如图，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上，若CD＝2，AD=32BD，求AB的长．7．如图，M为线段AB的中点，点C在线段BM上且CM：CB＝1：2．若AB＝12，求线段AC的长．8．如图，已知点C、D在线段AB上，点D是AB中点，AC=13AB，CD＝2．求线段AB长．9．如图，已知C、D两点将线段AB分成2：3：4三段，点E是BD的中点，点F是线段CD上一点，且CF＝2DF，EF＝12cm，求AB的长．10．已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN=14DB，AB＝24．求MN的长．11．如图，线段AC＝6cm，线段AB＝21cm，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．12．如图，已知线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，延长线段BA到D，使AD：AC＝4：3，点M是BD的中点，求线段BD和AM的长度．13．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：（2）如图2，若BD=14AB=13CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．【题型2 无关联型双中点问题】14．如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．①若AC＝8，BC＝3，求DE；①若DE＝5，求AB．15．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝6cm．（1）求BM的长；（2）求AN的长．16．如图，线段AD＝20cm，线段AC＝BD＝14cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF的长．17．如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC：CD：DB＝2：3：4，点E，F分别为AC，DB的中点，EF＝48cm．求AB的长．18．如图，点C，D在线段AB上，且满足CD=14AD=16BC，点E、F分别为线段AC，BD的中点，如果EF＝10cm，求线段AB的长度．19．如图，点C为线段AB上一点，点M、N分别是线段AC、BC的中点．回答下列问题：（1）试判断线段AB与MN的关系为；（2）若点P是线段AB的中点，AC＝6cm，CP＝2cm，求线段PN的长．20．如图，C为线段AB上一点．AB＝m，BC＝n，M，N分别为AC，BC的中点．（1）若m＝8，n＝2，求MN的长；（2）若m＝3n，求CNMN的值．21．如图，C、D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB＝1：2：3，M、N分别为AC、DB 的中点，且AB＝12cm，（1）求线段CD的长；（2）求线段MN的长．【题型3 关联型双中点问题】22．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若AB ＝15，CE＝4.5，求出线段AD的长度．23．如图，线段AB＝20cm，线段AB上有一点C，BC：AC＝1：4，点D是线段AB的中点，点E是线段AC的中点．（1）求线段AC的长度；（2）求线段DE的长度．24．如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC＝3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．25．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 上的一点，点E 是线段DB 的中点，AB ＝20，EB ＝3． （1）求线段DB 的长． （2）求线段CD 的长．26．如图，线段AB ＝8，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 的中点． （1）求线段AD 的长；（2）若在线段AB 上有一点E ，CE =14BC ，求AE 的长．【题型4 两个以上中点问题】27．如图，O 是AC 的中点，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，试判断MN 与OC 的大小关系．28．如图，线段AB ＝6cm ，点C 是AB 的中点，点D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．（1）求线段AE 的长； （2）求线段EC 的长．29．已知线段AB ＝20，M 是线段AB 的中点，P 是线段AB 上任意一点，N 是线段PB 的中点．（1）当P 是线段AM 中点时，求线段NB 的长； （2）当线段MP ＝1时，求线段NB 的长；（3）若点P 在线段BA 的延长线上，求线段P A 与线段MN 的数量关系．30．如图，C 为线段AB 上一点，D 为AC 的中点，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点． （1）若AC ＝4，BC ＝6，求CF 的长； （2）若AB ＝16CF ，求AC CB的值．。
线段的中点和分点公式
线段的中点和分点公式线段是指由两个端点所确定的一段直线。
在数学中，我们经常需要计算线段的中点和分点的坐标。
本文将介绍线段的中点和分点的计算公式，并且给出一些实际的应用例子。
1. 线段的中点公式线段的中点即为线段的中间点，离两个端点的距离相等。
如果我们已知线段的两个端点的坐标，可以使用下面的公式来计算线段的中点的坐标：中点的横坐标 = (端点1的横坐标 + 端点2的横坐标) / 2中点的纵坐标 = (端点1的纵坐标 + 端点2的纵坐标) / 2例如，假设线段的端点1为A(x1, y1)、端点2为B(x2, y2)，我们可以使用上述公式来计算线段AB的中点的坐标。
这个中点的坐标可以表示为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
2. 线段的分点公式线段的分点指的是线段上的任意一点，它将线段分成两个小线段。
如果我们已知线段的两个端点的坐标以及分点离端点1的距离比例（即所占线段总长度的比例），可以使用下面的公式来计算分点的坐标：分点的横坐标 = 端点1的横坐标 + (端点2的横坐标 - 端点1的横坐标) * 比例分点的纵坐标 = 端点1的纵坐标 + (端点2的纵坐标 - 端点1的纵坐标) * 比例例如，假设线段的端点1为A(x1, y1)、端点2为B(x2, y2)，我们可以使用上述公式来计算线段AB上距离端点1长度比例为k的分点的坐标。
这个分点的坐标可以表示为P(x1 + (x2 - x1) * k, y1 + (y2 - y1) * k)。
3. 应用例子线段的中点和分点公式在几何学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些例子：- 几何图形中的对称轴：对称轴是指一个几何图形的中心线，在轴上的任意一点到图形两侧的距离相等。
我们可以使用线段的中点公式来计算对称轴的坐标。
- 物体运动的中点和分点：在物理学中，我们经常需要计算物体在一段时间内的平均位置。
我们可以使用线段的中点公式来计算物体在两个时间点的中点位置，并使用线段的分点公式来计算物体在不同时间点的分点位置。
部编数学七年级上册专题有关线段中点的计算问题大题专项提升训练(重难点培优)同步培优含答案
【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题4.5有关线段中点的计算问题大题专项提升训练（重难点培优）一、解答题1．（2022·山东潍坊·七年级期中）已知点C在直线AB上，点M，N分别为AC，BC的中点．(1)如图所示，若C在线段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段BC，MN的长；(2)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC―BC=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长度（结果用含a的式子表示）．∵M是AC的中点，∵M是AC的中点，cm，CB=8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：(1)求AD的长度；(2)求DE的长度；(3)若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM的长度．∴AM的长度为26cm或14cm．【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC 的中点，F为DE的中点(1)如图1，若AC=4，BC=6，求CF的长；(2)若AB=16CF，求AC的值；CB(3)若AC＞BC，AC―BC=a，取DC的中点G，CE的中点H，GH的中点P，求CP的长(用含a 的式子表示)．设AC=x，BC=y，即x―y=a，则DC 的中点，如果CD=4cm，(1)求AC的长度；(2)若点E是线段AC的中点，求ED的长度．分别是线段AB、BP的中点．(1)如图1，点B在线段AP上一点，AP=15，求MN的长；(2)如图2，点B在线段AP的延长线上，AM-PN=3.5，点C为直线AB上一点，CA+CP=13，求CP长．CP+CA=CP+(CP+AP)=13，即CP+(CP+7)=13，解得CP=3；当点C在点A的左侧时，CA+CP=CA+(CA+AP)=13，即CA+(CA+7)=13，解得CA=3，∴CP=CA+AP=3+7=10．综上所述，CP的长为3或10．【点睛】本题考查中点的定义和线段的和差关系，解题的关键是熟练运用分类讨论思想，避免漏解．6．（2021·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM？(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．7．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，点A，C，E，B，D在同一条直线上，且AB=CD，点E是线段AD的中点．(1)点E是线段BC的中点吗？说明理由；(2)若AB=11，CE=3，求线段AD的长．【答案】(1)点E是线段BC的中点．理由见解析(2)16【分析】（1）先根据线段和差可得AC=BD，再根据线段中点的定义可得AE=DE，然后根据线段和差即可得出结论；（2）先根据（1）的结论可得BC=CE+BE=6，从而可得AC=5，再根据CD=AB可得CD=11，然后根据AD=AC+CD即可得．（1）解：点E是线段BC的中点．理由如下：因为AB=CD，所以AB―BC=CD―BC，即AC=BD，又因为E是线段AD的中点，所以AE=DE，所以AE―AC=DE―BD，即CE=BE，所以点E是线段BC的中点．（2）解：因为CE=3,CE=BE，所以BC=CE+BE=3+3=6，又因为AB=11，所以AC=AB―BC=11―6=5，又因为CD=AB=11，所以AD=AC+CD=5+11=16．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．8．（2021·江西鹰潭·七年级期中）已知，点A，B，C在同一条直线上，点M为线段AC的中点、点N为线段BC的中点，(1)如图，当点C在线段AB上时；①若线段AB=10，BC=4，求MN的长度；②若AB=a，则MN=_______．(2)若AC=10，BC=n，直接写出MN的长度．（用含n的代数式表示）点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）(1)线段BA的长度为____，当t =3时，点P所表示的数是____；(2)求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；(3)在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t．∴|20―2t―5|=2，∴20―2t―5=2，或20―2t―5=―2，解得t=6.5，或t=8.5．综上所述，所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．10．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）已知：如图，点C、D 在线段AB上，AB，AB＝12．点D是AB中点，AC=13(1)求线段CD的长；(2)E是线段BD上一点，且DE＝CD，请在图中画出点E，并证明C是AE的中点．CD的长为1．(1)求AB的长度；(2)若点E为BC中点，试求DE的长度．【答案】(1)10(2)3【分析】（1）根据AC和CD得到AD，再根据中点的定义求出AB；（2）先求出BC，根据中点的定义得到CE，再加上CD即可得到DE．（1）解：∵AC=6，CD=1，∴AD=AC-CD=5，∵点D为AB中点，∴AB=2AD=10；（2）∵AB=10，AC=6，∴BC=AB-AC=4，∵E为BC中点，∴BE=CE=2，∴DE=CD+CE=1+2=3．【点睛】本题考查了中点的定义，线段的和差，解题的关键是掌握中点平分一条线段．12．（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D 为线段AE的中点．(1)若线段AB＝a，CE＝b且(a―16)2+|2b―8|=0，求a，b的值；(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2．【分析】（1）根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．（1）BC的中点．(1)若AM＝2，BC＝8，求MN的长度；(2)若AB＝14，求MN的长度．【点睛】此题考查了两点间距离，解题的关键是熟练掌握线段的中点性质．14．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（1）如图，已知平面内A、B两点用没有刻度的直尺和圆规按下列要求尺规作图，并保留作图痕迹①连接AB；②反向延长线段AB到C，使AC ＝AB；③延长线段AB到D，使AD＝3AB．（2）若点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，AB＝4cm，求线段EF、CD的长度，并说明线段EF、CD的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）EF＝8cm，CD＝16cm，CD＝2EF【分析】（1）根据要求作图即可．（2）根据线段中点的定义可得出答案．【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求．②如图，线段AC即为所求．③如图，线段AD即为所求．（2）∵AB=AC=4cm，AD=3AB=12cm，点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，∴AE=2cm，AF=6cm，∴EF=AE+AF=8cm，CD=AC+AD=16cm，∴CD=2EF．【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段等知识，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．15．（2022·全国·七年级专题练习）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB 的中点．BC，求线段CD的长度；(1)点D在线段AB上，且AB=6，BD=13(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当AD:BD=2:3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系．【详解】（1）解：如图1，∵点C是线段AB的中点，AB=6 AB=3，∴BC=12设AD=2x，则BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，设AD=2a，则BD=3a，∴AB=BD-AD=a，M是AB的中点，N是AC的中点．求：(1)线段CM的长；(2)求线段MN的长．【答案】(1)1cm(2)3cm【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM＝AM−AC求得线段CM的长；（2）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN＝CM＋NC即可求出MN的长度．（1）解：∵AB＝10，M是AB的中点，∴AM＝5，又∵AC＝4，∴CM＝AM﹣AC＝5﹣4＝1（cm）．∴线段CM的长为1cm；（2）解：∵N是AC的中点，∴NC＝2，∴MN＝NC＋CM，2＋1＝3（cm），∴线段MN的长为3cm．【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的运用，知道线段的中点把线段分成两条相等的线段是解题的关键．17．（2021·山东·高青县教学研究室期中）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1．(1)求BC的长；(2)若AE：EC＝1：3，求EC的长．【答案】(1)BC＝2在线段AD上．(1)图中共有条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②如图2，若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．【答案】(1)6(2)①＝；②16【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD；题）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．(1)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC＝12cm，则AD的长为cm；②若BC＝34(2)若线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．【答案】(1)①=；②15(2)24cm【分析】（1）①由已知同加BC即得答案；②求出BC和AB，根据AB=CD得到CD，即可得到AD；（2）根据题意画出图形，设AB=3x，BC=4x，CD=5x，根据线段的和差关系求得MN，根据题意列出方程进而即可求解．（1）①∵AB=CD，∴BM=AM=32x,CN点C在线段AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；（2）已知：如图2，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB＝a，求MN的长度；（3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度．∵点M、N分别是AC，BC中点，11（苏科版））如图，O为数轴原点，点A原点左侧，点B在原点右侧，且OB＝2OA，AB＝18．(1)求A、B两点所表示的数各是多少；(2)P、Q为线段AB上两点，且QB＝2PA，设PA＝m，请用含m的式子表示线段PQ；(3)在②的条件下，M为线段PQ的中点，若OM＝1，请直接写出m的值．【答案】(1)A表示的数为﹣6，B表示的数为12(2)18﹣3m或3m﹣18(3)m＝4或m＝8【分析】（1）由题意可求得OB＝12，OA＝6，从而可表示出点A，B所表示的数；（2）分两种情况进行讨论：①点P在点Q的左侧；②点P在点Q的右侧，再利用相应的线段的关系可以求解；PQ＝AB﹣PA﹣BQ＝18﹣3m；②当点P在点Q的右侧时，如图，PQ＝QB﹣（AB﹣PA）＝3m﹣18，∴线段PQ的长是18﹣3m或3m﹣18．直线l上，且AB＝18cm，点C是AB的中点．(1)若点P 是直线l 上的动点，且PB ＝5cm ，则CP ＝ cm ；(2)若点Q 是AB 的延长线上一点，点M 、N 分别是AQ 、BQ 的中点，求线段MN 的长．【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差关系，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差直线l 上的两点，点C 、D 在直线l 上且点C 在点D 的左侧，点D 在点B 的右侧，且AC ＝13BC ，BD ＝12AB ．(1)若AB ＝8，求线段CD 的长；(2)若CD ＝m ，则线段AB 的长为（用含m 含的代数式表示）．∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，∵AC=1BC，四点在同一直线上．(1)若AB=CD．①比较线段的大小：AC________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC=16cm，则AD的长为________cm；②若BC=34(2)若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．(2)解：如图所示，设每份为x，则AB=2x，BC=3x，CD=4x，AD=9x，∵M是AB的中点，点N是CD的中点N，∴AM=BM=x，CN=DN=2x又∵MN=18，∴x+3x+2x=18，解得，x=3，∴AD=9x=27(cm)．【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的意义．25．（江苏省苏州市振华中学校2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）已知线段AB= a，小明在线段AB上任意取了点C然后又分别取出AC、BC的中点M、N的线段MN（如图1）；小红在线段AB的延长线上任意取了点D，然后又分别取出AD、BD的中点E、F的线段EF（如图2）(1)试判断线段MN与线段EF的大小，并说明理由．(2)若EF=x，AD=4x+1，BD=x+3，求x的值．a；∴MN=12如图2，得EF=ED-FD=1AD―1BD=1(AD―BD)，AB，D为线段BC的中点．（如图），C是AB反向延长线上的点，且AC=13(1)将CD的长用含a的代数式表示为________；(2)若AD=3cm，求a的值．cm，C是线段AB上一点，AC=6cm，D、E分别是AB、BC的中点．(1)求线段CD的长；(2)求线段DE的长．28．（江苏省盐城市射阳县第六中学2021-2022学年七年级上学期期末数学试题（b卷））如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝10cm，BD＝4cm．(1)求线段CD的长；BD，求线段AE的长．(2)若点E是线段AB上一点，且BE=12BD=2cm∵BE=12∴AE=AB线段AB上一点，AB＝m，BC＝n，M、N分别为AB、BC的中点．(1)若m＝10，n＝3，求MN的长；(2)若m＝3n，求CN的值．MN已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．（1）AB= ；（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q 的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．。
线段的计算(中点专题)
线段的计算（中点专题）1．如图，C、D在线段AB上，48CD mm=．求线段BC=，且D为BC的中点，18AB mm和AD的长．2．如图，点C在线段AB上，9=，D是AC的中点，求AD长．AB=，2AC CB3．如图：已知8=，C为AB的中点，求线段DC的长．BD cm=，3AB cm4．如图，点C在线段AB上，线段15=，AB cmCN cm=，点M，N分别是AC，BC的中点，3求线段MC的长度．5．如图，已知点B在线段AC上，8AB cm=，10BC cm=，点P，Q分别为AB，AC的中点．（1）线段AC的长为cm，线段PC的长为cm；（2）求线段PQ的长．6．（1）如图，已知点C在线段AB上，8AC cm=，6BC cm=，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）题中，如果AC acm=，BC bcm=，其他条件不变，求此时线段MN的长度．7．已知，点C是线段AB的中点，6AC=，点D在直线AB上，且12AD BD=．请画出相应的示意图，并求线段AD的长．8．如图，已知线段10AB cm =，2CD cm =，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点．（1）若3AC cm =，求线段EF 的长度．（2）当线段CD 在线段AB 上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF 的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段EF 的长度；如果变化，请说明理由．9．如图，C 为线段AB 上一点，点D 为BC 的中点，且30AB cm =，4AC CD =． （1）求AC 的长；（2）若点E 在直线AB 上，且5EA cm =，求BE 的长．10．如图，12AB cm =，点C 是线段AB 的中点，D 、E 分别是线段AC 、CB 上的点，13AD AC =，8DE cm =，求线段CE 的长．11．如图，已知点A，B，C，D，E在同一直线上，且AC BD=，E是线段BC的中点．（1）点E是线段AD的中点吗？请说明理由；（2）当30AD=，9AB=时，求线段BE的长度．12．如图，B是线段AD上一动点，沿A D Acm s的速度往返运动1次，C是线→→以3/段BD的中点，15t．AD cm=，设点B运动时间为t秒(010)（1）当2t=时，求线段AB和CD的长度．（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变．求出EC的长；若发生变化，请说明理由．13．已知关于m的方程11223m m m+=-的解也是关于x的方程2(3)13x n--=的解．（1）求m、n的值．（2）若线段AB m=，在直线AB上取一点P，恰好使APnPB=，点Q为AP的中点，求线段BQ的长．（3）若线段AB m=，点A，B分别以2个单位/秒和5个单位/秒的速度向左而行，经过几秒，A、B两点相距2个单位．14．已知：如图，一条直线上依次有A 、B 、C 三点． （1）若60BC =，3AC AB =，求AB 的长；（2）若点D 是射线CB 上一点，点M 为BD 的中点，点N 为CD 的中点，求BCMN的值； （3）当点P 在线段BC 的延长线上运动时，点E 是AP 中点，点F 是BC 中点，下列结论中： ①AC BPEF+是定值； ②||AC BPEF-是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．。
关于中点的知识点
中点是几何学中一个基本概念，它在许多数学和几何问题中都有重要的应用。
在本文中，我们将探讨中点的定义、性质和一些常见的应用。
一、中点的定义中点是指一条线段的两个端点之间的中间位置点。
在一条线段AB上，记中点为M，则AM=MB。
简而言之，中点就是将一条线段分成两个相等部分的点。
二、中点的性质 1. 中点分割线段中点将一条线段分割成两个相等的部分。
这意味着，如果AM=MB，则M是线段AB的中点；反之亦然，如果M是线段AB的中点，则AM=MB。
2.中点和线段长度的关系线段的长度等于两个端点之间的距离。
如果线段AB的长度为d，则AM=MB=d/2。
也就是说，线段长度的一半就是线段中点到任一端点的距离。
3.中点构成的线段平行于原线段如果线段AB的中点为M，构造线段MC，使得MC与AB重合，那么MC与AB平行。
这是因为中点将线段分成两个相等的部分，所以MC和AB有相同的长度和方向，因此它们平行。
三、中点的应用 1. 平行线的构造中点的概念常用于线段平行线的构造中。
给定线段AB和一点C，在点C处通过线段AB的中点M，可作出平行于线段AB的线段MC。
2.三角形的性质中点在研究三角形的性质时也起到关键作用。
例如，在等腰三角形中，中点是底边的中点；在等边三角形中，中点是边的中点。
3.证明几何定理中点的概念在证明几何定理时也经常被使用。
例如，证明平行线与三角形内一条边的中点连线构成平行线。
四、中点的推广除了线段，中点的概念还可以推广到其他几何图形中。
例如，三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点构成的线段的中点。
总结：中点是几何学中一个基本的概念，它具有许多重要的性质和应用。
通过了解中点的定义、性质和应用，我们能够更好地理解和应用几何学中的一些基本概念和定理。
无论是在解决几何问题还是在证明几何定理时，中点都扮演着重要的角色。
因此，对中点的认识和理解是进行几何学学习的基石之一。
线段的中点坐标求解
线段的中点坐标求解计算线段的中点坐标是数学中的一个基础问题，通过确定两个端点的坐标并应用中点公式，可以轻松地找到线段的中点坐标。
本文将介绍如何准确、快速地计算线段的中点坐标，并给出详细步骤和示例。
1. 确定线段的两个端点首先，我们需要确定线段的两个端点的坐标。
假设端点A的坐标为(x1, y1)，端点B的坐标为 (x2, y2)。
这些坐标可以由问题的具体描述或者图形给出。
2. 使用中点公式计算中点坐标中点公式是求解线段中点坐标的基本工具，其思路是取两个端点的横坐标和纵坐标的平均值作为中点的坐标。
具体公式如下：中点横坐标：(x1 + x2) / 2中点纵坐标：(y1 + y2) / 23. 示例演算为了更好地理解中点坐标的计算过程，我们来看一个具体的示例。
假设端点A的坐标为 (1, 4)，端点B的坐标为 (5, 10)。
我们按照上述步骤进行计算。
中点横坐标：(1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3中点纵坐标：(4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7因此，线段AB的中点坐标为 (3, 7)。
4. 总结通过以上的步骤，我们可以迅速地求解线段的中点坐标。
只要确定了两个端点的坐标，应用中点公式即可得到准确的结果。
在实际问题中，计算线段中点坐标的方法也可以扩展到三维空间中，原理是类似的，只需要针对相应的坐标进行计算即可。
在数学和几何学中，线段的中点坐标求解是一个基础而重要的问题，它在很多实际应用中都有广泛的应用。
掌握了线段中点坐标的计算方法，可以帮助我们更好地理解和解决与线段相关的问题。
总之，通过确定两个端点的坐标并应用中点公式，我们可以轻松地计算线段的中点坐标。
这个问题虽然简单，但在实际问题中却有着广泛的应用，对于数学和几何学的学习也有着重要的作用。
通过本文的介绍和示例，希望能够帮助读者更好地理解和应用线段中点坐标的求解方法。
小专题(九)_线段的计算
小专题（九）《线段的计算》类型1 线段的中点计算【例】如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点.（1）若AC=9 cm，CB=6 cm，则MN=_____cm；（2）若AC=a cm，CB=b cm，则MN=_____cm；（3）若AB=mcm，求线段MN的长；（4）若C为线段AB上任意一点，且AB=n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论.【变式1】若MN=k cm，求线段AB的长.【变式2】若C在线段AB的延长线上，且满足AB=p cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由.方法指导如图，点C在线寝AB所在的直线上，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN=12 AB.针对训练1.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长是（）A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm2.如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点. （1）若AB=24，CD=10，求MN的长；（2）若AB=a，CD=b，请用含有a，b的式子表示出MN的长.类型2 线段的和差倍分计算3.如图，点C为线段AB的中点，点D在线段CB上.（1）图中共有_____条线段；（2）图中AD=AC+CD，BC=AB-AC，类似地，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式；（3）若AB=8，DB=1.5，求线段CD的长.4.如图，AD=12cm，AC=BD=8cm，E，F分别是AB，CD的中点，求EF+2FB的长.类型3 运用分类讨论思想求线段的长度5.已知：点C在直线AB上.（1）若AB=2，AC=3，求BC的长；（2）若点C在射线AB上，且BC=2AB，取AC的中点D，已知线段BD的长为1.5，求线段AB的长.（要求：在图上补全图形）6.已知线段AB=60cm，在直线AB上画线段BC，使BC=20cm，点D是AC的中点，求CD的长.类型4 动态问题7.【分类讨论思想】如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒.（1）当0<t<5时，用含t的式子填空：BP=_____，AQ=_____；（2）当t=2时，求PQ的值；（3）当PQ=12AB时，求t的值.参考答案【例】解：（1）7.5（2）5 12（a+b）（3）因为点M是AC的中点，所以CM=12AC.因为点N是BC的中点，所以CN=12BC.所以MN=CM+CN=12AC+12BC=12AB=12mcm.（4）猜想MN=12AB=12ncm.结论：当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则MN=12AB一定成立.【变式1】解：因为点M是AC的中点，所以CM=12AC.因为点N是BC的中点，所以CN=12BC，所以MN=CM+CN=12AC+12BC=12AB.所以AB=2MN=2kcm.【变式2】解：猜想：MN=12AB=12Pcm.理由如下：当点C在线段AB的延长线上时，如图.因为点M是AC的中点，所以CM=12 AC.因为点N是BC的中点，所以CN=12BC.所以MN=CM-CN=12（AC-BC）=12AB=12Pcm.针对训练1.D2.解：（1）因为AB=24，CD=10，所以AC+DB=AB-CD=14.因为M，N分别是AC，BD的中点，所以MC+DN=12（AC+DB）=7.所以MN=MC+DN+CD=17.（2）因为AB=a，CD=b，所以AC+DB=AB-CD=a-b.因为M，N分别是AC，BD的中点，所以MC+DN=12（AC+DB）=12（a-b），所以MN=MC+DN+CD=12（a-b）+b=12（a+b）.3.解：（1）6（2）答案不唯一，如：①BC=CD-DB；②AD=AB=DB.（3）因为C为线段AB的中点，AB=8，所以CB=12AB=4.所以CD=CB-DB-2.54.解：因为AD=12cm，AC=BD=8cm，所以BC=AC+BD-AD=4cm.所以AB=AC-BC=4cm，CD=BD-BC=4cm，所以EF=BC+12（AB+CD）=4+12×8=8（cm）.所以CF=12CD=2cm.所以FB=BC+CF=6cm.所以EF+2FB=8+2×6=20（cm）.即EF+2FB的长为20cm. 5.解：（1）若点C在点A的左边，则BC=AB+AC=5：若C在A的右边，则BC=AC-AB=1.故BC的长为5或1.（2）如图所示，点C在AB延长线上：因为BC=2AB，D是AC的中点，所以AD=32AB.所以BD=12AB.因为BD=1.5，所以AB=3.6.解：当点C在线段AB上时，如图1.CD=12AC=12（AB-BC）=12×（60-20）=124020(cm)⨯=.当点C在线段AB的延长线上时，如图2.CD=12AC=12（AB+BC）=11(6020)8040(cm)22⨯+=⨯=.所以CD的长为20cm或40cm.7.解：（1）5-t 10-2t（2）当t=2时，AP<5，点P在线段AB上OQ<10，点Q在线段OA上，如图1.此时PQ=OP-OQ=（OA+AP）-OQ=（10+t）-2t=10-1=8.（3）①当点P在点Q右边时，如图2.此时，AP=t，OQ=2t，OA=10，AB=5.所以PQ=OA+AP-OQ=10+t-2t=10-t.当PQ=12 AB时，即10-t=2.5，解得t=7.5.②当点P在点Q左边时，如图3.此时，OQ=2t，AP=t，OA=10，AB=5.所以PQ=OQ-OA-AP=2t-10-t=t-10.当PQ=12 AB时，即：t-10=2.5，解得=12.5.综上所述，当PQ=12AB时，t=7.5或12.5.。
线段的中点 Microsoft Word 文档 (2)
.如图，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM=CM 求证：ME=MD（一）探究两条线段关系一、题目中有特殊条件-------中点（常见七种辅助线添加） 典例精析：1、已知Rt △ABC 中AB =BC ，在Rt △ADE 中AD =DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM 。
（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上，且与点B 不重合，如图1，说明BM 与DM 的关系。
（2）如图1中的△ADE 绕点A 逆时针转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？请给予说明。
变形：R t △ABC 中，∠ACB=300,将Rt △CDE 逆时针旋转90度得△C ’D ’E ’,连结BE’‘，取中点M 。
（1）试探究AD ’与D ‘M 的数量关系。
（2）若∠ACB=α则AD ’与D ‘M 的数量关系为_________。
DCB2、如图4，点G、F分别是等腰△ABC、等腰△ADE底边的中点，∠BAC＝∠DAE＝∠α，点P是线段CD的中点．试探索：∠GPF与∠α的关系，并就下面两个图分别加以证明．3、如图3，Rt△ABC, BD=kDA, E为CD中点，FG//AC.试探究AG与BF数量关系。
图3 备用图图3 图34、已知：△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC=α。
在图中，点O 是△ABC 外的任意一点。
以邻边OB 、OC 为边画出平行四边形OBDC ，并延长OA 到E ，使得AE=OA ，再连接DE 。
试说明ED 与BC 关系。
（用含α的式子表示）5、如图5，点A 是△ABC 和△ADE 的公共顶点，∠BAC ＋∠DAE ＝180°，AB ＝k ·AE ，AC ＝k ·AD ，点M 是DE 的中点，直线AM 交直线BC 于点N ． ⑴探究∠ANB 与∠BAE 的关系，并加以证明．⑵若△ADE 绕点A 旋转，其他条件不变，则变化后∠ANB 与∠BAE 的关系试画图并加以说明．A BCENDM图5-1A BENDMA BENDMO DEO D6、如图6，在△ABC 和△PQD 中，AC = k BC ，DP = k DQ ，∠C =∠PDQ ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，点P 在直线BC 上，连结EQ 交PC 于点H ． 猜想线段EH 与AC 的数量关系，并证明你的猜想．7、在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF= DC, M 为AB 边上一点, N 为MD 的中 点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图7-1, 若AB=BC, 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图7-2，且若AB=BC, 点M 、A 不重合, BN=NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图7-3，若点M 、A 不重合，BN=NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.8、 7-17-2图6 F A ( M ) D N D C E N MB F EC B F N M E C B A 7-1 7-2 7-3图7-1 图7-2。
线段中点知识点总结
线段中点知识点总结一、线段中点的定义线段中点是指线段的两个端点之间的中间位置的点，具体来说，一个线段上的点M被称为线段AB的中点，即AM = MB。
二、线段中点的性质1. 线段中点的坐标假设线段AB的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的中点M的坐标为M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)。
2. 线段中点的判定如果一个点M(x, y)满足AM = MB，则M是线段AB的中点。
3. 线段中点的作图若要画出线段AB的中点M，只需连接AB的两个端点，并画出中垂线，中垂线与AB的交点即为M。
4. 线段中点定理线段中点定理是指：如果一个三角形的一个边平行于另一个边的一半，则这个边上的中点与三角形的第三个顶点连线平行于另一个边。
具体来说，设AB//CD，M为AB的中点，N为CD的中点，则MN//AD，并且MN = 1/2 * AD。
5. 线段中点与平行线如果有线段的两个端点与所在直线的两个点分别构成的两个三角形的底边上的等角相同（或对顶角相等），那么这个线段的中点同时也是这个线段中线的中点。
6. 线段中点与距离假设二维空间中有一个点O及其两个不同的点A和B。
则对于点C，若AC = BC，则C在AB中点上或者与AB垂直。
稍广义地说当AC = BC时只有一个点C，在AB的中垂线上，且AC = BC。
三、线段中点的应用1. 几何证明在几何证明中，线段中点定理、线段中点与平行线的性质常常被用于推导各种结论。
2. 动态几何在动态几何学软件中，线段中点的坐标性质被广泛应用，可以通过拖动线段的两个端点来改变线段中点的位置验证性质。
3. 数学建模在线段中点的坐标计算中，线段的中点坐标性质可以应用于数学建模中，比如在平面直角坐标系中，通过线段中点的坐标计算可以简化一些数学模型的复杂度。
4. 计算机图形学计算机图形学中，线段的中点与平行线性质及计算中点坐标等知识对图形的坐标变换、画直线、画圆等操作有一定的指导作用。
初中数学 线段中点问题复习思维导图的构建
线段中点问题复习思维导图的构建线段中点是几何图形中的一个重要且特殊的点，是几何学学习的基础和核心构成要素。
与线段中点有关的重要性质和结论有很多，这些都是几何图形问题解决的重要解题依据和推理依据，是几何逻辑推理的基础条件或过渡性条件或结论性条件，复习时把线段的中点有关的性质，定理和结论从基本意义，基本性质，基本图形结构，基本应用等四个方面进行思维导图的梳理与构建，为线段中点问题的解决插上数学智慧翅膀。
一、构建线段的中点知识思维导图二、分模块把握掌握线段的中点（模块一）。
线段中点的基本意义1。
要准确理解定义，需要把握如下几点：（1）把握好中点与线段的位置关系:线段的中点必须在线段上；（2）把握好分线段、分线段与原线段的数量关系：分线段间是等量关系；分线段与原线段是一半关系。
其学习思维导图可以绘制如下：理解时，思维方向是单向的即由左向右理解，绝对不能由右向左去理解，否则就会得到很多错误的结论或描述。
试一试，能通过检验吗？（3）练一练下列四种说法：①因为AM=MB，所以M是AB中点；②在线段AM的延长线上取一点B，如果AB；④因为A、M、B在AB=2AM，那么M是AB的中点；③因为M是AB的中点，所以AM=MB=12同一条直线上，且AM=BM，所以M是AB中点，其中正确的是（）A。
①③④ B。
④ C。
②③④ D。
③④解析：第一种说法不能保证满足位置关系，所以不正确；第二种说法符合中点的定义，所以正确；第三，第四都满足线段中点的定义，所以选C。
2。
立足教材习题，掌握基本计算思路如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB=4cm。
求线段CD的长度。
（人教版七年级上册p128页第3题）这道习题的安排，不仅是为了巩固线段的中点，更是为了学会初步的几何推理，学会用数学思想解决，更要学会创新思维探解问题。
常规解法：解法1：因为点D是线段AB的中点，所以AD=12AB，因为AB=4，所以AD=2；因为点C是线段AD的中点，所以CD=12AD，因为AD=2，所CD=1(cm)。
线段中点问题
线段中点例1、已知线段AB 的长度为a ，点C 是线段AB 上的任意一点，M 为AC 中点，N 为BC 的中点，求MN 的长。
解法一：M 为AC 中点，N 为BC 中点， ∴11,.22MC AC CN CB ==（线段中点定义） ∴1111()2222MN MC CN AC CB AC CB AB =+=+=+= 又 AB=a ∴1122MN AB a == 解法二： M 为AC 中点，N 为BC 中点， ∴11,.22AM AC NB CB ==（线段中点定义） ∴11111()22222MN AB AM NB AB AC CB AB AC CB AB AB AB =--=--=-+=-= 又 AB=a ∴1122MN AB a == 例2、已知点C 是线段AB 上的任意一点，M 为AC 中点，N 为BC 的中点，线段MN 的长度为a ，求AB 的长。
解法一：M 为AC 中点，N 为BC 中点， 2,2. AC MC BC NC ==∴（线段中点定义）222()2 AB AC CB MC CN MC CN MN=+=+=+=∴又 MN=a 22A B M N a ==∴解法二： M 为AC 中点，N 为BC 中点，, . AM MC NB CN ==∴（线段中点定义）()()2 AB AM MN NB AM NB MN MC CN MN MN =++=++=++=∴又 MN=a 22A B M N a ==∴解法三：M 为AC 中点，N 为BC 中点， ∴11,.22AM AC NB CB ==（线段中点定义）()11112222 AB AM MN NB AC MN CB AC CB MN AB MN =++=++=++=+∴12AB AB MN -=∴ 2 AB MN =∴又 MN a =22A B M N a ==∴例3、已知线段AB 的长度为a ，点C 是线段AB 的延长线上的任意一点，M 为AC 中点，N 为BC 的中点，求MN 的长。
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线段中点专题
一．填空题
1．已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN 的长度为
2．已知线段AB=7cm，在直线AB上截取BC=2cm，D是AC的中点，则线段BD=．3．已知线段AB=5cm，在直线AB上截取BC=2cm，则AC=．
4．已知线段AB=12cm，C是直线AB上一点，AC：BC=3：1，则线段AC长为
cm．
5．已知一条直线上有A、B、C、三点，线段AB的中点为P，AB=10；线段BC的中点为Q，BC=6，则线段PQ的长为．
6．已知直线上有A、B、C三点，线段AB=5，线段AC=2，D是线段AC的中点，E为线段BC 上的点，且BE=BC，则DE=．
二．解答题（共10小题）
7．已知线段AB=16cm，点C是直线AB上一点，BC=3AC，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长．
8．如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段AB，使AB=2a﹣b（不写作法，保留作图痕迹）．
9．如图所示，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a cm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗并说明理由．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB=b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
10．如图，已知B、C两点把线段AD分成2：4：3的三部分，M是AD的中点，若CD=6，求：（1）线段MC的长．
（2）AB：BM的值．
11．画线段MN=3cm，在线段MN上取一点Q，使MQ=NQ，延长线段MN至点A，使AN=MN；延长线段NM至点B，使BN=3BM，根据所画图形计算：
（1）线段BM的长度；
（2）线段AN的长度；
（3）试说明Q是哪些线段的中点图中共有多少条线段它们分别是
13．如图，已知线段AB=3cm，延长线段AB到C，使BC=2AB．
（1）线段AC的长为；
（2）若点D为AC上的一点，且AD比DC短1cm．①求线段AD的长；
②若点E是BC的中点，求线段DE的长．
14．（1）已知：如图，点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=14cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．
（2）在（1）中如果AC=acm，BC=bcm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗请用一个代数式表述你发现的结果，并说明理由
（3）如果将（1）题的叙述改为：“已知线段AC=6cm，BC=14cm，点C在直线AB上，点M、N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．”结果会有变化吗如果有，求出结果．
15．如图所示，若AB=4cm，延长AB到C，使BC=3cm．如果点D是线段AB的中点，点E是线段AC的中点，求线段DE的长；
16．A、B两点在数轴上的位置如图，现A、B两点分别以1个单位/秒、4个单位/秒的速度同时向左运动．
（1）几秒后，原点恰好在两点正中间
（2）几秒后，恰好有OA：OB=1：2
17、如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC=BD，E是线段BC的中点。
（1）点E是线段AD的中点吗说明理由；
（2）当AD=10，AB=3时，求线段BE 的长度。