大学物理 动能定理
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保守力的功
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
W ( Ep2 Ep1 ) EP
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
讨论
势能是状态函数
Ep Ep ( x, y, z )
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
弹力功
W (mgy B mgy A) 1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
A
D
C
ACB
F dr
ADB
F dr
B
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
l
ACB
F dr
ACB
ADB
F dr
F dr
A
D
C
F dr
F dr
BDA
B
A
C
D
F dr 0
l
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .
B
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
W b v d t
2
o
v0
由动力学方程可得
v v0 e
bt 2 m
bt m
W
1 2 2mb t W mv0 (e 1) 2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 t bv0 0 e
dt
x
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
(二) 质点的动能定理
dv Ft m dt v2 v2 dv 1 1 2 2 W m ds mvdv mv2 mv1 v1 v1 dt 2 2 2 1 p 动能（状态函数） Ek mv 2 2 2m 动能定理
W Fdx 9t dt 36.0 J
3 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
dx W F dr bv d x bv dt dt
即
例 2 一质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触 水面时其速率为v0 . 设此球在水中所受的浮力与重力 相等, 水的阻力为 Fr bv, b 为一常量. 求阻力对 球作的功与时间的函数关系 . 解 如图建立坐标轴
物理学教程 （第二版）
势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线.
Ep mgy
Ep
1 2 Ep kx 2
m' m E p G r
Ep
O
Ep
x
O
y
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
y 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
ex in
m1
ex Fi
外力功
内力功
in m i m2 Fi
对质点系，有
W
i
ex
i
Wi Eki Eki 0 Ek Ek 0
in i i i
质点系动能定理
注意
W W Ek Ek 0
ex in
内力可以改变质点系的动能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
变力的功
dW F cos dr F cos ds
dri
dr
*
i
B
*
dW F dr 0 90 , dW 0 90 180 , dW 0 90 F dr dW 0
B A A
1 F dr1
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
（2）考虑到保险箱初始速率为零，由动能定理有
1 2 W mv 0 2
式中v即为两人对物体做功后物体的速率，即
v 2W 2 306.88 1.65m s 1 m 225
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
W kx dx 0
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能 (二) 保守力和非保守力
物理学教程 （第二版）
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功 重力功
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例 2 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下 端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直 线成 30 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与 竖直线成 10 角时小球的速率 .
解:
dW F d s FT d s P d s P d s mgld cos mglsin d
势能是属于系统的 .
势能计算 若令
W ( Ep Ep0 ) Ep
Ep0 ( x0 , y0 , z0 ) 0
Ep ( x, y, z)
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
( x0 , y0 , z0 )
( x, y , z )
Fc dr
二 保守力与非保守力 势能
W F dr Ft dr Ft ds
合外力对质点所作的功, 等于质点动能的增量 .
W Ek2 E k1
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
(三) 质点系的动能定理 对第 i 个质点，有
Wi Wi Eki Eki 0
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
力的空间累积效应
W, E
，动能定理等.
(一 ) 功
力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与 位移大小的乘积 . （功是标量，过程量） 恒力的功
W F cos r
W F r
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F
F M
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
A F1
F cos
Fi
W
B F dr F cos ds
o sA
ds
sB
s
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
直角坐标系
F Fxi Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
W1 F1d cos 1 24.0 8.50 cos 300 J 176.66 J W2 F2 d cos 2 20.0 8.50 cos 400 J 130.22 J
则两人做的总功为
W W1 W2 306.88 J
F1
400
300
F2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
（ C）
(B)(2)、(3)是正确的 (D)只有(3)是正确的
分析： （1）错.(保守力作正功时,系统相应的势能减少). （ 3 ）错 .( 作用力和反作用力虽然大小相等、方 向相反,但两者所作功的代数和不一定为零；而等于 力与两者相对位移的乘积.)
功是标量，力、位移是矢量 功的大小与参考系的选择有关 合力所作的功等于各分力沿同一路径 所作功的代数和
W Fi dr Fi dr Wi
i
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例 一个质点在恒力 F 3i 5 j 9k ( N) 作用下 的位移为， r 4i 5 j 6k (m) 则这个力在该位移过
程中所作的功为： （A）
( A) 67 J , ( C ) 17 J ,
( B) 91J , ( D) 67 J
分析： W F r
67 J
(4i 5 j 6k ) (3i 5 j 9k )
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
二 保守力与非保守力 势能 (三) 势能 势能 势能曲线
物理学教程 （第二版）
与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
W (mgyB mgyA )
引力功
Ep mgy
引力势能
m' m Ep G r 弹力功 弹性势能 1 2 1 2 1 2 Ep kx W ( kx B kx A ) 2 2 2
0
d
W mgl sin d
0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
mgl(cos cos 0 )
F T v ds P
l
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
l 1.0m 10 W mgl(cos cos0 )
m 1.0kg 0 30
B m' m m A W F dr G 2 er dr A r (t) dr r m' er dr er dr cos dr r (t dt )
m' m W G 2 dr rA r
rB
O
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
二 保守力与非保守力 势能 例 对功的概念有以下儿种说法: (1)保守力作正功时,系统内相应的势能增加.
物理学教程 （第二版）
(2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零. (3)作用力和反作用力大小相等、方向相反,两者所作 功的代数和必为零. (A)(1)、(2)是正确的 (C)只有(2)是正确的
W
F dx F dy F d z
x y z
W Wx Wy Wz
平面自然坐标系
dW F dr ( Fe t t F nen ) dset Fds t
W Ft ds
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
关于功的说明
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
注意
1. 动能定理仅适用于惯性系 ，功和动能 都与 参考系有关；
2. 功是过程量，动能是状态量。功是物体能量变 化的一种量度，动能是能量的一种形式 运用动能定理解决力学问题的步骤 确定研究对象 分析受力情况 计算力作的功 确定初末状态的动能 列方程求解
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
yA
yB
o
P
(mgyB mgyA )
W mg dy 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
x
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
3 ） 弹性力作功
F
F F
o xA
dW
xB x
xB xA
O
xA
xB xA
dx x B
x
F kxi
W Fdx kxdx
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例1 质量为 2kg 的物体由静止出发沿直线运动, 作 用在物体上的力为 F = 6 t (N) . 试求在头 2 秒内, 此力 对物体做的功.
解:
ax Fx m 3t
vx
0
dv 3tdt
0
t
dv a dt
vx 1.5t
2
2
2
dx vxdt 1.5t dt
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
r (t )
B
dr
dr r (t dt )
二 保守力与非保守力 势能 2 ） 重力作功
物理学教程 （第二版）
P m g j dr dxi dyj
W
B A
y
yA
A
D
dr
C
B
yB P dr mgdy
0
d
1 1 2 由动能定理 W mv mv 2 0 2 2
得
v 2 gl(cos cos 0 )Hale Waihona Puke Baidu
1.53m s
1
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F T v ds P
l
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例3 如图所示,一质量m为225kg的保险箱静止放置在光滑地面上， 甲、乙两人用推力F1为24.0N和拉力F2为20.0N同时作用于此物体， 使它沿直线移动了d=8.50m。设保险箱与地面的摩擦力可以忽略 不计。求（1）两人对保险箱做的功为多少？（2）两人对保险箱 做功后，它的速率为多大？ 解 （1）考虑到推力和拉力都是恒力，可得F1和F2分别做的功为
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
W ( Ep2 Ep1 ) EP
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
讨论
势能是状态函数
Ep Ep ( x, y, z )
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
弹力功
W (mgy B mgy A) 1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
A
D
C
ACB
F dr
ADB
F dr
B
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
l
ACB
F dr
ACB
ADB
F dr
F dr
A
D
C
F dr
F dr
BDA
B
A
C
D
F dr 0
l
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .
B
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
W b v d t
2
o
v0
由动力学方程可得
v v0 e
bt 2 m
bt m
W
1 2 2mb t W mv0 (e 1) 2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 t bv0 0 e
dt
x
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
(二) 质点的动能定理
dv Ft m dt v2 v2 dv 1 1 2 2 W m ds mvdv mv2 mv1 v1 v1 dt 2 2 2 1 p 动能（状态函数） Ek mv 2 2 2m 动能定理
W Fdx 9t dt 36.0 J
3 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
dx W F dr bv d x bv dt dt
即
例 2 一质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触 水面时其速率为v0 . 设此球在水中所受的浮力与重力 相等, 水的阻力为 Fr bv, b 为一常量. 求阻力对 球作的功与时间的函数关系 . 解 如图建立坐标轴
物理学教程 （第二版）
势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线.
Ep mgy
Ep
1 2 Ep kx 2
m' m E p G r
Ep
O
Ep
x
O
y
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
y 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
ex in
m1
ex Fi
外力功
内力功
in m i m2 Fi
对质点系，有
W
i
ex
i
Wi Eki Eki 0 Ek Ek 0
in i i i
质点系动能定理
注意
W W Ek Ek 0
ex in
内力可以改变质点系的动能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
变力的功
dW F cos dr F cos ds
dri
dr
*
i
B
*
dW F dr 0 90 , dW 0 90 180 , dW 0 90 F dr dW 0
B A A
1 F dr1
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
（2）考虑到保险箱初始速率为零，由动能定理有
1 2 W mv 0 2
式中v即为两人对物体做功后物体的速率，即
v 2W 2 306.88 1.65m s 1 m 225
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
W kx dx 0
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能 (二) 保守力和非保守力
物理学教程 （第二版）
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功 重力功
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例 2 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下 端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直 线成 30 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与 竖直线成 10 角时小球的速率 .
解:
dW F d s FT d s P d s P d s mgld cos mglsin d
势能是属于系统的 .
势能计算 若令
W ( Ep Ep0 ) Ep
Ep0 ( x0 , y0 , z0 ) 0
Ep ( x, y, z)
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
( x0 , y0 , z0 )
( x, y , z )
Fc dr
二 保守力与非保守力 势能
W F dr Ft dr Ft ds
合外力对质点所作的功, 等于质点动能的增量 .
W Ek2 E k1
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
(三) 质点系的动能定理 对第 i 个质点，有
Wi Wi Eki Eki 0
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
力的空间累积效应
W, E
，动能定理等.
(一 ) 功
力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与 位移大小的乘积 . （功是标量，过程量） 恒力的功
W F cos r
W F r
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F
F M
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
A F1
F cos
Fi
W
B F dr F cos ds
o sA
ds
sB
s
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
直角坐标系
F Fxi Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
W1 F1d cos 1 24.0 8.50 cos 300 J 176.66 J W2 F2 d cos 2 20.0 8.50 cos 400 J 130.22 J
则两人做的总功为
W W1 W2 306.88 J
F1
400
300
F2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
（ C）
(B)(2)、(3)是正确的 (D)只有(3)是正确的
分析： （1）错.(保守力作正功时,系统相应的势能减少). （ 3 ）错 .( 作用力和反作用力虽然大小相等、方 向相反,但两者所作功的代数和不一定为零；而等于 力与两者相对位移的乘积.)
功是标量，力、位移是矢量 功的大小与参考系的选择有关 合力所作的功等于各分力沿同一路径 所作功的代数和
W Fi dr Fi dr Wi
i
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例 一个质点在恒力 F 3i 5 j 9k ( N) 作用下 的位移为， r 4i 5 j 6k (m) 则这个力在该位移过
程中所作的功为： （A）
( A) 67 J , ( C ) 17 J ,
( B) 91J , ( D) 67 J
分析： W F r
67 J
(4i 5 j 6k ) (3i 5 j 9k )
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
二 保守力与非保守力 势能 (三) 势能 势能 势能曲线
物理学教程 （第二版）
与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
W (mgyB mgyA )
引力功
Ep mgy
引力势能
m' m Ep G r 弹力功 弹性势能 1 2 1 2 1 2 Ep kx W ( kx B kx A ) 2 2 2
0
d
W mgl sin d
0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
mgl(cos cos 0 )
F T v ds P
l
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
l 1.0m 10 W mgl(cos cos0 )
m 1.0kg 0 30
B m' m m A W F dr G 2 er dr A r (t) dr r m' er dr er dr cos dr r (t dt )
m' m W G 2 dr rA r
rB
O
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
二 保守力与非保守力 势能 例 对功的概念有以下儿种说法: (1)保守力作正功时,系统内相应的势能增加.
物理学教程 （第二版）
(2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零. (3)作用力和反作用力大小相等、方向相反,两者所作 功的代数和必为零. (A)(1)、(2)是正确的 (C)只有(2)是正确的
W
F dx F dy F d z
x y z
W Wx Wy Wz
平面自然坐标系
dW F dr ( Fe t t F nen ) dset Fds t
W Ft ds
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
关于功的说明
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
注意
1. 动能定理仅适用于惯性系 ，功和动能 都与 参考系有关；
2. 功是过程量，动能是状态量。功是物体能量变 化的一种量度，动能是能量的一种形式 运用动能定理解决力学问题的步骤 确定研究对象 分析受力情况 计算力作的功 确定初末状态的动能 列方程求解
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
yA
yB
o
P
(mgyB mgyA )
W mg dy 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
x
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
3 ） 弹性力作功
F
F F
o xA
dW
xB x
xB xA
O
xA
xB xA
dx x B
x
F kxi
W Fdx kxdx
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例1 质量为 2kg 的物体由静止出发沿直线运动, 作 用在物体上的力为 F = 6 t (N) . 试求在头 2 秒内, 此力 对物体做的功.
解:
ax Fx m 3t
vx
0
dv 3tdt
0
t
dv a dt
vx 1.5t
2
2
2
dx vxdt 1.5t dt
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
r (t )
B
dr
dr r (t dt )
二 保守力与非保守力 势能 2 ） 重力作功
物理学教程 （第二版）
P m g j dr dxi dyj
W
B A
y
yA
A
D
dr
C
B
yB P dr mgdy
0
d
1 1 2 由动能定理 W mv mv 2 0 2 2
得
v 2 gl(cos cos 0 )Hale Waihona Puke Baidu
1.53m s
1
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F T v ds P
l
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例3 如图所示,一质量m为225kg的保险箱静止放置在光滑地面上， 甲、乙两人用推力F1为24.0N和拉力F2为20.0N同时作用于此物体， 使它沿直线移动了d=8.50m。设保险箱与地面的摩擦力可以忽略 不计。求（1）两人对保险箱做的功为多少？（2）两人对保险箱 做功后，它的速率为多大？ 解 （1）考虑到推力和拉力都是恒力，可得F1和F2分别做的功为