因式分解平方差公式
初中数学 什么是平方差公式
初中数学什么是平方差公式
平方差公式是初中数学中一个重要的公式，用于计算两个数的平方差。
它的一般形式可以表示为：
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
其中，a和b是任意实数。
平方差公式的推导可以通过展开左边的乘积来得到。
具体步骤如下：
1. 将(a + b)(a - b)展开：
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
= a^2 - ab + ab - b^2
= a^2 - b^2
在这个过程中，我们可以看到中间的两项-ab和ab相互抵消，最终得到了平方差公式的形式。
平方差公式的应用非常广泛，可以帮助我们简化复杂的计算，解决各种数学问题。
一些常见的应用包括：
1. 因式分解：
平方差公式可以用于因式分解，特别是当我们需要将一个差的平方进行因式分解时，可以直接应用平方差公式得到因式分解形式。
2. 简化计算：
平方差公式可以帮助我们简化各种数学计算。
例如，当需要计算一个数的平方与另一个数的平方之差时，可以直接应用平方差公式，避免繁琐的计算步骤。
3. 解方程：
平方差公式可以用于解一些特殊的方程。
例如，当我们需要解一个二次方程时，可以通过平方差公式将其转化为两个一次方程，从而求得方程的解。
总之，平方差公式是初中数学中一个重要的工具，可以帮助我们简化计算，解决各种数学问题。
通过掌握平方差公式，我们可以更好地理解和运用数学知识。
运用平方差公式分解因式
运用平方差公式分解因式平方差公式是一个非常有用的分解因式的工具，它适用于任何两个数的平方差。
平方差公式表示为：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$这个公式的由来非常简单。
如果我们有两个数，a和b，它们的平方差为$a^2-b^2$。
我们可以通过将这个平方差写成乘积的形式，进而分解因式。
让我们通过一个具体的例子来说明平方差公式的使用。
假设我们要分解因式$16x^2-4$。
首先，我们可以发现这个平方差式的第一项是$16x^2$，它是$x^2$的平方，而第二项是$4$，它是$2$的平方。
所以，我们可以将这个平方差式写成$(4x)^2-2^2$的形式。
然后，根据平方差公式，我们可以将平方差式分解为$(4x+2)(4x-2)$。
我们可以验证一下分解是否正确。
将$(4x+2)(4x-2)$乘起来：$(4x+2)(4x-2)=16x^2-4$正好等于原来的平方差式。
另一个例子是$25-a^4$。
我们可以将$25$写成$5^2$的形式，将$a^4$写成$(a^2)^2$的形式。
然后，根据平方差公式，我们可以将平方差式分解为$(5+a^2)(5-a^2)$。
我们可以验证一下分解是否正确。
将$(5+a^2)(5-a^2)$乘起来：$(5+a^2)(5-a^2)=25-a^4$等于原来的平方差式。
可以看出，平方差公式非常方便。
它可以帮助我们将一个平方差式分解为两个因式的乘积，从而更容易处理和计算。
现在让我们来解决一个稍微复杂一些的例子，例如$9x^2-4y^2$。
这个平方差式的第一项是$9x^2$，它是$3x$的平方，而第二项是$4y^2$，它是$2y$的平方。
所以我们可以将这个平方差式写成$(3x)^2-(2y)^2$的形式。
然后，根据平方差公式，我们可以将平方差式分解为$(3x+2y)(3x-2y)$。
我们可以验证一下分解是否正确。
将$(3x+2y)(3x-2y)$乘起来：$(3x+2y)(3x-2y) = 9x^2 - 6xy + 6xy - 4y^2$合并同类项：$=9x^2-4y^2$等于原来的平方差式。
人教版八年级上册14.3.2因式分解-平方差公式(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
在小组讨论环节，我发现同学们的参与度很高，能够积极提出自己的观点，并尝试解决实际问题。但我也注意到，部分小组在讨论过程中可能会偏离主题，这需要我在以后的课堂上更加注意引导，确保讨论的内容紧扣教学目标。
此外，对于平方差公式与完全平方公式的混淆问题，我觉得在今后的教学中，我应该设计一些对比练习，帮助同学们明确这两个公式的区别和适用场景。通过具体的练习，让他们在实际操作中感受到这两个公式的不同。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对于平方差公式的理解整体上是积极的，但也存在一些需要我进一步关注和引导的地方。在讲解平方差公式时，我注意到有些同学在推导过程中对(a + b)(a - b) = a² - b²的理解还不够深入，可能需要通过更多的实际例题来加强他们的理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发同学们的兴趣，这种方式似乎收到了不错的效果。大家对于将数学知识应用到实际生活中的讨论非常积极，这让我感到欣慰。然而，我也意识到在接下来的课程中，需要更多地设计这样的环节，让同学们感受到数学的实用性和趣味性。
3.成展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际数学题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
因式分解的9种方法
1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。
2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。
因式分解平方差公式
1.因式分解中的平方差公式与乘法公式 中的平方差公式有什么区别和联系？
a² -
整式乘法 b² = (a+b)(a-b)
因式分解
下列多项式可以用平方差公式分解吗？
（1 ）x 2－y 2 （3）－x2－y2 （2）x2+y2 （4）－x2+y2 （6）4x2－y2
（5）64－a2
（7 ）x 3－y 2
判断：下列各式能不能写成 平方差的形式（能画“√”，不 能的画“×”）
（1）(－x)2－y2 ） （2）－x2－(－y)2 ）
√ （ ×
（
选择题： (x＋1)2－4y2分 B 解因式是（ ） A. (x＋1－4y)(x＋1＋4y) B. (x＋1＋2y)(x+1-2y) C. (x＋1－2y)(x－1－2y) D. (x＋1＋y)(x+1－y)
1、什么是因式分解？
将一个多项式写成几个整式的乘积形式。
2、整式乘法中的平方差公式是什么？
（a+b）（a-b）= a² — b²
自学课本116页——117页思考下面问题：
1.因式分解中的平方差公式与乘法公式中的 平方差公式有什么区别和联系？ 2.能用平方差公式分解因式的多项式有什么 特点？ 3.应用平方差公式分解因式应注意什么问题？
3.应用平方差公式分解因式应注意什么 问题？
①平方差公式中的a、b可以是单项式， 也可以是多项式
②如果多项式中有公因式可提，应 先提公因式 ③分解因式，必须进行到每一个因式 不能在分解为止
请同学们在下列六个字当中选 择一个字回答问题，答对加分，还有 机会获得神秘奖品哦！
判断下列分解因式是否正 确，如果错，错在什么地方？ －a2+b2=(－a＋b)(－a－b)
因式分解——平方差公式法
(1) a 4b
(2) 4a b
(3) a ( b)
(3)看符号，两项的符号相反
探究点二
分解因式(直接用平方差公式)
(1) x 1;
2
(2) x 16;
4
1 2 (3) a b ; 4
2
(4) (a b) (b c) .
2 2
探究点三
分解因式（先提出公因式，再套公式）
因式分解
-----平方差公式法
预习回馈
1. 找公因式和提公因式法分解因式的步骤 2. 运用乘法公式填空：
(1)(2 x 3 y)(2 x 3 y) (2)(ab 5)(ab 5)
上述等式左右两边互换位置，又是什么形式呢？
探究点一
公式法：将乘法公式反过来，对多项式进 行因式分解的方法 称为公式法。 平方差公式: a 2 b2 (a b)(a b) 。
(1) x x ;
5 3
(2) 8 x 2 y ;
2 2
(3) x 9 x ;
4 2
(4) (a b) 4(a b) .
3
探究点四 知识应用
计算： 999 1000
2 2
探究点五 能力提升
1 1 1 1 (1 计算： 2 )(1 2 )(1 2 ) L L (1 2 ) 2 3 4 10
(5)0.25 a 2 n ( ) 2
2 . 下列多项式可以用平方差公式Байду номын сангаас解 因式吗？ 判断的依据： 2 2 2 2 2 2
(1)看项数， 是一个二项式（或可看成 1 2 2 2 (4) 4 a (5) 4 a (6) x 一个二项式） 4
因式分解(平方差公式)
整式乘法
(a+b)(a-b) = a²- b²
两个数的平方差， 等于这两个数的和 与这两个数的差的 a²- b² = (a+b)(a-b) 积
因式分解
因式分解
因式分解
情景导入
1.把下列各式写成完全平方的形式： 如：36x2y4=( 6xy2) 2 (11a) 2 (7a2) 2 (1)121a 2= ______, (2) 49a4 = __________;
反思总结
1.具备什么特征的多项式是平方差式?
答：一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个 式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异号. 2.运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b?
答:平方前符号为正，平方下的式子（数）为ａ 平方前符号为负，平方下的式子（数）为ｂ
情景导入
计算 a4 -81
解： a4 -81 = (a2+9)(a2-9)
= (a2+9)(a+3) (a-3)
情景导入
计算: 4( a + b )² - 25( a -c )²
解：4( a + b )² - 25( a -c )² =[2(a+b)]² -[5(a-c)]² =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b) - 5(a-c)] =(7a+2b-5c)(2b -3a+5c)
式分解因式。
2
例1.把下列各式分解因式
9 x²- — 1 y4 (1)16a² - 1 (2) -m² n² +4x² (3) — 25 16 1.解:原式= (4a)² -1² = (4a+1)(4a-1) 2.解:原式=4x2-m ² n² =(2x) ² -(mn) ² =(2x+mn)(2x-mn)
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。
通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。
公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。
例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。
2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。
例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。
3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。
例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。
4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。
例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。
5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。
例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。
除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。
例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。
根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。
平方差公式的运用
平方差公式的运用平方差公式（Difference of Squares Formula）是一种用于将一个算式的平方差表示为两个因数乘积的公式。
它可以用于解决多种数学问题，包括因式分解、求解方程等。
以下是关于平方差公式的运用的一些例子。
例1：因式分解考虑如下的多项式：x^2-9、我们可以使用平方差公式将其因式分解为两个乘积的形式：(x-3)(x+3)。
这里，平方差公式的形式是a^2-b^2=(a-b)(a+b)。
通过使用平方差公式，我们可以将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。
例2：求解方程假设我们要求解方程x^2-4=0。
我们可以使用平方差公式将其转化为两个一次方程的乘积：(x-2)(x+2)=0。
这样，我们可以将原方程转化为两个简单的一次方程，并求解得到x=2或x=-2例3：求解三角方程平方差公式也可以在解决三角方程时派上用场。
考虑如下的三角方程：sin^2(x) - cos^2(x) = 0。
我们可以使用平方差公式将其转化为(sinx - cosx)(sinx + cosx) = 0。
这样，我们可以将原方程转化为两个简单的三角方程，并求解得到多个解。
例4：求解二次方程通过使用平方差公式，我们可以求解二次方程。
考虑如下的二次方程：x^2-6x+5=0。
我们可以将其转化为平方差的形式：(x-1)(x-5)=0。
这样，我们可以使用平方差公式将二次方程转化为两个一次方程，并求解得到x=1或x=5例5：证明恒等式综上所述，平方差公式在数学中有多种用途，包括因式分解、求解方程、求解三角方程、求解二次方程等。
它是我们解决各种数学问题的重要工具之一。
4.因式分解-平方差公式
整式乘法
a²- b² = (a+b)·(a-b)
因式分解
平方差公式
你对平方差公式认识有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
△2- 2=（△+ ）（△- ）
首2-尾2=（首+尾）（首-尾）
1a 2
4b 5
1 4
a2
16 b2 25
1 2
a
4 5
b
1 2
a
4 5
b
公式中的a , b可以是单独的数字、字 母、单项式、多项式。
分解因式，有公因式时先“提”后“公”， 应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
课堂练习
把下列各式分解因式:
(1) m2-4
(4) x2y2-z2
(2) 4x2-25
(3)4x3 9xy2
(5) (x+2)2-9 (6) (x+a)2_(y-b)2
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
探 1、下列多项式可以用平方差公式去 分解因式吗？
索 (1) 4x2+y2 练 习 (2) 4x2－y2
不可以 可以
： (3) －4x2－y2 不可以
② 2x3 － 8x
能否化为□2－△2
有公因式，哦
解：原式＝2x(x2-4)
＝2x(x2-22) ＝2x(x+2)(x-2)
首先提取公因式 然后考虑用公式 最终必是连乘式
先化为 □2－△2
① 9(m＋ n)2 － (m － n)2
15.4.2 因式分解(平方差公式)
(3) m2 - 0.01n2; (4) 4x2-9.
(1) 1-25b2 = 12-(5b)2 = (1+5b) (1-5b) (2) x2y2-z2 = (xy)2- z2 = (xy+z) (xy-z) (3) m2- 0.01n2 = m2- (0.1n)2 =(m+0.1n)(m-0.1n) (4) -9+4x2 = (2x)2 - 32 = (2x +3) (2x-3)
（１）(x+p)2-(x-q)2;
（２）16(a-b)2-9(a+b)2.
练习2 把下列各式因式分解：
(1) (m+n)2 - n2 (2) (2x-y)2 - (x+2y)2 (3) (a+b+c)2 - (a-b+c)2
例题3 把下列各式因式分解：
（１） a3b - ab （２） x4 - y4
三维课堂 P74 第十四课时
把下列各式因式分解： （1）x2-4 =(x+2)(x-2) (2) 9-y2 =(3+y)(3-y) (3) 1-a2b2 =(1+ab)(1-ab) (4) 4x2-y2 =(2x+y)(2x-y).
把下列各式因式分解：
（1）36-m2 ＝（6+m) (6-m) (2) 4x2-9y2 = (2x+3y) (2x-3y)
P168页 练习 ：1
(3)a2-１１６
x2
=(a+
1 4
x)(a-
1 4
x)
(4) 0.81b2-16c2 = (0.9b + 4c) (0.9b - 4c)
例题2 把下列各式因式分解：
平方差公式因式分解
4、请在例4中（2）题的每个步骤后面写出解题方法，并总结做因 式分解题的解题步骤。
第1步，提公因式法；第2步，因式分解法。
请同学们结合上面内容，自学5分钟，再用1分钟小组讨论；
6分钟后，比谁能正确地做出完与整版例pt 题类似的习题。
(3) -x2+y2 能，-x2+y2=(y+x)(y-x)
(4) -x2 - y2 不能，这是平方和的相反数
2、因式分解：
（1）
（2）9a2-25b2
（3）x2y-4y
（4）-a4+16
完整版pt
6
1.如果多项式各项含有公因式，则第一步是 提出这个公因式 。
2.如果多项式各项没有公因式，则第一步考 虑用公式分解因式。
3.第一步分解因式以后，所含的多项式还可 以继续分解，则需要进一步分解因式。直到 每个多项式都不能分解为止。
完整版pt
7
必做题：课本171页第2题 选做题：P171第4（2）题
完整版pt
8
完整版pt
9
完整版pt
3
例题自学指导 ：认真看课本167页-----168页练习上面的例3、例4：
1、例3中（1）题分别是哪两个数的平方差。 2x和3
2、例3中（2）题那些分别是公式中的a和b，注意“思考云图”的
提示。 x+p表示公式的a，x+q表示公式的b。
3、例4中（1）题的第2步你是如何理解的？请注意“黄色书签”的
4
例3：分解因式 (1)4x2-9 (2)(x+p)2-(x+q)2
分析：在（1）中，4x2=(2x)2,9=32,4x2-9=(2x)2-32, 即可用平方差公式分解因式。 在（2）中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体。
14.3.2因式分解公式法—平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积。
注意：与整式乘法中的平方差公式不一样。
平方差公式的特点：
（1）两项的多项式; （2）两项都是平方项或是都能化为平方项; （3）两项的符号相反.
下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？
如果能，请将其转化成( )2－( )2的形式。
(1) m2 －1 = m2 －12
★分解因式应分解到各 因式都不能再分解为止.
(5)9(a+b)2-4(a-b)2.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
(3)x4-16
解：原式 =(x2)2-42
(4)2x3-8x
解：原式=2x (x2-4) 2_ 2 2 2 =2x (x 2 ) =(x +4)(x -4) =(x2+4)(x+2)(x-2) =2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公 因式,应先提取公因 式,然后再进一步 分解因式,直到 不能分解为止.
4、公因式如何确定?
数、字母
新知探究
平方差公式：
整式乘法
2 2 + (a b)(a b) = a - b
两个数的和与两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
a - b = ( a+ b)( a - b)
2 2
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1.下列多项式可以用平方差公式去分解 因式吗？ 为什么？
(1) 4x2+y2
×
(2) 4x2－(－y)2 √
(3) －4x2－y2 ×
(4) －4x2+y2 √
(5) a2－4
√
(6) a2＋3
×
例2.下列各式可分别看成哪两式
的平方差？
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
练习： 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
解：1)原式=2(9-b2)=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
2x3 8x
对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？
1.先提取公因式 2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且要分解彻底。
谢谢观看！ 2020
公式法： 平方差公式
整式乘法
a²- b²= (a+b)(a-b)
＋ b) (a － b)
能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
⑴ 左边应是一个二项式（如：1 25b2 ）
⑵ 二项式的每项（不含符号）都是一个 平方的形式。
⑶二项是异号 （ 如： 25x2 4 y2）
=(3m-1)2-32 =（3m-1+3）(3m-1-3)
确哪个相当于 a , 哪个相当 于 b.
= （3m+2）(3m-4)
149页练习2
例2： 把下列各式分解因式： 1）a 3 -16a 2) 2ab3-2ab 解：1)原式=2(9-b2)=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
=( x2y)2－( 2 )2
(3)
9 49
x2－0.01y2 =( 3x
7
)2－(0.1y)2
(4)0.0001－121x2=(0.01)2－( 11x )2
a2 －b2= (a ＋ b) (a － b)
1.把下列各式分解因式：
（11） a2－82 =（a+8)(a-8) （22） 16x2 －y2 =(4x+y)(4x-y) (3)3 －0.09 y2 + 4x2 =(2x+0.3y)(2x-0.3y)
(44) 4k2 －25m2n2=（2k+5mn)(2k-5mn)
例1.把下列各式因式分解
(1) 4x2-9y2 (2 ) (3m-1)2-9
解：1） 4x2-9y2
温馨提示
=（2x)2-（3y)2
=(2x+3y)(2x-3y) (2) (3m-1)2-9
先把要计算的 式子与平方差 公式对照, 明