线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题

一． 单项选择题

1.设A 为3阶方阵，数

=

3，|A | =2，则 |

A | =（ ）.

A ．54；

B ．-54；

C ．6；

D ．-6.

解. .54227)3(33-=⨯-=-==A A A λλ 所以填: B.

2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ）

A 、λ|A |；

B 、|λ||A |；

C 、λn |A |；

D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C.

3.设矩阵()1,2,12A B ⎛⎫

==- ⎪⎝⎭ 则AB =（ ）.

解. ().24121,221⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 所以填: D.

A. 0；

B. ()2,2-；

C. 22⎛⎫ ⎪-⎝⎭；

D. 2142-⎛⎫

⎪-⎝⎭

.

4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32.

解. |-2A |=(-2)3A =-8⨯4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）.

A .一个零向量一定线性无关；

B .一个非零向量一定线性相关；

C .含有零向量的向量组一定线性相关；

D .不含零向量的向量组一定线性无关.

解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关.

B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关.

C .含有零向量的向量组一定线性相关；对.

D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C.

6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极

大无关组为( )

A 、 12,; αα

B 、 123,, ;ααα

C 、 124,, ;ααα

D 、1234,, ,αααα

解. (B)93页

7.设A,B,C 是n 阶矩阵，下列选项中不正确的是（ ）.

A .若A 可逆，则*

1

A A A

-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；

B .若AB E =，则1B A -=；

C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()1

1kA kA --=；

D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.

解. A .若A 可逆，则*

1

A A A

-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；对.

B .若AB E =，则1B A -=；对.

C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()1

1kA kA --=；不对,应该是().11

1

--=

A k

kA D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.对.

所以填: C.

8、 矩阵A =1111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭

的伴随矩阵A *=（ ）. A 、1111⎛⎫

⎪⎝⎭

；B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111；C 、⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--1111； D 、⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--1111

.

解.因为112112221,(1)11,(1)11,1A A A A ==--⋅==--⋅==.所以

11

21*12

221111A

A A A A ⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦ 故填A.41页

9.若n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解, 则（ ）. A . ()R A n <； B . ()R A n =；

C . ()0R A =；

D .A 、B 、C 都不对.

解. A . ()R A n <；对.

B . ()R A n =；不对, 此时应该0Ax =有且仅有零解.

C . ()0R A =；不对. 此时, 仅是0Ax =有非零解的一种情况.

D .A 、B 、C 都不对. 不对.

所以填:A.

10、 ,A B n 与均为阶方阵则下列结论中成立的是（ ）.

A 、det()0,,;A

B A O B O ===则或 B 、det()0,det 0,det 0;AB A B ===则或

C 、,,;AB O A O B O ===则或；

D 、,det 0,det 0.AB O A B ≠≠≠则或 解. A 、不对. B 、40

页(iii),AB A B =.即有

det()0,det 0,det 0AB A B ===则或.所以填: B .

11.设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关,则下列成立是（ ）.

A . 2α可由34,αα线性表示；

B .4α可由23,αα线性表示；

C . 4α不可由123,,,ααα线性表示；

D .3α可由2,α4α线性表示.

解.(p90例7.) 由题设“设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关”.①因234,,ααα线性无关,则23,αα线性无关.再由123,,ααα线性相关.则1α可由

23,αα线性表示.②用反证法.假设4α可由123,,,ααα线性表示,而由①知1α可由23,αα线性表示.因此4α可由23,αα线性表示.这与题设234,,ααα线性无关相矛盾.所以4α不可由123,,,ααα线性表示. 所以填: C.

12、设123,,a a a 是二维实向量，则（ ）.

A 、123,,a a a 一定线性无关；

B 、1a 一定可由23,a a 线性表出；

C 、123,,a a a 一定线性相关；

D.12,a a 一定线性无关.

解. A 不对. B 不对. C.因为105页:n 维实向量12,,,n e e e L 叫做n

R 中的自然

基.因此二维实向量123,,a a a 的自然基为二维实向量12,e e .当然123,,a a a 是线性相关的.即C 对. D 不对. 所以填: C.

13.向量空间3R 的一组基为( )