最优化方法试题
优化设计复习题(原)
word 教育资料优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（ ） ①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点 2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ） ①凸函数 ②凹函数 3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.816 4.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1,x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（ ） ①[x 1,x 4] ②[x 2,x 3] ③[x 1,x 2] ④[x 4,x 3] 5.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ） ①n 次 ②2n 次 ③n+1次 ④2次6.下列特性中，梯度法不具有的是（ ） ①二次收剑性 ②要计算一阶偏导数 ③对初始点的要求不高 ④只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 8.对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（ ） ① Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)11/()gX u u m=∑② Ф(X,r (k))=F(X)+r(k)11/()gX u u m =∑③ Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)max[,()]01gX u u m=∑④ Ф(X,r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m=∑9.外点罚函数法的罚因子为（ ） ①递增负序列 ②递减正序列 ③递增正序列 ④递减负序列 10．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）<F （16），则缩小后的区间为（ ） ①［10,16］ ②［10,13］ ③［13,16］ ④［16，20］ 11．多元函数F （X ）在X ＊处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hesse 矩阵（ ） ①等于零 ②大于零 ③负定 ④正定 12．对于函数F （x ）=x 21+2x 22，从初始点x (0)={1,1}T 出发，沿方向s (0)={-1,-2}T进行一维搜索，最优步长因子为（ ）①10／16 ②5／9 ③9／34 ④1／213．目标函数F （x ）=x 21+x 22－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（ ） ①1 ②0.5 ③0.25 ④0.1 14. 优化设计的自由度是指( )① 设计空间的维数 ② 可选优化方法数 ③ 所提目标函数数 ④ 所提约束条件数 15. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( ) ①梯度法 ② Powell 法 ③共轭梯度法 ④变尺度法 17. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( ) ①［0,0.382］ ② ［0.382,1］ ③ ［0.618,1］④ ［0,1］18. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hesse 矩阵是( ) ① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332③ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 ④ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 19. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )①()i i 1F X g (X)mi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子② ()i i 1F X =g (X)mi λ=-∇∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子③ ()i i 1F X g (X)qi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数④()i i 1F X g (X)qi λ=-∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数20. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) ① S (k+1)= ∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数② S (k+1)=∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 ③ S (k+1)=-∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数④ S (k+1)=-∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 21. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≤0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) ① (k)1ax b r c-x+-，r (k)为递增正数序列② (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递减正数序列 ③ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递增正数序列word 教育资料④ (k)1ax b r c-x++，r (k)为递减正数序列22. f(x)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中的一点，x 4为利用二次插值法求得的近似极值点，若x 4-x 2＜0,且f(x 4)≥f(x 2)，则新的搜索区间为( )① ［x 1,x 4］ ② ［x 2,x 3］ ③ ［x 1,x 2］ ④［x 4,x 3］23. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )① 10 ② 4 ③ 2 ④ 1024.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤⎦⎥，它是（ ）矩阵 ①单位 ②正定矩 ③负定 ④不定 ⑤半正定 ⑥半负定 25.约束极值点的库恩——塔克条件为：-∇=∇=∑F X g Xii qi()()**λ1，当约束函数是g i (X)≤0和λi>0时，则q 应为（ ）①等式约束数目 ②不等式约束数目 ③起作用的等式约束数目 ④起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（ ） ①A ②B ③C ④D27.内点罚函数(X,r (k))=F(X)-r (k)101g X g X u u u m(),(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） ①r (k)趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 ②r (k)趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ③r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ④r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 29.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ）①不变的 ②任意变化的 ③逐渐变大 ④逐渐变小 30.对于目标函数F(X)受约束于g u (X) ≤0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ）①()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递增正数序列②()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递减正数序列③()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递增正数序列 ④()()(k)(k)2()1X,MF X M {min[(),0]},mk uu g x M=Φ=+∑为递减正数序列31.对于二次函数F(X)=12X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ）①零 ②无穷大 ③正值 ④负值 32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）①可行方向法 ②复合形法 ③内点罚函数法 ④外点罚函数法33．已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫⎬⎭处的梯度为（ ）①∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()000 ②∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()020 ③∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()040 ④∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()04034．Powell 修正算法是一种（ ）①一维搜索方法②处理约束问题的优化方法③利用梯度的无约束优化方法④不利用梯度的无约束优化方法 二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分) 35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051--⎡⎣⎢⎤⎦⎥..共轭的矢量组是（ ）①s 1={0 1} ,s 2={1 0}T②s 1={-1 1}T ,s 2={1 1}T③s 1={1 0}T ,s 2={1 2}T④s 1={1 1}T ,s 2={1 2}T⑤.s 1={1 2}T ,s 2={2 1}T36. 对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有( )① Powell 法 ② 变尺度法 ③ 内点罚函数法 ④ 外点罚函数法E. 混合罚函数法37. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是( )①若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点②若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点③若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点④若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点⑤若Hesse矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述Hesse矩阵中，正定矩阵为（）①3335⎡⎣⎢⎤⎦⎥②313153337⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦③3445⎡⎣⎢⎤⎦⎥④245434542⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑤523222327⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦39.F(X)在区间［a,b］上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。
《最优化方法》期末试题
作用：①仿真的过程也是实验的过程，而且还是系统地收集和积累信息的过程。
尤其是对一些复杂的随机问题，应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。
②仿真技术有可能对一些难以建立物理模型或数学模型的对象系统，通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。
③通过系统仿真，可以把一个复杂的系统化降阶成若干子系统以便于分析，并能指出各子系统之间的各种逻辑关系。
④通过系统仿真，还能启发新的策略或新思想的产生，或能暴露出在系统中隐藏着的实质性问题。
同时，当有新的要素增加到系统中时，仿真可以预先指出系统状态中可能会出现的瓶颈现象或其它的问题。
2.简述两个Wardrop 均衡原理及其适用范围。
答：Wardrop提出的第一原理定义是：在道路的利用者都确切知道网络的交通状态并试图选择最短径路时，网络将会达到平衡状态。
在考虑拥挤对行驶时间影响的网络中，当网络达到平衡状态时，每个 OD对的各条被使用的径路具有相等而且最小的行驶时间；没有被使用的径路的行驶时间大于或等于最小行驶时间。
Wardrop提出的第二原理是：系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总的出行成本最小为依据来分配。
第一原理对应的行为原则是网络出行者各自寻求最小的个人出行成本，而第二原理对应的行为原则是网络的总出行成本最小。
3.系统协调的特点。
答：（1）各子系统之间既涉及合作行为，又涉及到竞争行为。
（2）各子系统之间相互作用构成一个反馈控制系统，通过信息作为“中介”而构成整体（3）整体系统往往具有多个决策人，构成竞争决策模式。
（4）系统可能存在第三方介入进行协调的可能。
6．对已经建立了概念模型的系统处理方式及其特点、适用范围。
答：对系统概念模型有三种解决方式。
1.建立解析模型方式对简单系统问题，如物流系统库存、城市公交离线调度方案的确定、交通量不大的城市交叉口交通控制等问题，可以运用专业知识建立系统的量化模型（如解析数学模型），然后采用优化方法确定系统解决方案，以满足决策者决策的需要，有关该方面的内容见第四、五章。
三年级数学竞赛试题- 最优化问题 北师大版(PDF版 含答案)
最优化问题【名师解析】在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
解决这类问题时，必须树立统筹思想，能同时做的事，尽量同时做。
有时，我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
应用统筹的方法解决实际问题可以从以下三个方面考虑：1、哪些工作；2、每件工作需要多少时间；3、弄清所做事情的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可以同时做，从而根据题意找出最佳方案【例题精讲】例1：用一个锅来烙饼，能同时烙两块，烙一面要1分钟，一块饼要烙两面。
问：烙三块饼至少要多少分钟？练习：用一只平底锅煎饼，每次能同时放两块饼，如果煎一块饼需要6分钟（正反面各需3分钟），那么煎3块饼最少需要几分钟？例2：贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼，要贴3个烧饼至少需要几分钟？练习：用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼，烙第一面需要2分钟，烙第二面饼需要1分钟，现在要烙三个饼，最少需要多少分钟？例3：家里来了客人，妈妈要给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要10分钟，洗茶壶需要2分钟，洗茶杯需要1分钟，取茶叶要1分钟，泡茶要2分钟。
为了让客人早点喝上茶，你来设计如何安排这个过程，最少需要多少分钟？练习：星期日，小华在家学做家务活，她扫地要5分钟，拖地10分钟，擦桌椅5分钟，用洗衣机洗衣服35分钟，整理房间8分钟，晾晒洗好的衣服5分钟。
小华应该怎么安排呢？？请你帮她把要做事情的程序设计一下。
再算一算最少要用多少时间？例4：小明已上初中了，他早上起来到上学要做好几件事（如下表），怎样安排，可以在1小时内完成这些事呢？整理房间5分钟刷牙洗脸3分钟吃早饭8分钟读英语或语文20分钟听新闻30分钟整理书包2分钟练习:林妈妈中午要做这些事，如下表：电饭锅烧饭35分钟炒菜20分钟拣菜10分钟洗碗8分钟洗菜5分钟吃饭15分钟林妈妈1小时内能完成这些事吗？怎样安排？例5：四（1）班小明、小勇、小佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
2022年小升初数学总复习第17讲：最优化问题(附答案解析)
2022年小升初数学总复习第17讲：最优化问题一．选择题（共48小题）1．一年级53人乘车去动物园，下列（）种租车方法比较合适。
A．2辆大车B．2辆小车C．1辆大车和1辆小车2．用载重3吨和4吨的货车一次运走13吨水泥，下面哪种方案最合适。
（）A．5辆载重3吨车B．2辆载重4吨车和2辆载重3吨车C．4辆载重4吨车D．3辆载重3吨车和1辆载重4吨车3．一位老师带46名学生去公园划船，大船限乘5人，每条船租金50元，小船限乘3人，每条船租金33元，租（）最省钱。
A．10条大船B．16条小船C．8条大船和3条小船D．9条大船和1条小船4．甲、乙、丙三个商店同时销售一种原价为每袋6元的洗衣粉。
甲商店打八五折；乙商店“每满50元减10元”；丙商店“买4送1”。
学校要买10袋这种洗衣粉，想花钱最少，应该到（）商店去买。
A．甲B．乙C．丙D．都一样5．甲、乙、丙三个超市都在搞促销活动。
同一品牌原价20元一袋的粽子，甲超市每袋降价15%，乙超市“买三送一”，丙超市每袋八折出售。
妈妈要买4袋粽子，从（）超市购买更省钱。
A．甲B．乙C．丙6．同一种水果，每千克甲商店降价15%，乙商店买4送1，丙商店按八八折出售，妈妈想用最少的钱买5千克水果，应该去（）商店。
A．甲B．乙C．丙7．江城一日游，旅行社推出A、B两种优惠方案．2个大人，4个小孩，选择哪种方案省钱？（）A．江城一日游：大人每人150元，小孩每人50元B．江城一日游：每人100元，团体5人以上（含5人）优惠110C．两种方案同样优惠8．师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列（）方案最省钱．A．6条大船B．5条大船，1条小船C．4条大船，2条小船9．四（1）班36人准备租船到湖上游玩，大船每条12元，限坐8人，小船每条10元，限坐6人。
租（）种最省钱。
A．3条大船2条小船B．4条大船1条小船C．5条大船10．张大爷有一块长方形小菜园（如图），他想用篱笆围起来。
浙江理工大学2011级研究生《最优化控制》试题
浙江理工大学2011级研究生《最优化控制》试题1、设性能泛函为⎰+=2122)()(dt x t x x J ，边界条件想x(1)=1，x(2)=2，求使性能泛函J(x)为最小值的最有轨线)(*t x ，并求泛函极小值)(**x J 。
2、设系统状态方程为 )()(21t x t x =∙，1)0(1=x )()(2t u t x =∙，0)0(2=x试求最优控制)(t u *，当∞→f t 时使得性能指标⎰+=ft dtt u t x J 0221)]()([21为最小。
3、设系统状态方程为)()(21t x t x =∙，1)0(1=x ，0)(1=f t x )()(2t u t x =∙，0)0(2=x ，0)(2=f t x约束条件1)(1≤≤-t u ，要求确定)(t u *，使性能指标⎰=ft dt J 0极小，并求出切换时间s t 和最短时间f t *。
4、已知二阶系统的状态方程和边界条件 )()(21t x t x =∙，1)0(1=x ，41)(1=f t x )()(2t u t x =∙，0)0(2=x ，41)(2=f t x约束条件1|)(|≤t u ，f t 可变，要求确定)(t u *，使性能指标⎰=ft dt t u J 02)(极小。
5、已知离散系统方程)()(2)1(k u k x k x +=+，1)0(=x ，代价函数∑=++=2222))()(()3(k k u k x x J ，式中的状态)(k x 及控制)(k u 均不受约束。
试求最优控制序列)}2(),1(),0({***u u u ，使代价函数极小。
最优化方法(试题+答案)
一、 填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。
3.向量T)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i Λ=→和m m i R R h ni Λ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s x x f j i nk kΛΛ+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。
2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i Λ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti ΛΛ+=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f Ti Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。
三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(m in x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x 即可)：.0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T3. T)0,1,2(-，T)1,0,3(-（答案不唯一）。
最优化方法试题及答案
最优化方法试题及答案一、选择题1. 下列哪项不是最优化方法的特点？A. 目标性B. 可行性C. 多样性D. 随机性答案：D2. 在最优化问题中，约束条件的作用是什么？A. 限制解的可行性B. 增加问题的复杂性C. 提供额外的信息D. 以上都是答案：A3. 线性规划问题中，目标函数与约束条件之间的关系是什么？A. 无关B. 相等C. 线性D. 非线性答案：C二、简答题1. 简述最优化问题的基本构成要素。
答案：最优化问题的基本构成要素包括目标函数、决策变量、约束条件和解的可行性。
目标函数是衡量最优化问题解的质量的函数，决策变量是问题中需要确定的参数，约束条件是对决策变量的限制，解的可行性是指解必须满足所有约束条件。
2. 什么是局部最优解和全局最优解？请举例说明。
答案：局部最优解是指在问题的邻域内没有其他解比当前解更优的解，而全局最优解是指在整个解空间中最优的解。
例如，在山峰攀登问题中，局部最优解可能是到达了一个小山丘的顶部，而全局最优解是到达了最高峰的顶部。
三、计算题1. 假设一个农民有一块矩形土地，长为100米，宽为80米，他想在这块土地上建一个矩形的养鸡场，但只能沿着土地的长边布置。
如果养鸡场的一边必须靠在土地的长边上，另一边与土地的宽边平行，求养鸡场的最大面积。
答案：为了使养鸡场的面积最大，养鸡场的一边应该靠在土地的宽边上，另一边与土地的长边平行。
这样，养鸡场的长将是80米，宽将是100米，所以最大面积为80米 * 100米 = 8000平方米。
2. 一个工厂需要生产三种产品A、B和C，每种产品都需要使用机器X 和机器Y。
生产一个单位的产品A需要机器X工作2小时和机器Y工作1小时；产品B需要机器X工作3小时和机器Y工作2小时；产品C需要机器X工作1小时和机器Y工作3小时。
工厂每天有机器X总共300小时和机器Y总共200小时的使用时间。
如果工厂每天需要生产至少100单位的产品A，50单位的产品B和20单位的产品C，请问工厂应该如何安排生产以最大化产品的总产量？答案：设生产产品A的单位数为x，产品B的单位数为y，产品C的单位数为z。
类型一 最优方案问题(解析版)
类型一最优方案问题【方法总结】方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．一、主要题型分类①经济类方案设计题：根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；②操作类方案设计题：根据实际问题拼接或分割图形．以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.二、解题的一般思路1、解决经济类方案设计题一般过程是：①阅读，弄清问题背景和基本要求；②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．2、解决操作类方案设计题一般过程是：①阅读，弄清问题背景和基本要求；②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；③标上适当的数据，或附上文字说明．【典例1】某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【解题思路】(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；(2)根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．【解答过程】(1)设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，根据题意，得 2x＋3×3x＝550，∴ x ＝ 50. 经检验，符合题意，∴ 3x ＝ 150元．即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是 50 元和 150 元；(2)设购买温馨提示牌 y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为 (100－y) 个，根据题意，得∴ 50 ≤ y ≤ 52.∵ y 为正整数，∴ y 为 50,51,52，共 3 种方案．即温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个．根据题意，费用为 50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，当 y ＝ 52 时，所需资金最少，最少是 9 800 元．【总结归纳】本例题属于经济类方案设计问题，用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键．【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师．(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为________辆；(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．【解题思路】(1) 设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可；(2) 根据汽车总数不能小于 300/42 ＝50/7 ( 取整为 8 )辆，即可求出；(3) 设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，由题意，得 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得 x 的取值范围，分析得出即可．【解答过程】(1)设老师有 x 名，学生有 y 名．根据题意，列方程组为故老师有 16 名，学生有 284 名． (2) ∵ 每辆客车上至少要有 2 名老师， ∴ 汽车总数不能大于 8 辆．又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 42300= 750( 取整为 8)辆， 综上可知汽车总数为 8 辆． 故答案为8.(3)设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆， ∵ 车总费用不超过 3 100 元，∴ 400x ＋300(8－x) ≤ 3 100，解得 x ≤ 7. 为使 300 名师生都有座，∴ 42x ＋30(8－x) ≥ 300，解得 x ≥ 5. ∴ 5 ≤ x ≤ 7 ( x 为整数 )． ∴ 共有 3 种租车方案：方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元； 方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元； 方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．【典例3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：方案一方案二方案三小红发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=(a+b)2对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．【解题思路】根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．【解答过程】根据由题意，得方案二：a2+ab+(a+b)b= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2方案三：= a2+2ab+b2=(a+b)2【总结归纳】本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .4-1(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式；在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；4-2(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .4-3【解答过程】(1)图①表示批发量不少于 20 kg 且不多于 60 kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发；图②表示批发量高于 60 kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 .(2)根据题意，得函数图象如图 4-4 所示 .4-4由函数图象可知，资金金额满足 240 < w ≤ 300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 .(3)解法一：设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量n = 320 - 40x ，当 n > 60 时，x < 6.5 .根据题意，销售利润为y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)= 40[-(x-6)2 +4]从而 x = 6 时，y最大值 = 160，此时 n = 80 .即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 .解法二：设日最高销售量为 x kg (x>60) .则由图 4-3 可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p .则 p = (320-x)/40 .销售利润=-401(x-80)2+160 从而 x = 80 时，y 最大值 = 160，此时 p = 6 .即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg ，当日可得最大利润 160 元 .【典例5】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.【解析】： （1） y =(60－x －40)(300+20x ) ＝6000+400x －300x －20x 2＝－20x 2+100x +6000自变量x 的取值范围是0≤x ≤20. （2）∵a ＝－20<0，∴函数有最大值， ∵100 2.522(20)b a -=-=⨯-， 22444(20)600010061254(20)ac b a-⨯-⨯-==⨯-.∴当x =2.5时，y 的最大值是6125.∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.【典例6】现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m ，宽为30m ，要将这块地划分为四块分别种植：A ．兰花；B ．菊花；C ．月季；D ．牵牛花．（1）求出这块场地中种植B 菊花的面积y 与B 场地的长x 之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．（2）当x 是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】：当15m x =时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m 2．【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y 与x 之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.【解析】：（1）由题意知，B 场地宽为(30)m x -，∴2(30)30y x x x x =-=-+， 自变量x 的取值范围为030x <<． （2）2230(15)225y x x x =-+=--+，当15m x =时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m 2．点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．【典例7】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由； (2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 【答案】：(1) 四边形EFGH 是正方形．（2）当CE =CF =0.1米时总费用最省.【分析】：（1）通过观察图形，可猜想四边形EFGH 是正方形。
六年级下册数学试题-竞赛专题练习：统筹与最优化(含答案)全国通用
统筹与最优化练习题夯实根底:1. 一只平底锅上最多只能煎两张饼,用它煎1张饼需要2分钟〔正面、反面各1分钟〕.问: 煎2021张饼需几分钟？2. 小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚,他们来到一条河的东岸,要通过一座小木桥到西岸,但是他们4个人只有一个手电筒,由于桥的承重量小,每次只能过2人,因此必须先由2个人拿着手电筒过桥,并由1个人再将手电筒送回,再由2 个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥.,小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟.那么,4个人都通过小木桥,最少要多少分钟？3. 6个人各拿一只水桶到水龙头接水,水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4 分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟.现在只有这一个水龙头可用,问怎样安排这 6 人的打水次序,可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？理发室里有甲、乙两位理发师,同时来了五位顾客,根据他们所要理的发型,分别需要10、12、4.15、20和24分钟,诟姜5丽们发的顺便这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少时间为多少？5.有一家五口人要在夜晚过一座独木桥.他们家里的老爷爷行动非常不便,过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动,体重严重超标,过河需要时间也较长, 8母亲那么一直坚持劳作,动作还算敏捷,过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟,弟弟只要1分钟.当时正是初一夜晚又是阴天,不要说月亮,连一点星光都没有,真所谓伸手不见五指.所幸的是他们有一盏油灯,同时可以有两个人借助灯光过桥.但要命的灯油将尽,这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分,该怎样过桥呢？5所学校A,B,C,D,E 之间有公路相通,图中标出了各段公路的千米数,现在想在某所学校召开一次学生代表会议,应出席会议的A,B,C,D,E 校分别有6人,4人,8人,7人,10人,为使参加会议的代表所走的路程总和最小,会议应选在哪个学校召开？二.拓展提升：7 .在一条公路上,每隔100千米有一座仓库,共有8座,图中数字表示各仓库库存货物的重量〔单位：吨〕,其中G G为空仓库.现在要把所有的货物集中存入一个仓库里,如果每吨货物运输1千米需要0.5元,那么集中到那个仓库中运费最少,需要多少元运费？A B C D E F G H10 30 20 5 10 608 . 一支勘探队在五个山头A> B C D、E设立了基地,人数如下列图所示 .为调整使各基地人数相同,如何调动最方便？〔调动时不考虑路程远近〕6.410.新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供给自来水 〔如下列图,距离单位为千米〕,要安装水管有粗细两种选择,粗管足够供给所有村庄使用,细管只能供一个村用水,粗管每千米要 用8000元,细管每千米要2000元,如果粗细管适当搭配,互相连接,可以降低费用, 怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？自来U _________ A ______ B C D E_F G H J _______________________J30 5 2 4 2 3 2 2 2 5某工地A 有20辆卡车,要把60车渣土从A 运1 ij B,把40车砖从C 运到D 〔工地道路图 如下所示〕.问如何调运最省汽油？三.超常挑战12 .北京和上海同时制成了电子计算机假设干台,除了供给本地外,北京可以支援外地 10台,上海可以支持外地4台.现决定给重庆8台,汉口 6台,假设每台计算机的运费如右表, 上海和北京制造的机器完全相同,应该怎样调运,才能使总的运费最省？最省的运费是 多少？运费/克7a 站汉口重庆 北京4 8 上海3 59. F 图是一张道路示意图,每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间〔单明从A 到B 最快要几分钟？ 位：分〕.小11.13 .设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水,设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟,注满第二个人的桶需要2分钟,…….如此下去,当只有两个水龙头时,如何巧妙安排这十个人打水,使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？14 .有十个村庄,座落在从县城出发的一条公路上,现要安装水管,从县城供各村自来水.可以用粗、细两种水管,粗管每千米7000元,细管每千米2000元.粗管足够供给所有各村用水,细管只能供给一个村用水,各村与县城间距离如下列图所示〔图中单位是千米〕,现要求按最节约的方法铺设,总费用是多少？, 30 5 2423 / 2 2 5县城A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A m四.杯赛演练：15 .〔三帆中学分班测试题〕有七个村庄A1,A , …,A7分布在公路两侧〔见右图〕,由一些小路与公路相连,要在公路上设一个汽车站,要使汽车站到各村庄的距离和最小,车站应设在哪里？答案：1 .在不浪费时间的情况下：两张饼可同时煎完,三张饼也可以：首先A,B的正面,然后拿走A,煎B的反面和C的正面,然后拿走B ,煎A,C的反面.2021 2 1003 3,完全可以不浪费时间煎完,从而所需时间为：2021 2 2 2021分钟.2 .方法一：要想用最少的时间, 4人都通过小木桥,可采用让过桥最快的小强往返走,将手电筒送回,这样就能保证时间最短了.第一步：小强与小明一起过桥,并由小强带手电筒返回,共用：1.5 1 2.5 〔分钟〕；第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回,共用了 2 1 3〔分钟〕；第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了 2.5分钟；所以,4个人都通过小木桥,最少用 2.5 3 2.5 8 〔分钟〕.方法二：要想用最少的时间, 4人都能过桥,保证时间最短还可以：第一步：小强与小明一起过桥,并由小强带手电筒返回,共用：1.5 1 2.5 〔分钟〕；第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后再由小明带手电返回,共用了 2.5 1.5 4 〔分钟〕；第三步：最后小强与小小明一起过桥用了 1.5分钟；3 .第一个人接水时,包括他本人在内,共有6个人等候,第二个人接水时,有5个人等候；第6个人接水时,只有他1个人等候.可见,等候的人越多〔一开始时〕,接水时间应当越短,这样总的等候时间才会最少,因此,应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水,这个最短时间是 3 645 5 46 37 2 10 100 〔分〕.4 . 一人理发时,其他人需等待,为使总的等待时间尽量短,应让理发所需时间少的人先理.甲先给需10分钟的人理发,然后15分钟的,最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发,然后20分钟的,甲给需10分钟的人理发时,有2人等待,占用三人的时间和为〔10 3 〕分；然后,甲给需15分钟的人理发,有1人等待,占用两人的时间和为〔15 2 〕分；最后,甲给需24分钟的人理发,无人等待.甲理发的三个人,共用〔10 3 15 2 24 〕分,乙理发的两个人,共用〔12 2 20 〕分.总的占用时间为〔10 3 15 2 24〕〔12 2 2.128〔分〕.5 .首先姐姐跟弟弟一起过,用时3分钟,姐姐再回去送油灯,用时3分钟,老爷爷跟爸爸一起过河,用时12分钟,弟弟将灯送回去,用时1分钟,弟弟和母亲一起过,用时 6 分钟,弟弟送灯过河,用时1分钟,最后与姐姐一起过河,用时3分钟.一共用时： 3 3 12 1 6 1 3 29 〔分钟〕.最后能够平安全部过河.6 .根据小往大靠的原那么,A处的人数相对BCDE的总人数要小很多,因此首先排除A地,而B,C,D,E不能简单比拟出.枚举结果如下：B地集合：共行走6 2 8 3 7 2 10 〔3 2〕 100千米.C地集合：共行走 6 〔2 3〕4 3 7 〔2 3〕 10 2 97千米.D地集合：共行走 6 〔2 2〕4 2 8 〔3 2〕 10 4 112千米.E地集合：共行走6 〔2 3 2〕 4 〔3 2〕 8 2 7 4 106千米. 其中C地集合的路程总和最小,所以集合地应选在C地.7 .根据这道题可以用“小往大处靠〞的原那么来解决. H点60吨,存的货物最多,那么先处8 .五个基地人员总数为17 4 16 14 9 60 (人).依题意,调整后每个基地应各有60 5 12 (人).因此,需要从多于12人的基地A,C, D向缺乏12人的基地B, E调人.为了防止对流,经试验容易得到调整方案如下：先从D调2人到E,这样E尚缺1人；再由A调1人给E ,那么E到达要求.此时,A尚多余4人,C 也多余4人,总共8人全部调到 B ,那么B亦符合要求.调动示意图如下所示,这样的图形叫做物资流向图.用流向图代替调运方案,能直观地看出调运状况及有无对流现象,又可防止列表和计算的麻烦.图中箭头表示流向,箭杆上的数字表示流量.说明：发生对流的调运方案不可能是最优方案,这个原那么可以证实:I II A| [■& “】吨如上图,设A1R=a千米,B2B1=b千米,B1Aa=c千米.如果从A1运1吨货物到B1,同时又从A2运1吨货物到B2,那么在B1B2之间A I的物资从西向东运输, A的货物从东向西运输,两者发生对流,于是这样调动的总吨千米数为：(a b) (b c) a c 2b .而如果从A I运1吨货物到B2,同时从A2运1吨货物到B I,那么运输总吨千米数为a c,显然a c a c 2b .9 .我们采用分析排除法,将道路图逐步简化.从A到O有两条路,2 C2O用6分钟,2 F- O用7分钟,排除后者,可将FO抹去, 但AF不能抹去,由于从A到B还有其它路线经过AF,简化为图⑴.从A到E还剩两条路,2 CH GA E用12分钟,Z CHO E用10分钟,排除前者,可将CG G既去,简化为图(2).从A到D还剩两条路, 2CH8 D用12分钟,2 HRD用13分钟,排除后者,可将AH HD抹去,简化为图⑶.从A到B还剩两条路,A9仁dEf B用17分钟, A-C-O A B用16分钟,排除前者,可将OE E喷去,简化为图(4) .小明按A-C-O^ AB走最快,用16分钟.(4) 10 .由于细管相对于粗管来讲,价钱要少一些,因此先假设都用细管.那么从自来水厂到J村要铺设10根细管,自来水厂到I村要铺设9根细管,依次下去,我们用图表示铺细管的情况.由理小势力,A往H那个方向集中,集中到以继续向H方向集中,B点集中到D点, 那么D H谁看成大势力都可以.例如把E点,E点是65吨所以E点也要集中到易求了.运费最少为：(10 500 30 400巳B变成40吨,判断仍是H的势力最大,所D点变成60吨.此时D点和H点都是60吨, H点集中到F点,F点是70吨.把D点集中到F点.确定了集中地点为F点,运输费用也就容20 200 5 100 60200) 0.5 16750(元).于粗管是细管价格的4倍,如果用细管代替粗管重叠数超过4条费用更大, 仅在3条或3条以下才会节约,而细管只能供给一村用水,所以粗管从水厂一直接到G 村为止,再用三条细管连接H I、J三个村,这样费用最低,总费用：8000 〔30 5 2 4 2 3 2〕 2000 〔2 3 2 2 5〕 414000 〔元〕.11 .如果各派10辆车分别运渣土和砖,那么每运一车渣土要空车跑回300米,每运一车砖那么要空车跑回360米,这样到完成任务总共空车跑了：300 60 360 40 32400 〔米〕.如果一辆从从ZB-G-AA 跑一圈,那么每运一车渣土,运一车砖要空车跑：240 90 330 〔米〕；因此,先派20辆车都从A开始运渣土到B,再空车开往C运科到D后空车返回A,这样每辆车跑两圈就完成了运科任务 .然后再派这20辆车都从A运渣土到B 再空车返回A ,那么运渣土任务也完成了.这时总共空车跑了：330 40 300 20 19200 〔米〕后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米,这是最正确节油的调运方案.12 .方法一：此题中虽然上海到汉口的运费最少,只有3百元,但是上海到汉口比北京到汉口只节省〔4 3 〕1百元,相比之下,上海到重庆比北京到重庆要节省〔8 5 〕3百元.所以重庆所需台数应由上海尽量满足,即上海的4台全部调运重庆,北京再补给重庆4台,汉口的6台从北京调运.总运费为：5 4 8 4 4 6 76〔百元〕.方法二：此题也可以采用下面的代数方法解决,设北京调运汉口X台,调运重庆〔10 x 〕台,那么上海应调运汉口〔6 x 〕台,调运重庆4 〔6 x〕 x 2 〔台〕,总运费W 4x 8〔10 x 3〔6 x 5〔x 2〕 4x 80 8x 18 3x 5x 10 88 2x,由于要使总运费88 2x最小,需要2x最大.由于x是北京调运汉口的台数,且x 6,所以当x6时,总运费W 88 2 6 76 〔百元〕最小.由x 6可知,北京调运汉口6台,调运重庆4台,上海调运汉口0台,调运重庆4台.13.要想总的时间最少,显然计算总时间时,1、2计算了5次,3、4计算了4次,5、6计算了3次,7、8计算了2次,9、10计算了1次.所以有最短时间为：〔12 5 〔3 4 4 〔5 6〕 3 〔7 6 2 〔9 10〕 1 125 分钟.14 .由于细管相对于粗管来讲,价钱要少一些,因此先假设都用细管.那么从县城到A I村要铺设10根细管,A I村到A2村要铺设9根细管,依次下去,我们用图表示铺细管的情况. 因为粗管每千米7000元,细管每千米2000元,所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱.这样一来,但凡超过3根细管的路段,都应改铺粗管.因此,从县城到A7村铺1根粗管,A7村到A8村铺3根细管,A8村到A9村铺2根细管, A9村到A i.村铺1根细管.总费用为：7000 (30 5 2 4 2 3 2) 2000 (2 3 2 2 5 1) 36600(元).15 . B, C, F都是1个村的出口,而D,E是2个村的出口,如下列图示：1 12 2 1------ •------------- * ----------- e«*——BCD ---------- E ------- F令F处的1 左移到E ,那么E处1 2 11 2 , 那么还需继续左移到 D ,此时12 2 11,因此车站应设在D处.。
上海理工大学研究生课程(试题类)试卷 (题库)
33.设 ui (i 1, 2,..., n) 是一组关于 n n 维正定矩阵 A 共轭的向量' (u i ) ' Au i
34.设 ui (i 1, 2,..., n) 是一组沿正定二次函数 f(x)最优下降路径共轭的向量,
k i 1 证明:对于所有的 i , 1 i n ， (u , f ( x )) 0, k 1,..., i
Dn ，计算 Dn 效率。
18.用三点等分区间搜索法求 f ( x) x2 4 x 2 在区间[0,10]上的最小值， 完 成前两次迭代。 19.利用牛顿法计算函数 f ( x) 4 x12 2 x1x2 2 x22 x1 x2 的最小值。 20.对于三点等分区间法，求使最终期间和初始区间之间的比为△L 时的 最小计算次数 N。 21.Fibonacci 要将区间缩小到 104 即 Ln / L 104 ， 函数要迭代计算多少次？ 22.证明：黄金分割法和斐波那契搜索法的渐近收敛率是一致的。 23.对于二次函数 f ( x) xT Qx ，当用最优梯度法求解其最小值时，求每一 步迭代过程中的最优步长 k . 24.运用最优梯度算法，确定步长 k ，使 f ( x) 在 k 次迭代中每次都下降一
2 f ( x ) 0
6. 证明：二次函数 f ( x) aT x xT Ax 严格凸的充要条件是 A 是正定阵。 7. 用凸函数的定义证明：函数 在 x 0 是严格凸函数，在 x 0 是严格凹 函数。 8. 用凸函数的定义证明 x 2 是凸函数。 9. 证明：凸函数的和仍为凸函数。 10.判断下列函数是否为严格凸函数
2 2 (1) f ( x1 , x2 ) 2 x1 2 x2 2 x1x2 x2 1
四年级奥数第05讲-最优化问题(教)
学科教师辅导讲义知识梳理一、最优化问题在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”二、时间最优问题策略在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事；（2）做每件事需要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。
在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。
典例分析考点一：烧水问题例1、明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。
应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？【解析】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。
水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。
这一过程可用方框图表示：从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟。
例2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？【解析】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。
水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。
而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。
根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。
考点二：煎饼问题例1、贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。
最优化方法试卷及答案5套.docx
最优化⽅法试卷及答案5套.docx《最优化⽅法》1⼀、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型⼀般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为⽬标函数，___________ 称为约束函数，可⾏域D可以表⽰为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2⽄+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿⽅向d的⼀阶⽅向导数为___________ ，⼏何意义为_____________________________________ ，⼆阶⽅向导数为____________________ ,⼏何意义为_____________________________3.设严格凸⼆次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中⼦（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯⼀的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可⾏点，若在元处 d 满⾜巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可⾏下降⽅向。
数学建模试题(带答案)
数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。
f 和g 都是连续函数。
椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。
不妨设0)0(,0)0(g >=f 。
当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。
就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。
证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。
最优化方法考试试题
最优化方法考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1、下列哪个选项不是最优化方法的常见应用场景？A.生产计划优化B.金融投资组合优化C.图像处理优化D.自然语言处理优化正确答案：D.自然语言处理优化。
2、下列哪个算法不是求解线性规划问题的常用算法？A.单纯形法B.内点法C.外点法D.牛顿法正确答案：D.牛顿法。
3、下列哪个选项不是整数规划问题的特点？A.变量取值必须是整数B.问题复杂度较高，通常需要特殊算法求解C.在实际应用中比线性规划更为广泛D.可以使用与线性规划相同的方法求解正确答案：D.可以使用与线性规划相同的方法求解。
4、下列哪个选项不是梯度下降法的优点？A.简单易行，易于实现B.能较快地收敛到局部最优解C.对初值不敏感，易于找到全局最优解D.对于大规模数据处理效率较高正确答案：C.对初值不敏感，易于找到全局最优解。
5、下列哪个选项不是模拟退火算法的特点？A.基于概率的搜索方法，有一定的随机性B.在解空间内随机搜索，可以跳出局部最优解的陷阱C.可以找到全局最优解，但需要设置退火温度等参数D.对于组合优化问题通常比暴力搜索算法更快找到最优解正确答案：D.对于组合优化问题通常比暴力搜索算法更快找到最优解。
二、填空题（每空2分，共20分）6.最优化方法中，通常使用__________来衡量一个解的好坏。
正确答案：目标函数。
7.在使用单纯形法求解线性规划问题时，__________是算法终止的条件。
正确答案：迭代次数达到预设的上限。
8.整数规划问题中，如果所有变量都有上限和下限的约束，则称为__________规划问题。
正确答案：背包。
9.在使用模拟退火算法求解组合优化问题时，__________是算法终止的条件。
正确答案：达到预定的迭代次数或者解的变化小于某个给定的阈值。
10.最优化方法中，__________是一种启发式搜索方法，通常用于解决组合优化问题。
正确答案：遗传算法。
最优化问题在现实世界中随处可见，从解决日常生活中的最佳路线问题，到企业寻求最大化利润和最小化成本，最优化方法都发挥着至关重要的作用。
六年级下册数学试题-2019年小升初数学专题分类：最优化问题(含答案)
2019年小升初数学专题分类：最优化问题应用题1.新华书店“十﹒一”黄金周期间举办了“买3送1”的优惠活动（仅限同一种图书）．王老师挑选了一种故事书，每册16元．176元钱最多可以买几册这种故事书？2.一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟．（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要几分钟？如何煎4条需要几分钟？3.双休日，车间内有5台机器同时出了故障，从第一台到第五台的修复时间依次为15、8、29、7、10分钟。
每台机器停产1分钟都将造成5元钱的损失。
如何安排修复顺序，使经济损失最少。
最少损失多少元？4.为了学生的卫生安全，学校给每个学生配一个水杯，每只水杯3元，美好家园打九折。
学校想买180只水杯，请你当“参谋”，算一算：到哪家购买较合算？请写出你的理由。
5.泰州地区进入高温以来，空调销售火爆，下面是两商场的促销信息：文峰大世界：满500元送80元．五星电器：打八五折销售．“新科”空调两商场的挂牌价均为每台2000元；“格力”空调两商场的挂牌价均为每台2470元．问题：如果你去买空调，在通过计算比较一下，买哪种品牌的空调到哪家商场比较合算？6.红红陪妈妈到超市买鲜橙汁，看到同一种鲜橙汁在三个超市有不同的促销策略：甲超市：每瓶12元，买四送一乙超市：每瓶12元，八五折丙超市：每瓶12元，满50元返10元红红家想买5瓶鲜橙汁，去哪个超市买合算？7.（2015•淮安）某专卖店5月1日举行促销优惠活动，当天到该专卖店购买商品有两种方案：方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律按商品价格的八折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠．已知小芳5月1日前不是该商店的会员．（1）若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元．她购买这件商品优惠多少元？（2）请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案一更合算？8.朝阳希望小学组织230人参加武汉“1+8”城市圈科教游活动，需要租车．现在有以下两种车型可供租用．怎样租车最省钱，租金是多少？9.有一批货物，若干个装卸工一起干活，需要10小时完成．现在只有1个人干活，然后每t小时增加一个人（t为整数）．已知最后一个增加的人干活时间是第一个人的．（1）按照新方法装卸需要多少时间？（2）有多少装卸工？10.莲花小学要买60个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球价格都是25元一个，为了促销，三个商店都推出优惠办法．甲店：买10送2，不足10个不送．乙店：每个足球优惠4元．丙店：满200元、返还现金40元．希望小学应到哪个商店购买合算？说明理由．11.有两个孩子划一只小船，这时岸上来了一队解放军叔叔，他们要从河的左岸去右岸，但这只小船只能载一个大人或者两个小孩。
最优化方法测验及答案套
《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中 ___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示 为_____________________________，若______________________________， 称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶 方向导数为___________________，几何意义为_________________________ ___________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。
4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
机械优化设计试题及答案
机械优化设计试题及答案试题一：1. 请简述机械优化设计的定义及重要性。
答案：机械优化设计是通过数学模型和计算机仿真技术，以最优化的方式对机械结构进行设计和改进的过程。
机械优化设计的重要性在于能够提高机械产品的性能和效率，降低成本和能源消耗，并且缩短产品开发周期。
2. 请阐述机械优化设计的基本步骤及流程。
答案：机械优化设计的基本步骤包括：问题定义、数学建模、解的搜索、结果评价和优化、最优解验证等。
具体流程如下：(1) 问题定义：明确机械优化设计的目标和约束条件，例如提高某项指标、降低成本等。
(2) 数学建模：通过将机械系统抽象为数学模型，建立与优化目标和约束条件相关的函数关系。
(3) 解的搜索：采用合适的搜索算法，寻找函数的最优解或近似最优解。
(4) 结果评价和优化：对搜索得到的解进行评价和分析，进一步进行调整和改进，以得到更好的解。
(5) 最优解验证：通过实验或仿真验证最优解的可行性和有效性。
试题二：1. 请简述梯度下降法在机械优化设计中的应用原理。
答案：梯度下降法是一种常用的优化算法，其原理是通过求解函数的梯度向量，并采取沿着梯度方向逐步迭代优化的方法。
在机械优化设计中，可以将需要优化的机械结构的性能指标作为目标函数，通过梯度下降法不断调整结构参数，以寻找最优解。
2. 请列举至少三种机械优化设计的常用方法。
答案：常见的机械优化设计方法包括：遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。
其中：(1) 遗传算法通过模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作，逐渐优化机械结构，以达到最优解。
(2) 粒子群优化算法模拟鸟群或鱼群的行为，通过不断迭代更新粒子的位置和速度，最终找到最优解。
(3) 模拟退火算法基于金属退火的原理，随机选择新解，并通过一定的准则接受或拒绝新解，以便在解空间中发现更优解。
试题三：1. 请解释有限元分析在机械优化设计中的作用。
答案：有限元分析是一种基于数值计算的方法，通过将复杂的结构划分成有限个单元，建立结构的有限元模型，并对其进行离散化求解，用于分析机械结构的应力、振动、热传导等特性。
《最优化方法》试题.doc
《最优化方法》试题一、 填空题1.设Q 为n 阶对称正定矩阵，m n A ⨯为行满秩矩阵，则问题1min ()2..T f x x Qx s t Ax b ⎧=⎪⎨⎪=⎩的K-T 点为（ ）；2.42112min ()(2)(2)f x x x x =-+-的平稳点为（ ），该平稳点（ ）（填‘是’或‘不是’）局部最优解；3.设ˆx 是问题min ()..,,m n n m f x s t Ax b A R x R b R ⨯⎧⎪≥⎨⎪∈∈∈⎩的可行解，则在ˆx处有1122ˆˆ,,A x b A x b =>其中1212(,),(,)T T T T T T A A A b b b ==，则0d ≠是ˆx 的下降方向的充要条件为（ ），0d ≠是ˆx 的可行方向的充要条件为（ ）。
二． 运用0.618法求()2min 2+-=x x x f在区间]3,1[-上的极小点。
要求最终区间长度不大于原区间长度的0.08倍。
（计算结果精确到0.001）三、用最速下降法求解无约束问题 ()()()22213423min -+-=x x x f ，取初始点()()Tx 3,41=。
四、证明题1.用牛顿法求函数1()2T T f x x Ax b x c =++（A 为对称正定矩阵）的极小值只需一次迭代；2.罚函数内点法定义惩罚函数(,)()()G x r f x r B x =+，（其中()0B x >）。
设1(1,)k k r r k +>= 产生序列{}()k x ，证明：（1）(1)()1(,)(,)k k k k G x r G x r ++≤；（2）(1)()()()k k B x B x +≥；（3）(1)()()()k k f x f x +≤.五、求约束问题⎩⎨⎧=-+=-++=0109..min 212221221x x x x t s x x f 的Kuhn —Tucker 点。
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《最优化方法》试题
一、 填空题
1.设()f x 是凸集n S R ⊂上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）；
2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ∇是
（ ）矩阵；
3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ⎧=+---⎪--≥-⎨⎪--≥-≥⎩，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。
二、选择题
1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ⎧=-+⎪⎪-+≤⎨⎪-≤⎪⎩
，则下列各点属于K-T 点的是（ ）
A) (0,0)T B) (1,1)T
C) 1(,22
T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ）
A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-<
C) 2
222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题
()22121212121211min 51022
..2330420
,0
f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥
取初始点()0,5T。
四、考虑约束优化问题
()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥
用两种惩罚函数法求解。
五．用牛顿法求解二次函数
222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。
初始点011,1,22T
x ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
六、证明题
1.对无约束凸规划问题1min ()2
T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时，
22[()
()]t f x f y =-。
2.设12***
*3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也
是非线性规划问题
144423*
123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。