二次函数拱桥应用题
二次函数应用(拱桥类)
1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y =-125x 2,当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时,这时水面宽度AB 为( )A .-20 mB .10 mC .20 mD .-10 m2.某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C 离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面 2.7m,装货宽度为 2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.3.如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米.水面下降1米时,水面的宽度为________米.4.一个涵洞成抛物线形,它的截面如图,现测得,当水面宽AB =1.6 m 时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m .这时,离开水面1.5 m 处,涵洞宽ED 是多少?是否会超过1 m ?5. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米.求校门的高6.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道,如图1,已知沿底部宽AB 为4m ,高OC 为3.2m ;集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m ;集装箱顶部离地面2.1m 。
该车能通过隧道吗?请说明理由.7.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8m ,宽是2m ,抛物线可以 用 表示.(1)一辆货运卡车高4m ,宽2m ,它能通过该隧道吗?(2)如果该隧道内设双行道,那么这辆货运卡车是否可以通过?8.如图,有一抛物线拱桥,已知水位线在AB 位置时,水面的宽为64m ,水位上升4m 就到达警戒线CD ,这时水面的宽为34m ,若洪水到来时,水位以每小时0.5m 的速度上升,测水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处?2144y x =-+。
二次函数中抛物线形拱桥及答案
二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的表达式;(2)在正常水位的基础上,当水位上升h(m)时,桥下水面的宽度为d(m),求出将d表示为h 的函数表达式;(3)设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,且过点(10,-4)∴-==-4101252a a×,故y x=-1252(2)设水位上升h m时,水面与抛物线交于点(dh24,-)则hd-=-412542×∴d h=-104(3)当d=18时,18104076=-=h h,.0762276..+=∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图,有一座抛物线形的拱桥,桥下面处在目前的水位时,水面宽AB=10m,如果水位上升2m,就将达到警戒线CD,这时水面的宽为8m.若洪水到来,水位以每小时0.1m 速度上升,经过多少小时会达到拱顶?解:以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点,建立直角坐标系,则抛物线的顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为(5,0)、(4,2)设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上,有解这个方程组,得所以,顶点的坐标为(0,)则OE=÷0.1=(h)所以,若洪水到来,水位以每小时0.1m速度上升,经过小时会达到拱顶.3、如图4,有一座抛物线形拱桥,抛物线可用y=表示.在正常水位时水面AB 的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)在正常水位时,有一艘宽8m、高2.5m的小船,它能通过这座桥吗?(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通过:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来的速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?解:(1)由对称性,当x=4时,y=.当x=10时,y=.故正常水位时,AB距桥面4米,由,故小船能通过.(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时.货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280.∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到x千米/时,当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车安全通过此桥,货车的速度超过60千米/时。
二次函数与实际问题(拱桥)
二次函数的运用拱桥问题学习过程:一、预备练习:1、如图所示的抛物线的解析式可设为 ,若AB ∥x 轴,且AB=4,OC=1,则点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ;代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。
2、 某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m ,涵洞顶点O 到水面的距离为1m ,于是你可推断点A 的坐标是 ,点B 的坐标为 ;根据图中的直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为 。
二、新课导学:例1、有座抛物线形拱桥(如图),正常水位时桥下河面宽20m ,河面距拱顶4m ,为了保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m ,求水面在正常水位基础上上涨多少米时,就会影响过往船只航行。
例2、某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,现测得水面宽1.6m ,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么?三、练习:1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所示的坐标系,其函数的解析式为y=2251x ,当水位线在AB 位置时,水面宽 AB = 30米,这时水面离桥顶的高度h 是( )A 、5米B 、6米;C 、8米;D 、9米2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).3、一个涵洞成抛物线形,它的截面如图,现测得,当水面宽AB =1.6 m 时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m .这时,离开水面1.5 m 处,涵洞宽ED 是多少?是否会超过1 m ?4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽AB=4m ,顶部C 离地面高度为4.4m .现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m ,装货宽度为2.4m .请判断这辆汽车能否顺利通过大门.5、如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8m ,宽是2m ,抛物线可以用y=-41x 2+4表示. (1)一辆货运卡车高4m ,宽2m ,它能通过该隧道吗?(2)如果该隧道内设双行道,那么这辆货运卡车是否可以通过?6.如图26.3.2,公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ,OA=1.25m ,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m .(1)若不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m ,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达多少米?(精确到0.1m )7.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m(B处),设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? (选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?8.某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 10又3分之3m,入水处距池边的距离为4m,同时运动员在距水面高度5m以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势时,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的函数关系式;(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3又5分之3m,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.例1、例2:例3:第3题:第8题、。
二次函数的应用拱桥问题
学习目标
1.会建立直角坐标系解决实际问题; 2.会解决桥洞水面宽度问题.
学 1、完成新知探究的填空 2、做完后小组交流做题的方法
情境创设: 赵州桥桥拱跨径37.02m, 拱高7.23m. 你能建立恰当的直角坐标系并写出与该抛物线桥拱对应的二 次函数关系式吗?试试看.
1、先建立直角坐标系; 以桥拱的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴建立直角坐标系.
(1)试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线桥探拱对应的二次函数关系式; (2)当水位上升1m时,水面宽多少m?
问题探究
y O
D A
x
C (?,-2) B (3,-3)
y 1 x2 3
问题1 一座抛物线拱桥,桥下的水面 离桥孔顶部3m时,水面宽6m.
问题研究
(3)一艘装满防汛器材的船在这条河流中航行,露出水面部分的高为0.5m,宽为4m.当水位上升1m时,这艘船能从桥 下通过吗?
y O
F D A
E (?,-1.5) C
B
x
y 1
谢谢
二次函数的应用拱桥问题
常见的桥孔形状有半圆型、椭圆型、马蹄形, 还有抛物线型.
太湖公园 拱桥
江苏周庄 拱桥
法国加尔 拱桥
卢浦大桥
湘潭湘江四大桥
链接
你对
赵有州哪桥些认识?
闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠李春和众多石匠发明并建造的一座扁平抛物线石拱桥. 赵州桥是我国造桥史上的杰作,世界桥梁史上的首创,是世界著名的古代石拱桥,到现在已经一千三百多 年了,比欧洲早了近1300年.赵州桥在桥梁建筑史上占有重要的地位,对我国后代桥梁建筑有着深远的影响.
2、求抛物线对应的二次函数关系式. y
o
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师
二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽度为20m ,拱顶距离水面4m .(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的表达式;(2)在正常水位的基础上,当水位上升h (m )时,桥下水面的宽度为d (m ),求出将d 表示为h 的函数表达式;(3)设正常水位时桥下的水深为2m ,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18m ,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.解:(1)设抛物线的解析式为y =ax 2,且过点(10,-4) ∴ 故(2)设水位上升h m 时,水面与抛物线交于点()则∴(3)当d =18时,∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图,有一座抛物线形的拱桥,桥下面处在目前的水位时,水面宽AB=10m ,如果水 位上升2m ,就将达到警戒线CD ,这时水面的宽为8m.若洪水到来,水位以每小时0.1m 速度上升,经过多少小时会达到拱顶解: 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点,建立直角坐标系,则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为(5,0)、(4,2)设抛物线为y=ax2+k.由B 、D 两点在抛物线上,有-==-4101252a a ×,y x =-1252d h 24,-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ,.0762276..+=解这个方程组,得所以,顶点的坐标为(0,)则OE=÷=(h)所以,若洪水到来,水位以每小时0.1m速度上升,经过小时会达到拱顶.3、如图4,有一座抛物线形拱桥,抛物线可用y=表示.在正常水位时水面AB 的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)在正常水位时,有一艘宽8m、高2.5m的小船,它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通过:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来的速度行驶,能否安全通过此桥若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米解:(1)由对称性,当x=4时,y=.当x=10时,y=.故正常水位时,AB距桥面4米,由,故小船能通过.(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷=4小时.货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280.∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到x千米/时,当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车安全通过此桥,货车的速度超过60千米/时。
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数--拱桥问题训练
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数--拱桥问题训练1.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),求抛物线的解析式;(2)求支柱EF的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.2.如图,一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的,隧道宽BC=10米,矩形部分高AB=3米,抛物线型的最高点E离地面OE=6米,按如图建立一个以BC 为x轴,OE为y轴的直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)如果该隧道内设有双车道,现有一辆货运卡车高4.5米,宽3米,这辆货运卡车能顺利通过隧道吗?3.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8m ,宽是2m ,抛物线可以用2144y x =-+表示.()1一辆货运卡车高4m ,宽2m ,它能通过该隧道吗?()2如果该隧道内设双行道,那么这辆货运卡车是否可以通过?4.建立适当的坐标系,运用函数知识解决下面的问题:如图,是某条河上的一座抛物线形拱桥,拱桥顶部点E 到桥下水面的距离EF 为3米时,水面宽AB 为6米,一场大雨过后,河水上涨,水面宽度变为CD ,且CD=26米,此时水位上升了多少米?5.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时,AB宽20 m,水位上升到警戒线CD时,CD到拱桥顶E的距离仅为1 m,这时水面宽度为10 m.(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.3 m的速度上升,从正常水位开始,持续多少小时到达警戒线?6.如图所示的是水面一桥拱的示意图,它的形状类似于抛物线,在正常水位时,该桥下水面宽度为20米,拱顶距离正常水面4米,建立平面直角坐标系如图所示,求抛物线的解析式.7.如图,东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长OA为12 m,宽OB为4 m,隧道顶端D到路面的距离为10 m,建立如图所示的直角坐标系.(1)求该抛物线的表达式;(2)一辆货车载有一个长方体集装箱,集装箱最高处与地面距离为6 m,宽为4 m,隧道内设双向行车道,问这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排离地面高度相等的灯,如果灯离地面的高度不超过8.5 m,那么这两排灯的水平距离最小是多少米?8.如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m 时,桥洞与水面的最大距离是5m.(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图),你选择的方案是(填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是,求出你所选方案中的抛物线的表达式;(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.9.某地欲搭建一桥,桥的底部两端间的距离AB=L,称跨度,桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高,当L和h确定时,有两种设计方案可供选择:①抛物线型,②圆弧型. 已知这座桥的跨度L=32米,拱高h=8米.(1)如果设计成抛物线型,以AB所在直线为x轴, AB的垂直平分线为y轴建立坐标系,求桥拱的函数解析式;(2)如果设计成圆弧型,求该圆弧所在圆的半径;(3)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑,在两种方案中分别求桥墩的高度.10.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图:(1)如图建立平面直角坐标系,使抛物线对称轴为y轴,求该抛物线的解析式;(2)若需要开一个截面为矩形的门(如图所示),已知门的高度为1.60米,那么门的宽度最大是多少米(不考虑材料厚度)?(结果保留根号)11.如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯,把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中.(1)求抛物线对应的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(2)求两盏景观灯之间的水平距离.12.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40h内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?13.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图1所示).(1)求出这条抛物线的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带),其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆?请通过计算说明;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架CDAB,使A、D点在抛物线上.B、C点在地面OM线上(如图2所示).为了筹备材料,需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少,请你帮施工队计算一下.14.有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度BM为3米,跨度OA为6米,以OA所在直线为x轴,O为原点建立直角坐标系(如图所示).(1)请你直接写出O、A、M三点的坐标;(2)一艘小船平放着一些长3米,宽2米且厚度均匀的矩形木板,要使该小船能通过此桥洞,问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)?15.一隧道内设双行公路,隧道的高MN为6米.下图是隧道的截面示意图,并建立如图所示的直角坐标系,它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的,矩形的长DE是8米,宽CD是2米.(1)求该抛物线的解析式;(2)为了保证安全,要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离.若行车道总宽度PQ(居中,两边为人行道)为6米,一辆高3.2米的货运卡车(设为长方形)靠近最右边行驶能否安全?请写出判断过程;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG,使H、G两点在抛物线上,A、B两点在地面DE上,设GH长为n米,“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之和为L,当n为何值时L最大,最大值为多少?16.某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图),大门地面宽AB=4 m,顶部C离地面高为4.4 m.(1)以AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,求该抛物线对应的函数表达式;(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门,货物顶点距地面2.8 m,装货宽度为2.4 m,请通过计算,判断这辆汽车能否顺利通过大门.17.某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内,求涵洞所在抛物线的函数表达式.18.如图:河上有一座抛物线形桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部3m时,水面宽AB =6m,建立如图所示的坐标系.(1)当水位上升0.5m时,求水面宽度CD为多少米?(结果可保留根号)(2)有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚,此船正对着桥洞在上述河流中航行,若这船宽(最大宽度)2米,从水面到棚顶高度为1.8米.问这艘船能否从桥下洞通过?参考答案1.解:(1)根据题目条件,A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(10,0)、(0,6). 设抛物线的解析式为y =ax2+c ,将B 、C 的坐标代入y =ax2+c ,得60100c a c ⎧⎨⎩=,=+ 解得a =350-,c =6. 所以抛物线的表达式是y =350-x2+6. (2)可设()5F F y ,,于是2356 4.550F y -⨯=+=, 从而支柱EF 的长度是10-4.5=5.5米.(3)设DN 是隔离带的宽,NG 是三辆车的宽度和,则G 点坐标是()70,. 过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ,则2376 3.06350H y -⨯==+>. 根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.2.(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+c .∵点E (0,6),点A (﹣5,3)在此抛物线上,∴2653c a c =⎧⎨⨯-+=⎩(),得:3256a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴此抛物线的解析式为y 2325x =-+6; (2)当x =±3时,y 23325=-⨯±+()6=4.92>4.5,即这辆货运卡车能顺利通过隧道. 3. 解:()1把422y =-=代入2144y x =-+得: 21244x =-+, 解得22x =±,∴此时可通过物体的宽度为()2222422--=>,∴能通过;()2∵一辆货运卡车高4m ,隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8m ,宽是2m ,∴货车上面有2m ,在矩形上面,当2y =时,21244x =-+, 解得22x =±,∵222>,∴能通过.4.以点E 为原点、EF 所在直线为y 轴,垂直EF 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,根据题意知E (0,0)、A (﹣3,﹣3)、B (3,﹣3),设y=kx 2(k <0),将点(3,﹣3)代入,得:k=﹣13, ∴y=﹣13x 2, 将6代入,得:y=﹣2,∴上升了1米.5.解:(1)设所求抛物线的解析式为y =ax 2.∵CD =10 m ,CD 到拱桥顶E 的距离仅为1 m ,∴C (-5,-1).把点C 的坐标代入y =ax 2,得a =-,故抛物线的解析式为y =-x 2.(2)∵AB 宽20 m ,∴可设A (-10,b).把点A 的坐标代入抛物线的解析式y =-x 2中,解得b =-4,∴点A 的坐标为(-10,-4).设AB 与y 轴交于点F ,则F (0,-4),∴EF =3 m.∵水位以每小时0.3 m 的速度上升,∴3÷0.3=10(时).答:从正常水位开始,持续10小时到达警戒线.6.试题解析:设抛物线解析式为2y ax =,把点()104B -,代入解析式得:2410a -=⨯, 解得:125a =-, ∴抛物线的解析式为2125y x =-. 7.试题分析:(1)设出抛物线的解析式,根据抛物线顶点坐标,代入解析式;(2)令x=10,求出y 与6作比较;(3)求出y=8.5时x 的值即可得.试题解析:(1)根据题意,该抛物线的顶点坐标为(6,10),设抛物线解析式为:y=()26a x -+10,将点B (0,4)代入,得:36a+10=4,解得:a=16-, 故该抛物线解析式为y=()2166x --+10; (2)根据题意,当x=6+4=10时,y=16-×16+10=223>6, ∴这辆货车能安全通过.(3)当y=8.5时,有:()2166x --+10=8.5, 解得:1x =3,2x =9,∴2x ﹣1x =6,答:两排灯的水平距离最小是6米.考点:二次函数的应用.8.:解:方案1:(1)点B 的坐标为(5,0),设抛物线的解析式为:(5)(5)y a x x =+-.由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),代入解析式可得:15a =-,∴抛物线的解析式为:1(5)(5)5y x x =-+-; (2)由题意:把3x =代入1(5)(5)5y x x =-+-,解得:165y ==3.2,∴水面上涨的高度为3.2m .方案2:(1)点B 的坐标为(10,0).设抛物线的解析式为:(10)y ax x =-.由题意可以得到抛物线的顶点为(5,5),代入解析式可得:15a =-,∴抛物线的解析式为:1(10)5y x x =--; (2)由题意:把2x =代入1(10)5y x x =--解得:165y ==3.2,∴水面上涨的高度为3.2m . 方案3:(1)点B 的坐标为(5, 5-),由题意可以得到抛物线的顶点为(0,0).设抛物线的解析式为:2y ax =,把点B 的坐标(5, 5-),代入解析式可得:15a =-, ∴抛物线的解析式为:21y x 5=-; (2)由题意:把3x =代入21y x 5=-解得:95y =-= 1.8-,∴水面上涨的高度为5 1.8-=3.2m . 9.解析:(1)抛物线的解析式为y=ax 2+c ,又∵抛物线经过点C (0,8)和点B (16,0),∴0=256a+8,a=-132. ∴抛物线的解析式为y=-132x 2+8(-16≤x≤16); (2)设弧AB 所在的圆心为O ,C 为弧AB 的中点,CD ⊥AB 于D ,延长CD 经过O 点,设⊙O 的半径为R ,在Rt △OBD 中,OB 2=OD 2+DB 2∴R 2=(R-8)2+162,解得R=20;(3)①在抛物线型中设点F (x ,y )在抛物线上,x=OE=16-4=12,EF=y=3.5米;②在圆弧型中设点F′在弧AB 上,作F′E′⊥AB 于E′,OH ⊥F′E′于H ,则OH=D E′=16-4=12,O F′=R=20,在Rt △OH F′中,H F′= 222012-,∵HE′=OD=OC -CD=20-8=12,E′F′=HF′-HE′=16-12=4(米)∴在离桥的一端4米处,抛物线型桥墩高3.5米; 圆弧型桥墩高4米.10.解:(1)由图可设抛物线的解析式为:y=ax 2+2,由图知抛物线与x 轴正半轴的交点为(2,0),则:a×22+2=0, ∴a=﹣,∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2;(2)当y=1.60时,知1.6=﹣x 2+2,解得:x=,所以门的宽度最大为2×=米. 考点:二次函数的应用.11.(1)抛物线的顶点坐标为(5,5),与y 轴交点坐标是(0,1),设抛物线的解析式是y =a(x ﹣5)2+5,把(0,1)代入y =a (x ﹣5)2+5,得:a =﹣425,∴y =﹣425(x ﹣5)2+5(0≤x ≤10),即2481255y x x =-++(0≤x ≤10); (2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4,∴4=﹣425(x ﹣5)2+5,∴425(x ﹣5)2=1,∴x 1=152,x 2=52,∴两景观灯间的距离为 152﹣52=5米. 12.二次函数的应用,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系.(1)根据抛物线特点设出二次函数解析式,把B 坐标代入即可求解.(2)水面到顶点C 的距离不大于5米时,即水面与河底ED 的距离h 至多为6,把6代入所给二次函数关系式,求得t 的值,相减即可得到禁止船只通行的时间.13.(1)∵M (12,0),P (6,6).∴设这条抛物线的函数解析式为y=a(x -6)2+6,∵把(0,0)代入解得a=-16, ∴这条抛物线的函数解析式为y=-16(x -6)2+6, 即y=-16x 2+2x (0≤x≤12); (2)当x=6-0.5-2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时,y=4.5<5∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆;(3)设点A的坐标为(m,-16m2+2m),∴OB=m,AB=DC=-16m2+2m根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m,∴BC=12-2m,即AD=12-2m∴L=AB+AD+DC=-13m2+2m+12=-13(m-3)2+15∴当m=3,即OB=3米时,三根木杆长度之和L的最大值为15米.14.解:(1)0(0,0),A(6,0),M(3,3).(2)设抛物线的关系式为y=a(x-3)2+3,因为抛物线过点(0,0),所以0=a(0-3)2+3,解得a=,所以,要使木板堆放最高,依据题意,得B点应是木板宽CD的中点,把x=2代入,得,所以这些木板最高可堆放米.15.解:(1)由题意得M(0,4),F(4,0)可设抛物线的解析式为y=ax2+4,将F(4,0)代入y=ax2+4中,得a=-14,∴抛物线的解析式为y=-14x2+4;(2)当x=3,y=74, 74+2-12=3.25>3.2,∴能安全通过; (3)由GH=n ,可设H (24216n n -+,), ∴GH+GA+BH=n+(2416n -+)×2+2×2=21128n n -++, ∴L=21128n n -++, ∵a <0,抛物线开口向下,∴当n=-2b a=4时,L 有最大值,最大值为14. 16.解:(1)如图,过AB 的中点作AB 的垂直平分线,建立平面直角坐标系.点A ,B ,C 的坐标分别为 A(-2,0),B(2,0),C(0,4.4).设抛物线的表达式为y =a(x -2)(x +2).将点C(0,4.4)代入得a(0-2)(0+2)=4.4,解得a =-1.1,∴y =-1.1(x -2)(x +2)=-1.1x 2+4.4.故此抛物线的表达式为y =-1.1x 2+4.4.(2)∵货物顶点距地面2.8 m ,装货宽度为2.4,∴只要判断点(-1.2,2.8)或点(1.2,2.8)与抛物线的位置关系即可.将x =1.2代入抛物线,得 y =2.816>2.8,∴点(-1.2,2.8)和点(1.2,2.8)都在抛物线内.∴这辆汽车能够通过大门.17.解:设此抛物线所对应的函数表达式为:2y ax =,∵ 1.6AB m =,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ,∴A 点坐标应该是()0.8, 2.4--,把A 点代入得:22.4(0.8)a -=-⨯, 解得:154a =-,故涵洞所在抛物线的函数表达式2154y x =-. 18. (1)设抛物线形桥洞的函数解析式为y=ax 2+c , 把A (3,0),E (0,3)代入得:解得: ∴由题意得:点C 与D 的纵坐标为0.5, ∴解得:∴(米), 则水面的宽度CD 为米;(2)当x =1时,∵ ∴这艘游船能从桥洞下通过.。
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽度为20m ,拱顶距离水面4m .(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的表达式;(2)在正常水位的基础上,当水位上升h (m )时,桥下水面的宽度为d (m ),求出将d 表示为h 的函数表达式;(3)设正常水位时桥下的水深为2m ,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18m ,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.解:(1)设抛物线的解析式为y =ax 2,且过点(10,-4)∴故 (2)设水位上升h m 时,水面与抛物线交于点()则∴ (3)当d =18时,∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图,有一座抛物线形的拱桥,桥下面处在目前的水位时,水面宽AB=10m ,如果水位上升2m ,就将达到警戒线CD ,这时水面的宽为8m.若洪水到来,水位以每小时0.1m速度上升,经过多少小时会达到拱顶解: 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点,建立直角坐标系,则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为(5,0)、(4,2)-==-4101252a a ×,y x =-1252d h 24,-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ,.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上,有解这个方程组,得所以,顶点的坐标为(0,)则OE=÷0.1=(h)所以,若洪水到来,水位以每小时0.1m速度上升,经过小时会达到拱顶.3、如图4,有一座抛物线形拱桥,抛物线可用y=表示.在正常水位时水面AB 的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)在正常水位时,有一艘宽8m、高2.5m的小船,它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通过:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来的速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?解:(1)由对称性,当x=4时,y=.当x=10时,y=.故正常水位时,AB距桥面4米,由,故小船能通过.(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时.货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280.∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到x千米/时,当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车安全通过此桥,货车的速度超过60千米/时。
二次函数应用--拱桥问题
CC A
DB
0
C
h
D
A
B
(1)建立平面直角坐标系;
(2)根据题意构建二次函数图象; (3)问题求解; (4)找出实际问题的答案。
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图,现 测得,当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水 面的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处, 涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?
有一抛物线拱桥,在正常水位AB时水面的宽度 是 20m,水位上升3 m时水面CD宽10m. (1)求抛物线的函数表达式。 (此2桥)35一k条m时船,以桥5k下m水/h的位速正度好向在此AB桥处驶4,来3之,后当水船位距每离 小时上涨0.25m,当水位达到CD处时,将禁止船通行。 如果该船按原来的速度行驶,那么它能否安全通过 此桥?
AB=12Leabharlann yCCD=4
A
D
B
x
探究 图中是抛物线形拱桥,当水面在 L 时,拱
顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m时,水面宽度 是多少?
解一
解二
解三
L
解
如图所示,
以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为
y轴,
建立平面直角坐标系。
∴可设这条抛物线所表示
的二次函数的解析式为:
y ax2
返回
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线 的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2 2
返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以其中
的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
二次函数的应用-----拱桥问题
作业:配套52页1、2、5
1、如图所示是抛物线形拱桥的截面图, 当水面在AB时,宽为4 6 m,当水面上 升3 m到达CD时,水面的宽为4 3 m, 若水面以0.25 m/h的速度匀速上升,再 过多长时间,水面可达到桥顶?
2、如图所示,有一座抛物线型拱桥,在正常水 位AB时,水面宽20米,水位上升3米,就达到警 戒线CD,这时水面宽为10米。 1)求抛物线型拱桥的解析式。 2)若洪水到来时,水位以每小时0.2米的速度 上升,从警戒线开始,在持续多少小时才能达 到拱桥顶? 3)若正常水位时, 有一艘宽8米,高2.5米 的小船能否安全通过 这座桥?
A
C D
Байду номын сангаас
20m
B
3、如图,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD 构成,BC为8m,AB为2m,以BC所在的直线为x 轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标 系,y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O 的距离为6m.1)求抛物线的解析式; 2)一辆货车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗? 3)若该隧道内设双行道,现有一辆高4.2米宽2.4米 的货车还能通过隧道吗? 4)若该隧道内设双行道,且在隧 道正中间设有0.4m的隔离带, 则该货车还能通过隧道吗?
二次函数---(拱桥问题)
22.3(4.1)---(拱桥问题)一.【知识要点】1.现实生活中的抛物线:喷射的水流、投出的篮球运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子、一些拱桥、涵洞等,都给人留下抛物线的印象。
如果把它们放到平面直角坐标系中,结合实际数据即可求解得出抛物线的解析式,再通过二次函数的性质来解决测量问题、最值问题等.二.【经典例题】1.右图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加__________m。
2.(6分)如右图所示,有一座拱桥圆弧形,它的跨度为60米,拱高为18米,当洪水泛滥到跨度只有30米时,就要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时,•是否采取紧急措施?三.【题库】【A】1.如图,是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯,建立适当坐标系.则两盏景观灯之间的水平距离_________.【B】1.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____________ s.【C】1.一位运动员投掷铅球的成绩是14m,当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m,若铅球运行的路线是抛物线,则铅球出手时距地面的高度是m.【D】1.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第xmin时,小丽、小明离B地的距离分别为y1m,y2m,y1与x之间的函数表达式是y1=﹣180x+2250,y2与x之间的函数表达式是y2=﹣10x2﹣100x+2000.(1)小丽出发时,小明离A地的距离为m.(2)小丽出发至小明到达B地这段时间内,①两人何时相距180m?②两人何时相距最近?最近距离是多少?。
专题07 二次函数与实际应用(拱桥问题)-2024年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(原
专题07 二次函数与实际应用(拱桥问题)一、填空题1.(2024·安徽肥东·中考二模)如图,一座悬索桥的桥面OA 与主悬钢索MN 之间用垂直钢索连接,主悬钢索是抛物线形状,两端到桥面的距离OM 与AN 相等.小强骑自行车从桥的一端O 沿直线匀速穿过桥面到达另一端A ,当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同,那么他通过整个桥面OA 共需_____________秒.2.(2024·江苏工业园区·中考一模)如图①,“东方之门”通过简单的几何曲线处理,将传统文化与现代建筑融为一体,最大程度地传承了苏州历史文化.如图②,“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的,已知其底部宽度均为80m ,高度分别为300m 和225m ,则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度(AB 的长)为_________m .第1题图 第2题图3.(2024·浙江·温州市中考一模)2024年1月12日世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥主体成功合拢.如图2所示,已知桥底呈抛物线,主桥底部跨度400OA =米,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,桥面//BF OA ,抛物线最高点离路面距离10EF =米,120BC =米,CD BF ⊥,O ,D ,B 三点恰好在同一直线上,则CD =________米.第3题图 第4题图4.(2024·江苏工业园区·中考二模)如图是某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A ,B 两点,拱桥最高点C 到AB 的距离为8m ,24m AB =,D ,E 为拱桥底部的两点,且//DE AB ,若DE 的长为36m ,则点E 到直线AB 的距离为______.二、解答题5.(2024·浙江衢州·中考真题)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m,在距离D点6米的E处,测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m,以桥拱顶点O为原点,桥面为x轴建立平面直角坐标系.(1)求桥拱项部O离水面的距离.(2)如图2,桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为1m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.②为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,求彩带长度的最小值.6.如图,某水库上游有一单孔抛物线型拱桥,它的跨度AB为100米.最低水位(与AB在同一平面)时桥面CD距离水面25米,桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD,中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面,拱顶正上方的钢柱EF长5米.(1)建立适当的直角坐标系,求抛物线型桥拱的解析式;(2)在最低水位时,能并排通过两艘宽28米,高16米的游轮吗?(假设两游轮之间的安全间距为4米)(3)由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨,水位最高时比最低水位高出13米,请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米?7.(2024·山西·长治市实验中学九年级期末)景德桥,俗称西关大桥,是我国一座著名的古代石拱桥.景德桥位于山西省东南部的晋城西门外,横跨沁水河,过去,它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁,故曾又名沁阳桥.桥下水面宽度AB是20米,拱高CD是4米,若水面上升3米至EF处.(1)把拱桥看作抛物线的一部分,建立如图1所示的平面直角坐标系,求水面宽度EF.(2)把拱桥看作圆的一部分,则可构造如图2所示的图形,求水面宽度EF.8.(2024·山东即墨·中考一模)即墨古城某城门横断面分为两部分,上半部分为抛物线形状,下半部分为正方形(OMNE为正方形),已知城门宽度为4米,最高处离地面6米,如图1所示,现以O点为原点,OM所在的直线为x轴,OE所在的直线为y轴建立直角坐标系.(1)求出上半部分抛物线的函数表达式,并写出其自变量的取值范围;(2)有一辆宽3米,高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城,请问该消防车能否正常进入?(3)为营造节日气氛,需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD,该“装饰门”关于抛物线对称轴对称,如图2所示,其中AB,AD,CD为三根承重钢支架,A、D在抛物线上,B,C在地面上,已知钢支架每米50元,问搭建这样一个矩形“装饰门”,仅钢支架一项,最多需要花费多少元?9.(·山东青岛·中考真题)某公司生产A 型活动板房成本是每个425元.图①表示A 型活动板房的一面墙,它由长方形和抛物线构成,长方形的长4AD m =,宽3AB m =,抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m .(1)按如图①所示的直角坐标系,抛物线可以用()20y kx m k =+≠表示,求该抛物线的函数表达式;(2)现将A 型活动板房改造为B 型活动板房.如图②,在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ,点G ,M 在AD 上,点N ,F 在抛物线上,窗户的成本为50元2/m .已知2GM m =,求每个B 型活动板房的成本是多少?(每个B 型活动板房的成本=每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本) (3)根据市场调查,以单价650元销售(2)中的B 型活动板房,每月能售出100个,而单价每降低10元,每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B 型活动板房.不考虑其他因素,公司将销售单价n (元)定为多少时,每月销售B 型活动板房所获利润w (元)最大?最大利润是多少?10.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为8米,宽度OM 为16米.现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图1所示).(1)求出这条抛物线的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围;(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带),其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆?请通过计算说明;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ,使A .D 点在抛物线上.B 、C 点在地面OM 线上(如图2所示).为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少,请你帮施工队计算一下.11.(2024·辽宁海城·九年级月考)如图,隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC 构成.矩形一边OA 的长是12m ,另一边OC 的长是1m .抛物线上的最高点D 到地面OA 的距离为7m .以OA 所在直线为x 轴,以OC所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求该抛物线所对应的函数表达式;(2)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度为5m ,求两排灯之间的水平距离;(3)隧道内车辆双向通行,规定车辆必须在中心线两侧行驶,并保持车辆顶部与隧道有不少于1m 3的空隙.现有一辆货运汽车,在隧道内距离道路边缘2m 处行驶,求这辆货运汽车载物后的最大高度.12.(·陕西·子长县齐家湾中学九年级期末)小明将他家乡的抛物线型彩虹桥按比例缩小后,绘制成如下图所示的示意图,图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,x 轴表示桥面,y 轴经过中间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于y 轴对称,经过测算,右边抛物线的表达式为21(30)520y x =--+. (1)直接写出左边抛物线的解析式; (2)求抛物线彩虹桥的总跨度AB 的长;(3)若三条钢梁的顶点M 、E 、N 与原点O 连成的四边形OMEN 是菱形,你能求出钢梁最高点离桥面的高度OE 的长吗?如果能,请写出过程;如果不能,请说明理由.13.(2024·山东黄岛·九年级期末)为促进经济发展,方便居民出行.某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道.抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m,宽度OM为12m.(1)按如图所示的平面直角坐标系,求表示该抛物线的函数表达式;(2)一货运汽车装载某大型设备后高为4m,宽为3.5m.如果该隧道内设双向行车道(正中间是一条宽1m 的隔离带),那么这辆货车能否安全通过?(3)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A,D点在抛物线上.B,C点在地面OM线上(如图2所示).为了筹备材料,需求出“脚手架”三根支杆AB,AD,DC的长度之和的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.14.(2024·福建厦门·九年级期末)某海湾有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下的水面宽为100m(如图所示).由于潮汐变化,该海湾涨潮5h后达到最高潮位,此最高潮位维持1h,之后开始退潮.如:某日16时开始涨潮,21时达到最高潮位,22时开始退潮.该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间t 变化的情况大致如表所示.(在涨潮的5h 内,该变化关系近似于一次函数) 涨潮时间t (单位:h )1 2 3 4 5 6桥下水位上涨的高度(单位:m )4585 1251654 4 (1)求桥下水位上涨的高度(单位:m )关于涨潮时间t (06t ≤≤,单位:h )的函数解析式; (2)某日涨潮期间,某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量,数据如表所示: 涨潮时间t (单位:h ) 5452 154桥下水面宽(单位:m )202420232022现有一艘满载集装箱的货轮,水面以上部分高15m ,宽20m ,在涨潮期间能否安全从该桥下驶过?请说明理由.15.(·河北·中考一模)有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面AB 的宽为18米,拱顶O 离水面AB 的距离OM 为9米,建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求此抛物线的解析式;(2)一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF .①如果限定矩形的长CD 为12米,那么要使船通过拱桥,矩形的高DE 不能超过多少米? ②若点E ,F 都在抛物线上,设L EF DE CF =++,当L 的值最大时,求矩形CDEF 的高.16.(·安徽无为·九年级期末)如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两个小孔形状、大小都相同,正常水位时,大孔水面常度AB=20米,顶点M距水面6米(即MO=6米),小孔水面宽度BC=6米,顶点N距水面4.5米.航管部门设定警戒水位为正常水位上方2米处借助于图中的平面直角坐标系解答下列问题:(1)在汛期期间的某天,水位正好达到警戒水位,有一艘顶部高出水面3米,顶部宽4米的巡逻船要路过此处,请问该巡逻船能否安全通过大孔?并说明理由.(2)在问题(1)中,同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过,小船的船顶高出水面1.5米,顶部宽3米,请问小船能否安全通过小孔?并说明理由.17.(2024·贵州安顺·中考真题)甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①,甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱内的水面宽8m OA =,桥拱顶点B 到水面的距离是4m .(1)按如图②所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的函数表达式;(2)一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时,桥下水位刚好在OA 处.有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾,他的头顶是否会触碰到桥拱,请说明理由(假设船底与水面齐平);(3)如图③,桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠,该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度,平移后的函数图象在89x ≤≤时,y 的值随x 值的增大而减小,结合函数图象,求m 的取值范围.。
二次函数拱桥专题
二次函数拱桥专题1.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ,水面宽4m .如图(1)请建立合适的平面直角坐标系,(1)求抛物线的关系式;(2)水面下降1米,则水面宽度增加了多少米。
2.图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m ,拱桥的跨度为10m ,桥洞与水面的最大距离是5m ,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图2).(1)求抛物线表达式.(2)求两盏景观灯之间的水平距离.分析:本题是以古拱桥的截面图为抛物线形状编拟的一道试题.求抛物线所对应的二次函数表达式的关键是找到抛物线上点的坐标,设出恰当的表达式.解:(1)由题意可得抛物线的顶点坐标为(55),,与y 轴的交点坐标是(01),. 设抛物线所对应的二次函数表达式是2(5)5y a x =-+.把(01),代入2(5)5y a x =-+,得425a =-. 所以24(5)5(010)25y x x =--+≤≤. (2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4. 所以244(5)525x =--+.所以24(5)125x -=. 解得1152x =,252x =. 所以两景观灯间的距离为1555(m)22-=.3.隧道截面由抛物线和长方形构成,长方形长是8m,宽2m,抛物线用y=-x2+4表示.(1)一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧道吗?(2)如果隧道内设双行道,那么这辆货运车是否可以通过?(3)为安全起见,你认为隧道应限高多少比较适宜?为什么?4.如图是抛物线拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽46米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时水面宽43米,若洪水到来时,水位以每小时0.25米速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?5.有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20m.水位上升3m,就达到警戒线CD,这时,水面宽度为10m.(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的表达式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到拱桥顶?。
二次函数题如图是某河上一座古桥的截面图拱桥洞上沿是抛物线形状的
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1.如图所示是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1M,拱桥的跨度为10M,桥洞与水面的最大距离5M,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4M的景观灯,若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中
(1)求抛物线解析式
(2)求两盏景观灯之间的水平距离
思路:如图建立平面直角坐标系,根据图示的的数据得出顶点、与y轴的交点的坐标,
从而求出解析式
解:
(1)
如图建立平面直角坐标系,抛物线的顶点坐标为(5,5),与y轴交点坐标是(0,1)
设抛物线的解析式是y=a(x-5)2+5
把(0,1)代入y=a(x-5)2+5得a=-4 25
∴y=-4
25
(x-5)2+5(0≤x≤10)
(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4
∴4=-4
25
(x-5)2+5 ∴
4
25
(x-5)2=1
∴x1=15
2
x2=
5
2
∴X1-X2=15
2
-
5
2
=5,
∴两景观灯间的距离为5米.。
拱桥问题
2.4 二次函数的应用
一 利用二次函数解决拱桥问题 例1 要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场,现 知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通 过,需要把水面下降1 m,问此时水面宽度增加多少?
y
O
x
(-2,-2) ●
4米 -3
● (2,-2)
y O
解:建立如图所示坐标系, 2 y ax . 设二次函数解析式为
池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不落到池外?
A
1.25米 O
解:建立如图坐标系,设抛物线顶点 y B 为B,水流落水处与x轴交于C点.
由题意可知A( 0,1.25)、
A 1.25 O C x B( 1,2.25 )、C(x0,0). 设抛物线为y=a(x-1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入,得a= - 1; ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 当y= 0时, x1= - 0.5(舍去), x2=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米.
抛物线经过点(450,81.5),代入上式,得
81.5=a•4502+0.5.
解得
y
a 81 1 4502 2500
y
故所求表达式为
1 x 2 0.5(450 x 450) 2500
-450
O
450
x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索
的长. 解:当x=450-100=350(m)时,得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450-50=400(m)时,得
y 1 4002 0.5 64.5( x
知识要点 解决拱桥问题的一般步骤
二次函数之拱桥问题
道滘中学DDBB
• 1、如图,桥拱是抛物线形,其函数解 析式为当水位线在如图所示位置时, 水面宽AB=12m,这时水面离桥顶的高 度h是( D ) A、3m B、2m C、4m D、9m
• 2、一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所 示,现测得,警戒水位时水面宽AB=2m,涵 洞顶点与水面的距离为4m,现因洪水暴涨, 水面从警戒水位上升了2m,,此时,涵洞宽 DE是多少?
,得
1 -2 -1 1 -1 2
-2
-3
解得 x1 6, x2 6
水面的宽度
x 6
1 2 3 x 2 2
2 6 4 水面下降1cm,水面宽度增加____________m.
2x 2 6 m
• 4、下图是抛物线拱桥,当水 面在L时,拱顶离水面2 m,水 面宽8m,水面上升0.75 m, 水面宽度减少多少?
8
• 5、如图,有一抛物线拱桥,已知水位在AB 位置时,水面的宽为6米;水位上升1米, 就达到警戒线CD,这时的水面宽为4米, • (1)求抛物线的解析式。 • (2)若洪水以每小时上升0.2米的速度到来, 求几小时后水面从警戒线涨到拱桥顶端M处?
• 6、例2如图,隧道的截面由抛物线AED和矩 形ABCD构成,矩形的长BC为8 m、宽为2m, 以BC所在的直线为x轴,线段BC的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系,y轴是抛物线的对 称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6 m。 • (1)求抛物线的解析式。 • (2)如果该隧道内设双行道,现有一辆货运 卡车高4.2 m、宽2 m,这辆货运卡车能否通 过隧道?通过计算说明你的结论。
y O x
D
E
A
B
• 3、例1、图中是抛物线拱桥, 当水面在L时,拱顶离水面2 m, 水面宽4m,水面下降1 m,水 面宽度增加多少?
二次函数的应用-拱桥类问题
如图,公园要建造 一个圆形喷水池, B A 在水池中央O处安装 一根垂直于水面的柱 子OA,OA=1.25米, C 水流由柱子顶端A处 O 的喷头向外喷出,从 各个方面呈完全相同 的抛物线形状落下。为使水流形状看起来较为 美观,设计要求水流与柱子OA的距离为1米处 到最高点,这时距水面的最大高度为2.25米。 如果不计其他因素,那么水池的半径至少是 多少米时,才能使喷出的水流不落到池外?
二次函数的应用-拱 桥类问题
拱桥问题
引例.一座抛物线型拱桥如图所示, 引例.一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是 4m,拱高是2m.当水面下降1m后 水面的宽度是多少? 拱高是2m.当水面下降1m 4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面) ●B(X,-3)
如图,某公司的大门呈抛物线型,大门地面宽 AB为4米,顶部C距地面的高度为4.4米。 C O (1)在离门角A1米处垂直于地面立起 一根木杆,其顶端恰好顶在抛物线型 D E 大门上的点D处,求木杆的高度。 (2)一辆满载货物的汽车欲通过 A B 大门,货物顶部距地面2.65米,装货宽 度为2.4米,那么这辆汽车能否顺利通过大门? (3)如果装货宽度为2.4米的汽车能顺利通过大 门,那么货物顶部距地面的最大高度是多少? (精确到0.01) (4)如果大门内的路面为双车道,那么一辆宽为 1米、高为1.5米的汽车能否通过?
人教版九年级上册数学实际问题与二次函数——拱桥问题训练
5.如图所示,桥拱是抛物线形,其函数的表达式为y=﹣ ,当水位线在AB位置时,水面宽12m,这时水面离桥顶的高度为()
A.3mB. mC.4 mD.9m
6.吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距P地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高为(精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)()
12.某涵洞的截面是抛物线型,如图所示,在图中建立的直角坐标系中,抛物线的解析式为 ,当涵洞水面宽 为 米时,水面到桥拱顶点 的距离为________米.
13.如图,花坛水池中央有一喷泉,水管 ,水从喷头 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最高点距水面 , 距抛物线对称轴 ,则为使水不落到池外,水池半径最小为________.
18.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m水面CFra bibliotek的宽是10m.
(1)求此抛物线的函数表达式.
(2)在正常水位时,有一艘宽8m、高2.5m的小船,它能通过这座桥吗?
(3)现有一艘船以每小时5km的速度向此桥径直驶来,当船距此桥35km时,桥下水位正好在AB处,之后水位每小时上涨0.25m,当水位在CD处时,将禁止船只通行.如果该船按原来的速度行驶,能否安全通过此桥?
参考答案:
1.C
2.D
3.C
4.A
5.D
6.B
7.B
8.B
9.
10.16
11.
12.
13. 米
14.6
15.
16. .
17.(1)抛物线的表达式 ,支柱EF的长度是5.5米
二次函数(拱桥)
0
6.4二次函数的应用 3
y
(桥孔问题)
x
o
问题1:一座抛物线形拱桥,桥下的水面离桥孔顶 部3m时,水面宽6m。
(1)试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线 拱桥对应的函数关系式 (2)当水位上升1m时,水面宽多少?
(3)一艘装满防汛器材的船在这条河流中航 行,露出水面的部分高0.5m,宽为4m,当水位上 升1m时,这艘船从桥下能通过吗?
3m 6m
y y y
o
x
o
x
0
x
一座抛物线形拱桥如图所示,拱顶离水面 2m,水面宽4m,当水面下降当水面在L时,拱桥离水面2米,水面宽4米,
有一艘顶部宽3米,高出水面1.5米的小船,问: 这艘小船能顺利通过这座桥吗?若不能通过,水 面至少下降多少米后才能通过?
小结:
1.通过建立平面直角坐标系求函数关系式;
运用 抽象 2.实际问题 数学问题 问题得解 转化 数学知识 返回解释 检验
b a
?
3米 2米
y=-0.5
3>2
水面下降多 少米呢?
PASS
拓展 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如 图所示,大门地面宽 AB=4m,顶部 C离地面高 度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大 门 , 货 物 顶 部 距 地 面 2 . 8m , 装 货 宽 度 为 2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.
4、二次函数应用(拱形桥、抛物)
抛物、拱形建筑实际问题一、拱形桥问题例题1 如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是 .2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门地面宽为4m,顶部距离地面的高度为4.4m,现有一辆满载货物的汽车欲通大门,其装货宽度为2.4m,该车要想过此门,装货后的最大高度应是多少m?【思路点拨】因为大门是抛物线形,不妨将这一问题转化为二次函数进行研究,建立适当的直角坐标系,将已知数据转化为点的坐标,从而确定函数关系式,再根据关系式求高.3、一座桥如图,桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米.要使高为3米的船通过,则其宽度不超过多少米.(1)如图1,若把桥看做是抛物线的一部分,建立如图坐标系.①求抛物线的解析式;②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?2、座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m, 拱高是2m .(1)求此拱桥所在的抛物线的函数关系式(2)当水面下降1m后,水面的宽度是多少?2、一座抛物线拱桥梁在一条河流上,这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m时,水面宽6m,当水位上升1m时,水面宽为多少?(精确到0.1m)。
一艘装满防汛器材的船在此河流中行,露出水面得高为0.5m、宽为4m,当水位上升1 m时这艘船能从桥下通过吗?3有一座抛物线形拱桥,正常水位桥下面宽度为20米,拱顶距离水平面4米,如图建立直角坐标系,若正确水位时,桥下水深6米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18米,则当水深超过多少米时,就会影响过往船只的顺利航行_________.4.有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式;(2)设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.5.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB时,宽20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10m.(1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到达拱桥顶?6.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20米,如果水位上升3米,则水面CD的宽是10米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)当水位在正常水位时,有一艘宽为6米的货船经过这里,船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽).问:此船能否顺利通过这座拱桥?7.如图,河上有一座抛物线桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部3m时,水面宽AB为6m,当水位上升0.5m 时:(1)求水面的宽度CD为多少米?(2)有一艘游船,它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚,此船正对着桥洞在上述河流中航行.①若游船宽(指船的最大宽度)为2m,从水面到棚顶的高度为1.8m,问这艘游船能否从桥洞下通过?②若从水面到棚顶的高度为m的游船刚好能从桥洞下通过,则这艘游船的最大宽度是多少米?8.如图,河道上有一座抛物线型拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面为8m,拱圈内水面宽16m.,为保证安全,要求通过的船顶部(设为平顶)与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m.(1)一条船船顶部宽4m,要使这艘船安全通过,则船在水面以上部分高不能超过多少米?(2)近日因受台风影响水位暴涨2.7m,为此必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:一艘顶部宽m,在水面以上部分高为4m的船船身应至少降低多少米才能安全通过?9如图所示,是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称,隧道拱部分BCB1为一条抛物线,最高点C离路面AA1的距离为8米,点B离路面为6米,隧道的宽度AA1为6米.(1)求隧道拱抛物线BCB1的函数解析式.(2)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽度为4米,车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米,它能否通过这个隧道?请说明理由.10如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可以用y=-x2+4表示.(1)一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧道吗?(2)如果隧道内设双行道,那么这辆货运车是否可以通过?(3)为安全起见,你认为隧道应限高多少比较适宜?为什么?二、抛物问题1.如图,铅球的出手点C距地面1米,出手后的运动路线是抛物线,出手后4秒钟达到最大高度3米,则铅球运行路线的解析式为__________.2.如图所示,一个运动员推铅球,铅球在点A处出手,出手时球离地面约.铅球落地点在B处,铅球运行中在运动员前4m处(即OC=4)达到最高点,最高点高为3m.已知铅球经过的路线是抛物线,根据图示的直角坐标系,你能算出该运动员的成绩吗?3.如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=﹣x2+3.5运行,然后准确落入篮框内.已知篮框的中心离地面的距离为3.05米.(1)球在空中运行的最大高度为多少米?(2)如果该运动员跳投时,球出手离地面的高度为2.25米,请问他距离篮框中心的水平距离是多少?4.如图所示,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高m,与篮圈中心的水平距离为7 m,当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m.设篮球的运动轨迹为抛物线,篮圈距地面3 m.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并判定此球能否准确投中?(2)此时,若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为2.9 m,那么他能否获得成功?5.在一场篮比赛中,甲球员在距篮4米处跳投,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.75米,然后球准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)乙球员身高为1.91米,跳起能摸到的高度为3.15米,此时他上前封盖,在离投篮甲球员2米处时起跳,问能否成功封盖住此次投篮?(3)在(2)条件下若乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮,他离甲球员的距离至多要多少米?6.杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分,如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由.7.如图,一位篮球运动员在距篮球筐下4米处跳起投篮,球的运行线路为抛物线,当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度3.5米,然后准确地落入篮筐,已知篮圈中心到地面的高度为3.05米,该运动员的身高为1.8米,在这次投篮中,球在该运动员的头顶上方0.25米处出手,则当球出手时,该运动员离地面的高度为多少米.8.如图,一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,篮筐中心到地面距离为3.05米,建立坐标系如图.该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,他跳离地面的高度为0.2米,问这次投篮是否命中,为什么?若不命中,他应向前(或向后)移动几米才能使球准确命中?9.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面10米,入水处距池边的距离为4米,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式;(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3.6米,问此次跳水会不会失误?10.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段,已知跳水板AB长为2m,跳水板距水面CD的高BC为3m,CE=5m,CF=6m,为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点hm(h≥1)到达距水面最大高度4m,规定:以CD为横轴,CB为纵轴建立坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内如水时才能达到压水花的训练要求,求达到压水花的训练要求时h的取值范围.11.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水板AB长为2m,跳水板距水面CD的高BC为3m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m.规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h的取值范围.12.要修一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?13.某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示.14.如图所示,公园要建造圆形的喷水池,水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端A处喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.(1)若不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不能落到池外?(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达多少米?。
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二次函数的应用-拱桥问题
一、自学:
1
1、抛物线y= —X的顶点坐标是______ ,对称轴是_______ ,开口向_______ ;抛物
4
线y=-3x 1 2 3的顶点坐标是____ ,对称轴是_______ ,开口向_____ .
2、图所示的抛物线的解析式可设为____________ ,若AB// x轴,且AB=4, OC=1
则点A的坐标为_______ ,点B的坐标为______________ ;代入解析式可得出此抛物线的解析
式为____________ 。
3、某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m涵洞顶点
到水面的距离为1m,于是你可推断点 A的坐标是 _______________ ,点B的坐标
为_____________ ;根据图中的直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数解析式可
设为。
练习.如图,有一座抛物线型拱桥,已知桥下在正常水位AB时, 水面
宽8m水位上升3m 就达到警戒水位CD这时水面宽4m 若洪水到来时,
水位以每小时 0.2m的速度上升,求水过警戒水位后几小时淹到桥拱
顶.
二、探索学习:
例题:有一座抛物线拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20米,拱顶距离
水面4米.
2 女口图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式:
3 设正常水位时桥下的水深为2米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18米。
求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行.
三、当堂练习:
1河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所示的坐标系,其函数的解析式为
y=
1 2
x ,当水位线 在AB 位置时,水面宽AB = 3 0米,这时水面 离桥 顶的高度h 是() 25
A 5 米
B 、6 米;
C 、8 米;
D 、9 米
2、一座抛物线型拱桥如图所示 ,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽 度是多少?(结果精确到0.1m ).
3、一个涵洞成抛物线形,它的截 面如图,现测得,当水面宽 AB= 1 .6 m 时,涵洞顶点与水
4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽 AB=4m 顶部C 离地面高
度为4. 4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面 2. 8m,装货宽度为
2. 4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.
面的距离为2.4 m .这时,离开水面
1.5 m 处,涵洞宽
5、如图是抛物线形的拱桥,当拱顶离水面 2米时,水面宽4米。
(1) 建立如图所示的平面直菜坐标系,求抛物线的解析式; (2) 如果水面宽2 6米,则水面下降多少米
1m 的A 处飞出(A 在y 轴上),运动员乙在距 0点6m 的B 处发现球在自己头的正上方达到最 高点M 距地面约4m 高•球第一次落地后又弹起•据试验,足球在草坪上弹起后的抛物线 与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式; (2)运动员乙要抢到第二个落点
D 他应再向前跑多少米 ?(取4 3 7 , 2,6 5)
6、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时, 身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所 示坐标系下经过原点 0的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,
2
正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面
102
米,入水处距池边的距离为 4米,运动员
3
在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作, 并调整好入水姿势, 否则就会出现失
误.
(1) 求这条抛物线的解析式; (2)
在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(
1)中的抛物线,且运动员在空中完
成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时,距池边的水平距离为
33
米,问此次跳水会不会失
5.如图,足球场上守门员在 0处开出一高球,球从离地面
y l 1
4
£ 1
O
S C D x
5 误?并通过计算说明理由.
7、如图,排球运动员站在点 0处练习发球,将球从0点正上方2m的A处发出,把球看成点,
2
其运行的高度y (与运行的水平距离 x(m)满足关系式y=a(x-6) +h.已知球网与0点的水
平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距 0点的水平距离为18m>
(1 )当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;
(3)若球
8、如果水面宽为 2\ 6米,则水面下降多少米
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