理论力学 动力学 第4章 (西安交大)PPT课件

m
v
2 C
( mivir) vC (mvCr) vC
Tr
0
T
mvC2 2
Tr
质点系在绝对运动中的动能,等于它随质心一起平
动时的动能,加上它在以质心速度做平动的坐标系
中相对运动的动能。这就是柯尼西定理。
计算刚体的动量、动量矩、动能 匀质杆,质量为m ,长为L,以角速度ω 绕O 轴转动。
计算刚体的动量、动量矩、动能
T1 2mivi21 2mivi2
3、刚体运动的动能
平动刚体的动能 T1 2m ivC 2v2C 2m i 1 2mvC 2
平动刚体的动能，等于刚体的质量与 质心速度平方乘积的一半。
定轴转动刚体的动能
T
12mivi2
1 2
miri22
12 2
miri2
T
1 2
Jz2
T
1 2
Jz2
A
vi
C
riP
rc
vC
P
JP JCmrC2
T12(JCmrC2)2 12mvC212JC2
平面运动刚体的动能,等于它以质心速度作平动
时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和。
上面结论是否也适用于刚体的任意运动？
质点系的质心：C,
平动坐标系:Cx y z
vi = vc + vir
Tmivi2 mivi vi
T2 4 3m1[(r1r2)]2
已知滑块A的质量为m1，质点B的质量为m2 , AB杆的
长度为l、不计质量，以角速度ωAB绕A点转动，滑块
的速度为vA。求系统的动能。
m1 A
θ
vA l ωAB
滑块A的动能
T1
1 2
m1vA2
质点B的动能
T2
1 2
m2vB2
vBAlAB
B vBA
vBAx lABcos
W 1 2r 1 r 2 k (r l0 )d r 1 2 k (r 1 l0 )2 (r 2 l0 )2
W1 212k(12 22)
思考例：弹簧AB两端固定如图，原长为L0=R，刚 性系数为k，若AB=2R，DE=R。当弹簧中点由D移
AO杆的质量为 m ，角速度为 ω ，求系统的动能。

vA
T1
1 2
JO 2 ,
T21 2m1vA21 2JA12
ω
vA(r1r2) 1
r1 r2
r1
r2
O
ω1
A
C r1
Ⅰ
T 11 2JO21 2[1 3m (r1r2)2] 2
Ⅱ
T 2 1 2 m 1 [r 1 ( r 2 )]2 1 2 (1 2 m 1 r 1 2 )r 1 ( r 1 r 2 )2
第四章 动能定理
§4-1 动能 §4-2 力的功 §4-3 动能定理 §4-4 功率、功率方程、机械效率 §4-5 普遍定理的综合应用
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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定轴转动刚体的动能，等于刚 体对转轴的转动惯量与其角速 度平方乘积的一半.
思考题
A，B两轮质量相同，以相同的角速度ω绕圆心O转动。
A轮为匀质圆盘、B轮质心在C点.两轮动能是否相同？
O ω
A
e O
C
ω
B
平面运动刚体的动能
T
1 2
mivi212mi(riP)2
12
2
miriP2
1 2J
2
P
根据转动惯量的平行轴定理有
m2
vA vBAy lABsin
v B 2 (v A lAc Bo )2 s (lAsB i)2 n
y
y´
O
m1 A
vA
x´
x
θ C l ωAB
B
m2
r
思考题
已知滑块A的质量为 m1；匀质杆AB的长度为l、 质量为m2，以角速度ωAB绕 A点转动。圆盘B的 质量为m3 , 半径为r，与杆固连；滑块的速度为 vA，求系统的动能。
δ W F co sd s δWFdr
F Fxi Fy j Fzk dr dxi dyj dzk
W F xdxF ydyF zdz
W 1 2 M M 1 2δ W M M 1 2F · d r
2．常见力的功 （1）重力的功
z2
W 12 mgdmz(g z1z2)
z1
对于质点系
W 1 2m (zC g 1 zC)2
2
2
z
z'
vir
A
vi
rir
C
vC y'
rC
O x'
vC
y
x
m i(vCvir)(vCvir) 2
m 2 iv C v C m iv C v ir m 2 iv irv ir
T m 2 iv C v C m iv C v ir m 2 iv irv ir
1 2
(
m
i
)
v
2 C
1 2
＝ v0/r ,履带上各点的相对速度
均为v0 。
y'
v0
v0 C1
r x' C2
d
解：应用柯希尼定理，全部履带的总动能为
TTe Tr 1 2(2 2 π dr)v0 21 2(2 2 π dr)v0 2
2v02(dπr)
§4-2 力的功
1．功的概念 力在路程上的累积效应。
在一无限小位移中力所做的功称为元功
有结论
（1）重力的功等于重力与重心高度降的乘积。 （2）重力的功与运动路径无关。 （3）重心下降，重力作正功；否则，重力做负功。
（2）弹性力的功
弹 簧 力 :Fk(rl0)rr
W 1 2M M 1 2F d rM M 1 2 k(r l0)r rd r
rdrd(rr)d(r2)dr
r
2r 2r
例题 坦克或拖拉机履带单位长度质量为ρ ，轮的半径 为r，轮轴之间的距离为d，履带前进的速度为v0 。求 ：全部履带的总动能。
解：在C1C2杆上 建立动系C1x´y´。
y'
v0
v0 C1
r x' C2
d
牵连运动为平动，牵连速度为 v0, 相 对 运 动 为 绕 在 两 个 圆 轮 上 履带的运动。圆轮的角速度为ω
质量为m ，半径为R 的匀质圆盘，以角速度绕垂
直于图面的O 轴转动。
O（C）
Pmvc mR
C O
计算刚体的动量、动量矩、动能
质量为m ，半径为R 的匀质圆轮，
C
以角速度沿直线轨道纯滚动。
pmcvm R
Lc Jc1 2m2R 1 2mR c v T1 2mc2v1 2Jc24 3mc2v
练习题
系 统 如 图 所 示 ， 轮 Ⅰ 的 质 量 为 m1 ， 纯 滚 动 ，
§4-1 质点系和刚体的动能
动能是一非负的标量，只取决于各质点速度的大小， 而与方向无关。
1. 质点的动能 质点动能 :1m 为2v 2
质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。
国际单位制中，动能的常用单位是 kg·m2/s2，即J
2. 质点系的动能
T
n i 1
1 2
mi
vi
2
质点系的动能