年上海市普陀区高三数学一模卷【附答案】

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普陀区高三数学一模试卷

普陀区高三数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(1)的值为（）A. 3B. -3C. 1D. -12. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}3. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标为（）A. (-1.5, 0)B. (1.5, 0)C. (-3, 0)D. (3, 0)4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3，则a_5的值为（）A. 17B. 14C. 11D. 85. 若复数z = 1 + i，则|z|的值为（）A. √2B. 2C. 1D. √36. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0，该圆的半径为（）A. 10B. 8C. 6D. 47. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. -23B. 23C. -5D. 58. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）9. 已知函数f(x) = x^3 - 9x，求导数f'(x) = ________。

10. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(2, -3)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为 ________。

11. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n + 1，求a_3的值为________。

12. 已知函数y = ln(x+1) - 2x，求导数y' = ________。

三、解答题（本大题共3小题，共40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

普陀区一模高三数学试卷

普陀区一模高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为1，4，7，则该数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数y = 2x - 3与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0)B. (3, 0)C. (-3/2, 0)D. (0, -3)4. 已知圆心在原点，半径为5的圆的方程为（）A. x^2 + y^2 = 25B. x^2 + y^2 = 16C. x^2 + y^2 = 9D. x^2 + y^2 = 495. 已知抛物线y^2 = 4px（p > 0）的焦点坐标为（）A. (p, 0)B. (-p, 0)C. (0, p)D. (0, -p)6. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，直线m的方程为x - y + 3 = 0，直线l与直线m的交点坐标为（）A. (-1, -3)B. (1, 3)C. (-1, 1)D. (1, -1)7. 已知复数z = 1 + i，那么|z| =（）A. √2B. 2C. √3D. 18. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. 4B. -1C. 1D. 79. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，那么f'(x) =（）A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x - 2C. x^2 - 6x + 2D. x^2 - 6x - 210. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(-1) = 0，f(1) = 0，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

普陀区一模高三数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = 1/xD. f(x) = x^32. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 2，f(-1) = -2，则f(0)的值为（）A. 0B. 2C. -2D. 43. 在等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 254. 下列复数中，是纯虚数的是（）A. 3 + 4iB. 3 - 4iC. 4 + 3iD. 4 - 3i5. 若log2x + log4x = 3，则x的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 166. 已知等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则第n项an的值为（）A. 2×3^(n-1)B. 6×3^(n-1)C. 6×3^(n-2)D. 2×3^(n-2)7. 已知圆C：x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，则圆心坐标为（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (1, -2)D. (-2, 1)8. 若向量a = (2, 3)，向量b = (3, -2)，则向量a·b的值为（）A. 12B. -12C. 6D. -69. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 3x + 1B. 2x < 3x + 1C. 2x ≥ 3x + 1D. 2x ≤ 3x + 110. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. 3x - 3D. 3x + 3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若log2(3x - 1) = 2，则x = ________。

2019-2020学年上海市普陀区高考数学一模试卷

上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= ． 2．（4分）若，则= ．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为．祝您高考马到成功！二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 216．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A ．4B ．5C ．7D ．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．祝您高考马到成功！18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式；（2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．祝您高考马到成功！20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当时，求△F 1MN 的面积；（3）当时，求直线F 2N 的方程．21．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．祝您高考马到成功！上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= {1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}， ∴∁U A={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ﹣1 ．【解答】解：∵方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ﹣84 ．【解答】解：二项展开式的通项=，祝您高考马到成功！由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为 [0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x ＜1或1＜x ≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为 [﹣1，3] ．【解答】解：∵=sinx +cosx +1=2sin （x +）+1，∵sin （x +）∈[﹣1，1]，∴f （x ）=2sin （x +）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【解答】解：，设z=a +bi ，则z ×2i ﹣（1+i ）=0，即（a +bi ）×2i ﹣1﹣i=0，则2ai ﹣2b ﹣1﹣i=0，∴﹣2b ﹣1+（2a ﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i ，则=+i ，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．祝您高考马到成功！8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ﹣2 ．【解答】解：数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），可得n=1时，a 1=S 1=﹣3+2+1=0；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣3n 2+2n +1+3（n ﹣1）2﹣2n +2﹣1=﹣6n +5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 16 ．【解答】解：直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则：，所以：2x 2﹣10x +9=0，则：x 1+x 2=5，，则：x 1y 2+x 2y 1=x 1（5﹣x 2）+x 2（5﹣x 1），=5（x 1+x 2）﹣2x 1x 2，=25﹣9， =16．故答案为：16．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 15 ．【解答】解：根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A 44=24个，假设不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则a 1可以在第2、3、4位置，有3种情况，祝您高考马到成功！假设a 1在第二个位置，则a 1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a 3、a 4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 [0，6] ．【解答】解：以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），B （，0），C （，），∵，不妨设M （cosθ，sinθ）， ∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ）， ∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin （θ+），∵﹣1≤sin （θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin （θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]祝您高考马到成功！12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为 ①② ．【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f （x ）的图象关于原点对称，即有f （x ）为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x ，可得f （x ）的图象的渐近线为x=0和y=±x ，图象关于直线y=x 对称，可得f （x ）的图象过点，或，由对称性可得f （x ）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；祝您高考马到成功！f （x ）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f （x ）的值域不是；f （x ）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f （x ）的值域也不是．故③不对；当f （x ）的图象位于一三象限时，f （x ）的图象与直线y=x 有两个交点，函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；当f （x ）的图象位于二四象限时，f （x ）的图象与直线y=x 没有交点，函数y=f （x ）﹣x 没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，祝您高考马到成功！则有===，则方程组的解有无数个；故选：C ．14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m ＞0，∴函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |，∵f （0）=0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |在区间（0，+∞）上为增函数，f （0）=0，∴m ∈R ，∴“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A ．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 2 【解答】解：设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S=2（ab +bc +ac ）≤（a +b ）2+（b +c ）2+（a +c ）2，当且仅当a=b=c 时上式“=”成立．由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，祝您高考马到成功！用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm 2）．故选：C ．16．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A ．4B ．5C ．7D ．8【解答】解：∵函数，且f （x ﹣1）=f （x +1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f （x ）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f （x ）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f （x ）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f （x ）=g （x ）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f （x ）和y=g （x ）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于（2，3）中心对称，祝您高考马到成功！∴x 1+x 3=4，x 2=1，故x 1+x 2+x 3=5．故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2， ∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．∴PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），P （0，0，），D （0，﹣，），B （0，1，0），C （1，0，0）， =（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），祝您高考马到成功！设异面直线PB 与CD 所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB 与CD 所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？祝您高考马到成功！【解答】解：（1）由总成本p （x ）=+x +150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m （60﹣m ）=﹣160m 2+9600m ，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300=144000． ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式；祝您高考马到成功！（2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin （）=，且0＜C ＜π，解得：C=，△ABC 面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，c=2，所以：20=（a +b ）2﹣3ab ，解得：a +b=4，所以：．20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当时，求△F 1MN 的面积；祝您高考马到成功！（3）当时，求直线F 2N 的方程．【解答】解：（1）点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，∴a=t ，c=t ，∵椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，∴a ﹣c=t ﹣t=2﹣2，解得t=2， ∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，可设N （2cosθ，2sinθ）， ∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵， ∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin 2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1， ∴N （0，2）， ∴=（﹣2，2）， ∴k==﹣1， ∵向量与向量平行，∴直线F 1M 的斜率为﹣1， ∴直线方程为y=﹣x ﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M （﹣，）， ∴|F 1M |==，祝您高考马到成功！点N 到直线直线y=﹣x ﹣2的距离为d==2， ∴△F 1MN 的面积=|F 1M |•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴λ（x 1+2）=x 2﹣2，y 2=λy 1， ∴x 2=λx 1+2（λ+1） ∵+=1，∴x 22+2y 22=8，∴[λx 1+2（λ+1）]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x 1=8，∴4λ（λ+1）x 1=（1﹣3λ）（λ+1）， ∴x 1==﹣3，∴y 12=4﹣， ∴||2=（x 1+2）2+y 12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0 解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x 1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y 12=4﹣=2﹣==，祝您高考马到成功！∴y 1=，∴k ==﹣，∴直线F 2N 的方程为y ﹣0=﹣（x ﹣2），即为x +y ﹣2=021．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．【解答】解：（1）（n ∈N *），可得n=1时，T 1+=﹣b 1=﹣T 1，解得b 1=﹣，T 2+=b 2=﹣+b 2+=b 2，T 3+=﹣b 3=﹣+b 2+b 3+，即b 2+2b 3=，T 4+=b 4=﹣+b 2+b 3+b 4+，即b 2+b 3=，解得b 2=，b 3=﹣，同理可得b 4=，b 5=﹣，b 6=，b 7=﹣， …，b 2n ﹣1=﹣，d=a 5=b 2，可得d=a 1+4d=，祝您高考马到成功！解得a 1=﹣，d=，a n =，P 6={x |a 4＜x ＜a 9}（k ∈N *，k ≥3）={x |0＜x ＜}，则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；（2）证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，可得S n +1﹣2λa n +1≥S n ﹣2λa n ，即为≥，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），且a 1=﹣，d ＞0，可得P k 中的元素大于﹣1，则对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=﹣，H 3=T 1+T 2+T 3=﹣，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=﹣，H 7=﹣+0﹣=﹣，…，H 2n ﹣1=H 2n ﹣3+b 2n ﹣1，（n ≥2），当k=3时，P 3={x |a 1＜x ＜a 6}={x |﹣＜x ＜}，当k=4时，P 4={x |a 2＜x ＜a 7}={x |﹣＜x ＜}，当k=5时，P 5={x |a 3＜x ＜a 8}={x |﹣＜x ＜1}，当k=6时，P 3={x |a 4＜x ＜a 9}={x |0＜x ＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k 的值为3，4．祝您高考马到成功！。

2020-2021年上海高三普陀数学一模试卷(答案)

1普陀区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2020.12.16考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.若集合{01},{(1)(2)0,R},A xx B x x x x =<≤=−−≤∈∣∣则 A B ⋃=_______;【答案】(]0,2【解析】(]0,1A =,[]1,2B =,则(]0,2A B ⋃=2.函数2(0)y x x =≥的反函数为_______;【答案】())10f x x −=≥【解析】2y x x y =→=→=第一步，())10f x x −∴=≥3.若2παπ<<且1cos ,3α=−则tan α=_______;【答案】【解析】1cos 3α=−代入到22sin cos 1αα+=当中，解得28sin 9α=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3α∴=，求得sin tan cos ααα==4.设无穷等比数列{}n a 的各项和为2,若该数列的公比为1,2则3a =_______; 【答案】14【解析】由题意得，11112211112a a a a q ===⇒=−−，23114a a q ∴=⋅= 5.在81x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的二项展开式中4x 项的系数为_______;【答案】28【解析】81x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭二项展开式是()88218811rr r r r r r T C x C x x −−+⎛⎫=⋅−=⋅− ⎪⎝⎭杨浦数学教研团队2令2r =，求得()224438128T C x x =−=6.若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为_______;【答案】2【解析】=∴球的半径为2R =3344=3322V R ππ⎛⎫∴⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭球 7.若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心，长半轴为半径，则圆C 的方程为_______;【答案】()22216x y −+=【解析】由题意得，椭圆的右焦点为()2,0F ，半长轴为4a = 圆的方程为()22216x y −+=8.一个袋中装有同样大小质量的10 球，其中2个红色、三个蓝色、5个黑色。

上海市普陀区2023届高考一模数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2. 若复数满足，则（）A ．2B．C ．3D ．53.已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（）A ．存在平面与直线垂直B ．四边形可能是正方形C ．不存在平面与直线平行D ．任意平面与平面垂直5.设，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分䀠不必要条件6. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）．A．B．C．D．7. 设集合，，则（）A．B．C．D．8. 已知集合，，则（）A．B．C．D．9. 已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（）A．B ．4C．D ．610. 已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（）A．B．C．D．11. 已知函数f (x )是定义在(-∞， 0)∪(0，+∞)上的偶函数，当x >0时，.下说法正确的是（）上海市普陀区2023届高考一模数学试题上海市普陀区2023届高考一模数学试题三、填空题四、解答题A ．当2<x ≤4时，B．C ．存在x 0∈(-∞，0)∪(0，+∞)，使得f (x 0)=2D ．函数g (x )=4f (x )-1的零点个数为1012.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（）A．B．C ．事件与事件相互独立D．13. 已知，且，则等于______．14. 已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C 交于D ，E两点，，则的周长是________________．15. 设全集为，集合，，则___________.16. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B 点时，A点的切线也随着转动到B 点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B 越接近A ，即越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率．（其中y ＇，y ＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆在处的曲率；(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．17. 年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作，记作，记作，记作，例如：，记作时刻.(1)估计这辆车在时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这辆车中抽取辆，再从这辆车中随机抽取辆，设抽到的辆车中，在之间通过的车辆数为，求的分布列；(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻服从正态分布，其中可用日数据中的辆车在之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（经计算样本方差为）.假如日上午这一时间段内共有辆车通过该收费站点，估计在之间通过的车辆数（结果保留到整数）附：；若随机变量服从正态分布，则，，.18. 已知为数列的前n项和，．(1)证明：数列为等比数列；(2)设数列的前n项和为，证明：．19. 已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)过点的直线与曲线交于两点.关于轴的对称点为，，①证明三点共线；②求面积的最大值.20. 已知在等差数列中，，．(1)求数列的通项公式;(2)设，求数列的前n项和．21.已知（1）求的最大值、最小值；（2）为的内角平分线，已知，，，求。

2022届上海市普陀区高三数学一模含解析

9 ∴l 2.
3 故答案为： 2 .
3 6． 35
【分析】
利用二项式定理求出 a5 、 a8 的值，即可得解.
【详解】
x2
1
7
的展开式通项为 Tk1
C7k
x2
7k
1
k C7k x 14 2k
1
k
，
展开式中 x 的指数只可能为偶数，则 a5 0 ，
令14 2k 8 ，可得 k 3 ，则 a8 C73 13 35 .
A．4
B． 2 6
C．5
D． 3 3
16．设函数
f
x
x 0.5
x
2a log a
, x 1
x 2,
x
1 （
a
0
且
a
1）在区间 ,
上是单调函数，
若函数 g x f x ax 1 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（）
2
A．
0,
1 2
B．
1 8
,
1 4
C．
1 6
∵f(x)值域为0, ，
∴m
0且
f
1 m
0
m
1 m
2
2 m
n
0
n
1 m
mn
1 ，n＞0.
f 1 2 m 2 n 2 m n 4 ，
答案第 4页，共 16页
∵
m2 n2 1
n2 m2 1
m2
m2 1 n2 n2 1 m2 1 n2 1
m4 n4 m2 n2 m2n2 m2 n2 1
x
5 6
，此时
x
5 6
.
故地铁站应安排工作人员至少提前 5 60 50 分钟进行消毒工作. 6

2020年上海普陀区高三一模数学试卷

2020年上海普陀区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）1.若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为．2. ．3.不等式的解集为．4.已知为虚数单位，若复数是实数，则实数的值为．5.设函数（若且），若其反函数的零点为，则．6.展开式中含项的系数为（结果用数值表示）．7.各项都不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则．8.设椭圆，直线过的左顶点交轴于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于．9.记，，，，，为，，，，，的做任意一个排列，则为偶数的排列个数有．10.已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是．11.设是长为的正六边形的边上任意一点，长度为的段是该正六边形外接圆的一动弦，的取值范围为．12.若、两点分别在函数与的像上，且关于直线对称，称，是与的一对"伴点"(、与、视为相同的一对)，已知，，若与存在两对"伴点"，则实数的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.“”是“”成立的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.设集合，，若，则对应的实数对有（）．A.对B.对C.对D.对15.已知两个不同平面、和三条不重合的直线，，，下列命题中正确的是（）．A.若，，则B.若，在平面内，且，，则C.若，，是两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交D.若、分别经过两异面直线，，且，则必与或相交16.直线经过第一象限内的点，则的最大值为（）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5题，共76分）（1）（2）17.如图所示的三棱锥的三条棱、、两两互相垂直，点在棱上，且．当时，求异面直线与所成角的大小．当三棱锥的体积为时，求的值．（1）（2）18.设函数．当时，．若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．（1）19.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围．【答案】解析:∵抛物线的焦点坐标为，∵抛物线的焦点为，∴，，故答案为：．解析:．（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）．（1）（2）（3）20.已知双曲线的焦距为，直线与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．求双曲线的方程．若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围．设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值．（1）（2）（3）21.数列与满足，，是数列的前项和．设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值．设，若且，对恒成立，求的取值范围．设，，，若存在整数，，且，使得成立，求的所有可能值．1.2.3.解析:由，得，即，解得．故答案为．4.解析:∵，因为为实数，则，，故实数的值为．5.解析:∵的零点为，∴过点，那，∴．6.解析:的展开式通项为，∴项为，∴含项的系数为．7.解析:∵数列为等差数列，∴，即，又∵，∴，∵，∴，即．∵数列为等比数列，∴．故答案为：．8.解析:如图，由题意知，由是等腰三角形可得，不妨设，设，则，，∵，∴解得，即，将点坐标代入椭圆方程得，解得．9.解析:若为偶数，则，，中至少有一个偶数，若，，中没有一个偶数，则，一奇一偶，，一奇一偶，，一奇一偶，则有种方式，若，，，，，自由排列，则有种方式，则为偶数的排列有种．故答案为：．10.解析:令，，为偶函数，∴，即即，∴，∴时，，若在有解，则，∴．解析:取中点，∴，，，∴，即．解析:与关于直线对称，．与存在两对“伴点”，与存在两个不同的交点．若圆与直线相切，有，解得或（舍）．同理，若圆与直线相切，有，解得（舍）或．11.，12.，综上，实数的取值范围为．解析:若，则，即，∵，∴“”是“”的充分非必要条件，故选．解析:，若，则，则，即为；若，则，则，即为；若，则，则，即为；若，则，则，即为，则实数共有对．A 13.D 14.（1）故选：．解析:∵直线经过点，∴，即，，当且仅当，即时，取得最大值．故选：．解析:方法一：如图所示，取值中点，连接、，∵，∴是的中位线，∴，∴异面直线与所成角即为，∵，，两两相互垂直，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴ 为等边三角形，∴，即异面直线与所成角即为．D 15.B 16.（1）．（2）．17.（2）（1）方法二：∵，，两两互相垂直，∴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，∴，，∴，∴异面直线与所成角即为．∵，∴，∴，又∵，∴，即，∵，∴，即．解析:∵函数（1）．（2）．18.（2）（1），当时，，由，则，，，，解得，故当时，，解集为．由，．∵函数在上是增函数，∴解集为．①当时，恒成立；②当时，；令，由函数在上为递增函数，则，即，解得，所以．综上所述，的取值范围为．解析:由平行四边形得，在中，，，则，即，即，，（1）；．（2），最大值平方米．19.（2）（1）（2）（3）则停车场面积，即，其中．由得，即，则，因为，所以，则时，平方米，故当时，停车场最大面积为平方米．解析:当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，解得，，则所求双曲线的方程为．设，，由，得，则，，且，又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，即，即，则，即，则或，即实数的取值范围．线段在轴上的射影长是．设，由（1）得点，又点是线段的中点，则点，直线的斜率为，直线的斜率为，又，则直线的方程为，即，（1）．（2）或．（3）证明见解析．．20.（1）（2）（3）又直线的方程为，联立方程，消去化简整理，得，又，代入消去，得，即，则，即点的横坐标为，则．故线段在轴上的射影长为定值．解析:由条件得，，即，则，，设等比数列的公比为，则，又，则，当，时，，，则满足题意，故所求的的值．当时，，，，，以上个式子相加得，，又，则，即，由知数列是递增数列，又，要使得对恒成立，则只需，即，则．由条件得数列是以为首项，为公差的等差数列，（1）．（2）．（3），，；，，．21.则，，则，则，当时，，即时，，则当时，与矛盾，又，即时，，当时，，又，即当，时，，与矛盾，又，则或，当时，，解得，当时，，解得，综上得的所有可能值为和．。

2024届上海市普陀区高三上学期一模

2024届上海市普陀区高三上学期一模一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。

(共8题)第(1)题下列说法正确的是（）A．受潮后粘在一起的蔗糖没有固定的形状，所以蔗糖是非晶体B．LC振荡电路中，当电容器极板两端电压增大时电路中的电流减小C．两端开口的细玻璃管插入水中，已知水浸润玻璃，则管内的液面低于管外水面D．把一块带负电的锌板连接在验电器上，用紫外线灯照射锌板，验电器指针张角一直变大第(2)题某同学设计了一种测物块与斜面间动摩擦因数的方法，如图所示，调整斜面的倾角为，让物块从斜面底端以一定的初速度冲上斜面，物块到达最高点后又滑回原处。

测出物块下滑的时间是上滑时间的k倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为（）A．B．C．D．第(3)题下列认识正确的是（）A．做匀速圆周运动飞行的宇宙飞船内的宇航员处于完全失重状态是由于没有受到重力的作用B．由可知，两物体间距离减小时，它们间的引力增大，距离趋于零时，万有引力将趋于无穷大C．根据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度大于在远日点的速度D．若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动可能是直线运动第(4)题利用图示装置可以完成力学中的许多实验，下列用此装置进行相关实验的说法错误的是（）A．研究匀变速直线运动时，小车需从靠近打点计时器的位置释放B．研究匀变速直线运动时，无需平衡小车和轨道间的摩擦力C．探究加速度与力、质量的关系时，每次改变小车质量之后，需要重新平衡摩擦力D．探究加速度与力、质量的关系时，为保证小车所受拉力近似等于砝码及砝码盘的重力，必须满足第(5)题2023年8月25日，新一代人造太阳“中国环流三号”首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，再次刷新中国磁约束聚变装置运行纪录。

核聚变是一种核反应的形式，下列关于核聚变的说法中正确的是（）A．相同质量的核燃料，聚变产生的能量比裂变多B．核聚变反应可以自发进行，不需要任何条件C．太阳在核聚变的过程中质量保持不变D．核聚变由于原料具有放射性因此不适合用来发电第(6)题一带正电的小球质量为0.01kg，带电量为0.01C，小球在相互垂直的匀强电场和匀强磁场的空间沿一斜线向下做匀速直线运动。

上海市普陀区高三数学一模卷【附答案】

2015-2016学年第一学期普陀区高三质量教研卷理科数学2015.12.23一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分）1.若全集U R =，集合{|(2)0}M x x x =-≤，{1,2,3,4}N =，则U NM =ð_______. 2.若函数()1f x x =-，()1g x x x =-+，则()()f x g x +=________. 3.在7(21)x -的二项展开式中，第四项的系数为__________.4.在44x ππ-≤≤，则函数tan y x =的值域为__________.5.在数列{}n a 中，11a =，*121()n n a a n N +=+∈，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的各项和为______. 6.若函数3()(0)f x x x =≥的反函数是1()f x -，则不等式1()()f x f x ->的解集为_______.7.设O 为坐标原点，若直线1:02l y -=与曲线2:10x y τ--=相交于A B 、点，则扇形AOB 的面积为_________.8.若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为_________.9.若在北纬45的纬度圈上有A B 、两地，经度差为90，则A B 、两地的球面距离与地球半径的比值为________.10.方程22log (45)2log (22)x x -=+-的解x =________.11.设P 是双曲线22142x y -=上的动点，若P 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则12d d ⋅=_________.12.如图，已知正方体111ABCD A B C D - ，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是___________（结果用最简分数表示）13．若F 是抛物线24y x =的焦点，点(1,2,3,...,10)i P i =在抛物线上，且12100...0PF P F P F +++= ，则12100||||...||PF P F P F +++=________.AB CD 1A 1B 1C 1D14.若函数2()|sin |(,)3sin f x x t x t R x=++∈+ 最大值记为()g t ，则函数()g t 的最小值为__________.二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分）15.下列命题中的假命题是（）A. 若0a b <<，则11a b >B. 若11a >，则01a <<C. 若0a b >>，则44a b >D. 若1a <，则11a < 16.若集合{},R ,lg 230,R 3x A x y x B x x x x ⎧⎫⎪⎪==∈=-<∈⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件17.如图，在四面体ABCD ，AB CD =，,M N 分别是,BC AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为60︒，则MN 和CD 所成的角的大小为（）A. 30B. 60︒C. 30或60︒D. 15或60︒18、若函数()()lg 1,1sin ,12x x f x a x x π⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=，给出下列结论：①存在这样的实数a ，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a ，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a ，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a ，使得方程由6个不同的实数根.其中正确的个数是（）.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个MN A B CD三、解答题:（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第二小题满分6分如图，椭圆221259x y +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，A 为椭圆的右顶点，点P 在椭圆上且127cos 8PF F ∠=. （1）计算1PF 的值；（2）求1PF A ∆的面积.20.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第二小题满分8分某种“笼其”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼其”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼其”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？O x A y P 1F21.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第二小题满分8分已知函数()22sin sin 21f x x x =+-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设20cos cos sin 266x f ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中00x π<<，求0tan x 的值.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分已知*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=.（1）求证：数列{}n a 是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意{}12,,,i j n a a a a a ∈、（其中1i n ≤≤，1j n ≤≤，i j 、均为正整数），若i a 和j a 的所有乘积i j a a ⋅的和记为n T ，试求lim4n n x T →∞的值；（3）设()12113log ,1n n n n n n b a c b b +++==-⋅，若数列{}n c 的前n 项和为n C ，是否存在这样的实数t ，使得对于所有的n 都有2n C tn ≥成立，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体，存在实数()0a k k ≠、，对于定义域内的任意x 均有()()f a x kf a x +=-成立，称数对(),a k 为函数()f x 的“伴随数对”（1）判断()2f x x =是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数()sin f x x M =∈，求满足条件的函数()f x 的所有“伴随数对”；（3）若()()1,1,2,1-都是函数()f x 的“伴随数对”，当12x ≤<时，()cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当2x =时，()0f x =.求当20142016x ≤≤时，函数()y f x =的解析式和零点.参考答案。

年上海市普陀区高三数学一模卷【附答案】

2015－2０１6学年第一学期普陀区高三质量教研卷理科数学２0１5.1２.23一、填空题（本大题56分)本大题共有14小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中,每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分）１.若全集U R =，集合{|(2)0}M x x x =-≤,{1,2,3,4}N =，则UN M =_＿___＿＿.2.若函数()1f x =-()g x =则()()f x g x +=_＿______.3.在7(21)x -的二项展开式中,第四项的系数为___＿______. 4.在44x ππ-≤≤，则函数tan y x =的值域为＿＿_＿__＿＿＿_.5.在数列{}n a 中,11a =，*121()n n a a n N +=+∈, 则数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的各项和为______．6.若函数()0)f x x =≥的反函数是1()f x -,则不等式1()()f x f x ->的解集为__＿_＿__.７.设O 为坐标原点,若直线1:02l y -=与曲线0y τ=相交于A B 、点,则扇形AOB 的面积为__＿_____＿．8.若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为18０,则这个棱柱的体积为___＿_＿＿__. 9.若在北纬45的纬度圈上有A B 、两地,经度差为90，则A B 、两地的球面距离与地球半径的比值为__＿_＿＿＿_．10．方程22log (45)2log (22)x x -=+-的解x =__＿_____．1１.设P 是双曲线22142x y -=上的动点，若P 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则12d d ⋅=__＿＿__＿__.1２.如图,已知正方体111ABCD A B C D - ,若在其12条棱中随机地取3条, 则这三条棱两两是异面直线的概率是____＿___＿＿_(结果用最简分数表示) 13．若F 是抛物线24y x =的焦点,点(1,2,3,...,10)i P i =在抛物线上，且 12100...0PF P F P F +++= ,则12100||||...||PF P F P F +++=____＿___.A BCD1A 1B 1C 1D14．若函数2()|sin |(,)3sin f x x t x t R x=++∈+ 最大值记为()g t ，则函数()g t 的最小值为＿_________.二、选择题(本大题2０分,共４小题,每小题5分）１5.下列命题中的假命题是（） A ．若0a b <<,则11a b >ﻩ ﻩB. 若11a>,则01a << C. 若0a b >>,则44a b > D. 若1a <，则11a<1６．若集合{}R ,lg 230,R A x y x B x x x ⎧⎫⎪⎪==∈=-<∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则“x A ∈”是“x B ∈”成立的（ )A ．充分非必要条件 ﻩﻩB. 必要非充分条件C. 充要条件ﻩ ﻩ Ｄ．既不充分也不必要条件１７.如图，在四面体ABCD ,AB CD =，,M N 分别是,BC AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为60︒，则MN 和CD 所成的角的大小为( ) Ａ. 30B. 60︒Ｃ． 30或60︒ﻩ D ． 15或60︒18、若函数()()lg 1,1sin ,12x x f x a x x π⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=,给出下列结论:①存在这样的实数a ，使得方程由３个不同的实根;②不存在这样的实数a ，使得方程由4个不同的实根;③存在这样的实数a ,使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a ，使得方程由6个不同的实数根.其中正确的个数是( ).A １个 .B 2个 .C 3个 .D 4个B三、解答题:（本大题满分74分)本大题共有５题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.１９.（本题满分１2分）本题共2个小题，第1小题满分６分，第二小题满分6分如图，椭圆221259x y+=的左、右两个焦点分别为12,F F,A为椭圆的右顶点,点P在椭圆上且127cos8PF F∠=.(1）计算1PF的值；（2)求1PF A∆的面积.20．(本题满分14分）本题共2个小题,第1小题满分６分,第二小题满分8分某种“笼其”由内，外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24cmπ，高为30cm，圆锥的母线长为20cm.(1）求这种“笼其”的体积(结果精确到0.13cm);（2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼其”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？O xAyP1F２１.(本题满分14分)本题共2个小题，第１小题满分６分，第二小题满分８分已知函数()22sin sin 21f x x x =+-. (1）求函数()f x 的单调递增区间;(2)设20cos cos sin 266x f ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中00x π<<，求0tan x 的值.２２．（本题满分１6分)本题共有3个小题,第１小题4分，第2小题6分,第3小题6分已知*n N ∈,数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=．（1)求证:数列{}n a 是等比数列,并求出通项公式； (2）对于任意{}12,,,i j n a a a a a ∈、(其中1i n ≤≤，1j n ≤≤，i j 、均为正整数），若i a 和j a 的所有乘积i j a a ⋅的和记为n T ，试求lim 4nnx T →∞的值； (3）设()12113log ,1n n n n n n b a c b b +++==-⋅,若数列{}n c 的前n 项和为n C ，是否存在这样的实数t ,使得对于所有的n 都有2n C tn ≥成立,若存在，求出t 的取值范围;若不存在,请说明理由．23.(本题满分１８分）本题共有3个小题，第1小题４分,第2小题6分,第3小题8分已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体，存在实数()0a k k ≠、,对于定义域内的任意x 均有()()f a x kf a x +=-成立，称数对(),a k 为函数()f x 的“伴随数对” （1）判断()2f x x =是否属于集合M ,并说明理由;(2)若函数()sin f x x M =∈，求满足条件的函数()f x 的所有“伴随数对”; （3)若()()1,1,2,1-都是函数()f x 的“伴随数对”，当12x ≤<时,()cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭;当2x =时,()0f x =.求当20142016x ≤≤时,函数()y f x =的解析式和零点.参考答案。

上海市普陀区2024届高考一模数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 设双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点是双曲线在第一象限内的一点，直线交双曲线的左支于点，若，则点与点的横坐标的绝对值之比为（）A．B．C ．4D．2. 已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（）①若，，则； ②若，，则；③若，，则； ④若，，则．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④3.把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（）A．B．C．D．4. 设全集，集合，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．5. 已知、，则“”是“”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为A．B．C．D．7.已知函数满足，，则下列说法正确的是（）．A．B．C．D．8. 函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为（）A ．y2x B．2xC．D．9. 已知为上的奇函数，且在上单调递增，，则下列命题中一定正确的是（）A．B ．有3个零点C．D．10. 某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人.统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1.在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的列联表，下列结论正确的是（）上海市普陀区2024届高考一模数学试题(1)上海市普陀区2024届高考一模数学试题(1)三、填空题四、解答题患肺气肿不患肺气肿合计吸烟15不吸烟120合计200参考公式与临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A ．不吸烟患肺气肿的人数为5人B ．200人中患肺气肿的人数为10人C．的观测值D ．按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”11. 已知正整数，，，2，…，，则对任意的，都有（）A．B．C．D．12. “存在正整数，使不等式都成立”的一个充分条件是A．B．C．D．13. 在三棱锥A-BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ΔABC ，ΔACD,ΔADB的面积分别为，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为______14.若，则_________.15. 设，若函数是偶函数，则的单调递增区间是_________.16.已知椭圆过点和点，的上顶点到直线的距离为2，如图过点的直线与，轴的交点分别为，，且，点，关于原点对称，点，关于原点对称，且.(1)求的长度；(2)求四边形面积的最大值.17. 已知椭圆的离心率，两焦点分别为，右顶点为，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过定点的直线与双曲线的左支有两个交点，与椭圆交于两点，与圆交于两点，若的面积为，，求正数的值.18.设函数，且的最小正周期为.(1)求的值；(2)设的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的面积.19. 已知是各项均为正数的数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．20. 在平面直角坐标系中，设向量，，其中A，B分别是的两个内角.（1）若，求C的值；（2）若，，求的面积的最大值.21. 已知函数．(1)讨论在上的单调性；(2)若不等式恒成立，求的取值范围．。

上海市普陀区高考数学一模试卷解析版

高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“m∈{1，2}“是“ln m＜1”成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.设集合A={x||x-a|=1}，B={1，-3，b}，若A⊆B，则对应的实数对（a，b）有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3.已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题中正确的是（（）A. 若a∥α，α∩β=b，则a∥bB. 若a，b在平面α内，且c⊥a，c⊥b，则c⊥αC. 若a，b，c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a，b，c都相交D. 若α，β分别经过两异面直线a，b，且α∩β=c，则c必与a或b相交4.若直线l：+=1经过第一象限内的点P（，），则ab的最大值为（）A. B. 4-2 C. 5-2 D. 6-3二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若抛物线y2=mx的焦点坐标为（，0），则实数m的值为______．6.=______．7.不等式的解集是______ ．8.已知i为虚数单位，若复数z=+mi是实数，则实数m的值为______．9.设函数f（x）=log a（x+4）（a＞0且a≠1），若其反函数的零点为2，则a=______．10.（1+）（1-x）6展开式中含x2项的系数为______（结果用数值表示）．11.各项都不为零的等差数列{a n}（n∈N*）满足a2-2a82+3a10=0，数列{b n}是等比数列，且a8=b8，则b4b9b11=______．12.设椭圆Γ：+y2=1（a＞1），直线1过Γ的左顶点A交y轴于点P，交Γ于点Q，若△AOP是等腰三角形（O为坐标原点），且=2，则Γ的长轴长等于______．13.记a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的排列的个数共有______．14.已知函数f（x）=（x2+8x+15）（ax2+bx+c）（a，b，c∈R）是偶函数，若方程ax2+bx+c=1在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围是______．15.设P是边长为2的正六边形A1A2A3A4A5A6的边上的任意一点，长度为4的线段MN是该正六边形外接圆的一条动弦，则•的取值范围为______．16.若M、N两点分别在函数y=f（x）与y=g（x）的图象上，且关于直线x=1对称，则称M、N是y=f（x）与y=g（x）的一对“伴点”（M、N与N、M视为相同的一对），已知f（x）=，g（x）=|x+a|+1，若y=f（x）与y=g（x）存在两对“件点”，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图所示的三棱锥P-ABC的三条棱PA，AB，AC两两互相垂直，AB=AC=2PA=2，点D在棱AC上，且=λ（λ＞0）．（1）当λ=时，求异面直线PD与BC所成角的大小；（2）当三棱锥D-PBC的体积为时，求λ的值．18.设函数f（x）=．（1）当a=-4时，解不等式f（x）＜5；（2）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．19.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60°，设∠POB=θ．（1）求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）．20.已知双曲线Γ：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，直线1：x-my-4=0（m∈R）与Γ交于两个不同的点D、E，且m=0时直线l与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；（3）设A、B分别是Γ的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值．21.数列{a n}与{b n}满足a1=a，b n=a n+1-a n，S n是数列{a n}的前n项和（n∈N*）．（1）设数列{b n}是首项和公比都为-的等比数列，且数列{a n}也是等比数列，求a的值；（2）设b n+1-b n=2n-1，若a=3且a n≥a4对n∈N*恒成立，求a2的取值范围；（3）设a=4，b n=2．C n=（n∈N*，λ≥-2），若存在整数k，1，且k＞l＞1，使得C k=C l成立，求λ的所有可能值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：ln m＜1⇔0＜m＜e，∵{1，2}⫋（0，e），∴m∈{1，2}“是“ln m＜1”成立的充分非必要条件，故选：A．先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论．本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为集合A={x||x-a|=1}，所以A={a-1，a+1}，因为B={1，-3，b}，A⊆B，所以a-1=1，或a-1=-3，或a-1=b，①当a-1=1时，即a=2，A={1，3}，此时可知B={1，-3，3}，成立，即a=2，b=3；②当a-1=-3时，即a=-2，A={-3，-1}，此时可知B={1，-3，-1}，成立，即a=-2，b=-1；③当a-1=b时，则a+1=1或-3：当a+1=1时，即a=0，A={-1，1}，此时可知B={1，-3，-1}，成立，即a=0，b=-1；当a+1=-3时，即a=-4，A={-5，-3}，此时可知B={1，-3，-5}，成立，即a=-4，b=-5；综上所述：a=2，b=3，或a=-2，b=-1，或a=0，b=-1，或a=-4，b=-5，共4对．故选：D．先解出A，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对．本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于选项A：若a∥α，α∩β=b，则直线a也可能与直线b异面，故错误．对于选项B，只有直线a和b为相交直线时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α．故错误对于选项C：若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无限条（虚线）直线与a，b，c都相交．故错误如图所示：对于选项D：若α，β分别经过两异面直线a，b，且α∩β=c，则c必与a或b相交，正确．故选：D．直接利用定义和判定定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的定义和判定的定理的应用，主要考查学生对定义的理解能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：直线l：+=1经过第一象限内的点P（，），则a，b＞0，+=1．∴ab=ab（+）=+=+．令=t＞0，g（t）=+，（t＞0）．∴g′（t）=-=，可得t=时，g（t）取得极大值即最大值，g（）=4-2．故选：B．直线l：+=1经过第一象限内的点P（，），可得a，b＞0，+=1．ab=ab （+）=+．令=t＞0，g（t）=+，（t＞0）．利用导数已经函数的单调性极值最值即可得出．本题考查了直线方程、换元法、利用导数研究函数的单调性极值与最值式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】2【解析】解：由抛物线方程得：焦点坐标（，0），∴=，∴m=2，故答案为：2．直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m的值．考查抛物线方程写焦点坐标，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：===3．故答案为：3．利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的运算法则是应用，是基本知识的考查，基础题．7.【答案】{x|0＜x＜1}【解析】解：∵＞1，∴-1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．8.【答案】【解析】解：∵复数z=+mi=是实数，∴m-，即m=．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解m值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9.【答案】2【解析】解：函数f（x）=log a（x+4）（a＞0且a≠1），若其反函数的零点为2，即函数过（0，2），代入2=log a（0+4），a2=4，a=2（a＞0），故答案为：2．根据函数过（0，2）代入求出即可．考查函数与反函数的关系，对数的运算，基础题．10.【答案】9【解析】解：二项式（1-x）6的展开式中，通项公式为T r+1==•（-1）r•x r，分别取r=2，5，可得（1+）（1-x）6展开式中含x2项的系数为：．故答案为：9．求出（1-x）6展开式中的常数项和含x2项，利用多项式乘多项式得答案．本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．11.【答案】8【解析】解：各项均不为0的等差数列{a n}满足a2-2a82+3a10=0，∴+3（a1+9d）=0，化为：a1+7d=2=a8，∵数列{b n}是等比数列，且b8=a8=2，∴b4b9b11=．故答案为：8．由已知等式结合等差数列的通项公式求得a8，再由等比数列的通项公式结合a8=b8求解b4b9b11的值．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】2【解析】解：如图所示，设Q（x0，y0）．由题意可得：A（-a，0），P（0，a）．∵=2，∴（x0，y0-a）=2（-a-x0，-y0），∴x0=-，y0=．代入椭圆Γ方程可得：+=1，解得a=．∴Γ的长轴长等=2．故答案为：2．如图所示，设Q（x0，y0）．由题意可得：A（-a，0），P（0，a）．根据=2，可得x0，y0．代入椭圆Γ方程解得a，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】432【解析】解：根据题意，a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有A66=720个排列，若（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的对立事件为“（a+b）（c+d）（e+f）为奇数”，（a+b）、（c+d）、（e+f）全部为奇数，有6×3×4×2×2×1=288，故则（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的排列的个数共有720-288=432．故答案为：432．若（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的对立事件为“（a+b）（c+d）（e+f）为奇数”，即（a+b）、（c+d）、（e+f）全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有种，进而可得所求．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：∵f（x）=（x2+8x+15）（ax2+bx+c）是偶函数，图象关于y轴对称，令x2+8x+15=0可得，x=-3或x=-5，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是ax2+bx+c=0的两个根，，∴，由ax2+bx+c=1可得，ax2-8ax+15a=1，∵x∈[1，2]时，x2-8x+15∈[3，8]，∴a=故答案为：．由f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，可知，3，5是ax2+bx+c=0的两个根，根据方程的根与系数关系可求得a，b，c的关系，然后结合二次函数的性质可求a的范围．本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．15.【答案】[6-4，8+8]【解析】解：设正六边形外接圆的圆心为O，正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为，所以半径为2，设MN的中点为Q，则=（）•（）=+•（）+，因为与为相反向量，所以•（）=0，=-4，所以•=，因为|OQ|=2，所以Q在以O为圆心，以2为半径的圆上，|PQ|max=2+2，|PQ|min=-2，•=的最大值为8+8，最小值为6-4，所以•的取值范围为[6-4，8+8]．关键把•转化为含定值的形式，取MN的中点，再由Q的轨迹，可求得的最大值与最小值，进而可求得取值范围．本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．16.【答案】（3-2，1+）【解析】解：设曲线y=f（x）关于x=1的对称图象上的点为（x，y），（x，y）关于x=1的对称点为（x′，y′），则x′=2-x，y′=y，代入f（x）=，得h（x）=．作出函数h（x）=的图象如图，函数g（x）=|x+a|+1的图象是把y=|x|+1向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位得到的．由图可知，要使y=f（x）与y=g（x）存在两对“伴点”，需要把g（x）=|x+a|+1向左平移．则a＞0，设直线y=-（x+a）+1，即x+y+a-1=0，由圆心（-2，0）到直线的距离为2，得，解得a=3-或a=3+2（舍）；设直线y=（x+a）+1，即x-y+a+1=0，由圆心（-2，0）到直线的距离为2，得，解得a=1+2或a=1-2（舍）．∴要使y=f（x）与y=g（x）存在两对“伴点”，则实数a的取值范围为（3-2，1+）．故答案为：（3-2，1+）．求出f（x）关于直线x=1的对称图象所对应的函数解析式h（x），画出图形，再由函数图象的平移结合新定义求解实数a的取值范围．本题主要考查对新定义函数的图象和性质应用，考查数形结合和转化的数学思想，属于中档题．17.【答案】解：（1）作DE∥CB，交AB于E，连结PE，则异面直线PD与BC所成角为∠PDE，△ABC中，DE==，PD=PE=，∴△PDE是等边三角形，∴∠PDE=，∴当λ=时，异面直线PD与BC所成角的大小为．（2）如图，V D-PBC=V P-DBC===，解得CD=，∴AD=，∴λ=．【解析】（1）作DE∥CB，交AB于E，连结PE，则异面直线PD与BC所成角为∠PDE，由此能求出当λ=时，异面直线PD与BC所成角的大小．（2）由V D-PBC=V P-DBC=，能求出结果．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：（1）依题意得：f（x）=2x-a•2-x，当a=-4时，不等式化简为，令2x=t，整理得t2-5t+4＜0，解得1＜t＜4，故0＜x＜2．所以x∈（0，2）．（2）由于函数f（x）=在区间[2，+∞）上是增函数，令2x=t∈[4，+∞），由y=t知函数为单调递增函数，所以在[4，+∞）上也单调递增，①当a≥0时，满足条件．②当a＜0时，则由耐克函数得：，所以-16≤a＜0，综上所述a∈[-16，+∞）．【解析】（1）直接利用换元法的应用求出不等式的解集．（2）利用函数的单调性和耐克函数的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，换元法的应用，函数的性质单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．19.【答案】解：（1）△OPN中，由正弦定理得，=，即=，解得ON=40sin（-θ）；所以停车场面积S关于θ的函数关系式为S=40sin（-θ）•60sinθ=2400sin（-θ）sinθ，其中θ∈（0，）；（2）由S=2400sin（-θ）sinθ=2400（cosθ-sinθ）•sinθ=1200（sinθcosθ-sin2θ）=1200（sin2θ+cos2θ-）=1200[sin（2θ+）-]；当2θ+=，即θ=时，停车场面积S最大，最大值为：1200×（1-）=600=600×1.732=1039.2（平方米）．【解析】（1）由正弦定理求得ON，再计算停车场面积S关于θ的函数关系式；（2）化简函数解析式S，求出S的最大值以及取最大值时对应θ的值．本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）双曲线Γ：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，可得c=2，m=0时直线l：x=4与Γ的两条渐近线y=±x所围成的三角形恰为等边三角形，可得4=•，即a=b，又a2+b2=4，解得a=，b=1，则双曲线的方程为-y2=1；（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），联立直线x-my-4=0和x2-3y2=3，可得（m2-3）y2+8my+13=0，第11页，共12页即有y 1+y 2=-，y 1y 2=，可得DE 的中点F （-，-），|DE|=•=•，若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，可得|OF |＜|DE |，即+＜•（1+m 2）•，化为3m 4+26m 2-105＞0，解得m 2＞3，即有m ＞或m ＜-；（3）证明：双曲线的顶点A （-，0），B （，0），由（2）可得线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P （，），直线BD 的斜率为，可得BD 的垂直平分线方程为y -=-（x -），①AD 的方程为y =（x +），②由D 在双曲线上可得x 12-3y 12=3，即x 12-3=3y 12，③联立①②③解得x Q =+，则线段PQ 在x 轴上的射影长为|x P -x Q|=．即为定值．【解析】（1）求得双曲线的c =2，由等边三角形的性质可得a ，b 的方程，结合a ，b ，c 的关系求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），联立直线x -my -4=0和x 2-3y 2=3，应用韦达定理和弦长公式，设DE 的中点为F ，求得F 的坐标，由题意可得|OF |＜|DE |，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得A ，B 的坐标和P 的坐标，求得BD 的垂直平分线方程和AD 的方程，联立解得Q 的坐标，求出|x P -x Q |，即可得证．本题考查双曲线的方程和应用，考查直线方程和双曲线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及直线方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）数列{b n }是首项和公比都为-的等比数列，所以．数列{a n }与{b n }满足a 1=a ，b n =a n +1-a n ，所以．所以，，由于数列{a n }也是等比数列，所以，整理得，解得a =．（2）由b n +1-b n =2n-1，所以=．由于b 1=a 2-3，所以．再利用累加法，得到：，依题意：a n≥a4对n∈N*恒成立，所以，令n=1，2，3，4，5，得到a2∈[-8，-1]．（3）由于a=4，b n=2．所以a n+1-a n=2，整理得a n=2n+2．故．所以C n ==，假设存在整数k，1，且k＞l＞1，使得C k=C l成立，故=，当或时，满足条件．【解析】（1）直接利用等比数列的定义和等比中项的应用求出结果．（2）利用累加法和恒成立问题的应用和赋值法的应用求出结果．（3）利用存在性问题的应用和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，累加法的应用，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．第12页，共12页。

上海市普陀区高考数学一模试卷解析版

【解析】解：直线 l： + =1 经过第一象限内的点 P（，），
则 a，b＞0，
+
=1．
∴ab=ab（
+
）= + =
+．
令 =t＞0，g（t）= + ，（t＞0）．
∴g′（t）=
-=
，
可得 t= 时，g（t）取得极大值即最大值，g（）=4-2 ．故选：B．直线 l： + =1 经过第一象限内的点 P（，），可得 a，b＞0，
【解析】解：因为集合 A={x||x-a|=1}，所以 A={a-1，a+1}，因为 B={1，-3，b}，A⊆B，所以 a-1=1，或 a-1=-3，或 a-1=b， ①当 a-1=1 时，即 a=2，A={1，3}，此时可知 B={1，-3，3}，成立，即 a=2，b=3； ②当 a-1=-3 时，即 a=-2，A={-3，-1}，此时可知 B={1，-3，-1}，成立，即 a=-2，b=-1 ； ③当 a-1=b 时，则 a+1=1 或-3：当 a+1=1 时，即 a=0，A={-1，1}，此时可知 B={1，-3，-1}，成立，即 a=0，b=-1；当 a+1=-3 时，即 a=-4，A={-5，-3}，此时可知 B={1，-3，-5}，成立，即 a=-4，b=-5；综上所述：a=2，b=3，或 a=-2，b=-1，或 a=0，b=-1，或 a=-4，b=-5，共 4 对．故选：D．先解出 A，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对．本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．
对），已知 f（x）=
，g（x）=|x+a|+1，若 y=f（x）与 y=g（x）