最经典最简约的面向计算机科学的数理逻辑复习笔记

该笔记适用于任何版本的数理逻辑！

绪论

一、数理逻辑研究什么？

★研究前提和结论的可推导性关系，它是由命题的逻辑形式而非内容所决定的

二、数理逻辑如何研究？

★形式语言

第一章预备知识

第一节集合

一、集合

1、集合的内涵和外延（所有元素的共同性质/构成集合的所有元素）

2、有序偶和笛卡儿集

二、关系

1、概念：集合S上的n元关系R

2、特殊情况：集合S上的一元关系R（集合S上的性质R）

三、函数（映射）

1、概念：函数（集合＋有序偶＋性质）、定义域dom（f）、值域ran（f）

2、概念：f（x）（函数f在x处的值）

3、概念：f：S－>T（函数f是由S到T的映射）、满射、一一映射

四、等价

1、概念：关系R是集合S上的等价关系（自反＋对称＋传递）

2、概念：元素x的R等价类

3、性质：R等价类对集合S的一个划分（两两不相交，且并为S）

五、基数

1、概念：S～T（两个集合S和T是等势的）

2、概念：集合S的基数|S|（集合中的元素个数）

3、概念：可数无限集

第二节归纳定义和归纳证明

一、归纳定义

1、集合的归纳定义

⑴、直接生成某些元素

⑵、给出运算，将其作用在已有元素上，以产生新的元素

⑶、只有这样才是集合中的元素，除此之外，再也没有了

2、典例：自然数集N的两个归纳定义

二、归纳证明

1、归纳定理：设R是一个性质，如果

⑴、R（0）

⑵、对于任何n∈N，如果R（n），则R（n’）

那么，对于任何n∈N，都有R（n）

2、概念：归纳基础、归纳步骤（包括归纳变元和归纳假设）、归纳命题、归纳证明

3、概念：串值归纳法及其变形

三、递归定义

1、递归定义（在归纳定义的集合上，定义函数）

在自然数集N上定义一个这样的函数f：g，h是N上的已知函数

f（0）＝g（0）

f（n’）＝h（f（n））

2、递归定义原理（这样的函数是存在而且唯一的）

第二章经典命题逻辑

第一节联结词

一、基本概念

1、概念：命题（陈述句+确定值）（要么是真，要么是假）

2、概念：简单命题和复合命题（区分的关键）

3、小结：只考虑复合命题的真假是如何确定的

二、联结词

1、非A：

2、A与B：A为真并且B为真

3、A或B：A为真或B为真（A为真或B为真或AB同时为真）

4、A蕴涵B：如果A真，则B真（并非A假B真）

5、A等值于B：如果A蕴涵B，同时B蕴涵A

第二节命题语言

一、基本概念

1、概念：命题语言（命题逻辑使用的形式语言）

2、归纳：命题语言的三类符号（命题符号＋联结符号＋标点符号）

3、概念：表达式、长度、空表达式、两个表达式相等

4、概念：段、真段、初始段、结尾段

二、基本概念

1、定义：原子公式，记为Atom（L P）（单独一个命题符号）

2、定义：公式，记为Form（L P）（经典归纳定义及其两种变形）

★经典定义容易理解，然而两种变形更容易使用

3、定理：如何证明L P的所有公式都满足R性质？

★关键：假设S={A∈Form（L P）| R（A）}

4、概念：对公式的结构做归纳（上述归纳证明）

三、习题解析

1、关键：利用二叉树表示公式的生成过程

2、关键：蕴涵有多种不同的叙述方式（关键：分清楚充分条件和必要条件）

⑴、◆如果p，则q

⑵、◆只要p，则q

⑶、◆p仅当q

⑷、◆只有p，才q

⑸、◆除非p，否则q（思路：想方设法转化为上述情形）

第三节公式的结构

一、引理

1、引理1：L P的公式是非空的表达式

2、引理2：在L P的每个公式中，左括号和右括号出现的数目相同

3、引理3：真初始段不是公式（在L P的公式的任何非空的真初始段中，左括号出现的次数比右括号多。因此，L P的公式的非空的真初始段不是L P的公式（同理分析真结尾段））

二、定理

1、定理：L P的每个公式恰好具有以下6种形式之一；并且在各种情形中，公式所具有的那种形式是唯一的

★注意：仔细分析其证明过程

2、推论：L P的公式的生成过程是唯一的

3、概念：否定式、合取式、析取式、蕴涵式、等值式

三、辖域

1、概念：辖域、左辖域、右辖域

2、定理：任何A中的任何辖域存在并且唯一

3、性质：如果A是B中的段，则A中的任何联结符号在A中的辖域和它在B中的辖域是相同的

4、定理：如果A是（¬B）的段，则A＝（¬B）或者A是B中的段；如果A是（B*C）中的段，则A＝（B*C）或者A是B或C中的段

四、其它

1、算法：判断一个L P的表达式是不是公式的算法

2、符号的省略：最外层括号＋其它形式的括号＋联结符号的优先级

五、习题解析

¬

第四节语义

一、基本概念

1、概念：真假赋值

2、概念：公式的真假值A V（真假赋值v给公式A指派的真假值＋递归定义）

3、定理：对于任何A∈Form（L P）和任何真假赋值V，A V∈{0，1}

★关键：如何证明L P的所有公式都满足R性质？

二、基本概念

1、概念：∑V（∑表示公式集）

2、概念：∑是可满足的（存在V，使得∑V＝1）

★注意：∑是可满足的蕴涵∑中的所有公式都是可满足的，但逆命题不成立

3、概念：A是重言式、A是矛盾式

4、概念：A的真假值表（真假赋值V给公式A指派的值，仅涉及V给A中出现的不同的命题符号所指派的值）

5、性质：简化公式（熟练掌握简化公式）

三、习题解析

1、性质：联结符号↔满足交换律和结合律

2、性质：A是重言式，则A↔B是重言式当且仅当B是重言式

第五节逻辑推论

一、逻辑推论

1、符号：∑╞A（A是∑的逻辑推论，读作∑逻辑地蕴涵A）

2、概念：∑╞A，当且仅当对于任何的逻辑赋值V，如果∑V＝1，则A V＝1

3、概念：∑|≠A（存在逻辑赋值V，使得∑V＝1，A V＝0）

4、特殊情况：∅╞A（这时存在着性质：A是重言式）

5、概念：逻辑等值公式A|＝|B

6、例题分析：注意找到捷径和方法

⑴、如何证明一个逻辑推论是成立的（直接证明或者反证法）

⑵、如何证明一个逻辑推论是不成立的（构造出这样的真假赋值V，使得∑V＝1，A V＝0）

二、定理

1、性质：合取符号和析取符号都满足交换律和结合律

2、定理：

⑴、A1，…，An╞A，当且仅当∅╞A1∧…∧An→A

⑵、A1，…，An╞A，当且仅当∅╞A1→（…→（An→A）…）

3、引理：如果A|＝|A’并且B|＝|B’，则有¬A|＝|¬A’等5条性质

4、等值替换定理：设B|＝|C并且在A中把B的某些出现替换为C而得到A’，则A|＝|A’

5、对偶性定理：A’|＝|¬A（其中A’是A的对偶）