【精准解析】江西省上饶市横峰中学2020届高三下学期高考适应性考试数学(理)试题

横峰中学2020届高三适应性考试数学（理科）一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.设集合{}2|20A x x x =--≤，{}3|log 1B x x =≤，则AB =（ ）A. []1,2-B. (]0,1C. (]0,2D. []1,3【答案】C 【解析】 【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合A 、B ，然后结合集合交集的运算求A B 即可.【详解】解：解不等式220x x --≤，得12x -≤≤， 即[]1,2A =-，解不等式3log 1x ≤，得03x <≤， 即(]0,3B =， 则AB =(]0,2，故选：C.【点睛】本题考查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.2.已知复数()z i a i =-（i 为虚数单位，a R ∈），若12a <<，则z 的取值范围为（ ） A.2,5B.)2,2C. (5D. ()1,2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可. 【详解】解：因为复数()1z i a i ai =-=+， 所以21z a =+12a <<，即214a <<，则z 的取值范围为(2,5，故选：A.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，属于基础题.3.某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（ ） A. 1260 B. 1230C. 1200D. 1140【答案】D 【解析】 【分析】由分层抽样方法列方程求解即可．【详解】设女生总人数为：x 人，由分层抽样的方法可得： 抽取女生人数为：804238-=人， 所以80382400x=，解得：1140x = 故选D【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题．4.已知3512a b a b ==⋅=，，，则向量a 在向量b 上的投影为（ ） A.125B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】因为12a b ⋅=，设两向量的夹角为θ ，由向量数量积的几何意义有cos 12a b θ⋅=，所以1212cos 5a b θ==，即向量a 在向量b 上的投影为125，选A. 5.已知命题“:p x R ∀∈,211x +≥”的否定是（ ） A. 0x R ∃∈,2011x +≤ B. 0x R ∃∈,2011x +<C. x R ∀∈,211x +<D. x R ∀∈,211x +≤【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的关系,直接写出命题的否定即可. 【详解】解::p x R ∀∈,211x +≥所以0:p x R ⌝∃∈,2011x +<.故选:B【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定,属于基础题.6.若实数x ，y 满足约束条件220,20,30,x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则233z x y =-+的最大值为（ ）A. 8-B. 5-C. 2-D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】利用约束条件画出可行域，然后利用目标函数的几何意义得最值.【详解】由题意，实数x ，y 满足约束条件2202030x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩，如图：图中阴影部分由22030x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得()4,1A --，目标函数233z x y =-+化为2133zy x =-+，由图可知当目标函数过()4,1A --时得最大值，此时()()max 243132z =⨯--⨯-+=-. 故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.7.在ABC 中，已知45A ∠=︒，62AB =，且AB 边上的高为22，则sin C =（ ） A.10B.310C.10 D.210【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求AD ，利用勾股定理可求AC ，由余弦定理可得BC ，进而根据正弦定理可得sin C 的值.【详解】∵在ABC 中，已知45A ∠=︒，62AB =，且AB 边上的高为22， ∴22AD =，224AC AD CD =+=，∴由余弦定理可得2222cos 16722462402BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， ∴由正弦定理sin sin AB BC C A=可得262sin 3102sin 1040AB A C BC ⨯⋅===. 故选：B.【点睛】本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题. 8.函数()()22sin cos x xf x x x -=-的部分图象大致是（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可以排除部分选项，再利用特殊值进行排除，可得正确结果. 【详解】因为()()()()22sin cos ()xx f x x x f x --=---=，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当(0,),()02x f x π∈>，排除选项D ； 当(,),()02x f x 3π∈π>，排除选项C ；故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的性质及特殊值，采用排除法是这类问题的常用方法，侧重考查直观想象的核心素养.9.已知函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()120f x f x +=.且120x x ≤，则12x x -的最小值为（ ） A.6πB.3π C.2π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得12sin 2sin 233ππx x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后可得1222233ππx x k π-+-=或1222,33ππx x k πk Z ⎛⎫⎛⎫---=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可分析出答案.【详解】因为()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()120f x f x +=，120x x ≤ 所以12sin 2sin 233ππx x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1222233ππx x k π-+-=或1222,33ππx x k πk Z ⎛⎫⎛⎫---=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以123πx x k π+=+或12,2k x x k π-=∈Z 因为120x x ≤， 所以，若12,2k x x k π-=∈Z ，1x 、2x 一个取0，一个取2π时12x x -最小为2π， 若123πx x k π+=+，1x 、2x 一个取0，一个取3π时12x x -最小为3π，即12x x -的最小值为3π故选：B【点睛】本题主要考查的是三角函数的图象和性质，考查的核心素养是数学运算，属于中档题.10.已知双曲线22:14x C y -=，12,F F 分别为双曲线的左右焦点，00(,)P x y 为双曲线C 上一点，且位于第一象限，若三角形12PF F 为锐角三角形，则0y 的取值范围为（ ）A. ,)5+∞ B. )+∞ C. 1()52D.1(2 【答案】C 【解析】 【分析】因为P 位于第一象限，所以12PF F ∠恒为锐角，由21PF F ∠为锐角可得02x <<，01(0,)2y ∈，由12F PF ∠为锐角得120PF PF ⋅>，利用平面向量积可得答案.【详解】由2214x y -=得1(F 、2F ，因为P 位于第一象限，所以12PF F ∠恒为锐角，因为三角形12PF F 为锐角三角形，所以21PF F ∠为锐角，12F PF ∠为锐角，由21PF F ∠为锐角得025x <<，所以220011(0,)44x y =-∈，因为00y >，所以01(0,)2y ∈，由12F PF ∠为锐角得120PF PF ⋅>， 所以0000(5,)(5,)0x y x y ---⋅-->，所以2000(5)(5)0x x y ---+>， 所以220050x y +->，又220014x y -=，所以22004450y y ++->，即2015y >，又00y >，所以055y >， 综上所述：051(,)52y ∈. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了平面向量数量积，考查了运算求解能力，考查了锐角三角形的概念，属于基础题.11.如图，在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △，连接1A C .若当三棱锥1A CDE -的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE -外接球的体积为82π，则a =（ ）A. 2 2 C. 22 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】要想体积最大，需高最大，当1A DE ⊥△面BCDE 时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论.【详解】在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，所以1A DE ∆为等腰直角三角形； 斜边DE 上的高为22112222A K DE a a a '==+=, 要想三棱锥1A CDE -的体积最大；需高最大，则当1A DE ⊥△面BCDE 时体积最大， 此时三棱锥1A CDE -的高等于：22112222DE a a a =+=； 取DC 的中点H ，过H 作下底面的垂线；此时三棱锥1A CDE -的外接球球心在OH 上； 因为三棱锥1A CDE -外接球的体积为823π，可得348233R ππ=，解答2R =， 如图所示，222OH OC CH =-；①222A O A G GO ''=+；②即222R a OH -=；③2222222R a OH a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④联立③④可得2a =；故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型. 12.已知函数()()21cos 12f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为（ ） A. (),2-∞ B. (][),01,-∞⋃+∞C. ()(),11,-∞+∞D. ()[),01,-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】求出()sin f x x ax '=-+，设()()sin g x f x x ax '==-+，则()cos g x x a '=-+，当1a ≥时，可知()g x 在R 上单调递增，()00g =，即可判断()f x 在[)0,+∞上为增函数，在(),0-∞上为减函数，由()0f x =，即可证明，当1a ≥时，()f x 有唯一的零点；然后验证0a =时，函数的零点的个数，判断选项即可. 【详解】因为()()sin f x x ax x R '=-+∈. 令()sin g x x ax =-+，则()cos g x x a '=-+，所以当1a ≥时，()cos 0g x x a '=-+≥，即()g x 在R 上单调递增， 又()0sin00g =-=，所以[)0,x ∈+∞，()0f x '≥，当(),0x ∈-∞，()0f x '<， 所以()f x 在[)0,+∞上为增函数，在(),0-∞上为减函数， 又()00f =，即当1a ≥时，()0f x ≥， 且当且仅当0x =，()0f x =， 故当1a ≥时，()f x 有唯一的零点； 排除A ，当0a =时，()cos 1f x x =-，令()0f x =，可得cos 1x =，有无数解，所以0a =，不成立，排除B ，C ， 故选：D.【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()6x a +的展开式中所有项系数和为64，其中实数a 为常数且0a <，则a =________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由题得()61=64a +，解方程即得解.【详解】因为()6x a +的展开式中所有项系数和为64， 所以()661=642,12,1a a a +=∴+=±∴=（舍去）或3a =-. 所以3a =-.故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查二项式展开式所有项的系数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14.已知2sin 2cos sin ,ααβ==且22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，，，则()cos 2αβ+=______. 【答案】14- 【解析】 【分析】根据2sin2cos αα=化简可得sin α，由cos sin αβ=可得=2παβ+，利用诱导公式求()cos 2αβ+即可.【详解】由2sin2cos αα= 则4sin cos cos ααα=，因为22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以1sin ,0,42παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由cos sin 4αβ===2παβ+，所以()1cos 2sin 4αβα+=-=-. 【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，诱导公式，角的变换，考查运算求解的能力，属于中档题.15.盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设X 表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则()3P X ==______.【答案】1363【解析】 【分析】由题意3X =表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，计算概率即可.【详解】当3X =时，随机取出4个球中有3个红球、1个其他色，共有314520C C ⋅=种取法，随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色，共有31366C C ⋅=种取法，所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时，共有20626+=种取法， 所以()49262613312663P X C ====, 故答案为：1363【点睛】本题主要考查了组合的实际应用，古典概型，考查了推理运算能力，属于中档题.16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p H x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上的一点，以H 为圆心的圆交直线2px =于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），若7sin 9HFA ∠=，则抛物线C 的方程是_________. 【答案】24y x = 【解析】 【分析】根据点H 在抛物线上和7sin 9HFA ∠=，列方程组可解得0x 和，即可得出抛物线的方程.【详解】画出图形如下图所示，作HD AB⊥，垂足为D，由题意得点(00,22pH x x⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线C上，则0232px=①，由抛物线的定义，可知02pDH x=-，因为7sin9HFA∠=，所以，77992pDH HF x⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以007292p px x⎛⎫-=+⎪⎝⎭，解得04x p=②，由①②解得048x p==-（舍去）或48x p==，故抛物线C的方程为24y x=．故答案为：24y x=.【点睛】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，考查方程思想的应用，属于中等题.三、解答题（共70分.解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22、23选做其中一道题）17.已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足12a=，12n nS a+=-.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）数列{}n b满足22log1n nb a=+，记数列{}n b的前n项和为n T，求证:123111134nT T T T++++< .【答案】（1）2nna=；（2）证明见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）根据n S 与n a 的关系，可得12n n a a +=，从而判断{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，利用等差数列的求和公式可得()2n T n n =+，再利用裂项求和法可求出11nk kT =∑，令()31114212f n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，根据11012n n +>++，利用不等式的性质得到结果. 【详解】（1）因为12n n S a +=-，① 当2n ≥时，12n n S a -=-，② 由①-②得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=，当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==， 所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==；（2）由（1）得，22log 121n n b a n =+=+， 所以()2n T n n =+， 所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑. 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为11012n n +>++所以1134nk kT =<∑. 【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、裂项求和法以及证明不等式，综合性比较强，属于中档题.18.如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，3DE CF =，BE 与平面ABCD 所成的角为45．（1）求证：平面ACE ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（219【解析】 【分析】（1）DE⊥平面ABCD ，可得到DE⊥AC，又因为底面为正方形所以得到AC⊥BD，进而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面BEF 和面BDE 的法向量，根据法向量的夹角的求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：DE⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ．∴DE⊥AC．又底面ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D， ∴AC⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE⊥平面BDE ．（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，BE与平面ABCD所成的角为45°，即∠EBD=45°，∴DE=BD=2AD=32，CF=DE=2．∴A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，32），F（0，3，2），∴ =（﹣3，0，2）， =（0，3，22-），设平面BEF的一个法向量为 =（x，y，z），则，即3203220x zy z⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令z=32，则 =（2，4，32）．又AC⊥平面BDE，∴=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．∴cos＜＞=3832⋅19．∴二面角F﹣BE﹣D 19．【点睛】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.19.在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（1）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；（2）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望与方差.【答案】（1）没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”；（2）()6E X=，() 2.4D X=【解析】【分析】（1）根据题目数据列出22⨯列联表，计算2K，与临界值比较即可得出结论；（2）由在线时长超过1小时的频率代替概率，可知在线时长超过1小时的人数()~10,0.6X B，根据二项分布求出期望和方差.详解】（1）依题意，得22⨯列联表在线学习时长数学成绩120≤分120>分合计1≤小时15 10 25 1>小时 5 15 20 合计20 25 45∵2245(1515510)4415.51256.6352025252080K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”； （2）从上述22⨯列联表中可以看出：这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超过1小时的频率为150.625=， 则()~10,0.6X B ， ∴()100.66E X =⨯=，()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=.【点睛】本题主要考查了独立性检验，二项分布，期望、方差，考查了数学知识在实际问题中的应用，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+的离心率为3，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，, A B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目所给的条件得到2222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解出参数值即可；（2）12ABCD S AC BD =⋅⋅分别设出直线AM 和BM 求出点B ，D 的坐标，并表示出AC ，BD 的长度，代入面积公式化简即可.【详解】（Ⅰ）由已知可得：2222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：21a b =⎧⎨=⎩； 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=．（Ⅱ）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以()2,0A -，()0,1B -．设()(),0,0M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=．则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1C mx n =+； 同理：直线AM 的方程为：()22n y x m =++，令0x =，得22D ny m =+． 所以()()()2221121212212221ABCDm n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++． 即四边形ABCD 的面积为定值2．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 21.已知函数()2xf x e x =-.(Ⅰ)求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(Ⅱ)求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.【答案】（Ⅰ）()2 1.y e x =-+；(Ⅱ)见解析． 【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线()f x 在1x =处的切线方程．（2）由（1）当0x >时，()()21,f x e x ≥-+，即()221xe x e x -≥-+， x e +()221e x x--≥,只需证,()21 x e e x x+--≥x ln 1x ≥+试题解析：（Ⅰ）()'2xf x e x =-， 由题设得()'12f e =-，()11f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为()2 1.y e x =-+(Ⅱ)()'2xf x e x =-，()''2xf x e =-，∴()'f x 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，所以()()''ln222ln20f x f ≥=->，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()[]max 11,0,1f x f e x ==-∈.()f x 过点()1,1e -，且()y f x =在1x =处的切线方程为()21y e x =-+，故可猜测：当0,1x x >≠时，()f x 的图象恒在切线()21y e x =-+的上方.下证：当0x >时，()()21,f x e x ≥-+设()()()21,0g x f x e x x =--->，则()()()'22,''2xxg x e x e g x e =---=-，()'g x 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，又 ()()'030,'10,0ln21g e g =->=<<，∴()'ln20g <，所以，存在()00,12x n ∈，使得()0'0g x =，所以，当()()00,1,x x ∈⋃+∞时，()'0g x >；当()0,1x x ∈时，()'0g x <，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又()()010g g ==，∴()()2210xg x e x e x =----≥，当且仅当1x =时取等号，故()21,0x e e x x x x+--≥>. 又ln 1x x ≥+，即()21ln 1x e e x x x+--≥+，当1x =时，等号成立.【点睛】解本题的关键是第（1）结论对第（2）问的证明铺平了路，只需证明()21x e e x x+--≥x ln 1x ≥+．所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（1）问相似或相同形式时，将有利于快速证明．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()23πρθ+=.（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于,A B两点，若||||PA PB +=m 的倾斜角.【答案】(1) 226x y +=，40x -= (2)6π或56π. 【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数化曲线C 为普通方程，运用cos ,sin x y ρθρθ==，即可化直线l 极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C 方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线C 的普通方程为226x y +=，因为cos()23πρθ+=，所以cos sin 40ρθθ-=，直线l的直角坐标方程为40x -=. （2）点P 的坐标为(4,0)， 设直线m 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立直线m 与曲线C 的方程得28cos 100t t θ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121228cos 1064cos 400t t t t θθ+=-⎧⎪=⎨⎪∆=->⎩，所以1212||||||||||8|cos |PA PB t t t t θ+=+=+==，得cos θ=，且满足>0∆， 故直线m 的倾斜角为6π或56π. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>.（Ⅰ）若1a b ==时，解不等式()2f x x ->；（Ⅱ）若()f x 的值域是[)4,+∞，若1111k a b +≥++恒成立，求k 的最大值. 【答案】（Ⅰ）{2x x 或}0x ≤（Ⅱ）23 【解析】【分析】（Ⅰ）先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再分类列不等式，最后解不等式求结果; （Ⅱ）先根据绝对值三角不等式得()f x 的最小值，根据条件可得4a b +=，再利用1的代换求1111a b +++最小值，即得k 的取值范围，进而可得结果. 【详解】解：（Ⅰ）∵1a =，1b =∴()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩当1x ≥时，()2f x x ->化为2x >，不等式的解为2x >；当11x -<<时，()2f x x ->化为220x x ->⇒<，不等式的解为10x -<<；当1x ≤-时，()2f x x ->化为2323x x ->⇒<-，所以不等式的解为1x ≤-；综上所述，不等式的解集为{2x x 或}0x ≤（（Ⅱ）∵()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b =-++≥--+=+，当且仅当()()0x a x b -+≤时取“=”号又()f x 的值域是[)4,+∞， ∵4a b +=，∵0a >，0b >.∴∴4116a b a b +=⇒+++=∵()1111112241111a b a b a b b a ++⎛⎫⎛⎫+++⋅+=++≥+≥⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ （当且仅当1111b a a b ++=++，即2a b ==时取“=”号） ∴112113a b +≥++，当且仅当2a b ==时取“=”号. 又1111k a b +≥++恒成立，∴23k ≤ ∴k 的最大值是23【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、根据绝对值三角不等式求最值以及利用基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题.。