1997年安徽高考文科数学真题及答案
安徽历年高考文科数学试题及答案汇编十数列
安徽历年高考文科数学试题及答案汇编十数列试题1、15．（4分）（2008安徽）在数列{a n }中，a n =4n ﹣，a 1+a 2+…+a a =an 2+bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则ab= ． 2、5．（5分）（2009安徽）已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，则a 20等于（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．3 D ．73、5．（5分）（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n ，则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）644、7．（5分）（2011安徽）若数列{a n }的通项公式是a n =（﹣1）n（3n ﹣2），则a 1+a 2+…+a 10=（ ）A ．15B ．12C ．﹣12D ．﹣15 5、5．（5分）（2012安徽）公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11=16，则a 5=n n 8379 A ． ﹣6 B ． ﹣4 C ． ﹣2 D ． 2 7、12．（5分）（2014安徽）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2，过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3…，依此类推，设BA=a 1，AA 1=a 2，A 1A 2=a 3，…，A 5A 6=a 7，则a 7= ．8、13．（3分）（2015安徽）已知数列{a n }中，a 1=1，a n =a n ﹣1+（n≥2），则数列{a n }的前9项和等于 ． 解答题 1、21．（12分）（2008安徽）设数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=ca n +1﹣c ，n ∈N*，其中a ，c 为实数，且c≠0（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设N*，求数列{b n }的前n 项和S n ；（Ⅲ）若0＜a n ＜1对任意n ∈N*成立，证明0＜c≤1．2、19．（12分）（2009安徽）已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+2n ，数列{b n }的前n 项和T n =2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n 2•b n ，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n ． 3、21．（本小题满分13分) （2010安徽） 设12,,,,n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线3y x =相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列.(Ⅰ)证明：{}n r 为等比数列；（Ⅱ）设11r =，求数列{}nn r 的前n 项和.4、21．（13分）（2011安徽）在数1 和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n ，再令a n =lgT n ，n≥1． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =tana n •tana n+1，求数列{b n }的前n 项和S n5、21．（13分）（2012安徽）设函数f （x ）=+sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．（Ⅰ）求数列{x n }．（Ⅱ）设{x n }的前n 项和为S n ，求sinS n ．6、19．（13分）（2013安徽）设数列{a n }满足a 1=2，a 2+a 4=8，且对任意n ∈N *，函数 f （x ）=（a n ﹣a n+1+a n+2）x+a n+1cosx ﹣a n+2sinx 满足f′（）=0（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n =2（a n +）求数列{b n }的前n 项和S n ．7、18．（12分）（2014•安徽）数列{a n }满足a 1=1，na n+1=（n+1）a n +n （n+1），n ∈N *． （Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n =3n•，求数列{b n }的前n 项和S n ．8、 18．（12分）（2015安徽）已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．答案1、解：∵a n=4n﹣，∴数列{a n}为等差数列，a1=，d=4，∴，∴，∴ab=﹣1．故答案为﹣1．2、解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B3、解：887644915a S S=-=-=.故选A。
1997年全国统一高考文科数学试卷
A． B． C． D．
【解答】解：集合 ，
，
，
故选： ．
2．（4分）如果直线 与直线 平行，那么实数 等于
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 与直线 平行，
它们的斜率相等， ， ．
故选： ．
3．（4分）函数 在一个周期内的图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：令 ，解得 ，可知函数 与 轴的一个交点不是 ，排除 ，
1997年全国统一高考数学试卷（文科）
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）
1．（4分）设集合 ，集合 ，集合
A． B． C． D．
2．（4分）如果直线 与直线 平行，那么实数 等于
A． B． C． D．
3．（4分）函数 在一个周期内的图象是
A． B．
C． D．
的周期 ，故排除
故选： ．
4．（4分）已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ．则二面角 的大小为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，
且 ，
得 ， ，
取 的中点 ，连接 ， ，
则 即为所求二面角的平面角．
且 ，
，
，
故选 ．
5．（4分）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
椭圆 的中心为 关于直线 对称的点为
故椭圆 的方程为
故选： ．
12．（5分）圆台上、下底面面积分别是 、 ，侧面积是 ，这个圆台的体积是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ， ，
， ， ．
．
故选： ．
13．（5分）定义在区间 的奇函数 为增函数；偶函数 在区间 ， 的图象与 的图象重合，设 ，给出下列不等式：
1996年安徽高考文科数学真题及答案
1996年安徽高考文科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合．则{}1,2,3,4,5,6,7I ={}{}1,3,5,7,3,5A B ==A ． B ． C ． D ． I A B = I A B = I A B = I A B = 【答案】C【解析】显然C 正确．2．当时，在同一坐标系中，函数与的图像1a >xy a -=log a y x =【答案】A【解析】当时，函数是减函数，且过点；而函数为增函数，1a >xy a -=(0,1)log a y x =且过点． (1,0)3．若，则的取值范围是22sin cos x x >xA ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππB ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππC ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππD ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ【答案】D【解析】或，解得2221sin cos sin sin 2x x x x >⇒>⇒>sin x <24k x ππ+<或，即 32()4k k Z ππ<+∈322()44k x k k Z ππππ-<<-∈(21)(21)4k x k πππ-+<<-，所以的取值范围是． 3()4k Z π+∈x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 4．复数等于54)31()22(i i -+A ． B ． C ． D ． i 31+i 31+-i 31-i 31--【答案】B．25(2)12()i ω===-+-5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种 【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有． 5252240A A =6．已知是第三象限角且，则 α24sin 25α=-tan 2α=A ．B ．C ．D ． 433434-43-【答案】D【解析】由已知得，所以 7cos 25α=-2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===． 71()42524325--==--7．如果直线与平面满足：和，那么必 ,l m ,,αβγ,//,l l m βγαα=⊂ m γ⊥有A ．且B ．且C ．且D ．且 αγ⊥l m ⊥αγ⊥//m β//m βl m ⊥//αβαγ⊥【答案】A【解析】略． 8．当时，函数的22x ππ-≤≤()sin f x x x =+A ．最大值是1，最小值是 B ．最大值是1，最小值是 1-12-C．最大值是2，最小值是 D ．最大值是2，最小值是 2-1-【答案】D【解析】因为，由已知．故当 ()sin 2sin(3f x x x x π=+=+5636x πππ-≤+≤，即时，有最大值是2；当，即时，有32x ππ+=6x π=()f x 36x ππ+=-2x π=-()f x 最小值是． 1-9．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是 4x =±12A ．B ．C ．22143x y +=22134x y +=2214x y +=D ．2214y x +=【答案】A【解析】由题设可得，解得，所以椭圆方程是．214,2a c c a ==2,1a c ==22143x y +=10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是240︒A B ． C D ．881π1081π【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则，得，， r 224021360r ππ︒=⨯︒23r ==圆锥的体积是 212()33π=11．椭圆的两个焦点坐标是222515091890x x y y -+++=A ． B ．(3,5),(3,3)---(3,3),(3,5)- C ． D ． (1,1),(7,1)-(7,1),(1,1)---【答案】B【解析】椭圆的标准方程为，而的焦点为，所以2222(1)(3)153y x +-+=2222153y x +=(0,4)±的焦点坐标是． 2222(1)(3)153y x +-+=(3,3),(3,5)-12．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的a ABCD AC BD a =D ABC -体积为A ．B ．C ．D ． 63a 123a 3123a 3122a 【答案】D【解析】取的中点，连接，如图所示．AC O ,BO DO均为等腰直角三角形，， ,ABC ADC ∆∆2AC BO DO ===∴，则面，就是三棱锥2BOD π∠=DO ⊥ABC DO D ABC-的高，所以． 231132D ABC V a a -=⋅=13．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 {}n a m 2m 3m A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得，则成等差数列，所以230,100m m S S ==232,,m m m m m S S S S S --．323()210m m m S S S =-=14．设双曲线的半焦距为，直线过两点．已知原点)0(12222b a by a x <<=-c l (,0),(0,)a b 到直线的距离为，则双曲线的离心率为 l c 43A ．2B ．C ．D ． 32332【答案】A【解析】直线的方程为，原点到直线，则 l 0bx ay ab +-=l =，即，解得或，所以 22222316a b c a b =+22222()316a c a c c -=2e =e =0ab <<，所以不合题意． e ==>e =15． 是上的奇函数，，当时，，则()f x (,)-∞+∞(2)()f x f x +=-01x ≤≤()f x x = 等于(7.5)f A ． B ． C ． D ． 0.50.5- 1.5 1.5-【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---．(0.5)0.5f =-=-第Ⅱ卷（非选择题共85分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点与抛物线的焦点的距离是5，则 ． (2,3)-)0(22>=p px y p =【答案】4，解得． 5=4p =17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37C 37332C -=个．18．的值是 ．tg20tg40tg40++【答案】3【解析】∵，∴，tg20tg40tg(2040)1tg20tg40++==-tg20tg40tg20tg40)+=tg20tg40tg40+=19．如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线ABCD ABEF 60与所成角的余弦值是 ．AD BF 【答案】42【解析】由于，所以即为异面直线与//AD BC CBF ∠AD 所成角，设正方形边长为，在中，BFa CBF ∆,,BF BC a FC====，．=222cos 2BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）解不等式．log (1)1a x a +->【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．（Ⅰ）时，原不等式等价于不等式组： ——2分1>a 10,1.x a x a a +->⎧⎨+->⎩解得． ——5分 21x a >-（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组： ——7分01a <<10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩解得． 10分121a x a -<<-综上，当时，不等式的解集为；1>a {}21x x a >-当时，不等式的解集为． ——11分 01a <<{}121x a x a -<<-21．（本小题满分12分）设等比数列的前项和为．若，求数列的公比． {}n a n n S 3692S S S +=q 【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．若，则有．但，1q =3161913,6,9S a S a S a ===10a ≠即得，与题设矛盾，故． ——2分3692S S S +≠1q ≠又依题意可得． 3692S S S +=369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---整理得．363(21)0q q q --=由得方程．， —— 9分0q ≠63210q q --=33(21)(1)0q q +-=∵ ，∴，∴ ——12分 31,1q q ≠≠3210q +=q =22．（本小题满分11分）已知的三个内角满足：，求 ABC ∆,,A B C BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+的值． 2cosCA -解法一：由题设条件知． ——2分60,120B A C =+=，∴． =-22cos 1cos 1-=+C A 将上式化为． C A C A cos cos 22cos cos -=+利用和差化积及积化和差公式，上式可化为． ——6分 )]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+将代入上式得 21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A ．cos)2A C A C -=-将代入上式并整理得 1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A ——9分0232cos(22(cos 242=--+-CA C A ，(2cos 3)022A C A C ---+=∵，∴．302A C -+≠2cos 02A C-=从而得． ——12分cos2A C -=解法二：由题设条件知．60,120B A C =+=设，则，可得， ——3分 2A C α-=2A C α-=60,60A C αα=+=-所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+C Aααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=． ——7分 ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα依题设条件有， Bcos 243cos cos 2-=-αα∵，∴．21cos =B 2243cos cos 2-=-αα整理得 ——9分22cos 0,αα+-=，(2cos 3)0αα+=∵，∴．03cos 22≠+α02cos 2=-α从而得． ——11分 222cos =-C A23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱中，，分别是上的点，111ABC A B C -13AA AB a ==,E F 11,BB CC 且．,2BE a CF a ==（Ⅰ）求证：面面； AEF ⊥ACF （Ⅱ）求三棱锥的体积．1A AEF -（Ⅰ）证明： ①∵，，延长与延,2BE a CF a ==//BE CF FE CB 长线交于，连结．D AD ∴，DBE DCF ∆∆ ∴． DB BEDC CF= ② ． ∴．DB AB =③ ． ∴．DA AC ⊥④ ． ∴．FA AD ⊥⑤ ．∴面． AEF ⊥ACF （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）②∵，∴，∴， ——1分:1:2BE CF =2DC DB =DB BC =③∵是等腰三角形，且，ABD ∆120ABD ∠=︒∴，∴， —— 3分 30BAD ∠=︒90CAD ∠=︒④∵面，∴是在面上的射影，FC ⊥ACD CA FA ACD 且， —— 5分 CA AD ⊥⑤∵，面，面，FA AC A = DA ⊥ACF DA ⊂ADF ∴面面． 7分 ADF ⊥ACF（Ⅱ）∵，11A AEF E AA F V V --=在面内作，垂足为． 111A B C 111B G A C ⊥G 1B G =面面，∴面， 111A B C ⊥1A C 1B G ⊥1A C∵，而面，∴三棱柱．——9分 1E BB ∈1//BB 1A C 1E AA F -——10分 1112A FA S AA AC ∆=⋅=∴ ——12分 11A AEF E AA FV V --==24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=，人均粮食占有量=） 耕地面积总产量总人口数总产量【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为吨/x P M 公顷．依题意得不等式．——5分 %)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M 化简得． ——7分 ]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ∵ 103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+ ． —— 9分 3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈∴（公顷）．4x ≤答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分25．（本小题满分12分）已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两12,l l )0,2(-P 12,l l 122=-x y 个交点，分别为和．11,A B 22,A B （Ⅰ）求的斜率的取值范围；1l 1k （Ⅱ）若恰是双曲线的一个顶点，求的值．1A 22A B 【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（Ⅰ）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程12,l l 1l )0,2(-P 组 ① ——1分 1122(0),1.y k x k y x ⎧=+≠⎪⎨-=⎪⎩有两个不同的解．在方程组①中消去，整理得． ②y 01222)1(2121221=-++-k x k x k 若，则方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故 0121=-k 1l ，即，方程②的判别式为0121≠-k 11≠k ．2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组2l 2k 2l )0,2(-P ③ ⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y 有两个不同的解．在方程组③中消去，整理得y ． ④01222)1(2222222=-++-k x k x k 同理有．)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为，所以有． ——4分 12l l ⊥121l l ⋅=-于是，与双曲线各有两个交点，等价于12,l l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得——6分 ⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ∴． ——7分 )3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k （Ⅱ）双曲线的顶点为．122=-x y (0,1),(0,1)-取时，有，1(0,1)A 1(01k =解得．从而——8分 1k =211k k =-=将． ⑤2k =230x ++=记与双曲线的两交点为，则 2l 211222(,),(,)A x y B x y ． 2222222122121212()()3()3[()4]A B x x y y xx x x x x =-+-=-=+-由⑤知．1212)3xx x x +=-=∴ ——11分2222260,A B A B ==当取时，由双曲线关于轴的对称性，知．1(0,1)A -122=-x y x 22A B =所以过双曲线的一个顶点时，． ——12分1l 22A B =。
1997年高考试数学试题(全国理)及答案
1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．设集合M =｛x │0≤x <2｝,集合N =｛x │x 2-2x -3<0｝,集合M ∩N = ( )(A) {}10<≤x x ； (B) {}20<≤x x ； (C) {}10≤≤x x ； (D) {}20≤≤x x 。
2．如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,那么系数a = ( )(A) －3； (B) －6； (C) 23-； (D) 32。
3．函数y =tg(π3121-x )在一个周期内的图像是 ()4．已知三棱锥D-ABC 的三个侧面与底面全等，且AB =AC =3,BC =2,则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是 ( ) (A) arccos 33； (B) arccos 31； (C) 2π； (D) 32π。
5．函数y =sin(x 23-π)+cos2x 的最小正周期是( )(A)2π； (B) π； (C) π2； (D) π4。
6．满足arccos(1－x )≥arccos x 的x 的取值范围是 ( )(A) [－1,－21]； (B) [－21,0]； (C) [0, 21]； (D) [ 21,1]。
7．将y =2x 的图像 ( )(A) 先向左平行移动1个单位； (B) 先向右平行移动1个单位； (C) 先向上平行移动1个单位； (D) 先向下平行移动1个单位。
再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数y =log 2(x +1)的图像．8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 ( )(A) 20π2； (B) 25π2； (C) 50π； (D) 200π。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(安徽卷,解析版)
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（安徽卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式： 椎体体积13V Sh =，其中S 为椎体的底面积，h 为椎体的高. 若111ni y y n ==∑（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ）为样本点，ˆybx a =+为回归直线，则 111n i x x n ==∑，111ni y y n ==∑()()()111111222111nni i n n i i i x y yy x ynx yb x x x nx a y bx====---==--=-∑∑∑∑，a y bx =-说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算. 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D) 12（1）【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题. 【解析】设()aibi b R i1+∈2-=，则1+(2)2ai bi i b bi =-=+，所以1,2b a ==.故选A.（2）集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则()U SC T 等于（A ）}{,,,1456 (B) }{,15 (C) }{4 (D) }{,,,,12345 （2）B 【命题意图】本题考查集合的补集与交集运算.属简答题. 【解析】{}1,5,6UT =，所以(){}1,6U S T =.故选B.(3) 双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)22 (C) 4 (D) 42（3）C 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C. (4) 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为 （A ）-1 (B) 1 (C) 3 (D) -3 （4）B 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，属容易题.【解析】圆的方程x y x y 22++2-4=0可变形为()()x y 22+1+-2=5，所以圆心为（－1,2），代入直线x y a 3++=0得1a =.（5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B ) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) （5）D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.(6)设变量x,y 满足,x y 1x y 1x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥0⎩,则x y +2的最大值和最小值分别为说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.（A ） 1，-1 (B) 2，-2 (C ) 1，-2 (D)2，-1（6）B 【命题意图】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等难度题.【解析】1,1,0x y x y x +=-==三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入x y +2，得最大值为2，最小值为－2.故选B.（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2,则a a a 1210++=（A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15 （7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+==+=，故a a a 1210++=3⨯5=15.故选A.(8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为第（8）题图（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+817 (D) 80(8)C 【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242⨯+⨯=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+.故选C.(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 （A ）110(B) 18 (C) 16 (D) 15（9）D 【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为31155=.故选D. (10) 函数()()nf x ax x 2=1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是 （A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(10)A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332，知a 存在.故选A.2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）第II 卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. （11）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = . (11)－3【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属中等难度题. 【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.（12）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是15 .(12)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （13）函数216y x x=--的定义域是 .(13)（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由260x x -->可得260x x +-<，即()()+320x x -<，所以32x -<<.（14）已知向量a ，b 满足（a +2b ）·（a -b ）=－6，且a =，2b =，则a 与b 的夹角为 . (14)60°【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.【解析】()()26a b a b +⋅-=-，则2226a a b b +⋅-=-，即221226a b +⋅-⨯=-，1a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅，所以,60a b 〈〉=. (15)设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交 以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.(15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像. 【解析】2222()sin 2cos2sin(2)f x a x b x a b x a b ϕ=+=+++，又31()sin cos 063322f a b a b πππ=+=+，由题意()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则22312a b a b ++对一切则x ∈R 恒成立，即222231344a b a b ab +++，223230a b ab+恒成立，而22323a b ab +，所以22323a b ab +=，此时30a b =>.所以()3sin 2cos 22sin 26f x b x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.①1111()2sin 01266f b πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故①正确； ②774713()2sin 2sin 2sin 10563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21713()2sin 2sin 2sin 5563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以7()10f π＜()5f π，②错误； ③()()f x f x -≠±，所以③正确；④由①知()3sin 2cos 22sin 26f x b x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，0b >， 由222262k x k πππππ-++知236k x k ππππ-+，所以③不正确；⑤由①知30a b =>，要经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交，则此直线与横轴平行，又()f x 的振幅为23b b >，所以直线必与()f x 图像有交点.⑤不正确.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分13分)在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.（16）解：∵A＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1cos 2A =， 又0°<A<180°，所以A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 23b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()2+=⨯+⨯=.（17）（本小题满分13分）设直线11221212:x+1:y=k x 1k k k k +20l y k l =-⋅=，，其中实数满足，（I ）证明1l 与2l 相交；（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上. （18）（本小题满分13分）设()2xe f x =，其中a 为正实数.(Ⅰ)当34a =时，求()f x 的极值点； (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. （19）（本小题满分13分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，,OAB OAC ，ODF 都是正三角形。
1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)答案
参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,满分65分.(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)D (7)D(8)C(9)B (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.三、解答题(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一：-------2分于是,.-------5分由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形. -------------7分解法二:由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.-------------10分(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.解:,. -------------3分分两种情况讨论.(Ⅰ)p>1.=p. -------------7分(Ⅱ)p<1.∵ 0<q<p<1,-------11分(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.-------------4分故所求函数及其定义域为.-------------5分(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有.因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即当v=c时,全程运输成本y最小.(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D 1F 面DC1,∴AD⊥D1F. -------------2分(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角. -------------5分(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F 面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. -------------7分(Ⅳ)连结GE,GD1.∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,∵AA1=2,(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-x1)(x-x2).------------2分当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x). ------------4分,所以x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.得 x1-f(x)>0.由此得f(x)<x1.------------7分(Ⅱ)依题意知因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.,------------9分.因为ax2<1,所以.------------12分(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.r2=2b2------------2分又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. -------------5分又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,-------------7分所以 5d2=│a-2b│2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.-------------10分由此有解此方程组得由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分解法二:同解法一得∴得①将a2=2b2-1代入①式,整理得②把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即△=8(5d2-1)≥0,得 5d2≥1..将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.综上a=±1,b=±1,r2=2.由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分。
1997年全国高考数学试题
一九九七年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合M=}20|{<≤x x ，集合N=}032|{2<--x x x ，集合=⋂N M （ B ）（A ）}10|{<≤x x （B ）}20|{<≤x x （C ）}10|{≤≤x x （D ）}20|{≤≤x x（2）如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数=a （ B ）（A ）-3 (B)-6 (C)23- (D)32（3）函数)3121(π-=x tg y 在一个周期内的图象是 （ A ）（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是 （A ）33arccos（B ）31arccos （C ）2π （D ）32π （ C ）（5）函数x x y 2cos )23sin(+-π=的最小正周期是 （ B ）(A) (B) (C) (D)x x（A ）2π （B ）π （C ）π2 （D ）π4（6）满足x x arccos )1arccos(≥-的x 的取值范围是 （ D ） （A ）[-1，21-]（B ）[21-，0]（C ）[0，21]（D ）[21，1] （7）将x y 2=的图象 （ D ） （A ）先向左平行移动1个单位（B ）先向右平行移动1个单位 （C ）先向上平行移动1个单位（D ）先向下平行移动1个单位 再作关于直线x y =对称的图象，可得到函数)1(log 2+=x y 的图象 （8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 （ C ） （A ）π220 （B ）π225 （C ）π50 （D ）π200（9）曲线的参数方程是)0,(.1,112≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t t t y t x 是参数，它的普通方程是（A ）1)1()1(2=--y x （B ）2)1()2(x x x y --=（ B ） （C ）1)1(12--=x y （D ）112+-=x x y （10）函数2cos 3cos 2+-=x x y 的最小值为 （ B ） （A ）2 （B ）0 （C ）41- （D ）6（11）椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线0=+y x 对称，椭圆C 的方程是 （ A ）（A ）19)3(4)2(22=+++y x （B ）14)3(9)2(22=-+-y x （C ）14)3(9)2(22=+++y x （D ）19)3(4)2(22=-+-y x（12）圆台上、下底面积分别为ππ4,，侧面积为π6，这个圆台的体积是 （ D ） （A ）332π （B ）π32 （C ）637π （D ）337π（13）定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 为增函数;偶函数)(x g 在区间),0[+∞的图象与)(x f 的图象重合。
近五年安徽文科高考数学试卷及答案2
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第I 至第2页，第II 卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第II 卷时，必须用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上．．．．．书写．在试题卷上作答无．．．．．．．．效．． 4．考试结束，监考员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式(1)122n n n ++++=34π3V R =222(1)(21)126n n n n +++++=其中R 表示球的半径22333(1)124n n n ++++=第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B =（ ）Ａ．{}3Ｂ．{}1Ｃ．∅Ｄ．{}1-2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．2Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．233．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（ ） Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．64．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ） Ａ．2()f x x =，[0)x ∈+∞，Ｂ．3()()f x x x =∈-∞+∞，，Ｃ．()e ()xf x x =∈-∞+∞，，Ｄ．1()f x x=，(0)x ∈+∞， 5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为（ ） Ａ．2-或2Ｂ．12或32Ｃ．2或0 Ｄ．2-或0 6．设t ，m ，n 均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 7．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）Ａ．312y x =- (02)x ≤≤Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤Ｄ．11y x =--(02)x ≤≤8．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为（ ）Ａ．n m p >>Ｂ．m p n >> Ｃ．m n p >> Ｄ．p m n >>9．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） Ａ．321-Ｃ．1110．把边长为的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（ ）Ｃ．π Ｂ．π2 Ｄ．π311．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．3Ｄ．52007年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）第7题图数学（文科）第II 卷（非选择题共95分）注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．12．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值等于 ．13．在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（用a b c ，，表示）14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为． 15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 解不等式(311)(sin 2)0x x --->．17．（本小题满分14分） 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示） 18．（本小题满分14分）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； ABCD1A1B1C 1D（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 19．（本小题满分13分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． （I ）求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率； （II ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率． 20．（本小题满分14分） 设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ， 其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ． （I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．256-13．111244a b c ++ 14．31115．①②③三、解答题16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．解：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<． 即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<． 所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）：以D 为原点，以1DADC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B ==，∴． AC ∴与11AC 平行，DB 与11D B 平行，于是11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-=，，，，··，(220)(220)0DB AC =-=，，，，··， 1DD AC ⊥∴，DB AC ⊥．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=-，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+=·n ，111120BB x y z =--+=n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+=m ·，12220CC y z =-+=m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11AC EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B OC F ， ∥∥，连结OE OF ，， ABCD1A1B1C 1D MOEF于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． 1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴． 1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面1ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B ==． 1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·，BM =AM =，CM =． 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．解：（I ）设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x xy x x -=-． 即20424x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，2016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，， 得2440x kx --=， 由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k +===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．解：以k A 表示恰剩下k 只果蝇的事件(016)k =，，，． 以m B 表示至少剩下m 只果蝇的事件(016)m =，，，． 可以有多种不同的计算()k P A 的方法．方法1（组合模式）：当事件k A 发生时，第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k -只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以17287()28kk C k P A C --==． 方法2（排列模式）：当事件k A 发生时，共飞走8k -只蝇子，其中第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k -只飞出的蝇子中有6k -只是果蝇，有68kC -种不同的选择可能，还需考虑这7k -只蝇子的排列顺序．所以162688(7)!7()28kk kC C k kP A A ----==． 由上式立得163()2814P A ==； 356563()()()()28P B P A A P A P A =+=+=． 20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I ）我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：由此可见，()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径如果事件A B ，相互独立，那么 球的体积公式 34π3V R =()()()P A B P A P B =其中R 表示球的半径第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）．若A 为位全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1AB =--B ． ()(,0)R A B =-∞ðC ．(0,)AB =+∞D ． }{()2,1R A B =--ð 解：R A ð是全体非正数的集合即负数和0，所以}{()2,1R A B =--ð（2）．若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC =（ ）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）解：向量基本运算 (1,3)(2,4)(1,1)BC AC AB =-=-=--（3）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖解：定理：垂直于一个平面的两条直线互相平行，故选B 。
2007—2011年历年安徽高考数学试卷(文、理及答案)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。
4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=PA ．+PB ． S=4лR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=PA ．+PB ． 球的体积公式1+2+…+n 2)1(+n n V=334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径 13+23++n 3=4)1(22+n n 第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．[)+∞∈=,0,)(3x x x f B ．[)+∞∞-∈=,,)(3x x x fC ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f xD ．),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ＜-1B ．a ≤1C ． a ＜1D ．a ≥14．若a 为实数，iai212++＝-2i ，则a 等于 A ．2B ．—2C ．22D ．—22 5．若}{8222<≤Z ∈=-x x A ，{}1log R 2>∈=x x B ，则)(C R B A ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ， ①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确论断的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 7．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A ．15-B ．154-C ．122-D ．12-8．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．)33arccos(- B ．)36arccos(-C ．)31arccos(-D ．)41arccos(- 9．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a br a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+10．以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ<-P 等于A ．)(σμφ+-)(σμφ-B ．)1()1(--φφC ．)1(σμφ-D ．)(2σμφ+11．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
1997年全国统一高考数学试卷(理科) (2)
1997年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A ．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x 2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A ．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A ．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A ．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos （1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（）A ．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]故选D．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）A ．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）即函数y=2x 平移后的函数为y=2x﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB．25πC．50πD．200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A ．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A ．2 B．0 C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A ．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A ．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f （b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A ．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A ．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n和S n﹣1的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．。
1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.文)答案
参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。
第（1）-（10）题每小题4分,第（11）-（15）题每小题5分.满分65分.（1）B （2）B （3）A （4）C （5）B （6）C （7）D （8）C（9）A （10）B （11）A （12）D （13）C （14）C （15）B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.注:第（19）题多填、漏填和错填均给0分.三、解答题（20）本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识,考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力.满分10分.解法一：将已知复数化为复数三角形式:------------2分依题意有 zω+zω3------------8分解法二: zω+zω3=zω（1+ω2）------------4分------------8分（21）本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识,考查运算能力.满分11分.解：设等差数列｛a n｝的首项a1=a,公差为d,则通项为a n=a+（n-1）d,前n项和为, ------------2分依题意有其中S5≠0.由此可得------------4分整理得解方程组得------------8分由此得a n=1;------------8分（22）本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.满分12分.本为, ------------4分故所求函数及其定义域为.------------5分（Ⅱ）依题意知S,a,b,v都为正数,故有.因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即当v=c时,全程运输成本y最小.（23）本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,考查逻辑推理和空间想象能力.满分12分.解：（Ⅰ）∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D1F 面DC1,∴AD⊥D1F.------------2分（Ⅱ）取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,∠AHA1是AE与D1F所成的角.因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°,也即直线AE与D1F所成的角为直角. ------------5分（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F,由（Ⅱ）知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D 1F 面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. ------------7分（Ⅳ）∵体积V E-AA1F=V F-AA1E,又FG⊥面ABB1A1,三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2,（24）本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查运算能力和分析问题的能力,满分12分.解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x1,x2,由题设知,x1>1,x2>1.则点A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上,------------2分点C、D坐标分别为（x1,log2x1）,（x2,log2x2）.,------------4分.由此可知,k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.------------7分（Ⅱ）由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2,. ------------9分代入x2log8x1=x1log8x2得.由于x1>1知log8x1≠0,.------------12分（25）本小题主要考查轨迹的思想,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解：设圆P的圆心为P（a,b）,半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆Pr2=2b2------------3分又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. ------------6分,------------8分即有a-2b=±1,由此有解方程组得于是r2=2b2=2,所求圆的方程是（x+1）2+（y+1）2=2,或（x-1）2+（y-1）2=2. ------------12分。
【高考数学试题】1997年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案
【高考数学试题】1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一.选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N=(A)｛x│0≤x<1｝(B)｛x│0≤x<2｝(C)｛x│0≤x≤1｝(D)｛x│0≤x≤2｝(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=(A)-3 (B)-6 (C)-3/2(D)2/3(A) (B) (C) (D)(4)已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面都相等,且AB=AC=,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是(A)arocos(/3) (B)arccos(1/3)(C)π/2 (D)2π/3(5)函数y=sin[(π/3)-2x]+cos2x的最小正周期是(A)π/2 (B)π (C)2π (D)4π(6)满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是(A)[-1,-1/2] (B)[-1/2,0] (C)[0,1/2](D)[1/2,1](7)将y=2x的图象(A)先向左平行移动1个单位(B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位(D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是(A)20π(B)25π(C)50π(D)200π(10)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为(A)2(B)6(C)-1/4(D)6(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是(A)2π/3(B)2π (C)7π/6(D)7π/3(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式:①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),。
1997年安徽高考文科数学真题及答案
1997年安徽高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合M ={x |0≤x <2}，集合N ={x |x 2－2x －3<0}，集合M ∩N = ( )(A) {x |0≤x <1} (B) {x |0≤x <2} (C) {x |0≤x ≤1}(D) {x |0≤x ≤2}(2) 如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a = ( )(A) －3(B) －6(C) －23(D)32 (3) 函数y =tg ⎪⎭⎫⎝⎛-π3121x 在一个周期内的图像是( )(4) 已知三棱锥D —ABC 的三个侧面与底面全等，且AB =AC =3，BC =2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( )(A)4π(B)3π (C)2π (D)32π(5) 函数y =sin(3π－2x )+sin2x 的最小正周期是 ( )(A)2π (B)π(C) 2π(D) 4π(6) 满足tg a ≥ctg a 的角a 的一个取值区间是 ( )(A) ⎥⎦⎤⎝⎛40π，(B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，(C) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡24ππ，(D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，(7) 设函数y =f (x )定义在实数集上，则函数y =f (x －1)与y =f (1－x )的图像关于( )(A) 直线y =0对称 (B) 直线x =0对称 (C) 直线y =1对称(D) 直线x =1对称(8) 长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )(A) 202π(B) 252π(C) 50π(D) 200π(9) 如果直线l 将圆：x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )(A) [0，2](B) [0，1](C) [0，21] (D) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡210，(10) 函数y =cos 2x －3cos x +2的最小值为 ( )(A) 2(B) 0(C) －41(D) 6(11) 椭圆C 与椭圆()()1429322=-+-y x 关于直线x +y =0对称，椭圆C 的方程是( )(A)()()1934222=+++y x(B)()()1439222=-+-y x(C)()()1439222=+++y x(D)()()1934222=-+-y x(12) 圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是 ( ) (A)332π(B) π32(C)637π(D)337π(13) 定义在区间(－∞，+∞)的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[)∞+，0的图像与f (x )的图像重合．设a >b >0，给出下列不等式( )① f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )；② f (b )－f (－a ) < g (a )－g (－b )； ③ f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )；④ f (a )－f (－b )<g (b )－g (a )． (A) ①与④(B) ②与③(C) ①与③(D) ②与④(14) 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是( )(A) {x |0<x <2} (B) {x |0<x <2．5} (C) {x |0<x <6}(D) {x |0<x <3}(15) 四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有( )(A) 30种(B) 33种(C) 36种 (D) 39种第Ⅱ卷(非选择题 共85分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为___________ (17)已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段的中点坐标是_______(18)︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为__________(19)已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l ．其中正确的命题的序号是___________ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上) 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分10分) 已知复数i z 2321+=，i 2222+=ω．求复数3ωωz z +的模及辐角主值． (21)(本小题满分11分)设S n 是等差数列{a n }前n 项的和．已知331S 与441S 的等比中项为551S ，331S 与441S 的等差中项为1．求等差数列{a n }的通项a n ．(22)(本小题满分12分)甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．(Ⅰ)把全程运输成本．．．．．．y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (Ⅱ)为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？ (23)(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． (Ⅰ)证明AD ⊥D 1F ； (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角； (Ⅲ)证明面AED ⊥面A 1FD 1；(Ⅳ)设AA 1=2，求三棱锥E －AA 1F 的体积F AA E V 1-． (24)(本小题满分12分)已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图像交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数的y =log 2x 的图像交于C 、D 两点．(Ⅰ)证明点C 、D 和原点O 在同一条直线上； (Ⅱ)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标． (25)(本小题满分12分)已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55．求该圆的方程．1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分．满分65分．(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4 (17) (4，2) (18)2－3 (19)①，④ 注：第(19)题多填、漏填和错填均给0分． 三、解答题(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力．满分10分．解法一：将已知复数化为复数三角形式：3sin 3cos 2321ππi i z +=+=，i 2222+=ω 4sin4cosππi +=依题意有z ω+z ω3=(cos 127π+i sin 127π)+(cos 1213π+i sin 1213π) =(cos 127π+cos 1213π)+i (sin 127π+sin 1213π)=2cos 4π(cos 65π+i sin 65π)故复数z ω+z ω3的模为2，辐角主值为65π．解法二：z ω+z ω3= z ω(1+ω2) =(21+23i )(22+22i )(1+i )=2(－23i +21i ) =2(cos65π+i sin 65π) (21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．满分11分．解：设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ，则通项为 a n =a +(n －1)d ， 前n 项和为()d n n na S n 21-+=， 依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅24131514131432543S S S S S 其中S 5≠0． 由此可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+223444122333124552512344412233312d a d a d a d a d a整理得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22520532d a d ad 解方程组得⎩⎨⎧==10a d ⎪⎩⎪⎨⎧=-=4512a d 由此得a n =1；或 a n =4－512(n －1) =532－512n ．经验证知时a n =1，S 5=5，或n a n 512532-=时，S 5=－4，均适合题意． 故所求等差数列的通项为a n =1，或n a n 512532-=．(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．满分12分．解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为 y =a ·v s +bv 2·v s =S (va +bv ) 故所求函数及其定义域为 y = S (va+bv )，v ∈(]c ，0 (Ⅱ)依题意知S 、a 、b 、v 都为正数，故有S (va+bv )≥2ab S ． 当且仅当bv va=，即bav =时上式中等号成立．若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小． 若c ba>，当(]c x ，0∈时，有 S (v a +bv )－S (c a +bc )= S [(v a －c a )+(bv －bc )]=vcS (c －v )(a －bcv )． 因为c －v ≥0，且a >bc 2，故有a －bcv ≥a －bc 2>0，所以S (v a +bv )≥S (ca+bc )，且仅当v =c 时等号成立． 也即当v =c 时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为b ab v =；当c bab>时行驶速度应为．(23)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力．满分12分．解：(Ⅰ) ∵ AC 1是正方体， ∴ AD ⊥面DC 1． 又D 1F ⊂面DC 1， ∴ AD ⊥D 1F ．(Ⅱ)取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ．因为F 是CD 的中点，所以GF 、AD 平行且相等，又A 1D 1、AD 平行且相等，所以GF 、A 1D 1平行且相等，故GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ．设A 1G 与AE 相交于点H ，∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角． 因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ， 从而∠AHA 1=90º，也即直线AE 与D 1F 所成的角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ， 所以D 1F ⊥面AED ．又因为D 1F ⊂面A 1FD 1，所以面AED ⊥面A 1FD 1． (Ⅳ)∵ 体积E AA F F AA E V V 11--=，又FG ⊥面ABB 1A 1，三棱锥F －AA 1E 的高FG =AA 1=2，面积 E AA S 1∆=21S □11A ABB =21×22=2． ∴F AA E V 1-=31×E AA S 1∆×FG =31×2×2=34(24)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2由题设知，x 1>1，x 2>1．则点A 、B 纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2．因为A 、B 在过点O 的直线上，所以，228118log log x x x x = 点C 、D 坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)． 由于log 2x 1=2log log 828x －3 log 8x 1，log 2x 2=2log log 828x =3log 8x 2OC 的斜率 1181121log 3log x x x x k ==， OD 的斜率 2282222log 3log x x x x k ==． 由此可知，k 1=k 2，即O 、C 、D 在同一条直线上． (Ⅱ)由于BC 平行于x 轴知 log 2x 1= log 8x 2， 即得 log 2x 1=31log 2x 2， ∴ x 2=31x ．代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得31x log 8x 1=3x 1log 8x 1．由于x 1>1知log 8x 1≠0， ∴ 31x =3x 1．考虑x 1>1解得x 1=3．于是点A 的坐标为(3，log 83)．(25)本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分． 解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=， 即有 a －2b =±1， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2， 所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．。
精编版-1996年安徽高考文科数学真题及答案
1996年安徽高考文科数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7I =，集合{}{}1,3,5,7,3,5A B ==．则 A ．I AB = B ．I A B =C ．I A B =D ．I A B =【答案】C【解析】显然C 正确．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ． 4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31-- 【答案】B44425(2)12()i ω===-+-．5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种 【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有5252240A A =．6．已知α是第三象限角且24sin 25α=-，则tan 2α=A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【答案】D【解析】由已知得7cos 25α=-，所以2sin 2sin 1cos 22tan 2sin cos2sincos222αααααααα-===71()42524325--==--．7．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 8．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-．9．中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为12的椭圆方程是 A ．22143x y +=B．22134x y +=C ．2214x y +=D ．2214y x += 【答案】A【解析】由题设可得214,2a c c a ==，解得2,1a c ==，所以椭圆方程是22143x y +=．10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240︒，该圆锥的体积是A ．81 B ．881π C D ．1081π【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r ，则224021360r ππ︒=⨯︒，得23r =，则圆锥高为=，圆锥的体积是212()33π=．11．椭圆222515091890x x y y -+++=的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】椭圆的标准方程为2222(1)(3)153y x +-+=，而2222153y x +=的焦点为(0,4)±，所以2222(1)(3)153y x +-+=的焦点坐标是(3,3),(3,5)-．12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123aC ．3123aD ．3122a【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，222AC aBO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以23112232212D ABC a V a a -=⋅⋅=．13．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．14．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 的距离为2234ab c a b =+，则 22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或233e =，又0a b <<，所以e ==>，所以e =15． ()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点(2,3)-与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离是5，则p = ． 【答案】45=，解得4p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，222,,BF a BC a FC FD CD ===+=2222cos602AD FA AD FA CD a +-⋅︒+=，2222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）解不等式log (1)1a x a +->．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．（Ⅰ）1>a 时，原不等式等价于不等式组：10,1.x a x a a +->⎧⎨+->⎩——2分解得21x a >-． ——5分 （Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩ ——7分解得121a x a -<<-． 10分综上，当1>a 时，不等式的解集为{}21x x a >-；当01a <<时，不等式的解集为{}121x a x a -<<-． ——11分21．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若3692S S S +=，求数列的公比q ． 【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．若1q =，则有3161913,6,9S a S a S a ===．但10a ≠，即得3692S S S +≠，与题设矛盾，故1q ≠． ——2分又依题意3692S S S +=可得369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---． 整理得363(21)0q q q --=．由0q ≠得方程63210q q --=．33(21)(1)0q q +-=， —— 9分∵ 31,1q q ≠≠，∴3210q +=，∴q =． ——12分22．（本小题满分11分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 解法一：由题设条件知60,120B AC =+=． ——2分260=-22cos 1cos 1-=+C A ． 将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得cos)22A C A C -=-． 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos 3)022A C A C ---+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos22A C -=． ——12分 解法二：由题设条件知60,120B A C =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos =-C A ． ——11分23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB a ==，,E F 分别是11,BB CC 上的点，且,2BE a CF a ==．（Ⅰ）求证：面AEF ⊥面ACF ； （Ⅱ）求三棱锥1A AEF -的体积．（Ⅰ）证明： ①∵,2BE a CF a ==，//BE CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ．∴DBE DCF ∆∆，∴DB BEDC CF=． ② ． ∴DB AB =．③ ． ∴DA AC ⊥．④ ． ∴FA AD ⊥．⑤ ． ∴AEF ⊥面ACF ． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）②∵:1:2BE CF =，∴2DC DB =，∴DB BC =， ——1分③∵ABD ∆是等腰三角形，且120ABD ∠=︒，∴30BAD ∠=︒，∴90CAD ∠=︒， —— 3分 ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是FA 在面ACD 上的射影，且CA AD ⊥， —— 5分 ⑤∵FA AC A =，DA ⊥面ACF ，DA ⊂面ADF ，∴面ADF ⊥面ACF ． 7分 （Ⅱ）∵11A AEF E AA F V V --=，在面111A B C 内作111BG AC ⊥，垂足为G ．1B G = 面111A B C ⊥面1AC ，∴1B G ⊥面1AC ，∵1E BB ∈，而1//BB 面1AC ，∴三棱柱1E AA F -的高为2．——9分1112A FA S AA AC ∆=⋅=． ——10分∴11A AEF E AA FV V --== ——12分24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量） 【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷． 依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分 ∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分25．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1A 恰是双曲线的一个顶点，求22A B 的值．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（Ⅰ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组1122(0),1.y k x k y x ⎧=≠⎪⎨-=⎪⎩ ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故 0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分 ∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）双曲线122=-x y 的顶点为(0,1),(0,1)-．取1(0,1)A时，有1(01k =，解得1k =．从而211k k =-= ——8分将2k =230x ++=． ⑤记2l 与双曲线的两交点为211222(,),(,)A x y B x y ，则 2222222122121212()()3()3[()4]A B x x y y x x x x x x =-+-=-=+-．由⑤知1212)3x x x x +=-=．∴2222260,A B A B == ——11分当取1(0,1)A -时，由双曲线122=-x y 关于x轴的对称性，知22A B =所以1l过双曲线的一个顶点时，22A B = ——12分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1997年安徽高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合M ={x |0≤x <2}，集合N ={x |x 2－2x －3<0}，集合M ∩N = ( )(A) {x |0≤x <1} (B) {x |0≤x <2} (C) {x |0≤x ≤1}(D) {x |0≤x ≤2}(2) 如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a = ( )(A) －3(B) －6(C) －23(D)32 (3) 函数y =tg ⎪⎭⎫⎝⎛-π3121x 在一个周期内的图像是( )(4) 已知三棱锥D —ABC 的三个侧面与底面全等，且AB =AC =3，BC =2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( )(A)4π(B)3π (C)2π (D)32π(5) 函数y =sin(3π－2x )+sin2x 的最小正周期是 ( )(A)2π (B)π(C) 2π(D) 4π(6) 满足tg a ≥ctg a 的角a 的一个取值区间是 ( )(A) ⎥⎦⎤⎝⎛40π，(B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，(C) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡24ππ，(D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，(7) 设函数y =f (x )定义在实数集上，则函数y =f (x －1)与y =f (1－x )的图像关于( )(A) 直线y =0对称 (B) 直线x =0对称 (C) 直线y =1对称(D) 直线x =1对称(8) 长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )(A) 202π(B) 252π(C) 50π(D) 200π(9) 如果直线l 将圆：x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )(A) [0，2](B) [0，1](C) [0，21] (D) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡210，(10) 函数y =cos 2x －3cos x +2的最小值为 ( )(A) 2(B) 0(C) －41(D) 6(11) 椭圆C 与椭圆()()1429322=-+-y x 关于直线x +y =0对称，椭圆C 的方程是( )(A)()()1934222=+++y x(B)()()1439222=-+-y x(C)()()1439222=+++y x(D)()()1934222=-+-y x(12) 圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是 ( ) (A)332π(B) π32(C)637π(D)337π(13) 定义在区间(－∞，+∞)的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[)∞+，0的图像与f (x )的图像重合．设a >b >0，给出下列不等式( )① f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )；② f (b )－f (－a ) < g (a )－g (－b )； ③ f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )；④ f (a )－f (－b )<g (b )－g (a )． (A) ①与④(B) ②与③(C) ①与③(D) ②与④(14) 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是( )(A) {x |0<x <2} (B) {x |0<x <2．5} (C) {x |0<x <6}(D) {x |0<x <3}(15) 四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有( )(A) 30种(B) 33种(C) 36种 (D) 39种第Ⅱ卷(非选择题 共85分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为___________ (17)已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段的中点坐标是_______(18)︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为__________(19)已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l ．其中正确的命题的序号是___________ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上) 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分10分) 已知复数i z 2321+=，i 2222+=ω．求复数3ωωz z +的模及辐角主值． (21)(本小题满分11分)设S n 是等差数列{a n }前n 项的和．已知331S 与441S 的等比中项为551S ，331S 与441S 的等差中项为1．求等差数列{a n }的通项a n ．(22)(本小题满分12分)甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．(Ⅰ)把全程运输成本．．．．．．y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (Ⅱ)为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？ (23)(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． (Ⅰ)证明AD ⊥D 1F ； (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角； (Ⅲ)证明面AED ⊥面A 1FD 1；(Ⅳ)设AA 1=2，求三棱锥E －AA 1F 的体积F AA E V 1-． (24)(本小题满分12分)已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图像交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数的y =log 2x 的图像交于C 、D 两点．(Ⅰ)证明点C 、D 和原点O 在同一条直线上； (Ⅱ)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标． (25)(本小题满分12分)已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55．求该圆的方程．1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分．满分65分．(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4 (17) (4，2) (18)2－3 (19)①，④ 注：第(19)题多填、漏填和错填均给0分． 三、解答题(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力．满分10分．解法一：将已知复数化为复数三角形式：3sin 3cos 2321ππi i z +=+=，i 2222+=ω 4sin4cosππi +=依题意有z ω+z ω3=(cos 127π+i sin 127π)+(cos 1213π+i sin 1213π) =(cos 127π+cos 1213π)+i (sin 127π+sin 1213π)=2cos 4π(cos 65π+i sin 65π)故复数z ω+z ω3的模为2，辐角主值为65π．解法二：z ω+z ω3= z ω(1+ω2) =(21+23i )(22+22i )(1+i )=2(－23i +21i ) =2(cos65π+i sin 65π) (21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．满分11分．解：设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ，则通项为 a n =a +(n －1)d ， 前n 项和为()d n n na S n 21-+=， 依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅24131514131432543S S S S S 其中S 5≠0． 由此可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+223444122333124552512344412233312d a d a d a d a d a整理得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22520532d a d ad 解方程组得⎩⎨⎧==10a d ⎪⎩⎪⎨⎧=-=4512a d 由此得a n =1；或 a n =4－512(n －1) =532－512n ．经验证知时a n =1，S 5=5，或n a n 512532-=时，S 5=－4，均适合题意． 故所求等差数列的通项为a n =1，或n a n 512532-=．(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．满分12分．解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为 y =a ·v s +bv 2·v s =S (va +bv ) 故所求函数及其定义域为 y = S (va+bv )，v ∈(]c ，0 (Ⅱ)依题意知S 、a 、b 、v 都为正数，故有S (va+bv )≥2ab S ． 当且仅当bv va=，即bav =时上式中等号成立．若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小． 若c ba>，当(]c x ，0∈时，有 S (v a +bv )－S (c a +bc )= S [(v a －c a )+(bv －bc )]=vcS (c －v )(a －bcv )． 因为c －v ≥0，且a >bc 2，故有a －bcv ≥a －bc 2>0，所以S (v a +bv )≥S (ca+bc )，且仅当v =c 时等号成立． 也即当v =c 时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为b ab v =；当c bab>时行驶速度应为．(23)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力．满分12分．解：(Ⅰ) ∵ AC 1是正方体， ∴ AD ⊥面DC 1． 又D 1F ⊂面DC 1， ∴ AD ⊥D 1F ．(Ⅱ)取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ．因为F 是CD 的中点，所以GF 、AD 平行且相等，又A 1D 1、AD 平行且相等，所以GF 、A 1D 1平行且相等，故GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ．设A 1G 与AE 相交于点H ，∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角． 因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ， 从而∠AHA 1=90º，也即直线AE 与D 1F 所成的角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ， 所以D 1F ⊥面AED ．又因为D 1F ⊂面A 1FD 1，所以面AED ⊥面A 1FD 1． (Ⅳ)∵ 体积E AA F F AA E V V 11--=，又FG ⊥面ABB 1A 1，三棱锥F －AA 1E 的高FG =AA 1=2，面积 E AA S 1∆=21S □11A ABB =21×22=2． ∴F AA E V 1-=31×E AA S 1∆×FG =31×2×2=34(24)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2由题设知，x 1>1，x 2>1．则点A 、B 纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2．因为A 、B 在过点O 的直线上，所以，228118log log x x x x = 点C 、D 坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)． 由于log 2x 1=2log log 828x －3 log 8x 1，log 2x 2=2log log 828x =3log 8x 2OC 的斜率 1181121log 3log x x x x k ==， OD 的斜率 2282222log 3log x x x x k ==． 由此可知，k 1=k 2，即O 、C 、D 在同一条直线上． (Ⅱ)由于BC 平行于x 轴知 log 2x 1= log 8x 2， 即得 log 2x 1=31log 2x 2， ∴ x 2=31x ．代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得31x log 8x 1=3x 1log 8x 1．由于x 1>1知log 8x 1≠0， ∴ 31x =3x 1．考虑x 1>1解得x 1=3．于是点A 的坐标为(3，log 83)．(25)本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分． 解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=， 即有 a －2b =±1， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2， 所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．。