初等数论作业

《初等数论》作业

第一次作业：

一、单项选择题

1、=),0(b （ ）.

A b

B b -

C b

D 0

2、如果a b ，b a ，则( ).

A b a =

B b a -=

C b a ≤

D b a ±=

3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.

A a

B b

C 1

D b a +

4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7

5、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个

6、如果n 3，n 5，则15（）n .

A 整除

B 不整除

C 等于

D 不一定

7、在整数中正素数的个数（ ）.

A 有1个

B 有限多

C 无限多

D 不一定

二、计算题

1、求24871与3468的最大公因数?

2、求[24871,3468]=?

3、求[136,221,391]=?

三、证明题

1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.

2、证明对于任意整数n ,数6233

2n n n ++是整数.

3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.

4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.

第二次作业

一、单项选择题

1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D

a b a ),(

2、不定方程210231525=+y x （A ）.

A 有解

B 无解

C 有正数解

D 有负数解

二、求解不定方程

1、144219=+y x .

解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；

化简得4873=+y x ；

考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，

所以原方程的特解为48,96=-=y x ，

因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

2、18176=-y x .

解：因为 18)17,6(,所以有解; 考虑1176=-y x ,1,3==y x ;

所以18,54==y x 是特解,

即原方程的解是 t y t x 618,1754-=-=

3、2537107=+y x .

解：因为（107，37）=125，所以有解；

考虑137107=+y x ， 有26,9-==y x ，

所以，原方程特解为259⨯=x =225，2526⨯-=y =-650，

所以通解为t y t x 107650,37225--=+=

4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.

解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t, t+7z=4.

利用求二元一次不定方程的方法,因为 25(-t)+13(2t)= t, 32+7⨯(-4)=4,

所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧-=+-=1125213k t y k t x , ⎩

⎨⎧--=+=224732k z k t . 消去t 就得到所求的解⎪⎩

⎪⎨⎧--=+-=-+-=22121414256471332k z k k y k k x ,

这里21,k k 是任意整数.

5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.

解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.

利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)= t, 48+5⨯(-8)=8,

所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧--=--=11492k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=2

28548k z k t .

消去t 就得到所求的解⎪⎩

⎪⎨⎧--=---=---=221218544810996k z k k y k k x ,

这里21,k k 是任意整数.

第三次作业：

一、选择题

1、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9

2、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9

3、模5的最小非负完全剩余系是( ).

A -2,-1,0,1,2

B -5,-4,-3,-2,-1

C 1,2,3,4,5

D 0,1,2,3,4

4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则

A )(mod m bc ac ≡

B b a =

C ac T )(mod m bc

D b a ≠

二、解同余式（组）

（1）)132(mod 2145≡x .

（2）)45(mod 01512≡+x

（3）)321(mod 75111≡x .

（4）⎪⎩

⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .

（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)

9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . 三、证明题

1、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.

2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .

第四次作业：

一、计算：

1、判断同余式)593(mod 4382≡x 是否有解？

2、判断同余式)1847(mod 3652≡x 是否有解？

3、求11的平方剩余与平方非剩余.

4、计算⎪⎭

⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. 5、计算⎪⎭

⎫ ⎝⎛443383 二、证明题：

1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

2、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.

4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.