无穷级数-函数展开成幂级数

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高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开

sin x x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 x (,) .
3! 5!
(2n 1)!
12
二、函数的幂级数展开
2.间接展开法
间接展开法, 就是利用已知函数的幂级数展开式, 通过幂级数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分等）以及变量代换等, 获得所求函数的幂级数展开式.这种方法不但计算简单, 而且可以避免研究余项.由于函数的幂级数展开式是唯一的, 因此间接法与直接法展成的幂级数是一致的.
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 )!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、函数的幂级数展开例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
称为函数 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数,
特别地, 函数 f (x) 在 x0 0 处的泰勒级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n) (0) xn
第二步求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,

函数能展开成幂级数的条件

函数能展开成幂级数的条件引言在数学的研究中，幂级数是一个非常重要的概念。

幂级数是无穷级数的一种特殊形式，其中每一项都是变量的幂次方乘以一个系数。

展开成幂级数可以帮助我们在计算中简化问题，建立起函数与无穷级数之间的关系。

那么，函数能够展开成幂级数的条件是什么呢？在本文中，我们将深入探讨这个问题。

一、函数的定义在开始讨论函数能够展开成幂级数的条件之前，我们首先需要对函数的定义进行了解。

函数是数学中的一个基本概念，表示一种变量之间的对应关系。

通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是与x对应的函数值。

函数的定义域是指所有可能的x的取值范围，而值域则是函数在定义域上所有可能的函数值。

函数可以是实数函数，也可以是复数函数。

二、幂级数的定义2.1 幂级数的形式幂级数是一种特殊的数学级数，可以表示为：∞(x−c)n=a0+a1(x−c)1+a2(x−c)2+⋯∑a nn=0其中a n是常数系数，c是常数。

2.2 幂级数的收敛性幂级数的收敛性取决于变量x相对于常数c的距离。

如果存在一个非负数R，使得当|x−c|<R时，幂级数收敛，即级数部分和有界，那么我们称R为幂级数的收敛半径。

三、函数展开成幂级数的条件函数能够展开成幂级数的条件是存在一个与其相关的幂级数，使得该幂级数在函数的某个定义域上收敛。

下面是函数能够展开成幂级数的一些常见条件：3.1 连续性函数在展开成幂级数之前，通常要求在展开区间上具有一定的连续性。

连续性是指函数的图像没有间断点，即函数在任何点x的极限等于与该点相对应的函数值f(x)。

连续性的要求确保了函数在展开区间上的光滑性，从而使得幂级数能够更好地近似函数。

3.2 解析性展开成幂级数的函数通常要求在展开区间上是解析的，也就是说，函数在展开区间上可以用幂级数来表示。

解析性是函数展开成幂级数的确保条件，它保证了幂级数是函数的一个良好逼近。

3.3 全局收敛性幂级数的收敛半径R是一个非负数，表示幂级数收敛的范围。

函数展开幂级数收敛域判断未定义点

函数展开幂级数收敛域判断未定义点让我们来探讨一下“函数展开幂级数收敛域判断未定义点”这个主题。

在数学领域中，幂级数是一种非常重要的级数形式，它在分析、微积分和其他数学领域中都有广泛的应用。

而判断幂级数的收敛域和未定义点则是对幂级数性质的深入研究。

接下来，我将从简到繁，由浅入深地向你介绍这个主题。

1. 函数展开在数学中，函数的展开是指将一个函数用无限多个项相加形式表示出来。

而函数的幂级数展开则是特定类型的函数展开形式，它可以表示出函数在某个点附近的性质。

我们可以用幂级数展开来描述指数函数、三角函数等各种类型的函数。

2. 幂级数幂级数是指形如$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n$的级数形式，其中$a_n$是常数系数，$c$是常数。

通过幂级数的展开形式，我们可以将很多函数表示为无穷级数的形式，从而更好地理解和研究这些函数的性质。

3. 收敛域判断对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n$而言，它的收敛域是指在哪些范围内这个级数可以收敛。

收敛域的判断对于幂级数的性质研究具有非常重要的意义，它关系着级数的收敛性和发散性，从而影响了我们对函数的理解。

4. 未定义点在幂级数中，未定义点是指在哪些点上函数没有定义，或者函数在这些点上的性质与其他点不同。

对于幂级数的未定义点的研究，可以帮助我们更好地理解函数在不同范围内的性质和行为。

总结回顾：通过以上的介绍，我们可以看到函数展开幂级数收敛域判断未定义点这个主题涉及了函数的展开、幂级数的概念、收敛域的判断以及未定义点的研究。

对于这个主题，我个人认为它非常有趣，因为它涉及了对函数性质的深入探究，让我们对函数的理解更加全面和深刻。

通过对幂级数收敛域和未定义点的研究，我们也可以更好地应用这些知识，解决实际问题和推导数学结论。

在这篇文章中，我通过从简到繁、由浅入深的方式，向你介绍了“函数展开幂级数收敛域判断未定义点”这个主题。

无穷级数(幂级数)

( 2 ) ∑ ( − nx ) ;
n
∞
∵ ρ = lim n a n = lim n = +∞ , ∴ R = 0,
n→ ∞
n =1
n→ ∞
点收敛。级数只在 x = 0点收敛。
x ( 3) ∑ ; n = 1 n! a n+1 1 ∵ ρ = lim = lim = 0, ∴ R = +∞ , n→ ∞ a n→ ∞ n + 1 n
故收敛域为(0,1]. 故收敛域为
法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）
x 的收敛域. 例 2 求幂级数∑ n 的收敛域 n=1 2
∞
2n−1
x x x 解 ∵ 级数为 + + 3 + ⋯ 缺少偶次幂的项 2 2 2 2 应用达朗贝尔判别法
un+1 ( x ) 1 2 2 n+1 lim = lim 2 n−1 = x , n→ ∞ u ( x ) n→ ∞ x 2 n 2n 1 2 时级数收敛, 当 x < 1, 即 x < 2时, 级数收敛 2
1.代数运算性质: 1.代数运算性质: 代数运算性质
∞ ∞
设∑ a n x 和∑ bn x 的收敛半径各为 R1 和R2 ,
n n n= 0
R = min{R1 , R2 }
n= 0
(1) 加减法
∑a
n=0
∞
n
x ± ∑ bn x = ∑ c n x . x ∈ (− R, R )
n n
n
∞
∞
n= 0
n n=0 n=0 ∞ ∞
( 2 ) 假设当 x = x 0时发散 ,

高等数学(复旦大学版)第十二章无穷级数

第十二章无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。

教学重点：级数收敛或发散的判定教学难点：级数收敛或发散的判定教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。

级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。

定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。

第4节函数展开成幂级数

x
n1
7/9/2013 1:16 AM
第8章
n 1
无穷级数
n
x x ( x ) 是级数因e 是有限数， ( n 1) ! n0 n !
x
的通项，所以
x lim Rn ( x ) lim e 0 n n ( n 1) !
x n1
故
x 1 2 x 1 x x e 2! n! n 0 n !
x 的一次多项式
特点： p1 ( x0 ) f ( x0 ) , p1 ( x0 ) f ( x0 )
如何提高精度 ? 需要解决的问题如何估计误差 ?
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
求 n 次近似多项式 pn ( x ) , 要求：
( pn ( x0 ) f ( x0 ) , pn ( x0 ) f ( x0 ) ,, pnn ) ( x0 ) f ( n ) ( x0 )
称为麦克劳林( Maclaurin )公式
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
若函数 f ( x ) 在区间 (a , b ) 内各阶导数都存在，则对于任意的正整数 n ，泰勒公式（1）都成立。 n 时，如果 Rn ( x ) 0，则得当
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x ) lim[ f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n ] n!
7/9/2013 1:16 AM
df
第8章
无穷级数
(3) 在泰勒公式中取 x0 0 , 记
x (0 1)

11-4 无穷级数函数展开成幂级数

牛顿二项式展开式
x
2
( 1) 2!
( 1)( n 1) n!
的取值有关
( 1 ,1 );
( 1 ,1 ];
x
n
x (1,1)
注意:
在 x 1 处收敛性与
收敛区间为
收敛区间为
.
1
1 1
1
收敛区间为
[ 1 ,1 ].
n 2
) 1
x ( , )
n
sin x x
1 3!
x
3
1 5!
x ( 1)
5
x
2 n 1
( 2n 1)!

x ( ,)
例3 将f ( x ) (1 x ) ( R)展开成x的幂级数.
n
解 f
f
(n)
(n)
( n 1 )!

x
n
n1
x

x s ( x ) x ( 1 ) x
2
( 1 ) ( n 1 )
x
n
利用
( m 1)( m n 1) ( n 1)!

( m 1)( m n) n!
m ( m 1)( m n 1) n!
n
( n 1 )!
0 , 故 lim R n ( x ) 0 ,
n
x ( x 0 R, x 0 R )
可展成点 x 0的泰勒级数
.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: ( 1 ) 求 a n (2)
f
(n)

-函数展开成幂级数

1 2 1 ln( 2 1) .
2 n1 2n 1
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分.
就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性.
,
(| x|1).
例2
求
2n 1 n1 2n
之值.

n1
2n 1 2n

n1
2n 1 2n
xn

x1
符合积
分

n1
2n 1 2n

n1
2n 1 2n
x2n

x1
要求了

n1
2n 1 2n
x2 2n
n1

1

n 1
x 2n2

1
x2

x4

1 1 x2
,
故
x2n1 n1 2n 1
x1 01 x2
d
x

1 2
x 0

x
1 1

x
1 1
d
x
1 ln1 x , ( | x | 1) . 2 1 x
例3
f (n1) ( ) xn1 | e | x |
(n 1) !
| x |n1 (n 1) !
因为
lim an 0 n n !
( 在 0 与x 之间)

2 x2 (2 x2 )2

3.
x1

函数展开成幂级数的条件

函数展开成幂级数的条件一、引言在数学领域，函数展开成幂级数是一种常见的技巧，用于将非多项式函数表示为多项式的形式。

通过将函数展开成幂级数，我们可以更好地理解函数的性质和行为，从而解决一些复杂的问题。

本文将会深入探讨函数展开成幂级数的条件。

二、什么是幂级数在介绍函数展开成幂级数的条件之前，我们先来了解一下什么是幂级数。

幂级数是指以自变量的某个值为中心展开的无穷级数，其中每一项的系数是自变量的幂函数。

一般来说，幂级数可以表示为：∞(x−c)nf(x)=∑a nn=0其中a n为常数系数，c为展开点。

三、函数展开成幂级数的条件要将函数展开成幂级数，需要满足一定的条件。

下面是函数展开成幂级数的三个基本条件：1. 函数在展开点附近存在幂级数展开的条件函数展开成幂级数的前提是函数在展开点的某个邻域内要有幂级数展开的充分条件。

也就是说，我们需要找到一个点c，使得函数f(x)在c的某个邻域内可以被展开成幂级数。

这个点c被称为展开点。

2. 函数在展开点附近具有无穷多项可导函数展开成幂级数的第二个条件是函数在展开点的某个邻域内具有无穷多项可导。

这意味着函数在展开点附近可以展开为一个无穷级数，并且每一项都可以求导。

只有在这种情况下，我们才能得到一个收敛的幂级数展开。

3. 函数的导数与函数本身的关系函数展开成幂级数的第三个条件是函数的导数与函数本身有一定的关系。

具体来说，如果函数f(x)在展开点的某个邻域内可以被展开成幂级数，那么函数f(x)的每一阶导数乘上相应的多项式系数后的和应该等于函数本身。

也就是说，我们需要满足以下等式：f(n)(x)=a n⋅n! (n=0,1,2,…)其中f(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。

四、幂级数的收敛半径幂级数的收敛性是判断幂级数是否能够收敛到一个有限值的重要标准。

幂级数的收敛半径是指幂级数的展开点到最近的发散点（使得级数发散）之间的距离。

在判断幂级数的收敛性时，我们需要考虑幂级数的收敛半径。

无穷级数基本公式

常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nn n n q q qq q n n 1312112)1(32111112+++++=++++--=++++- 级数审敛法：散。

存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p nn n n幂级数：0010)3(lim )3(1111111221032=+∞=+∞===≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x xx x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散时，收敛于 ρρρρρ 函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ixix ix ee x e e x x i x e 或三角级数：。

函数怎么展开成幂级数

函数怎么展开成幂级数展开函数成幂级数是一种将一个函数用无穷级数的形式表示的方法。

这种方法在数学分析和物理学中有广泛的应用。

展开函数成幂级数的方法在很多情况下比较复杂，但对于一些特殊的函数，可以采用一些常见的技巧来进行展开。

首先，我们来回顾一下幂级数的定义。

如果给定一个函数f(x)，我们想要将它展开为幂级数的形式，那么我们需要找到一个函数g(x)以及一个常数c，使得f(x)可以表示为g(x)乘以伪幂级数(c+x+x^2+x^3+...)的形式。

这个伪幂级数在数学上称为幂级数的“标准形式”。

为了将一个函数展开成幂级数形式，需要进行以下几个步骤：1.确定展开点：选择一个展开点x=a。

通常情况下，我们会选择函数f(x)的一个曲线上的一个点为展开点。

2.求取各项系数：使用泰勒级数展开的方法，我们可以通过求取函数f(x)在展开点x=a处的各阶导数（包括一阶导数、二阶导数、三阶导数等）来计算幂级数的各项系数。

具体来说，幂级数的系数可以通过以下公式计算：cn = f^(n)(a)/n!其中，f^(n)(a)表示函数f(x)的n阶导数在x=a处的值。

n!表示n的阶乘。

3.整理幂级数的形式：将各项系数带入幂级数的标准形式(c+x+x^2+x^3+...)中，得到展开后的幂级数形式。

让我们通过一个例子来演示一下展开函数成幂级数的过程：假设我们要将函数f(x) = sin(x)展开成幂级数的形式。

首先，我们选择展开点x=0。

然后，我们可以使用泰勒级数展开的方法来计算各项系数。

由于sin(x)的各阶导数的周期性质，我们可以观察到以下规律：f^(2n+1)(0)=0f^(2n)(0)=(-1)^n*(2n)!通过计算，我们可以得到幂级数的系数：c0 = f(0)/0! = sin(0)/0! = 0/1 = 0c1 = f'(0)/1! = cos(0)/1! = 1/1 = 1c2 = f''(0)/2! = -sin(0)/2! = 0/2 = 0c3 = f'''(0)/3! = -cos(0)/3! = -1/6c4 = f''''(0)/4! = sin(0)/4! = 0/24 = 0...因此，函数f(x) = sin(x)的展开幂级数形式为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...注意：在实际应用中，幂级数展开可以根据需要选择合适的截断级数，即只保留幂级数中的前几项。

函数展开幂级数常用公式

函数展开幂级数常用公式幂级数是数学中一个重要的概念，它在很多领域都有广泛的应用。

函数展开幂级数常用公式是一种用于将一个函数表示为幂级数形式的工具。

本文将介绍这个常用的公式，并探讨其应用。

一、幂级数的定义我们来了解一下幂级数的定义。

幂级数是一种形如∑(a_n*x^n)的无穷级数，其中a_n是一系列常数，x是变量。

幂级数是一种非常灵活的表示方法，可以用来表示各种各样的函数。

二、函数展开幂级数的意义为什么要将一个函数表示为幂级数形式呢？这是因为幂级数在计算上具有很大的优势。

通过将函数展开为幂级数，我们可以将原本复杂的函数转化为一系列简单的项相加，从而方便计算和分析。

而函数展开幂级数常用公式就是用来实现这一目的的工具。

三、函数展开幂级数常用公式函数展开幂级数常用公式有很多种，下面我们介绍其中一种常见的形式。

1.泰勒级数公式泰勒级数公式是幂级数常用公式中的一种。

它可以将任意光滑的函数展开为幂级数。

泰勒级数公式的具体形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示原函数，f'(x)表示f(x)的导数，a表示展开点。

泰勒级数公式是函数展开幂级数中最常用的一种形式，它在微积分和物理学等领域有广泛的应用。

四、函数展开幂级数的应用函数展开幂级数常用公式在科学和工程中有广泛的应用。

下面我们介绍其中一些常见的应用。

1.逼近法函数展开幂级数常用公式可以用来逼近函数的值。

通过将函数展开为幂级数，我们可以用有限项来逼近无穷项级数，从而得到一个近似值。

2.求解微分方程函数展开幂级数常用公式在求解微分方程时也非常有用。

通过将微分方程中的未知函数展开为幂级数，我们可以将微分方程转化为一系列代数方程，从而得到解析解。

3.信号处理函数展开幂级数常用公式在信号处理中也有广泛的应用。

函数展开成幂级数(课堂PPT)

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8
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
故
lim
n
Rn
(
x
)
x
0,
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除s 0外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
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6
三、函数展开成泰勒级数的条件
定理 2 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
) 内lim n
Rn
(
x)
0
.
证明必要性设f ( x)能展开为泰勒级数,
( x0
R,
x0
R)
可展成点x0的泰勒级数.
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9
三、函数展开成泰勒级数的方法
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n

Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
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函数展开成幂级数讲解

把 x 换成 x 2 , 得
n 0

(1)
x
2n
( 1 x 1 ).
17
例2 将 f ( x ) e 2 x 展开成x的幂级数. 2 3 x x 1 n x 解 e 1 x x , x (, ) 2! 3! n 0 n ! 将-2x代入上式中x的位置，即得

f ( x)
a
n 0
n
x
n
问题: 1.如果能展开, a n 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
6
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数如果能找到一个幂级数，使得它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数则称函数在该区间内能展开成幂级数

f ( x)
例如:
x
a
n
f ( n ) (0) (0) 1 (n 0 ,1,), an n!
x
( n 1)!
0，
e x n 1 e (n 1)!
lim Rn ( x ) 0.
n
x
( 在0与x 之间)
ex
1 n x , x ( , ) n 0 n !
n 0
( an x n ) (an x n )
n 0
x

n 0
x x0
收敛域 x
x ( R , R )
x ( R , R )
2
n 0
0 ( an x )d x (an xn )d x
n
x

n 0
n 0
0
二、幂级数和函数的求法
• 求部分和式的极限（在收敛区间内） •逐项求导或求积分法

江西财经大学微积分二无穷级数

∴f
(n)
0, n = 2k ⎧ (0) = ⎨ ⎩ (−1) k , n = 2 k + 1
( k = 0 , 1, 2 , ⋯ )
2 n −1 1 x 3+ 1 x 5 − ⋯ + ( −1) n −1 1 x +⋯ 得级数: x − 3 ( 2 n −1) ! ! 5!
其收敛半径为 R = +∞, 对任何有限数 x , 其余项满足
∑
x x x n 解由 sin x= x − + − ⋯ + ( −1) +⋯ 3! 5! ( 2n + 1)! | x |< +∞
两边求导得
2n x2 x4 x cos x = 1 − + − ⋯ + ( −1) n +⋯ 2! 4! ( 2n)!
3
5
2 n+1
| x |< +∞
1 例7将函数 f ( x ) = 2 展开成 x 的幂级数. 1+ x ∞ 1 n n | x |< 1 = ( − 1 ) x 解由 ∑ 1 + x n =0 ∞ 1 2 n 2n | x |< 1 即 | x |< 1 知 f ( x) = = ∑ ( −1) x , 2 1 + x n= 0 说明若 f ( x )在( − R, R ) 内的展式已得到,
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 ∪ ( x0 )内具有定理充要各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) = 0 . 条件条件是
n →∞

高数无穷级数初等函数的幂级展开式

n
故得 x 1， 1。
11
3. 常用的麦克劳林级数展开式
xn xn （1）e x 1 x , n! n 0 n!
x ，。
x3 x5 x 2 n 1 （2）sin x x ( 1) n1 3! 5! ( 2n 1)! x 2 n1 ( 1) n , ( 2n 1)! n 0
lim Rn ( x ) 0
n
n1

n1

n 1

x lim 0 n ( n 1)!
n1
xn xn ex 1 x , n! n 0 n!
x ，。
7
例2 将函数 f ( x ) sinx 展开成的幂级数 x 。
1
一、泰勒级数和麦克劳林级数
1. 泰勒公式（拉格朗日中值公式（往高阶）的推广）
则有 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
设f ( x )在x0的某一邻域内存在直( n 1)阶的导数，到

x dx 0 x dx 0
n x n n 0 n1 n 0 2
x

x 1， 1
n1 x x3 x n x x 1 1 2 3 n1 n1 n 0 x n 1 1n 因幂级数在 x 1 收敛， x 1 发散在， n1 n 0
2
2. 泰勒级数与麦克劳林级数
设 f ( x ) 在 x0 的某一邻域内存在任阶的导数，则意 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )