3.2.1 对数及其运算

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

张喜林制
3.2.1 对数及其运算
教材知识检索
考点知识清单
1.对数的概念
(1) -般地,如果),10(=/>=a a N a x 且那么 的对数,记作 ,其中a 叫做 ,N 叫

(2)由对数的定义可知:=y
a a
log
(3)对数N a log (a>0且a ≠1)的性质:①零和负数 ,即N .=1log a ② .
=a a log ③ .
(4)特殊对数:以10为底的对数叫做____ ,记作 ,以e 为底的对数叫做 ,记作____.
2.对数的运算性质
如果a>0且,0,0,1>>=/N M a 则有:
=⋅)(log )1(N M a
=N
M
a
log )2( =n a M log )3( 3.对数的换底公式
=N b log =m a b n log ; =/=/>>b a b a ,1,0,0()0,1=/n
要点核心解读
1.理解对数的概念,掌握指数式与对数式的互化
理解对数的概念要把握以下几点:
(1)当a>0且1=/a 时,,0>b α这时指数式N a b =才可以写成对数式.log N b a =因此,对数的底数
要大于零且不等于l ,真数要大于零,即使N n log 有意义的条件是底数a >0且,1=/a 真数N>o .
(2)对数N a log 的意义是底数为a ,幂为N 的幂指数,因此,求N a log 的值即为已知底数a 和幂N 求指数的问题.
(3)指数式N a b
=和对数式a b log =N 之间等价,即⇔=N a b
.log N b a =这既是指数式和对数式之间互化的依据,也是指数问题转化为对数问题和对数问题转化为指数问题的出发点.
对数恒等式)0,1,0(>=/>=N a a N a
N kg a 是由对数的概念直接得到的,但在应用时容易出现错误,
要注意当幂的底数和对数的底数相同时才可以运用对数恒等式,同学们在应用时就往往不注意这一点,出现如,,5255log =这类错误.
2.掌握对数的运算性质及其应用
对数的运算性质有三方面,在前面我们已经给出,它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据.要掌握它们需注意如下几点:第一,要会推导,要求每一条运算性质都要会证明,通过推导加深对对数概念的理解和对数运算性质的理解,掌握对数运算性质中三个公式的特征,以防止乱造公式,例如:式子=±)(log N M a ,log log log ,log log )(log ,log log N
M N M N M N M N M a a a
a a a a a =⋅=⋅± n a n a M M )(log log =都是错误的;第二,要注意对数运算性质成立的条件,也就是要把握各个字母的取
值范围:,0,1,0>=/>M a a .0>N 例如,)]3)(2[(log 2--是存在的,但)2(log 2-和)3(log 2-却都不存在,因此不能得出=-⋅-)]3()2[(log 2),3(log )2(log 22-+-再如,2)10lg(-是存在的,但是)10lg(-却没有意义,因此不能得出);10lg(2)10lg(2
-=-第三,由于对数的运算性质是三个公式,因此在应用时我们不仅要掌握公式的“正用”,还要掌握公式的“逆用”. 3.注意几个恒等式及其应用
恒等式:,log N a
N
a =换底公式,log log log b
N N a a b =
及=n a b m log ⋅=
a b b m n b a a log 1
log ,log 这几个公式在解题过程中应注意灵活运用.
典例分类剖析
考点1对数的基本运算
[例1](1)求下列各式中的x .
;2327log =
x ① ;32
log 2-=x ② ;2)223(log -=+x ③ .16log 2
1=x ④ (2)求下列各式的值.
;3
43log 2
1
① 2
231
log )
12(
+-②
[解析] (1)①由,272,23
27log 23
==x x 得
.932723
2
===∴x
②由,32log 2-=x 得⋅==∴=-222
1,23323
2
x x
③由,2)223(log -=+x 得,2232-=+x
.12)223(2
1-=-+=∴x
④由,1612
1og x =得,16)2
1(=x
即.4,224-=∴=-x x
(2)①方法一:原式=.43
)3(4
3
log 4
3
log 21
==
方法二:原式=.4333334log 2log 22
3log
=== =+=+=+---1
21
log )
12(1
log 2231
log )
12(
2
)
12(
)
12(
②.1)12(log
1
2=--
[点拨]在运算中要注意同底的指数与对数的互化,并灵活运用定义、性质和运算法则. 母题迁移 1.解下列方程:
);10lg(2
1
5lg )3lg (lg 21)1(--=-x x ;2log 2.1)2(10=+x gx x .1)132)(1log()3(22=+--x x x
考点2 对数式的求值、化简与证明
[例2]求值:;142log 2
1
12log 487log )1(222
--+ ;25lg 50lg 2lg )2)(lg 2(2+⋅+ ⋅+⋅+)3log 31()212)(log 3(8493og og
[解析] (1)原式=2log 42log 12log 48
7
log 2222
--+ ⋅-===⨯⨯⨯=-2
32
log 2
21log 2
4248127log 2
3.
22
2
(2)原式=.2100lg 25lg 2lg 225lg )50lg 21(2lg ==+=++g
(3)原式=⋅==+⋅+4
5
2lg 63lg 5.3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg ()3lg 22lg 3lg 2lg (
[点拨] 对数运算中常常会反用对数法则,以达到化简的目的,有时出现不同底的对数,首先应化
为同底的对数.
[例3](1)设n m a a a n m +==2,3log ,2log 求的值. (2)已知b a b a -==2100,310,210、求的值.
[解析] (1).3,,3log .2,2log =⋅=-=∴=n a m a a n x a m 于是.1232.222=⨯==+n m n
m a a a
⋅=∴==∴=3lg ,3102lg ,210)2(b a b a 又
于是,9
16
)34()1010(10100
223lg 4lg )3lg 4(lg 22==÷⋅==--b
a
或⋅======---9
16
32)10()10(101010
)10(100
24242424222b a b a b
a b
a b
u [点拨]在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.本题中用到了对数的恒等式:.log N a
N
a =
母题迁移 2.求下列各式的值.
;14log 5
1
log 2log 235log )1(55
55--+ .4.1]1812log )311)[(2(66626og og og ÷⋅+- 考点3换底公式的应用
[例4] 已知.45log ,518,9log 3618求⋅==b
a
[解析] 已知条件与所求对数的底是不相同的,因此考虑应用换底公式.
解法一:.5log ,518,9log 1818b a b =∴==
于是=
++=⨯⨯==
2115log 9log )218(1)59(log 36145log 45log 1818181818181836og og og ⋅-+=++a b
a b a 29
18log 118 解法二:.5log ,518,9log 1818b a b =∴==⋅ 于是⋅-+=-+=⨯=
a b
a og 29118log 25log 9log 9
18log )59(log 45log 181818182
18
1836 [点拨] 本题还有其他方法.这里,都是把指数式518=b
改写为对数式,再把所求对数通过换底公式换成和它相同底的对数,以便利用已知条件和对数的性质求值.
母题迁移3.已知.15log ,5log ,9log 36.1818求b a == 考点4对数、指数式的综合运用
[例5]设x ,y , z 均为正数,且.643z
y
x
== (1)试求x ,y ,z 之间的关系;
(2)求使py x =2成立,且与p 最近的正整数(即求与p 的差的绝对值最小的正整数). [解析]设,643t y x ===τ由x>0知,t>l .
故取以t 为底的对数,可得.16log 4log 3log ===⋅t t t z y x
⋅===
∴6
log 1
,4log 1,3log 1t t t z y x ,214log 212log 3log 6log 11)1(y
x z l t l t ===-=- ∴ x ,y ,z 之间的关系为
⋅=-y
x z 21
11 .16log 4log 24log 3
122)2(33=⋅=⋅==
l t og y x p 由,27169<<得,27log 16log 9log 333<<从而.32<<p 而,916log 9log 16log 23
33=-=-p ⋅=-=-16
27
log 16log 27log 3333p

⋅>>=÷16
27916.12432561627916知 ⋅-=>=-∴p p 316
27
log 916log 233
从而所求正整数为3.
[点拨】 由于指数式中底不相同,不易比较指数大小,将其统一转换为对数后就容易比较了.
母题迁移4.已知+=+++5log )1(log )4(log 22a a a y x ),10)(12.(g 14=/>-a a xy o 且求y
x
8
log 的值
优化分层测训
第一课时
学业水平测试
1.有以下四个命题:①若,3log 5=x 则;15=x ②若,2
1
log 25=x 则,01;55==x og x ③若则④;5=x 若,3log 5
1-=x 则.125=x 其中真命题的个数为( ).
1.A
2.B
3.C
4.D
2.使09
4115
.0..=-x
og 成立的x 的值为( ). 1.A 1.-B 2.C 2.-D
3.化简27log 9的结果为( ).
3.A 23.B 3
2
.C 3.D
4.若,2log ,5log 35
1==b a 则b-a=
=s og 9213.5
6.把下列各式中的对数式化为指数式,指数式化为对数式.
;2515)1(2=
- ;308)2(=x ;13)3(=x ;29log )4(3
1-=;10g 1)5(6o x =;31
ln )6(=x ⋅=x lg 3)7(
高考能力测试 (测试时间:45分钟测试满分:100分)
一、选择题(5分×8 =40分) 1.若,log 7
c b a
=则a 、b 、c 之间满足( ).
c a b A =7. c a b B 7.= c a b C 7.= a c b D 7.=
2.下列各组指数式与对数式互化不正确的是( ).
38log 82.23
==与A 3
131log 3127
.273
1-==-
与B 5)32(log 32)2.()2(5=--=--与C 01lg 110.0==与D 3.已知⎩
⎨⎧>≤+=),0(log ),
0()3()(3x x x x f x f 则)9(-f 等于( ).
1.-A 0.B 1.C 3.D
4.有以下四个结论:
;0)10lg(lg =① ;0)2lg(log 2=② ;10,lg 10==x x 则③若 .3,lg 310==x x 则④若
其中正确的是( ).
①③.A ②④.B ①②.C ③④.D
5.在)5(log )2(a b a -=-中,实数a 的取值范围是( ).
2,5.<⋅>a a A 或 52.<<a B 5332.<<<<a a C ,或 43.<<a D
6.已知,0)](log [log log 237=x 那么2
1
-x
等于( ).
31.A 321.B 221.C 3
31.D 7.若,)4(x f x =则=)2(f ( )
24.A 42.B 2
1
.C 2log 4⋅D
8.下列指数式与对数式互化不正确的是( ).
01lg 110.0
==与A 3
131log 3127
.273
1-==-与B 3929log 2
13==⋅与C 5515log 15==⋅与D 二、填空题(5分×4= 20分)
9.已知,0)14(|8|2
=-+-b b a 则=b
2log a
==+⋅+x x x x 则,1)3(log 102)3(
11.已知),1,0,0(=/>>=c b a c ab 且,log x b c =试用x 表示=a c log 12.满足条件x x
=-)21(log 2的实数x 的值为 三、解答题(10分×4 =40分)
13.已知⎪⎩
⎪⎨⎧⋅
--∞∈--⋅∈+∞∈=+]1,(2],0,1(),
,0(log )(32
2x x x
x x
x f x 求)))32(((--f f f 的值.
14.求使式子)273129(log 3+⋅-x
x 有意义的x 的取值范围.
15.已知n m a a a n m 32,3log ,2log -==求的值. 16.设,8
31+=
x 求)3444(log 2348++++x x x x 的值.
第二课时
学业水平测试
1.下列等式中,正确的是( ).(其中,,0,1,0>=/>M a a )0>N
N M N M A a a a log log )(log +=+⋅ N M N M B a a a log log )(log -=-⋅ N
M
N M C a
a a log log log .
= N
M
N M D a
a a log log log =-⋅ 2.若,100025.0,10005.2==y x 则
y
x 1
1-等于( ). 2.A 21.B 3.C 3
1
.D
3.设,2log 3a =则=18log 3( )
a A 6. a B 3. a C 2. a D +2.
=-⋅+)223(log 4)
12(
5.满足等式2lg )2lg()1lg(=-+-x x 的实数x= 6.(1)求2118g 1)31(662
6og o g ⋅+α的值; (2)计算06.0lg 6
1
lg
)2lg 3()1000lg 8(lg 5lg 2
++++的值. 高考能力测试
(测试时间:45分钟测试满分:100分) 一、选择题(5分×8 =40分)
1.如果,lg 5lg 3lg lg c b a x -+=那么( ).
c b a x A -+=3. c
ab x B 53.= 53.c ab x C = 3
3.c b a x D -+=
2.已知,ln ln a y x =-则3
3)2
ln()2ln(y x -等于( ).
2a A ⋅ a B . a C 2
3
. a D 3. 3.已知,lg )(7x x f =则=)2(f ( )
2lg .A 128lg ⋅B 1281lg
⋅C 2lg 7
1
.D 4.化简)
lg(lg 2)
lg(lg 2100a a +的结果为( ).
2
1
.A 1.B 2.C 4.D 5.已知,10000112.0,10002.11.==n m
则n
m 11-的值为( ).
1.A
2.B
3.C
4.D
6.若,161log 8g 14log 4843og m o =⋅⋅则m=( )
2
1
.A 9.B 18.C 27.D 7.如果方程03lg 2lg .lg )3lg 2(lg lg 2
=⋅+++x x 的两根为,21x x 、那么21x x ⋅的值为( ).
3lg 2lg ⋅⋅A 3lg 2lg .+B 6
1
.C 6.-D
8.(2011届武昌区11月调考题)已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+,
1,,
1,122x ax x x x 若,4))0((a f f =则实数a 等于( ).
21.A 5
4
.B 2.C 9.D 二、填空题(5分×4 =20分)
=+⋅+⋅2lg 5lg 2lg 50lg 92
10.已知,3lg ,2lg b a ==用a ,b 表示=54lg 1l.已知),2lg(2lg lg y x y x -=+则=y
x
2
log
12. (2011年四川高考题)计算=÷--21
100)25lg 41(lg 三、解答题(10分×4 =40分)
13.解下列方程:
);1(log 2)1(log )1(22+-=-x x
.log 1)10(log )2(323x x +=-
14.设y x a a ,,1,0=/>满足.3log log 3log =-+y a x x x a
(1)用x a log 表示;log y a
(2)当x 取何值时,y a log 取得最小值?
15.已知ab b a b a 3,5lg 2lg 35lg 2lg 3
333++⋅++=+求的值.
16.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,且关于x 的二次方程+-x x 2201lg 2)lg(22=+--a b c 有等根,试判断△ABC 的形状.
第三课时
学业水平测试
1.若,10log 9log 8log 7g 16log 98765⋅⋅⋅⋅=o y 则有( ).
)1,0(∈⋅y A )2,1(∈⋅y B )3,2(∈⋅y C 1=⋅y D
2.已知=+=+33ln ln ,ln ln y x a y x 则( )
2
.a A a B . 23.a C a D 3. 3.若=-=6log 28log ,2933则a ( )
22
1.-a A 2
2.-a B 210.-a C 246.a a D - 4.已知,7log ,5log 39b a ==则=9log 35
5.已知,12+=x 则=--)6.(g 134x x o
6.(1)求证:;log 1log b n
b a a n = (2)已知,3log 2a =求.318log 2
2
高考能力测试
(测试时间:45分钟测试满分:100分)
一、选择题(5分×8 =40分)
1.设5lg ,5log ,3log 38则q p ==等于( ).
22q p A +⋅ )23(51.q p B + pq
pq C 313.+ pq D ⋅ 2.若,0)].(log [log 1)](log 1[log 534543==b og a og 则b
a 等于( ). 4.A 5.B 3.C 5
1.D 3.2
)25.0(lg 2512)12(lg g 1593--+og o 等于( ). 2lg 21.+A 2lg 21.--B 3.C 3-D
4.式子31log 131log 1
5121+的值所属的区间是( ).
)1,2(--⋅A )2,1.(B )3,2(⋅C )2,.(--∞D
5.已知函数,)(,11lg )(b a f x
x x f =+-=若则=-)(a f ( )
b A . b B -. b C 1. b
D 1.- 6.下列各式正确的是( ).
5lg 3lg 2lg .=⋅A 9lg )3(lg 2=⋅B
b a a n m b n m C =+=+则若,log .
b a a og b b o a D =+=+则若,1log .g 1log .4343
7.若),10(2=/>=y y y x 且则( ).
y x A =⋅2log x y B =⋅2log 2log =⋅y C x 2log =⋅x D y
8.已知)2
1
(,)(log 2f x x f 则=等于( ). 41.A 2
1.B 2
2.C 2.D 二、填空题(5分×4 =20分)
9.若,241,18g .1n og m o a a ==则用m 、n 表示=2
31a og 10.设,3log 2=x 则=----x
x x
x 222233 11.设,643),,0(c b a c b a ==+∞∈且、、则a 、b 、c 之间的关系式为
12.(2008年上海高考题)=+25log 20lg 100
三、解答题(10分×4 =40分)
13.化简⋅+⋅+)2log 2(log )3log 3g 1(9384o
14.化简:].4)22(4[log 525log 34
212123
5
3-⨯⨯og
15.计算:;58log 9
32log 2log 2)1(35log 2333-+- ⋅-+2.1110lg 38lg 27lg )
2(g
16.(1)求证:;log log log c .a
b b
c a = (2)若,3lg ,5lg n m ==试用m 、n 表示.8log 30。

相关文档
最新文档