3.2.1 对数及其运算
数学：3.2.1《对数及其运算》课件(新人教B版必修1)
变式训练 5 (1)log2
求下列各式的值：
1 1 ＋log212－ log26； 24 2
(2)log9 2· 43＋log83)． (log
分析：(1)由于24,12,6都可分解成2和3的 这两个质因子的积或幂，所以可运用对数运 算性质直接将原式转化为含log23的式子再化 简即可．或利用题中各对数均为同底的对数， 可逆用运算性质将之化为一个对数的计算问 题． (2)所含对数底数不同，因此可考虑用对 数换底公式化为同底对数的运算．
(1)解法一：log2
1 1 ＋log212－ log26 24 2
分析：根据对数式的定义求解．
1 解：(1)log3 ＝x； 27 1 1 (3)log5 ＝－ ； 2 5 (5)10－3＝0.001； (4)( 2)4＝4； (6)( 2－1)－1＝ 2＋1.
评析：明确对数的定义是解题的关 键．指数式与对数式是互逆的，二者能够相 互转化，熟练掌握二者的互化，能够加深对 指数式和对数式的理解，为后面学习对数函 数打下坚实的基础．
分析：利用对数的性质求值，首先要明 确解题目标是化异为同，先使各项底数相同， 才能使用性质，再找真数间的联系，对于复 杂的真数，可以先化简再计算．
解：(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3 ＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. 10 (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg · lg(2×10)＋(lg2)2 2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg2)· (lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. 1 log 2· 73 2log log5 2· 79 2 5 log (3)∵ ＝ 1 1 3 log5 · 7 4 －log53·log74 log 3 3 lg2 lg3 · lg5 lg7 3 ＝－ ＝－ ， lg3 1lg4 2 · lg5 3lg7
教学设计3：3.2.1 对数及其运算
3.2.1对数及其运算一、教学内容解析本节课是人教B版第三章第二节对数与对数函数中第一小节对数及其运算的第一课时。
对数对学生来说是一个全新的概念，学习起来略显困难，不过在此之前，学生已学习了指数和指数函数的有关知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用；本章后面的对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广。
本节内容的学习主要是为让学生理解对数的概念，为学习对数函数作好准备。
同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化，数形结合的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
二、教学目标设置通过对本节课教材的分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标制定出如下三个方面的教学目标：1、知识与技能目标：理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。
2、过程与方法目标：通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
小组交流对对数的理解和认识，培养学生合作学习的能力，使学生经历认知逐渐深入的过程。
3、情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们研究数学问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自主探究以及合作交流的能力。
三、学生学情分析我校在营口市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力很强，思维较活跃。
我校的教学模式为小组合作交流学习模式，学生已经养成了小组合作学习的习惯。
即学生通过预习，结合学案，自主学习、探究的模式。
前面学生已经学习了指数和指数函数的有关知识。
在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学重点是：重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化。
难点：对数概念的理解，对数性质的理解。
四、教学策略分析为了最大程度发挥学生的主观能动性，实践人本教育，我校采用“主动、合作、交流”学习方法学习，把学生分成四人小组，分工合作，进行讨论探究逐渐培养学生“会观察”、 “会分析”、“会论证” 、“会合作”的能力。
3.2.1 第1课时 对数概念、常用对数
3.2.1 对数及其运算
第1课时 对数概念、常用对数
学习目标
●掌握对数的定义及性质； ●能熟练地进行对数式与指数式的转化; ●能利用对数定义解决简单的对数计算.
引入新课
问题1 ：某种细胞分裂时，1个分裂为2个，2个分裂为4 个„„依此类推，一个这样的细胞分裂x次后有 2 x 个.
1、这节课你学到了哪些知识？ 2、你又学到了哪些数学思想方法？ 3、你能联系实际说说对数在生活中的应用吗？
指数
幂
对数 真数
a =N
底数
b
log a N b
注意：a﹥0,a≠1 ；N＞0；b∈R
0和负数没有对数
loga1=0,
logaa=1
a
loga N
N
安顿好自己的内心，实际上就是在内心开
2 m n
的值.
思路分析：主要考查对数的定义,指数式与对数式的
解： log a 2 m am 2 又 log a 3 n an 3 a 2m n a 2m a n (a m ) 2 a n 4 3 12
方法点拨：既考查指数式与对数式的互化,也考查常见幂 的运算法则.
(3) log 2
( 4) log 3
2数式.
1 (1) log 1 16 4 16 2 2 (2) log 2 128 7 27 128
(3) log 2
( 4) log 3 1 4 81
4
1 1 2 2 2 4 4
3 4
1 81
方法点拨：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依 据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要
手段.
3.2.1(二)对数及其运算教案
3.2.1 对数及其运算(二)【学习要求】1.加深对数的概念;2.了解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式;3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.【学法指导】通过对数运算性质的推导及对数式的运算、求值、化简,培养分析问题、解决问题的能力及数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.填一填：知识要点、记下疑难点1.对数运算法则:log a (MN)＝ log a M ＋ log a N ,log a M N＝ log a M － log a N , log a M n ＝ nlog a M .2.log b N ＝log a N log a b 叫做换底公式,log a m b n ＝n m log a b,log a b ＝1log b a(或 log a b·log b a ＝1 ). 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算,指数也有三种运算,那么,对数有怎样的运算？探究点一 积、商、幂的对数问题1 指数的运算法则有哪些？答：a m ·a n ＝a m ＋n ;a m ÷a n ＝a m －n ;(a m )n ＝a mn ;m a n ＝a n m. 问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗？答：指数式与对数式的互化公式为:a b ＝N ⇔log a N ＝b.问题3 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？(1)设log a 2＝m,log a 3＝n,求a m ＋n ;(2)设log a M ＝m,log a N ＝n,试利用m 、n 表示log a (MN).解：(1)由log a 2＝m,得a m ＝2,由log a 3＝n,得a n ＝3,所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝2×3＝6,即a m ＋n ＝6.(2)由log a M ＝m,得a m ＝M,由log a N ＝n,得a n ＝N.所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝M×N,把指数式化为对数式得:log a (MN)＝m ＋n.小结：在问题3中的第(2)题中,我们得到log a (MN)＝m ＋n,又由log a M ＝m,log a N ＝n,进行m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质,即:log a (MN)＝log a M ＋log a N.因为同底数幂相乘,不论有多少因数,都是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的积:log a (N 1N 2…N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k .问题4同样地,由a m ÷a n ＝a m －n 和(a m )n ＝a mn ,也得到对数运算的其他性质:log a M N＝log a M －log a N;log a M n ＝nlog a M(n ∈R) (a>0,且a≠1,M>0,N>0).你能不能推导出呢？答:令M ＝a m ,N ＝a n ,则M N＝a m ÷a n ＝a m －n , ∴m －n ＝log a M N.又由M ＝a m ,N ＝a n , ∴m ＝log a M,n ＝log a N,即:log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N; 当n≠0时,令log a M ＝p,由对数定义可以得M ＝a p ,∴M n ＝(a p )n ＝a np ,∴log a M n ＝np,将log a M ＝p 代入,即证得log a M n ＝nlog a M.当n ＝0时,显然成立.∴log a M n ＝nlog a M.小结:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式.对数运算性质可以用简易语言表达:“积的对数＝对数的和”,“商的对数＝对数的差”,“正数的n 次方的对数＝正数的对数的n 倍”.有时用逆向运算性质:如log 105＋log 102＝log 1010＝1.例1 用log a x,log a y,log a z 表示下列各式:(1)log a xy z ; (2)log a (x 3y 5); (3)log a x yz ; (4)log a x 2y 3z . 解:(1)log a xy z＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z;(2)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y;(3)log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝log a x －(log a y ＋log a z)＝12log a x －log a y －log a z; (4)log a x 2y 3z ＝log a (x 2y)－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z. 小结:真数的取值范围是(0,＋∞),log 2(－3)(－5)＝log 2(－3)＋log 2(－5)不成立,log 10(－10)2＝2log 10(－10)也不成立.要特别注意log a (MN)≠log a M·log a N,log a (M±N)≠log a M±log a N.跟踪训练1计算:(1)lg 5100; (2)log 2(47×25); (3)lg 4＋lg 25; (4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5.解:(1)lg 5100＝15lg 102＝25lg 10＝25; (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19;(3)lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2;(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.探究点二 换底公式与自然对数导引 在实际应用中,常常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数呢？如何求log 35?问题1:假设log 25log 23＝x,则log 25＝xlog 23,即log 25＝log 23x ,从而有3x ＝5,进一步可得到什么结论？ 答:把3x ＝5化为对数式为:log 35＝x,又因x ＝log 25log 23,所以得出log 35＝log 25log 23的结论. 问题2 如果a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,那么log c b log c a与哪个对数相等？如何证明这个结论？ 答:结论为log c b log c a＝log a b. 证明如下:令log c b log c a ＝x ⇒log c b ＝xlog c a ⇒log c b ＝log c a x ⇒b ＝a x ⇒x ＝log a b ⇒log c b log c a＝log a b. 小结:(1)log a b ＝log c b log c a(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)叫做换底公式. (2)由换底公式可得两个结论:①log a b n ＝n m log a b; ②log a b ＝1log b a(或log a b·log b a ＝1). 问题3:什么叫做自然对数？自然对数如何表示？答:以e ＝2.718 28…为底的对数叫做自然对数.记作ln N. 例2 已知log 23＝a,log 37＝b,用a,b 表示log 4256.解:因为log 23＝a,则1a＝log 32, 又∵log 37＝b,∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. 小结:在利用换底公式进行化简求值时,一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10为底数进行换底. 跟踪训练2 求log 89·log 2732的值. 解:log 89·log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝23×53＝109. 例3 计算下列各式的值:(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245; (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 解:(1)方法一原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 2＋lg(72×5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12.方法二:原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.小结:这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值. 跟踪训练3 (1)已知lg 2＝0.301 0,lg 3＝0.477 1,求lg 45;(2)已知lg x ＝2lg a ＋3lg b －5lg c,求x.解： (1)lg 45＝12 lg 45＝12lg 902＝12[lg 9＋lg 10－lg 2]＝12[2lg 3＋1－lg 2]＝lg 3＋12－12lg 2＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6;(2)由已知得:lg x ＝lg a 2＋lg b 3－lg c 5＝lg a 2b 3c 5,∴x ＝a 2b 3c 5.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A.log a x·log a y ＝log a (x ＋y)B.(log a x)n ＝nlog a xC .log a x n ＝log a nxD.log a xlog a y ＝log a x －log a y解析：因log a x n ＝1n log a x ＝log a x ＝log a nx,所以选C.2.log 327＋lg 25＋lg 4＋7＋(－9.8)0＝__________.解析：原式＝12log 333＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132.3.求证:(1)log x ylog y z ＝log x z;(2)log a b n ＝log a b.证明：(1)因为log x ylog y z ＝log x y log xzlog x y ＝log x z,所以log x ylog y z ＝log x z.(2)log a b n ＝log a b n log a a n ＝nlog a bnlog a a ＝log a b.课堂小结：1.对数的运算法则:如果a>0,a≠1,M>0,N>0有:(1)log a (MN)＝log a M ＋log a N(2)log a M N ＝log a M －log a N(3)log a M n ＝nlog a M (n ∈R)2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式:log a b ＝log c blog c a (a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0).。
3.2.1(一)对数及其运算学生版
1 / 1§3.2 对数与对数函数3．2.1 对数及其运算(一)一、基础过关1．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 2．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围是( )A ．a>5或a<2B ．2<a<5C ．2<a<3或3<a<5D ．3<a<4 3．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33 C ．x ＝ 3D ．x ＝9 4．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12＝________.6．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.7．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26. 8．求下列各式中x 的取值范围． (1)log (x －1)(x ＋2)；(2)log (x ＋3)(x ＋3)． 二、能力提升9．(12)－1＋log 0.54的值为( )A ．6 B.72C ．8D.37 10．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．22511．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则ba ＝________.12．计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26； (2)22＋log 23＋32－log 39. 三、探究与拓展13．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.。
3.2.1.1对数概念及常用对数
(4) 求下列各式的值
22log2 5
2log2 3
32log9 5
312log3 4
一、问题：
1、庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺？
1. ; 抽象出： 1 5 1 2 32
1 x 2
0.125
x=?
2、假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果 每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值 是2002年的2倍？
课堂练习
将下列对数式写成指数式：
(1) log2 6 2.5850 ; (2) log3 0.8 0.2031 ;
(3) lg 3 0.4771 ; (4) ln 3 1.0986 ;
探索与发现： 求下列各式的值： (1) log31= 0 (2) lg1= 0 (3) log0.51= 0 (4) ln1= 0
(3) 0.53=0.125 ; (4) 0 1 ;
两个重要对数：
①.常用对数（common logarithm）：以10 为底的对数log10N, 简记为: lgN .
②. 自然对数（natural logarithm）：以无理 数e=2.71828… 为底的对数的对数logeN ;简记 为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的 对数)
3.2.1 对数及其运算
2019年10月29日
一、复习引入
小学到初中，我们对数的运算有了深入的了解， 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等运算已经 成为我们所熟知的了。我们知道：加法与减法、乘 法与除法、乘方与开方之间是互逆的运算。
高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算学习导航学案新人教B版必修6.doc
3.2.1 对数及其运算自主整理1.对数的概念(1)如果a(a>0,且a≠1)的b 次幂等于N ，就是a b =N ，那么数b 称为以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 称为对数的底，N 称为真数;(2）以10为底的对数称为常用对数，log 10N 记作lgN ；(3）以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log e N 记作lnN.2.对数的性质(1）真数N 为正数（负数和零无对数）.(2）log a 1=0.(3）log a a=1.(4）对数恒等式：a N a log =N.(5)运算性质：如果a >0,a≠1,M>0,N>0,则①log a (MN)=log a M+log a N;②log a NM =log a M-log a N; ③log a M n =nlog a M(n∈R ).3.对数的换底公式一般地,我们有log a N=aN m m log log (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0), 这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(1）log a b·log b a=1；(2）log n a b m =mn log a b. 高手笔记1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg（-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）.5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N. 名师解惑1.对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a≠1，N ＞0呢？ 我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。
高中数学三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算
3.2.1 对数及其运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中，已学习了指数函数的概念和性质，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与欣赏”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质．2．掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质．3．准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能，运用对数运算性质解决有关问题．4．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质，并归纳整理本节所学的知识．5．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性． 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用．教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用． 课时安排3课时教学过程第1课时 对数概念导入新课思路1.(1)庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．①取4次，还有多长？②取多少次，还有0.125尺？(2)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：①(12)4＝？(12)x＝0.125 x ＝？②(1＋8%)x＝2 x＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．推进新课新知探究提出问题错误!活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨．对问题①，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点．对问题②，图象类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标．对问题③，定义一种新的运算．对问题④，借助③，类比到一般的情形．讨论结果：①如下图．②在所作的图象上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18、20、30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72、43.29、84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿．③1813＝1.01x ，2013＝1.01x ，3013＝1.01x，在这几个式子中，要求x 分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，用符号“log”表示对数，即若1813＝1.01x，则x 总以1.01为底的1813的对数就可写成x ＝log 1.011813.其他的可类似得到，x ＝log 1.012013，x ＝log 1.013013，这种运算叫做对数运算．④一般性的结论就是对数的定义：一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b”记作log a N ，即b ＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．实质上，上述对数表达式，不过是指数式N ＝a b的另一种表达形式． 由此得到对数和指数幂之间的关系：a Nb 指数式a b＝N 底数 幂 指数 对数式log a N ＝b对数的底数真数对数例如：42＝16⇔2＝log 416；102＝100⇔2＝log 10100；214＝2⇔12＝log 42；10－2＝0.01－2＝log 100.01.提出问题①为什么在对数定义中规定a>0，且a≠1？②根据对数定义求log a 1和log a a a>0，且a≠1的值.③负数与零有没有对数？④alogaN＝N 与log a a b＝ba>0，且a≠1是否成立？⑤什么是常用对数？讨论结果：①这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log (－2)12；若a ＝0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a ＝1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值．综之，就规定了：a ＞0，且a≠1.②log a 1＝0，log a a ＝1.因为对任意a ＞0，且a≠1，都有a 0＝1，所以log a 1＝0. 同样易知：log a a ＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1.③因为底数a ＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R ，a b＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数． ④因为a b＝N ，所以b ＝log a N ，a b＝alogaN＝N ，即alogaN＝N.因为a b＝a b，所以log a a b＝b.故两个式子都成立．(alog a N ＝N 叫对数恒等式)常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5；log 103.5简记作lg3.5.例如：loge3简记作ln3；loge10简记作ln10.应用示例思路1例1求log 22，log 21，log 216，log 212.解：因为21＝2，所以log 22＝1； 因为20＝1，所以log 21＝0； 因为24＝16，所以log 216＝4； 因为2－1＝12，所以log 212＝－1.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解．例2求lg10，lg100，lg0.01. 解：因为101＝10，所以lg10＝1； 因为102＝100，所以lg100＝2； 因为10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2.例3利用科学计算器求对数(精确到0.000 1)：lg2 001；lg0.061 8；lg0.004 5；lg396.5. 解：用科学计算器计算：所以lg2 001≈3.301 2，lg0.061 8≈－1.209 0， lg0.004 5≈－2.346 8，lg395.6≈2.598 2.思路2例1以下四个命题中，属于真命题的是( )(1)若log 5x ＝3，则x ＝15 (2)若log 25x ＝12，则x ＝5 (3)若log x 5＝0，则x ＝ 5 (4)若log 5x ＝－3，则x ＝1125A ．(2)(3)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(3)(4)活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义．解析：对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果． 对于(1)，因为log 5x ＝3，所以x ＝53＝125，错误； 对于(2)，因为log 25x ＝12，所以x ＝2512＝5，正确；对于(3)，因为log x 5＝0，所以x 0＝5，无解，错误； 对于(4)，因为log 5x ＝－3，所以x ＝5－3＝1125，正确．总之(2)(4)正确．答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2计算：(1)log 927；(2) 43log 81；(3)log (2＋3)(2－3)；(4) 345log625.活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生．利用对数的定义或对数恒等式来解．求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解．另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法． 解法一：(1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，所以x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则(43)x＝81,43x ＝34，所以x ＝16.(3)令x ＝log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1，所以(2＋3)x＝(2＋3)－1，x ＝－1. (4)令x ＝345log625，所以(354)x＝625,x 345＝54，x ＝3.解法二：(1)log 927＝log 933＝log 9932＝32.(2) 43log 81＝43log (43)16＝16.(3)log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(4) 345log625＝345log(354)3＝3.点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据.知能训练1．把下列各题的指数式写成对数式：(1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4)2x＝0.5；(5)54＝625；(6)3－2＝19；(7)(14)－2＝16. 解：(1)2＝log 416；(2)0＝log 31；(3)x ＝log 42；(4)x ＝log 20.5；(5)4＝log 5625；(6)－2＝log 319；(7)－2＝log 1416.2．把下列各题的对数式写成指数式：(1)x ＝log 527；(2)x ＝log 87；(3)x ＝log 43；(4)x ＝log 713；(5)log 216＝4；(6) 31log 27＝－3；(7) 3log x ＝6；(8)log x 64＝－6；(9)log 2128＝7；(10)log 327＝a.解：(1)5x＝27；(2)8x＝7；(3)4x＝3；(4)7x＝13；(5)24＝16；(6)(13)－3＝27；(7)(3)6＝x ；(8)x －6＝64；(9)27＝128；(10)3a＝27.3．求下列各式中x 的值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 2(log 5x)＝1；(4)log 3(lgx)＝0.解：(1)因为log 8x ＝－23，所以x ＝8－23＝(23)－23＝23×(－23)＝2－2＝14； (2)因为log x 27＝34，所以43x ＝27＝33，即x ＝(33)34＝34＝81；(3)因为log 2(log 5x)＝1，所以log 5x ＝2，x ＝52＝25； (4)因为log 3(lgx)＝0，所以lgx ＝1，即x ＝101＝10. 4．(1)求log 84的值；(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a2m ＋n的值．解：(1)设log 84＝x ，根据对数的定义有8x＝4，即23x＝22，所以x ＝23，即log 84＝23； (2)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，根据对数的定义有a m＝2，a n＝3， 所以a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝(2)2·3＝4×3＝12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用．拓展提升对于a ＞0，a≠1，下列结论正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N (2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N (3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N (4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2A．(1)(3) B．(2)(4)C．(2) D．(1)(2)(4)活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价．回想对数的有关规定．对(1)若M＝N，当M为0或负数时log a M≠log a N，因此错误；对(2)根据对数的定义，若log a M＝log a N，则M＝N，正确；对(3)若log a M2＝log a N2，则M＝±N，因此错误；对(4)若M＝N＝0时，则log a M2与log a N2都不存在，因此错误．综上，(2)正确．答案：C点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个．课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备．备课资料[备选例题]例1将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值． (1)215－＝15；(2) 2log 4＝x ；(3)3x＝127；(4)(14)x＝64；(5)lg0.000 1＝x.解：(1) 215－＝15化为对数式是log 515＝－12；(2)x ＝2log 4化为指数式是(2)x＝4，即22x ＝22，x2＝2，x ＝4；(3)3x＝127化为对数式是x ＝log 3127，因为3x＝(13)3＝3－3，所以x ＝－3；(4)(14)x ＝64化为对数式是x ＝log 1464，因为(14)x ＝64＝43，所以x ＝－3；(5)lg0.000 1＝x 化为指数式是10x＝0.000 1， 因为10x＝0.000 1＝10－4，所以x ＝－4. 例2计算3log35＋3log315的值．解：设x ＝log 315，则3x＝15，(312)x ＝21)51(－，所以x ＝3log15. 所以3log 35＋3log 315＝5＋33log15＝5＋15＝655.例3计算a logab·logbc·logcN(a ＞0，b ＞0，c ＞0，N ＞0)．解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N.(设计者：路致芳)第2课时 积、商、幂的对数导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容： 1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化． a b＝N log a N ＝b. 3．重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)log a 1＝0，log a a ＝1；(3)对数恒等式alog a N ＝N.下面我们接着讲积、商、幂的对数〔教师板书课题〕．思路 2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则． a m·a n＝am ＋n；a m ÷a n ＝am －n；(a m )n＝a mn；ma n＝a nm.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．推进新课新知探究提出问题1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2如我们知道a m＝M，a n＝N，a m·a n＝a m＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？3在上述2的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.,5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？6上述结论能否推广呢？,7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)如a m·a n＝a m＋n，设M＝a m，N＝a n，于是MN＝a m＋n，由对数的定义得到M＝a m⇔m＝log a M，N＝a n⇔n＝log a N，MN＝a m＋n⇔m＋n＝log a MN，log a(MN)＝log a M＋log a N.因此m＋n可以用对数式表示．(3)令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n，所以m －n ＝log a M N .又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N.所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN，即log a MN＝log a M －log a N.设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义， 所以log a M ＝m ，log a M n＝mn.所以log a M n＝mn ＝nlog a M ，即log a M n＝nlog a M. 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN)＝log a M ＋log a N ，① log a MN ＝log a M －log a N ，②log a M n＝nlog a M(n∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0.(6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a≠1，M 1、M 2、M 3、…、M n 均大于0)． (7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算． 性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．应用示例思路1例1用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a (x 3y 5)；(3)log a x yz ；(4)log a x 2y 3z .解：(1)log a xyz ＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y ；(3)log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝log a 21x －(log a y ＋log a z)＝12log a x－log a y －log a z ； (4)log ax2y 3z＝log a (x 221y 31－z)＝log a x 2＋log a 21y ＋log a 31－z＝2log a x＋12log a y －13log a z.点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.例2计算：(1)lg 5100；(2)lg4＋lg25；(3)(lg2)2＋lg20×lg5.解：(1)lg 5100＝15lg100＝25；(2)lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2；(3)(lg2)2＋lg20×l g5＝(lg2)2＋(1＋lg2)(1－lg2)＝(lg2)2＋1－(lg2)2＝1.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；要避免错用对数运算性质，特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.解：(1)解法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7(73)2×18＝lg1＝0.(2)lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52. (3)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2＝lg(33)12＋lg23－3lg(10)12lg3×2210 ＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32. 思路2例1：求下列各式的值．(1)log 525；(2)log 0.41；(3)log 2(47×25)． 解法一：(1)log 525＝log 552＝2； (2)log 0.41＝0；(3)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19.解法二：(1)设log 525＝x ，则5x＝25＝52，所以x ＝2； (2)设log 0.41＝x ，则0.4x ＝1＝0.40，所以x ＝0； (3)log 2(47×25)＝log 2(214×25)＝log 2219＝19，或log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 222＋log 225＝2×7＋5＝19. 点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式.例2计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．(1)解法一：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. 解法二：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427－34232lg＋lg75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.(2)解法一：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg2＋lg5)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.解法二：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(1－lg5)2＝2lg10＋lg5[2(1－lg5)＋lg5]＋(1－lg5)2＝2＋lg5(2－lg5)＋(1－lg5)2＝2＋2lg5－(lg5)2＋1－2lg5＋(lg5)2＝3.(3)解法一：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8＝lg 18102lg1.8＝lg1.82lg1.8＝12. 解法二：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg3－12lg 1810＝12lg2＋lg3－122lg3＋lg2－1＝122lg3＋lg2－12lg3＋lg2－1＝12. 点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值. 变式训练 计算：(1)2log 510＋log 50.25；(2)2log 525＋3log 264；(3)log 2(log 216)． 解：(1)因为2log 510＝log 5102＝log 5100，所以2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 552＝2log 55＝2.(2)因为2log 525＝2log 552＝4log 55＝4,3log 264＝3log 226＝18log 22＝18，所以2log 525＋3log 264＝22.(3)因为log 216＝log 224＝4，所以log 2(log 216)＝log 24＝log 222＝2.知能训练1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y)，log a (x －y)表示下列各式： (1)log a 3x y 2z ；(2)log a (x·4z 3y 2)；(3)log a (xy 12z －23)；(4)log a xy x 2－y 2； (5)log a (x ＋y x －y ·y)；(6)log a [y xx －y ]3. 解：(1)log a 3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z) ＝13log a x －2log a y －log a z. (2)log a (x·4z 3y 2)＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2) ＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z. (3)log a (xy 12z －23)＝log a x ＋log a y 12＋log a z －23＝log a x ＋12log a y －23log a z.(4)log a xy x 2－y 2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)(x －y)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)－log a (x －y)．(5)log a (x ＋y x －y ·y)＝log a x ＋y x －y＋log a y ＝log a (x ＋y)－log a (x －y)＋log a y.(6)log a [y x(x －y)]3＝3[log a y －log a x －log a (x －y)]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y)．2．已知f(x 6)＝log 2x ，则f(8)等于( )A.43 B ．8 C ．18 D.12解析：因为f(x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得x ＝632＝212，所以f(8)＝log 2212＝12. 另解：因为f(x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f(x)＝16log 2x. 所以f(8)＝16log 28＝16log 223＝12. 答案：D3．若a ＞0，a≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子正确的个数为( ) ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y) ②log a x －log a y ＝log a (x －y)③log a x y＝log a x÷log a y ④log a (xy)＝log a x·log a yA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A4．若a ＞0，a≠1，x ＞y ＞0，n∈N ＋，下列式子正确的个数为( )①(log a x)n ＝nlog a x ②(log a x)n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x ④log a x log a y ＝log a x y ⑤n log a x ＝1n log a x ⑥1nlog a x ＝log a n x ⑦log a x n＝nlog a x ⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B5．科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为r ＝0.6lgI ，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度．解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I 1和I 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6.9＝0.6lgI 1，7.8＝0.6lgI 2.因此0.6(lgI 2－lgI 1)＝0.9，即lg I 2I 1＝1.5.所以I 2I 1＝101.5≈32. 因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍．拓展提升已知x 、y 、z ＞0，且lgx ＋lgy ＋lgz ＝0，求x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy的值． 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.解：令x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz ＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy ＝t ，则lgt ＝(1lgy ＋1lgz )lgx ＋(1lgz ＋1lgx )lgy ＋(1lgx ＋1lgy)lgz ＝lgx lgy ＋lgx lgz ＋lgy lgz ＋lgy lgx ＋lgz lgx ＋lgz lgy ＝lgx ＋lgz lgy ＋lgx ＋lgy lgz ＋lgy ＋lgz lgx＝－lgy lgy ＋－lgz lgz ＋－lgx lgx ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求． 课堂小结1．对数的运算法则．2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用．3．对数与指数形式比较：作业课本本节练习B 1、2、3.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．备课资料[备选例题]例 已知a 、b 、c 均为正数，3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c . 活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a 、b 、c 的关系，不妨设3a ＝4b ＝6c＝k(k ＞0)，则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．证法一：设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则k ＞0.由对数的定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则左边＝2a ＋1b ＝2log 3k ＋1log 4k＝2log k 3＋log k 4＝log k 9＋log k 4＝log k 36，右边＝2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36，所以2a ＋1b ＝2c. 证法二：对3a ＝4b ＝6c 同时两边取常用对数得lg3a ＝lg4b ＝lg6c，alg3＝blg4＝clg6.所以c a ＝lg3lg6＝log 63，c b ＝lg4lg6＝log 64.又2c a ＋c b＝log 6(9×4)＝2，所以2a ＋1b ＝2c. 点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化．(设计者：卢岩冰)第3课时 换底公式与自然对数导入新课 思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a≠1，c ＞0，且c≠1，b ＞0，log a b ＝log c b log c a.教师直接点出课题．思路 2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题． 推进新课新知探究提出问题①已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求log 23的值.②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？⑦什么是自然对数，如何用计算器计算自然对数？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了；⑦自然对数与常用对数是两种特殊的对数，它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用．讨论结果：①因为lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3. 不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1,100.301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg3lg2.因此log 23＝lg3lg2＝0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，xlog a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2， 也就是log 23＝log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．③证明log a b ＝log c b log c a. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取c 为底的对数，得log c a x ＝log c b xlog c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a. 一般地，log a b ＝log c b log c a(a ＞0，a≠1，b ＞0，c ＞0，c≠1)称为对数换底公式．④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N.⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商． ⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg3lg2， 即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813， 所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．⑦在科学技术中，常常使用以无理数e ＝2.718 28…为底的对数．以e 为底的对数叫做自然对数．logeN 通常记作lnN.根据对数的换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：lnN ＝lgN lge ≈lgN 0.434 3，即lnN≈2.302 6 lgN.用科学计算器可直接求自然对数．例如，求ln34(精确到0.000 1)，可用科学计算器计算如下：所以ln34≈3.526 4.应用示例思路1 例1求下列各式的值： (1)log 89·log 2732的值；(2)ln1.解：(1)log 89·log 2732＝lg9lg8×lg32lg27＝2lg33lg2×5lg23lg3＝23×53＝109. (2)因为e 0＝1，所以ln1＝0.例2 (1)求证：log x ylog y z ＝log x z.证明：因为log x ylog y z ＝log x y log x z log x y ＝log x z ，所以log x ylog y z ＝log x z.(2)求证：log an b n＝log a b.证明：因为log an b n ＝log a b n log a a n ＝nlog a b nlog a a＝log a b ，所以log an b n ＝log a b. 点评：本题的结论可作为公式直接应用.思路2例1 (1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a 、b 表示log 4256.(2)若log 83＝p ，log 35＝q ，求lg5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．解：(1)因为log 23＝a ，则1a＝log 32， 又因为log 37＝b ，所以log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. (2)因为log 83＝p ，即log 233＝p ，所以log 23＝3p.所以log 32＝13p. 又因为log 35＝q ，所以lg5＝log 35log 310＝log 35log 32＋log 35＝3pq 1＋3pq. 点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.例2设x 、y 、z∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z；(2)比较3x 、4y 、6z 的大小． 活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x 、y 、z 表示出来，根据对数的定义把3x ＝4y ＝6z 转化为指数式，求出x 、y 、z ，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．(1)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x 、y 、z∈(0，＋∞)，所以k ＞1.取对数，得x ＝lgk lg3，y ＝lgk lg4，z ＝lgk lg6， 所以1x ＋12y ＝lg3lgk ＋lg42lgk ＝2lg3＋lg42lgk ＝2lg3＋2lg22lgk ＝lg6lgk ＝1z， 即1x ＋12y ＝1z. (2)解：因为3x －4y ＝(3lg3－4lg4)lgk ＝lg64－lg81lg3·lg4lgk ＝lgk·l g 6481lg3·lg4＜0，所以3x ＜4y.又因为4y －6z ＝(4lg4－6lg6)lgk ＝lg36－lg64lg2·lg6lgk ＝lgk·l g 916lg2·lg6＜0， 所以4y ＜6z.所以3x ＜4y ＜6z.点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析． 例3已知log a x ＝log a c ＋b ，求x.活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式来解．解法一：由对数定义，可知x ＝a logac ＋b ＝a logac ·a b ＝c·a b. 解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ，即log a x c＝b ，由对数定义，知x c＝a b ， 所以x ＝c·a b.解法三：因为b ＝log a a b ，所以log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c·a b . 所以x ＝c·a b .点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．知能训练(1)已知lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( ) A.2a ＋b 1＋a ＋b B.a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 1－a ＋bD.a ＋2b 1－a ＋b(2)已知2lg(x －2y)＝lgx ＋lgy ，则x y的值为( ) A ．1 B ．4C ．1或4D ．4或－1(3)若3a＝2，则log 38－2log 36＝__________.(4)lg12.5－lg 58＋lg0.5＝__________. 答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1 拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x＝N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以xlog c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a. 故log a N ＝log c N log c a .证法二：由对数恒等式，得N ＝alog a N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c N ＝log a N·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n＝c mn .两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c≠1，a ＞0且a≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用．前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M. 课堂小结1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a ＞0且a≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明． 作业1．已知271log 17＝a ，31log 15＝b ，求log 81175的值． 解：因为271log 17＝log 277＝13log 37＝a ， 所以log 37＝3a. 又因为31log 15＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 325×7＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b 4. 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝52. 证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝nlog 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边． 设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料。
3.2.1 对数及其运算(二) 学案(人教B版必修1)
3.2.1 对数及其运算(二)自主学习学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝________________；(2)log a M N＝________； (3)log a M n ＝________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________.3．自然对数(1)以________________为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记作________．(2)自然对数与常用对数的关系：ln N ≈____________.对点讲练知识点一 正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④知识点二 对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.规律方法 (1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.知识点三 换底公式的应用例3 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ；(2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1).课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝__________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.3．2.1 对数及其运算(二)答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a3．(1)无理数e ＝2.718 28… ln N(2)2.302 6lg N对点讲练例1 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．]变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]例2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.例3 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010 ＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
3.2.1对数及其运算
2.不查表,求值. 不查表,求值 不查表
(1).(log 4 3 + log8 3)(log 3 2 + log 9 2) log 1 2
2 5 4
5 — 2
(2). lg 5. log
10
20 + lg 2
4 — 3
(
2
) 3
2
log 3 2 1
能力拓展
(1)已知 log16 3 = m,试用m表示 log 9 16.
2
( 2 ) log 2 128 = 7
1 = 16 2 2 7 = 128
1 2 = 4 1 4 3 = 81
2
4
1 (3) log 2 = 2 4 1 ( 4 ) log 3 = 4 81
求下列各式的值: 例3 求下列各式的值
(1) log264; (2) log3 9 .
1 ___
=4/3 =3
(3)(log 2 125 + log 4 25 + log8 5) (log125 8 + log 25 4 + log 5 2)
=13
例10
已知 log18 2 = a,试用a表示 log 3 2
log 3 2 log 3 2 = 解: 由 log18 2 = log 3 (2 × 9) log 3 18
a (1 + 8%) x = 2a a1.08 x = 2a 即:. 08 x = 2 x = ?? 1
?
1.对数的概念 1.对数的概念
对于实数集R 在指数函数y=a 中,对于实数集R内的 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y x,在正实数集内都有唯一确定的值 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应; 和它对应;
对数及其运算课堂评价
人教B版3.2.1《对数及其运算》一课的评析
一、值得肯定的方面
1.教学目标落实到位，知识与技能目标是理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的基本性质。
过程与方法目标是通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
小组交流对对数的理解和认识，培养学生合作学习的能力，使学生经历认知逐渐深入的过程。
情感态度与价值观是积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们研究数学问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自主探究以及合作交流的能力。
从整体教学过程中师生活动情况看基本达成。
2.学生主动学习参与程度表现突出，课堂整体体现学生合作学习及探究学习的各个环节明显，参与度达到100%，积极踊跃发言，思维比较活跃，效果应该很好。
3.教师启发点拨基本到位，展示出学生的思维过程，对学生的思维发展提供了空间。
4.教师的基本功较好，语言、板书、教态、亲和力及现行条件下多媒体运用都有可圈可点之处。
二、尚需努力之处
1.学生自主程度不够，整个教学过程没有体现出学生自我提出的问题和思路，都是按照教师设计的过程在活动。
2.学生小组讨论后发言学生只有几个代表，其他成员得不到锻炼
的机会，体现学生个体的思路想法看不到。
3.教师的语言点拨关键时刻还有待于精炼；语速还是有些快，个别处板书有些随意。
3.2.1对数及其运算1
(2). lg 5. log
20 lg 2 10
2
3
2
2
log3 21
1.对数的概念、表示.
2.指数式与对数式的关系和转化. 3.常用对数和自然对数.
4.对数的运算.
5.换底公式.
(3) lg1;
(4) lg100.
(5) lg0.001;
(6) log927.
练习:
（1 log 2 2 2 ）
3
(2) lg 100
3
(3) log 3 9 log 3 27 (4) lg 10 lg 0.1
2
注意:
在对数式中，a、b、N的取值范围 １.a的范围是 a＞0，a≠1
２.b的范围是 ３.Ｎ的范围是
知识点2.对数指数互化
指 数
b = N a
底 数
指数式ab=N 对数式logaN=b 幂
log a N = b
底数 真 数 对 数 b 指数 对数
a 底数 对数的底数
N 幂 真数
知识点2.对数指数互化
例1.把下列指数式写成对数式：
(1)2 8 1 1 (3)2 2
3
(2)2 32 1 1 3 (4)27 3
题型3.利用对数的运算性质解题
练习： 1 32 4 1. lg lg 8 lg 245 2 49 3 2 2 2 2. lg 5 lg 8 lg 5. lg 20 lg 2 3 lg 2 lg 3 lg 10 3. lg 1.8
题型4.利用对数恒等式和换底公式解题 例9.计算
1 log 0.2 3 4
(1)5
( 2) log 4 3 log 9 2 log 2 32
人教B版高中数学必修一3.2 对数与对数函数
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算【目标要求】1． 理解对数的概念。
2. 掌握对数的运算性质。
1. 掌握换底公式并灵活运用。
【巩固教材——稳扎马步】1．指数式b c=a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 ( )A ．log c a =bB ．log c b =aC ．log a b =cD ．log b a =c 2．已知ab >0，下面四个等式中，正确命题的个数为 ( )①lg （ab ）=lg a +lg b ②lg b a =lg a －lg b ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．33. 3log 21122-的值等于 （ ） A.32B.32C.332D.2 4.下列等式中恒成立的是（ ）A.()()0,0log log log >>+=+N M N M N M a a aB.N M NMa a a a log log log log -=()1,0,0≠>>N N MC.M n M a n a log 1log =()*,0N n M ∈> D.M nmM a nmalog log =()*,,0n n m M ∈>【重难突破——重拳出击】 5.已知()1132log log log 0x =⎡⎤⎣⎦,则=-21x（ ）331.221.321.31.D C B A6. 如果方程 lg 2x+（lg2+lg3）lgx+lg2·lg3=0 的两根为x 1，x 2，那么x 1·x 2的值为 （ ）A 、lg2·lg3B 、lg2+lg3C 、61D 、-6 7. 已知：2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，则m 的值是 （ ） A.2 B.3 C.2 D.3 8. =++-+)1(log )1(n n n n ( )A ．1B.-1C.2D.-29. 已知x =2+1，则lo g 4（x 3－x －6）等于 ( ) A ．23B ．45C ．0D ．21 10. 已知),0)(4(log )3(log 31212>+=y yy x则x 的值是 （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、311. 若31log 131log 15121+的值属于区间(n ，n +1)，n ∈N *，则n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 12. 若a 、b 、c ∈R +，则3a =4b =6c，则 ( )A ．b ac 111+= B ．b ac 122+= C ．ba c 221+=D ．ba c 212+=【巩固提高——登峰揽月】13.lg 25+32lg8+lg5·lg20+lg 22= 。
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第3课时换底公式与自然对数课堂导学案
3.2.1 对数及其运算第3课时换底公式与自然对数课堂导学三点剖析一、利用换底公式进行求值【例1】计算:(1)log 1627log 8132;(2)(log 32+log 92)(log 43+log 83).思路分析：在两个式子中,底数、真数都不相同,因而要用换底公式进行换底便于计算求值. 解：(1)log 1627log 8132=81lg 32lg 16lg 27lg ⨯ =45433lg 2lg 2lg 3lg ⨯=3lg 42lg 52413lg 3⨯g =1615. (2)方法一:(log 32+log 92)(log 43+log 83)=(log 32+9log 2log 33)(8log 3log 4log 3log 2222+) =(log 32+21log 32)(21log 23+31log 23) =23log 32×65log 23=45×2lg 3lg 3lg 2lg ⨯=45. 方法二:原式=()8lg 3lg 4lg 3lg )(9lg 2lg 3lg 2lg (++=)2lg 33lg 2lg 23lg )(3lg 2lg 23lg 2lg (+⨯+=23×3lg 2lg ×65× 2lg 3lg =45. 二、条件求值【例2】已知log 1227=a,求log 616的值.思路分析：此题用换底公式,将log 616换成以12为底的对数,而已知a=log 1227可转化为log 123=3a ,关键是log 122的值,312=22是一个重要转折,∴log 12312=log 1222=2log 122. 解：∵log 1227=a,∴log 123=3a . ∵log 12312=2log 122=1-log 123=13a -, ∴log 122=21(13a -). ∴log 616=6log 16log 1212=3log 2log 2log 4121212+=aa +-3)3(4. 三、恒等式的证明问题【例3】求证:(1)log x ylog y zlog z a=log x a;(2)log n a b n log c a=log c b.思路分析：两题中的对数中,底数都不完全相同,故需用换底公式,由左边向右边的式子“靠近”. 证明:(1)log x ylog y zlog z a=z a y z x y lg lg lg lg lg lg ⨯⨯=xa lg lg =log x a.∴原式成立. (2)log n ab nlog c a=c a a b n n lg lg lg lg ⨯=c a a n b n lg lg lg lg ⨯=c b lg lg =log c b. ∴原式成立.温馨提示在利用换底公式进行计算、化简、证明时,要会正用公式,即从左到右,也要会逆用公式,即从右到左,更要会变用公式,不管怎样用公式,一定要从整体上把握公式的特点,方能用活公式. 各个击破类题演练1求值:(1)log 23log 95log 58;(2)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258).解析：(1)原式=5lg 8lg 9lg 5lg 2lg 3lg ∙∙=5lg 2lg 33lg 25lg 2lg 3lg ∙∙=23. (2)原式=(2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3++)(5lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg ++)=5lg 2lg 32lg 35lg 13∙=13. 变式提升1已知log 34log 481log 8m=log 416,求m 的值.解析：由条件知2lg 3lg 2lg 23lg 43lg 2lg 2m ∙∙=2, 2lg 3lg 4m 2,∴2lgm=3lg2. ∴lgm 2=lg8.∴m 2=8. 又∵m>0,∴m=22.类题演练2已知log 35=a,求log 1575.解析：log 1575=15log 75log 33=5log 1125log 33++=5log 115log 233++=aa ++112. 变式提升已知log 23=a,log 37=b,求log 4256.解析：∵log 23=a,∴log 32=a1. ∴log 4256=42log 56log 33=76log 87log 33⨯⨯=7log 6log 8log 7log 3333++=7log 12log 2log 37log 3333+++=b aa b +++113=13+++a ab ab . 类题演练3求证:log m (x+y+a)log (x+y+a)(y+z)log (y+z)m=1. 证明:log m (x+y+a)log (x+y+a)(y+z)log (y+z)m =)lg(lg )lg()lg(lg )lg(z y m a y x z y m a y x +∙+++∙++=1. 变式提升3设x 、y 、z∈(0,+∞)且3x =4y =36,求证:y x 12+=1. 证明:∵3x =36,4y =36,∴x=log 336，y=log 436. ∴x 1=log 363y1=log 364. ∴x 2+y1=2log 363+log 364 =log 36(32×4)=1. ∴x 2+y 1=1.。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算》_1
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
授课题目
对数与对数运算（二）
拟课时
第课时
明确目标
1.知识与技能：理解对数的运算性质．
2.过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3.情感、态度与价值观
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log Mn= logaM及换底公式logaN= .利用换底公式可以证明：logab= ，
即logablogba=1.
例2:已知log189 =a，18b= 5，求log3645.
.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1.已知 ， ，求下列格式的值
则由１、 0=1２、 1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义， =？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （ ＞0，且 ≠1）
②∵ ＞0，且 ≠1对任意的力， 常记为 .
恒等式： =N
3.两类对数
①以10为底的对数称为常用对数， 常记为 .
②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数， 常记为 .
让学生讨论、研究，教师引导
师组织，生交流探讨得出如下结论:
底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.
学生思考，口答，教师板演、点评．
学生先做，老师再评讲
板书设计：
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
探究式导学案3：3.2.1 对数及其运算
3.2.1 对数及其运算学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2．了解常用对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算． 课前预习1． 如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是________，那么数b 叫做______________________，记作____________，其中a 叫做________________，N 叫做________．2．对数的性质有：(1)1的对数为________； (2)底的对数为________； (3)零和负数________________．3．通常将以10为底的对数叫做________________，log 10N 可简记为________． 4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N ____________log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝________(a >0且a ≠1)． 【例1】已知3m ＝7，则有( ) A ．3＝log 7m B ．7＝log 3m C ．m ＝log 73 D ．m ＝log 37 2．对数恒等式与对数的性质(1)根据对数的定义，可得对数恒等式log a Na N ＝.例如3log 535＝等．需注意，当幂的底数和对数的底数相同时，对数恒等式log a NaN ＝才适用．(2)根据对数的定义，对数log a N (a ＞0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N ＞0； ②1的对数为0，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 【例2】已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x 等于( )A ．13B ．6C ．4D ．93．常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底数10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log 10N 记作lg N .①以后如果没有特别指出对数的底，都是指常用对数．例如：100的对数是2，就是指100的常用对数是2，即lg 100＝2.②常用对数的性质：(ⅰ)lg 1＝0；(ⅱ)lg 10＝1；(ⅲ)10lg N＝N(N＞0)．(2)以e为底的对数叫做自然对数(其中e＝2.718 28…)．log e N通常记作ln N.自然对数有如下性质：①ln e＝1；②e ln a＝a(a＞0)．【例3】有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④4．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N.对于(1)，又可表述为：正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和(简言之：积的对数等于对数的和)．此性质可以推广到若干个正因数的积：log a(N1·N2·…·N k)＝log a N1＋log a N2＋…＋log a N k.(2)log a MN＝log a M－log a N.对于(2)，又可表述为：两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数(简言之：商的对数等于对数的差)．(3)log a Mα＝αlog a M.对于(3)，又可表述为：正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．由(3)可推出对数的几个常用结论：①log a nM＝1n log a M；②log a1M＝－log a M；③log apM n＝np log a M，其中M＞0，n，p∈N＋，n，p＞1.谈重点牢记对数运算法则及其成立的条件1．要把握好对数运算法则及其成立的条件，特别是经常将对数的加减乘除与真数的加减乘除混淆．注意：log a(MN)≠(log a M)(log a N)；log a(M＋N)≠log a M＋log a N；log a MN≠log a Mlog a N.2．指数与对数运算性质对比表：3积的对数变加法，商的对数变减法； 幂的乘方取对数，要把指数提到前．【例4】计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5. 点技巧 巧用常用对数的变形由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论． 5．换底公式(1)设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，得x log a b ＝log a N ，所以x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b.即换底公式：log b N ＝log a N log a b.(2)公式作用：利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，这是解决关于对数运算问题的基本思想方法．【例5】82log 9log 3的值是( ) A ．23 B ．32C ．1D ．2 6．对数定义中的隐含条件根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N 是正实数．因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件． 【例6】已知对数log (1－a )(a ＋2)有意义，则实数a 的取值范围是________． 7．对数的化简、求值问题 (1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如log 395＋log 35＝log 39－log 35＋log 35＝log 39＝2.二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数． 如，log 395＋log 35＝log 3⎝⎛⎭⎫95×5＝log 39＝2. 三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式．通常是先分别换底，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，log a b ·log b a ＝1等．【例7】求下列各式的值：(1)lg8lg1.2-；(2)2log 32－332log 9＋log 38－log 5125；(3)log 2(1＋)＋log 2(1)． 点技巧 对数运算法则的灵活运用利用对数运算法则计算时，通常要将底数、真数进行质因数分解，将不同底数化为同底数，在计算过程中常常会逆用运算法则．8．利用已知对数表示其他对数用对数log a x 和log b y 等表示其他对数时，首先仔细观察a ，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a ，b .解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (MN )＝log a M ＋log a N ； log a MN ＝log a M －log a N ；log a M n ＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1；N ＞0)．【例8】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( ) A ．a b a + B ．a b b + C ．a a b + D ．ba b+ 点技巧 巧用换底公式巧用换底公式是解决本题的关键，其中“log 182＝log 18189＝1－log 189＝1－a ”是点睛之笔．9．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程log 64⎝⎛⎭⎫x －1516＝－23，将其化为指数式为2315=6416x --，又223233164=(4)=4=16---，则x －1516＝116，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式[f (x )]b ＝n ，这样解关于x 的方程[f (x )]b ＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1.第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例9】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0. 辨误区 lg 2x 与lg x 2的区别本题中，易混淆lg 2x 和lg x 2的区别，lg 2x 表示lg x 的平方，即lg 2x ＝(lg x )2，而lg x 2＝2lg x .课后练习1.完成下表指数式与对数式的转换．2.求下列各式中x (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log x 27＝34；(3)x ＝log 84.3.已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求4.计算235111log log log 2589⋅⋅. 5.已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)6.设log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bc 的值．参考答案1．a b＝N以a为底N的对数b＝log a N对数的底数真数2．(1)零(2)1(3)没有对数3．常用对数lg N4．等价于5．N【例1】解析：由于a x＝N⇔x＝log a N，则3m＝7⇔m＝log37. 答案：D【例2】解析：由log7[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23＝8.∴124 x-.答案：C【例3】答案：C【例4】解：(1)原式＝log1222＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1.(2)原式＝500lg5＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2.【例5】解析：思路一：将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即82lg9log92lg3lg22lg8===lg3log33lg2lg33lg2⋅.思路二：将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即2822222log9log9log82log32=== log3log33log33.答案：A【例6】解析：根据对数的定义，得20, 10, 11, aaa+>⎧⎪->⎨⎪-≠⎩解得－2＜a＜0或0＜a＜1.答案：(－2,0)∪(0,1)【例7】分析：根据各个式子的特点，综合运用积、商、幂的对数公式变形求解．解：(1)原式＝33322333lg33lg2(lg32lg21)lg3lg2lg103222=== 34lg32lg21lg32lg212lg10+-+-+-⨯+-+-.(2)原式＝2log32－(log325－log332)＋log323－log553＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(3)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)＝log2[(1＋)(1＋)]＝log2[(1)2－)2]＝2log＝322log2＝32.【例8】解析：由换底公式得3lg6lg(23)lg2lg3log6==== lg3lg3lg3a b b⨯++. 答案：B【例9】分析：利用换元法，转化为解一元二次方程． 解：原方程可化为lg 2x －2lg x －3＝0. 设lg x ＝t ，则有t 2－2t －3＝0， 解得t ＝－1或t ＝3，∴lg x ＝－1或3， 解得1=10x 或x ＝1 000， 经检验1=10x ，x ＝1 000均符合题意， 所以原方程的根是1=10x ，或x ＝1 000. 1.解析：(1)103＝1 000⇔log 101 000＝3； (2)log 39＝2⇔32＝9； (3)log 210＝x ⇔2x ＝10.答案：(1)log 101 000＝3；(2)32＝9；(3)2x ＝10. 2.解：(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝1.∴x ＝51＝5.(2)∵log x 27＝34，∴34x ＝27.∴x ＝43(27)＝34＝81.(3)∵x ＝log 84，∴8x ＝4.∴23x ＝22.∴3x ＝2，即2=3x . 3.分析：可以将lg 2和lg 3的形式． 解：∵121lg 45=lg 452＝12lg(5×9)＝12(lg 5＋lg 9) ＝12210lg lg 32⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12(1－lg 2＋2lg 3)， 又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，∴lg 45＝12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6.4.解：原式＝111lglg lg2lg53lg 22lg312lg5lg 2lg32589==lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝－12.5.解：∵18b ＝5，∴b ＝log 185. ∴1818181836181818181818log 45log (59)log 5log 9log 45======18log 36log (218)log 2log 181log 221log 9a b a b a ba⨯++++⨯++-+. 6.分析：方程的两根为对数式，所求式子涉及的字母也包含在两个式子中，因此可利用一元二次方程根与系数的关系列式，再用换底公式转化求解．解：∵log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，∴log log =3,log log =1.a b a b c c c c +⎧⎨⋅⎩∴11=3,log log log log =1,c c cc a b a b ⎧+⎪⎨⎪⋅⎩即log log =3,log log =1.c c c c a b a b +⎧⎨⋅⎩ ∴11log ==log log log a c c bcc aa b b-5±.。
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张喜林制3.2.1 对数及其运算教材知识检索考点知识清单1．对数的概念(1) -般地，如果),10(=/>=a a N a x 且那么 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做(2)由对数的定义可知：=ya alog(3)对数N a log （a>0且a ≠1）的性质：①零和负数 ，即N .=1log a ② .=a a log ③ .(4)特殊对数：以10为底的对数叫做____ ，记作 ，以e 为底的对数叫做 ，记作____．2．对数的运算性质如果a>0且,0,0,1>>=/N M a 则有：=⋅)(log )1(N M a=NMalog )2( =n a M log )3( 3．对数的换底公式=N b log =m a b n log ; =/=/>>b a b a ,1,0,0()0,1=/n要点核心解读1．理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化理解对数的概念要把握以下几点：(1)当a>0且1=/a 时，,0>b α这时指数式N a b =才可以写成对数式.log N b a =因此，对数的底数要大于零且不等于l ，真数要大于零，即使N n log 有意义的条件是底数a >0且,1=/a 真数N>o ．(2)对数N a log 的意义是底数为a ，幂为N 的幂指数，因此，求N a log 的值即为已知底数a 和幂N 求指数的问题．(3)指数式N a b=和对数式a b log =N 之间等价，即⇔=N a b.log N b a =这既是指数式和对数式之间互化的依据，也是指数问题转化为对数问题和对数问题转化为指数问题的出发点．对数恒等式)0,1,0(>=/>=N a a N aN kg a 是由对数的概念直接得到的，但在应用时容易出现错误，要注意当幂的底数和对数的底数相同时才可以运用对数恒等式，同学们在应用时就往往不注意这一点，出现如,,5255log =这类错误．2．掌握对数的运算性质及其应用对数的运算性质有三方面，在前面我们已经给出，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求每一条运算性质都要会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以防止乱造公式，例如：式子=±)(log N M a ,log log log ,log log )(log ,log log NM N M N M N M N M a a aa a a a a =⋅=⋅± n a n a M M )(log log =都是错误的；第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母的取值范围：,0,1,0>=/>M a a .0>N 例如，)]3)(2[(log 2--是存在的，但)2(log 2-和)3(log 2-却都不存在，因此不能得出=-⋅-)]3()2[(log 2),3(log )2(log 22-+-再如，2)10lg(-是存在的，但是)10lg(-却没有意义，因此不能得出);10lg(2)10lg(2-=-第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时我们不仅要掌握公式的“正用”，还要掌握公式的“逆用”． 3．注意几个恒等式及其应用恒等式：,log N aNa =换底公式,log log log bN N a a b =及=n a b m log ⋅=a b b m n b a a log 1log ,log 这几个公式在解题过程中应注意灵活运用．典例分类剖析考点1对数的基本运算[例1](1)求下列各式中的x ．;2327log =x ① ;32log 2-=x ② ;2)223(log -=+x ③ .16log 21=x ④ (2)求下列各式的值．;343log 21① 2231log )12(+-②[解析] (1)①由,272,2327log 23==x x 得.9327232===∴x②由,32log 2-=x 得⋅==∴=-2221,233232x x③由,2)223(log -=+x 得,2232-=+x.12)223(21-=-+=∴x④由,16121og x =得,16)21(=x即.4,224-=∴=-x x(2)①方法一：原式=.43)3(43log 43log 21==方法二：原式=.4333334log 2log 223log=== =+=+=+---121log )12(1log 2231log )12(2)12()12(②.1)12(log12=--[点拨]在运算中要注意同底的指数与对数的互化，并灵活运用定义、性质和运算法则． 母题迁移 1．解下列方程：);10lg(215lg )3lg (lg 21)1(--=-x x ;2log 2.1)2(10=+x gx x .1)132)(1log()3(22=+--x x x考点2 对数式的求值、化简与证明[例2]求值：;142log 2112log 487log )1(222--+ ;25lg 50lg 2lg )2)(lg 2(2+⋅+ ⋅+⋅+)3log 31()212)(log 3(8493og og[解析] (1)原式=2log 42log 12log 487log 2222--+ ⋅-===⨯⨯⨯=-232log 221log 24248127log 23.222(2)原式=.2100lg 25lg 2lg 225lg )50lg 21(2lg ==+=++g(3)原式=⋅==+⋅+452lg 63lg 5.3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg ()3lg 22lg 3lg 2lg ([点拨] 对数运算中常常会反用对数法则，以达到化简的目的，有时出现不同底的对数，首先应化为同底的对数．[例3](1)设n m a a a n m +==2,3log ,2log 求的值． (2)已知b a b a -==2100,310,210、求的值．[解析] (1).3,,3log .2,2log =⋅=-=∴=n a m a a n x a m 于是.1232.222=⨯==+n m nm a a a⋅=∴==∴=3lg ,3102lg ,210)2(b a b a 又于是,916)34()1010(10100223lg 4lg )3lg 4(lg 22==÷⋅==--ba或⋅======---91632)10()10(101010)10(10024242424222b a b a ba ba bu [点拨]在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．本题中用到了对数的恒等式：.log N aNa =母题迁移 2．求下列各式的值．;14log 51log 2log 235log )1(5555--+ .4.1]1812log )311)[(2(66626og og og ÷⋅+- 考点3换底公式的应用[例4] 已知.45log ,518,9log 3618求⋅==ba[解析] 已知条件与所求对数的底是不相同的，因此考虑应用换底公式．解法一：.5log ,518,9log 1818b a b =∴==于是=++=⨯⨯==2115log 9log )218(1)59(log 36145log 45log 1818181818181836og og og ⋅-+=++a ba b a 2918log 118 解法二：.5log ,518,9log 1818b a b =∴==⋅ 于是⋅-+=-+=⨯=a ba og 29118log 25log 9log 918log )59(log 45log 181818182181836 [点拨] 本题还有其他方法．这里，都是把指数式518=b改写为对数式，再把所求对数通过换底公式换成和它相同底的对数，以便利用已知条件和对数的性质求值．母题迁移3．已知.15log ,5log ,9log 36.1818求b a == 考点4对数、指数式的综合运用[例5]设x ，y ， z 均为正数，且.643zyx== (1)试求x ，y ，z 之间的关系；(2)求使py x =2成立，且与p 最近的正整数（即求与p 的差的绝对值最小的正整数）． [解析]设,643t y x ===τ由x>0知，t>l ．故取以t 为底的对数，可得.16log 4log 3log ===⋅t t t z y x⋅===∴6log 1,4log 1,3log 1t t t z y x ,214log 212log 3log 6log 11)1(yx z l t l t ===-=- ∴ x ，y ，z 之间的关系为⋅=-yx z 2111 .16log 4log 24log 3122)2(33=⋅=⋅==l t og y x p 由,27169<<得,27log 16log 9log 333<<从而.32<<p 而,916log 9log 16log 2333=-=-p ⋅=-=-1627log 16log 27log 3333p由⋅>>=÷1627916.12432561627916知 ⋅-=>=-∴p p 31627log 916log 233从而所求正整数为3．[点拨】 由于指数式中底不相同，不易比较指数大小，将其统一转换为对数后就容易比较了．母题迁移4．已知+=+++5log )1(log )4(log 22a a a y x ),10)(12.(g 14=/>-a a xy o 且求yx8log 的值优化分层测训第一课时学业水平测试1．有以下四个命题：①若,3log 5=x 则;15=x ②若,21log 25=x 则,01;55==x og x ③若则④;5=x 若,3log 51-=x 则.125=x 其中真命题的个数为( )．1.A2.B3.C4.D2．使094115.0..=-xog 成立的x 的值为( )． 1.A 1.-B 2.C 2.-D3．化简27log 9的结果为( )．3.A 23.B 32.C 3.D4．若,2log ,5log 351==b a 则b-a==s og 9213.56．把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．;2515)1(2=- ;308)2(=x ;13)3(=x ;29log )4(31-=;10g 1)5(6o x =;31ln )6(=x ⋅=x lg 3)7(高考能力测试 （测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分） 1．若,log 7c b a=则a 、b 、c 之间满足( )．c a b A =7. c a b B 7.= c a b C 7.= a c b D 7.=2．下列各组指数式与对数式互化不正确的是( )．38log 82.23==与A 3131log 3127.2731-==-与B 5)32(log 32)2.()2(5=--=--与C 01lg 110.0==与D 3．已知⎩⎨⎧>≤+=),0(log ),0()3()(3x x x x f x f 则)9(-f 等于( )．1.-A 0.B 1.C 3.D4．有以下四个结论：;0)10lg(lg =① ;0)2lg(log 2=② ;10,lg 10==x x 则③若 .3,lg 310==x x 则④若其中正确的是( )．①③.A ②④.B ①②.C ③④.D5．在)5(log )2(a b a -=-中，实数a 的取值范围是( )．2,5.<⋅>a a A 或 52.<<a B 5332.<<<<a a C ，或 43.<<a D6．已知,0)](log [log log 237=x 那么21-x等于( )．31.A 321.B 221.C 331.D 7．若,)4(x f x =则=)2(f ( )24.A 42.B 21.C 2log 4⋅D8．下列指数式与对数式互化不正确的是( )．01lg 110.0==与A 3131log 3127.2731-==-与B 3929log 213==⋅与C 5515log 15==⋅与D 二、填空题（5分×4= 20分）9．已知,0)14(|8|2=-+-b b a 则=b2log a==+⋅+x x x x 则,1)3(log 102)3(11.已知),1,0,0(=/>>=c b a c ab 且,log x b c =试用x 表示=a c log 12.满足条件x x=-)21(log 2的实数x 的值为 三、解答题（10分×4 =40分）13．已知⎪⎩⎪⎨⎧⋅--∞∈--⋅∈+∞∈=+]1,(2],0,1(),,0(log )(322x x xx xx f x 求)))32(((--f f f 的值．14.求使式子)273129(log 3+⋅-xx 有意义的x 的取值范围．15.已知n m a a a n m 32,3log ,2log -==求的值． 16.设,831+=x 求)3444(log 2348++++x x x x 的值．第二课时学业水平测试1．下列等式中，正确的是( )．（其中，,0,1,0>=/>M a a )0>NN M N M A a a a log log )(log +=+⋅ N M N M B a a a log log )(log -=-⋅ NMN M C aa a log log log .= NMN M D aa a log log log =-⋅ 2．若,100025.0,10005.2==y x 则yx 11-等于( )． 2.A 21.B 3.C 31.D3．设,2log 3a =则=18log 3（ ）a A 6. a B 3. a C 2. a D +2.=-⋅+)223(log 4)12(5．满足等式2lg )2lg()1lg(=-+-x x 的实数x= 6．(1)求2118g 1)31(6626og o g ⋅+α的值； (2)计算06.0lg 61lg)2lg 3()1000lg 8(lg 5lg 2++++的值． 高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．如果,lg 5lg 3lg lg c b a x -+=那么( )．c b a x A -+=3. cab x B 53.= 53.c ab x C = 33.c b a x D -+=2．已知,ln ln a y x =-则33)2ln()2ln(y x -等于( )．2a A ⋅ a B . a C 23. a D 3. 3．已知,lg )(7x x f =则=)2(f （ ）2lg .A 128lg ⋅B 1281lg⋅C 2lg 71.D 4．化简)lg(lg 2)lg(lg 2100a a +的结果为( )．21.A 1.B 2.C 4.D 5．已知,10000112.0,10002.11.==n m则nm 11-的值为( )．1.A2.B3.C4.D6．若,161log 8g 14log 4843og m o =⋅⋅则m=（ ）21.A 9.B 18.C 27.D 7．如果方程03lg 2lg .lg )3lg 2(lg lg 2=⋅+++x x 的两根为,21x x 、那么21x x ⋅的值为( )．3lg 2lg ⋅⋅A 3lg 2lg .+B 61.C 6.-D8．（2011届武昌区11月调考题）已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+,1,,1,122x ax x x x 若,4))0((a f f =则实数a 等于( )．21.A 54.B 2.C 9.D 二、填空题（5分×4 =20分）=+⋅+⋅2lg 5lg 2lg 50lg 9210．已知,3lg ,2lg b a ==用a ，b 表示=54lg 1l.已知),2lg(2lg lg y x y x -=+则=yx2log12. (2011年四川高考题)计算=÷--21100)25lg 41(lg 三、解答题（10分×4 =40分）13.解下列方程：);1(log 2)1(log )1(22+-=-x x.log 1)10(log )2(323x x +=-14.设y x a a ,,1,0=/>满足.3log log 3log =-+y a x x x a(1)用x a log 表示;log y a(2)当x 取何值时，y a log 取得最小值？15.已知ab b a b a 3,5lg 2lg 35lg 2lg 3333++⋅++=+求的值．16.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且关于x 的二次方程+-x x 2201lg 2)lg(22=+--a b c 有等根，试判断△ABC 的形状．第三课时学业水平测试1．若,10log 9log 8log 7g 16log 98765⋅⋅⋅⋅=o y 则有( )．)1,0(∈⋅y A )2,1(∈⋅y B )3,2(∈⋅y C 1=⋅y D2．已知=+=+33ln ln ,ln ln y x a y x 则（ ）2.a A a B . 23.a C a D 3. 3．若=-=6log 28log ,2933则a （ ）221.-a A 22.-a B 210.-a C 246.a a D - 4．已知,7log ,5log 39b a ==则=9log 355．已知,12+=x 则=--)6.(g 134x x o6．(1)求证：;log 1log b nb a a n = (2)已知,3log 2a =求.318log 22高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．设5lg ,5log ,3log 38则q p ==等于( )．22q p A +⋅ )23(51.q p B + pqpq C 313.+ pq D ⋅ 2．若,0)].(log [log 1)](log 1[log 534543==b og a og 则ba 等于( )． 4.A 5.B 3.C 51.D 3．2)25.0(lg 2512)12(lg g 1593--+og o 等于( )． 2lg 21.+A 2lg 21.--B 3.C 3-D4．式子31log 131log 15121+的值所属的区间是( )．)1,2(--⋅A )2,1.(B )3,2(⋅C )2,.(--∞D5．已知函数,)(,11lg )(b a f xx x f =+-=若则=-)(a f （ ）b A . b B -. b C 1. bD 1.- 6．下列各式正确的是( )．5lg 3lg 2lg .=⋅A 9lg )3(lg 2=⋅Bb a a n m b n m C =+=+则若,log .b a a og b b o a D =+=+则若,1log .g 1log .43437．若),10(2=/>=y y y x 且则( )．y x A =⋅2log x y B =⋅2log 2log =⋅y C x 2log =⋅x D y8．已知)21(,)(log 2f x x f 则=等于( )． 41.A 21.B 22.C 2.D 二、填空题（5分×4 =20分）9．若,241,18g .1n og m o a a ==则用m 、n 表示=231a og 10．设,3log 2=x 则=----xx xx 222233 11.设,643),,0(c b a c b a ==+∞∈且、、则a 、b 、c 之间的关系式为12.（2008年上海高考题）=+25log 20lg 100三、解答题（10分×4 =40分）13．化简⋅+⋅+)2log 2(log )3log 3g 1(9384o14．化简：].4)22(4[log 525log 3421212353-⨯⨯og15．计算：;58log 932log 2log 2)1(35log 2333-+- ⋅-+2.1110lg 38lg 27lg )2(g16．(1)求证：;log log log c .ab bc a = (2)若,3lg ,5lg n m ==试用m 、n 表示.8log 30。