多目标优化模型

多目标优化模型
中国水资源具有显著地区域特征，我们对区域水资源多目标优化配置,以多目标和大系统优化为手段,在一定时间内可供水量和需水量确定的条件下,建立区域有限的水资源量在各流域的优化配置模型,求解模型得到水量优化配置方案.
目标函数的建立：
水资源配置主要考虑3 个目标函数,即用水效益函数、用水费用函数和区域均衡性函数。

对于优质水资源而言,用水效益重点考虑工业和第三产业所产生的效益,将农业用水排除在外,旨在优先考虑经济效益好的区域用水需求。

用水费用主要指输水费用,包括管道铺设和渠道建设费用,优质水资源还需要着重考虑饮用水的制水成本. 区域均衡性函数则为了避免供水一味向经济发达区域倾斜,使各区域供水与需水之差满足某种准则,以体现社会和谐精神.具体目标如下: （1) 用水收益最大;（2) 运营成本最低;（3）区域水资源供需尽量均衡.
设i g 为第i 个流域使用每立方米水资源所产生的效益参数, c ij 为第i 个用户由第j 个供水源输送每立方米水所需的费用, x ij 为由第j 个水源供给第i 个流域的水量,各区域的用水量x M x i j ij =∑=, D i 为第i 个区域的需水总量,则水资源配置的目标函数可以综合表示成如下形式:
2111max (c )/(1/)n n n i i ij j i i i j i Z opt g x x x D ===⎧⎫
=--⎨⎬⎩⎭
∑∑∑
式中:右边分子第一项表示水资源利用所产生的经济效益,包括环境效益,对
于优质水资源则取非农业经济效益;右边分子第二项为运营成本,主要涉及制水成本和水库至流域的输水成本;分母反映区域水资源供需之间的均衡程度,表示各区域的用水保证率尽可能最大，N 为供水区域数. 1. 2 参数及约束条件设置
中国各流域的水资源需要进行合理分配，以达到水资源的平衡，需要适当设置参数和约束条件. 首先按照2 种方式划分区域:其一以流域为单元,便于在模型中计算经济效益;其二以供水源为单元,以利于分析区域水资源的供需平衡关系.
各流域从水库获得的水量受水库供水量的限制,而水库供水量又受水源的水来源的可供水量约束. 根据中国历年的降雨量资料计算出各水库在不同频率下的可供水量,结合中国供水状况获得在若干种供水保证率下各水库的可供水量,各流域可取得的水量不得超过水源地水库的可供水量与水厂供水量中的较小者
j Q ,以此作为各变量的约束条件1)。

设水库数为1R ,供水源为2R ,供水单元数
为M ,当出现若干水库是同一水源的情形时取2M R = ,而当一个水厂以多个水库为水源地时取1M R = . 在这两种情形下,除满足约束条件1)外,尚需满足这些水库的供水量之和不大于水源地的可供水量或水库的供水量小于水源地的
可供水量之和,以此作为约束条件2)。

根据各供水区域的历年生活用水量、工业用水量和总用水量,采用模糊神经网络模型预测未来规划年的各区域最低生活需水量i d 和需水总量i D ,各区域所得到的水量i x 必须大于等于其预测的最低生活需水量i d ,并小于等于区域需水总量i D ,这将作为优化数学模型中各变量的约束条件3) 和4) ,其中i D 在目标函数中又作为参数使用。

上述约束条件的数学表达如下:
（1）
1
1
(1,2,...,);
ij j N M
i j
i i x Q j M x Q
Q
==≤=≤=∑∑
式中：Q 为中国的水库总水量。

（2）lk 1
1
k k
L L ik k il
k l i x Q Q x
Q ==≤=
≤∑∑或，
式中: k L 为第k 个水库对应水源数或第k 个水源对应的水库数。

（3）i i x d ≥ , i d 为第i 个区域(用户) 的最低生活需水量. （4）i i x D ≤ , i D 为第i 个区域(用户) 的需水总量, 1,2,
, i N =。

根据各划分流域历年用水量、生产总值及水资源对生产总值的贡献率,建立用水量与水资源贡献的生产总值之间的数学关系,以获得单位水资源量所产生的经济效益,即效益系数i g ,对优质水资源,则可考虑非农业生产总值，然后根据中国实际地图绘制出各代表水库与各用水区域的最短输水管网图,用以确定各水库到各用水区域的输水距离,在此基础上得出各水库单位水资源量的生产成本(制水成本)和到各用水区的输水成本,即系数( )ij c N M ⨯个。

一般来说,各代表流域利用水资源生产生活水的制水成本大体相同,而每立方米水的输水成本则和水库与各流域用水区的距离有关,输水距离越远,成本就越高。

第i 个用水区域由第j 个水库输送每立方米水所需的费用ij c 包括铺设新管道的费用,按使用年限内需水量平摊。

在确定各系数之后,可以建立具体的水资源优化配置数学模型,编写程序进行优化计算,得到在各种保证率下水资源优化配置方案。

在各个用水区域的最低生活需水量得到满足的前提下,输水运营成本最低和各用水区水资源量配置达到最大均衡,从而使整个地区的水资源利用所产生的经济效益最高。

2.优化计算原理
采用序列二次规划法求解上述有约束非线性最优化问题。

SQP 基于有约束最
优化问题求解的必要条件K-T 方程直接计算拉格朗日乘子,通过拟牛顿法更新过程,给K-T 方程积累二阶信息,可保证有约束拟牛顿法的超线性收敛。

对于本规划问题：
min (),ij x f x ≥ .s t ()0,(1,2,...,)G x i m ≤=
1u x x x ≤≤
首先通过假设约束条件为不等式约束使该规划问题的K-T 方程得到简化,即 11(,)()()m
i L x f x G x λλ==+∑
然后将非线性有约束问题线性化来获得二次规划子问题,即
min 0.5()()()0,(1,2,...,)
n T T
c k
d R
T
k k d H d f x d G x d G x i m ∈++≤=
求解得到新的迭代式：
k+1=xk +kd k x α
如此反复迭代计算,直到获得该搜索区间的最小值.
式中: d 为搜索向量,k d 为d 的元素,α为搜索方向上的参数,c H 为Hessian 矩阵.
具体的实现步骤为:（1)拉格朗日函数Hessian 矩阵的更新；（2) 二次规划问题的求解；（3) 一维搜索和目标函数的计算。

3. 1 现状水资源配置的优化
以2013年为现状条件,对中国区域性优质水资源进行优化分配,以说明应用优化配置模型可以产生的经济效益. 调查资料表明,2013 年中国实际用水流域10 个，即N =10。

境内代表性水库20座,即M = 20。

共用水库优质水量为2693亿立方米。

假定水资源对非农业生产总值的贡献率为9.2 % ,则现状水资源供给对第二、三产业总值的贡献为23151亿元。

根据该期间各水库供水量和各区域实际用水量,结合需水量预测方法,对2013 年各区域生活需水量与总需水量进行估算,从而确定模型中各个参数。

根据水资源优化配置模型,重新对2013 年可用水量作优化配置计算。

与实际输水情况相比,优化配置方案的区域供水关系基本不变，但在水量分配方面,优化方案与现状输水区别较大,前者的优质水资源向单位用水效益高的区域倾斜. 比如上海、北京等单位水量效益系数较高的区域,在优化分配后的水量比实际用水量有明显提高。

优化配置模型首先满足各区域的生活水量要求,其次在考虑输水、制水成本的前提下主要向单位用水效益高的缺水区域供应,并兼顾各区域的供需平衡,使各区域的得水率不致相差太大,利于社会和谐与稳定. 假定在各供水保证率下水资源对非农业生产总值的贡献率仍为9.2 % ,则在实施优化配置方案的条件下,水资源供给对第二、三产业总值的贡献为23307 亿元,与现状相比可以增加生产总值0156 亿元。

由此可见,使用该优化配置模型能够在一定程度上提高水资源利用效益。

3、2规划年水资源优化配置方案
随着社会发展和生产力提高,中国各区域用水量将逐年增加，尤其是近年来的一些地区严重的水污染使得一些区域水资源短缺,为均衡各区域的水量分配，并使有限的优质水资源发挥最大的经济效益,需要对整个中国的水资源进行近期、中期、远期(2010 、2015 、2020、2025 年) 规划。

中国实行南水北调近期工程于2007 年10月竣工,故宜将该段的200亿立方米年调水纳入水资源分配系统,同时
考虑其余当做整体的水库供水,并去除水质欠佳的水库供水。

在这种情况下, N = 11 , M =21。

采用水资源优化配置模型,得到3个规划水平年在3 种供水保证率
、、下的水资源优化配置方案。

表1 列出2020水平年在95 %保证率(95 %75 %50 %)
下的供水配置,其中各水源水库依次编号为(1 ,2 ,,10)
j==(松花江区、辽河区、海河区、黄河区,淮河区,长江区,东南诸河区,珠江区,西南诸河区，西北诸
河区)。

各供水区域(即用户) 依次编号为 (1 ,2 ,,21)
i==（三峡水库、龙滩水库、龙羊峡水库、新安江水库、丹江口水库、大七孔水库、永丰水库、新丰江水库、小浪底水库、丰满水库、天生桥一级、三门峡水库、东江水库、柘林水库、白山水、刘家峡水库、二滩水库、密云水库、官厅水库、东平湖、莲花水库、整
表1、2025 水平年枯水(95 %保证率) 供水配置。