高等数学函数的概念及性质
大一高数函数详细知识点
大一高数函数详细知识点函数是数学中的重要概念，是现实世界中各种关系的抽象表达。
在大一的高数课程中，函数是一个核心内容，掌握了函数的基本概念和性质，对于后续学习以及应用数学都具有重要的意义。
本文将详细介绍大一高数中函数的知识点，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、函数的定义和性质1. 定义：函数是一个将自变量和因变量之间的对应关系表示出来的规则。
通常用符号y=f(x)表示，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数的关系。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量所有可能取值组成的集合，值域是因变量的所有可能取值组成的集合。
3. 一一对应：如果函数中的每一个x值对应唯一的y值，且每一个y值也对应唯一的x值，则称这个函数是一一对应的。
4. 奇偶性：如果函数满足f(-x)=-f(x)（对于定义域内的所有x），则称这个函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)（对于定义域内的所有x），则称这个函数是偶函数。
5. 函数的增减性：如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则称函数是增函数；如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，则称函数是减函数。
二、常见的基本函数类型1. 线性函数：线性函数的表达式为y=kx+b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。
2. 幂函数：幂函数的表达式为y=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像关于y轴对称，当a为正数时，函数是递增的；当a为负数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数的表达式为y=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像为一条曲线，当a大于1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。
4. 对数函数：对数函数的表达式为y=logₐx，其中a为常数且大于0且不等于1。
高等数学：函数的概念
函数的概念一、基本内容1. 邻域：}|||{),(δδ<-=a x x a U ，}||0|{),ˆ(δδ<-<=a x x aU 。
2. 函数的概念：)(x f y = ，f D x ∈。
3. 函数的常数表示法：表格法、图像法、解析法。
4. 函数关系的建立：把实际问题中的函数关系正确的抽象出来代数化。
5. 反函数：)()(1x f y x f y -=↔= 。
6. 函数的基本性态（1）单调性：对于区间I 上的任意两点1x 及2x ，当12x x <时，若恒有)()(21x f x f <，则称函数)(x f 在区间I 上是单调增加函数；若恒有)()(21x f x f >，则称函数)(x f 在区间I 上是单调减少函数。
（2）奇偶性：设函数)(x f y =的定义域关于原点对称，对于定义域中的任何x ， 如果)()(x f x f =-，则称)(x f y = 为偶函数，图像关于y 轴对称；如果)()(x f x f -=-，则称 )(x f y =为奇函数，图像关于原点对称。
（3）周期性：若存在正数T ，使得对于一切D x ∈，有)()(x f T x f =±，则称)(x f 为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
（4）有界性：在定义域内的某一区间I 上，若存在一个正数M ，使得M x f <|)(|， 则称)(x f 在I 上有界。
二、学习要求 1. 理解函数的概念2. 了解函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性3. 了解反函数的概念4. 能列出简单实际问题中的函数关系 三、基本题型及解题方法 题型1 求函数定义域解题方法：求函数的定义域一般主要针对一些基本形式来确定其定义域，然后综合考虑。
函数的基本形式可分为n A 2，A1，A a log ， )(sec tan A A ，)(csc cot A A ，A arcsin （A arccos ），等，其相应的定义域分别为0≥A ，≠A 0，0>A ，2ππ+≠k A ，πk A ≠，≤A 1。
高数第一章函数
A ( r )12
当x 在D内取定一个数值 x0 时，y f x 有确定的
值与之相对应， 则称此值为 y f x 在 x0 处的函数值
记为： f x0 或
f x
f x x x 0
x x0 f x0
y
x x0
当 x 取遍 D 内的各个数值时， 对应的函数值的全体 构成了函数 y 的值域 f ( D ). 注： 1、当自变量的值改变时， 函数值不一定改变。 即
弹簧秤能承担的总重量. 介于某两个定数（点）之间的一切实数（点） 定义1 称为区间。 而那两个定数（点）称为这个区间的端点。
以 a, b 为端点的区间：
开区间 ( a , b ) x
a x b
a a
b b
3
x x
闭区间 [ a , b ] x a x b
半开区间 无限区间
y f ( x) , x D 其中x为自变量；y 为因变量, D为定义域。
记为
。
当x取遍D内所有元素时，对应的y所组成的数集W 称为函数的值域，记作
W W [ f ( x)] { y y f ( x), x D}
9
1、函数的定义
设 x 与 y 是两个变量，当 x 在某个实数集D内任取定 一数值时， y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。 则称 y 是 x 的函数。 记为 • 定义域
例.
三、函数的表示法（如书自学） 公式法 、图象法 、列表法.
15
四. 反函数 1. 反函数的概念及性质 可以根据问题的需要 在研究两个变量间的函数关系， 任意选取其中一个为自变量， 则另一个就是因变量。
1 2 S gt 距离S是时间 t 的函数 2 2 S 若用S来确定所需要的时间 t t g 即 t 是S的函数
高等数学函数的概念及性质
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
19
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
取整函数 当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
22
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x2 , 1 x 0
例2. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
ex ex
ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
13
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练习 1.1 题5. 51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
Q f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
20
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1.1.5. 初等函数
高等数学：函数的基本概念
函数的基本概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着。
17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念。
在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置。
本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性。
1.1.1邻域定义1.1.1 设a 与δ是两个实数,且0>δ,数集}|{δδ+<<-a x a x 称为点a 的δ邻域,记为}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U其中点a 叫做该邻域的中心,δ叫做该邻域的半径。
(见图111-- )图111--由于δδ+<<-a x a 相当于δ<-||a x ，因此}|||{),(δδ<-=a x x a U若把邻域),(δa U 的中心去掉，所得到的邻域称为点a 的去心δ邻域，记为),ˆ(δaU ，即}||0|{),ˆ(δδ<-<=a x x aU 更一般地，以a 为中心的任何开区间均是点a 的邻域。
当不需要特别辨明邻域的半径时，可简记为)(a U 。
为了使用方便，有时把开区间),(a a δ-称为点a 的左δ邻域，把开区间),(δ+a a 称为点a 的右δ邻域。
1.1.2 函数的概念1. 函数的定义定义1.1.2 设D 为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f ，使得对于数集D 中的任意一个数x , 按照f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在集合D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈其中，x 称为自变量，y 称为因变量，数集D 称为该函数的定义域，也记为f D ，即D D f =如果对于自变量x 的某个确定的值0x ，因变量y 能够得到一个确定的值，那么就称函数f 在0x 处有定义，其因变量的值或函数f 的函数值记为)( )(,000x f x f y x x x x 或== 当自变量遍取D 的所有数值时，对应的函数值的全体构成的集合称为函数f 的值域，记为f R 或)(D f ，即}),(|{)(D x x f y y D f R f ∈===注：函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素。
高等数学教材第八版本
高等数学教材第八版本第一章函数与映射高等数学是大学数学中的重要基础课程，主要涉及函数、极限、微积分等内容。
而在高等数学教材第八版本中，函数与映射是第一章的重点内容。
本章将引导学生深入了解函数与映射的定义、性质和应用。
1.1 函数的概念与性质函数是实数集之间的一种特殊关系，它将每个自变量与唯一一个因变量相对应。
在本章中，我们将学习函数的各种定义方式，例如显式定义、隐式定义、参数方程等。
此外，我们还将研究函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1.2 映射与复合函数映射是一种更一般的函数关系，它可以将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在本节中，我们将学习映射的定义、分类以及常见的映射表示方法，如箭头图、集合对集合的表示法等。
此外，我们还将讨论复合函数的概念，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
1.3 反函数与参数方程在某些情况下，我们需要找到一个函数的逆函数，以便求解方程或解决实际问题。
本节将介绍反函数的概念与求解方法，并且会讨论参数方程的基本概念与应用。
第二章极限与连续性函数的极限与连续性是高等数学中的重要概念，对理解微积分和实分析等学科有着重要作用。
在高等数学教材第八版本中，极限与连续性是第二章的重点内容。
2.1 函数的极限函数的极限是函数在无穷接近某一点时的行为，它是微积分的基础。
在本节中，我们将学习函数极限的定义、性质以及极限存在的判定方法。
此外，我们还将研究函数的左极限和右极限，并探讨无穷极限的概念与性质。
2.2 连续与间断函数的连续性是指函数在某一点上无间断，即函数图像没有突变。
本节将介绍函数连续性的定义与判定方法，包括闭区间上的连续性、间断点的分类等。
2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数在某一点上逼近某些特殊值的概念。
本节将讲解无穷小与无穷大的定义、性质以及它们与函数极限的关系。
第三章导数与微分导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在高等数学教材第八版本中，导数与微分是第三章的重点内容。
高等数学函数与极限知识点总结
高等数学函数与极限知识点总结高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。
函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。
本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。
1. 函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。
函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。
在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 函数的性质和分类函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。
函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。
周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。
根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。
多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。
当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。
极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。
函数的极限有以下性质：- 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。
- 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。
- 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。
- 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。
4. 极限的计算方法极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。
- 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。
- 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。
大一高数函数与极限知识点
大一高数函数与极限知识点函数与极限是高等数学中的重要基础知识，它们在数学和其它科学领域中有着广泛的应用。
本文将介绍大一高数中与函数与极限相关的几个重要知识点。
一、函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，对于一个定义域内的每一个自变量，它都有唯一对应的因变量。
函数的定义域、值域、图像以及函数的性质都是我们需要了解的内容。
1.1 函数的定义域和值域函数的定义域是指所有使函数有意义的自变量的取值范围，而值域是函数在定义域内可能取到的所有因变量的值。
在确定定义域时，需要避开函数中会导致分母为零或根号内出现负数的取值。
1.2 函数的图像函数的图像是在直角坐标系中表示函数的一种方式，横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、奇偶性等性质。
二、极限的概念与运算规则极限是函数与自变量无限接近某个值时的性质，它在数学中应用广泛，尤其是在微积分中发挥着重要作用。
2.1 极限的定义对于一个函数，当自变量无限接近某个值时，如果因变量的取值可以无限接近于一个确定的常数L，那么我们就说该函数的极限为L。
用数学符号表示为lim(f(x))=L。
2.2 极限的运算规则极限具有一些运算规则，如常数与函数的极限相乘、函数相加的极限等，可以方便地求解复杂的极限问题。
三、常见的函数与极限在大一高数中，我们常常遇到一些基本的函数与极限，包括多项式函数、指数函数、对数函数以及三角函数的极限等。
3.1 多项式函数的极限多项式函数是由常数项、幂次项以及它们的和、差、积构成的函数。
求解多项式函数的极限可以通过代入法、化简或者利用极限的运算规则等方法进行。
3.2 指数函数和对数函数的极限指数函数与对数函数也是我们常见的函数类型，求解它们的极限需要运用一些特定的方法，如利用指数函数与对数函数的反函数关系、换元法等。
3.3 三角函数的极限三角函数在数学和物理中有着重要的地位，求解三角函数的极限需要掌握一些基本的极限公式，如sinx/x的极限等。
高等数学 第一节 函数的概念
3
2.5
y∈[0，π]
2
arccos( x) arccos x
x [1,1].
1.5
π
1
0.5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
1
-0.5
-1
(4)单调性: 是减函数。
yx
o
4
x
y=cosx,x∈[0，π]
y∈[-1，1]
反正切函数y arctan x，定义域为R，值域为(
注意：
复合函数都必须要有内层和外层函数。
2、简单函数：
简单函数即基本初等函数或基本初等函数的四则运算构成的函数。
注意：
复合函数都可以分解为简单函数。
例题1：指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的
1、y = cosx
2、y = e
2
3、y = 2 + e
x
sin
1
x
x 2 -1
4、y = arctan 2
2
3
x
-1
-1.5
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
2 2
其图象关于坐标原点对称，
-2
arcsin( x) arcsin x
x [1,1].
(4)单调性:
是增函数。
yx
反余弦函数 y arccos x，定义域为[1,1]，值域为[0, ]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
是y cos x的反函数，在定义域上 单调递减，非奇非偶， 无周期
高等数学教材前三章
高等数学教材前三章第一章：函数与极限高等数学是大学数学的一门重要课程，旨在帮助学生理解和掌握高级数学的基本概念和方法。
而高等数学教材的前三章主要涵盖了函数与极限的内容。
1.1 函数的概念及性质函数是数学中的重要概念，它描述了数之间的依赖关系。
函数由自变量和因变量组成，自变量取值的变化会导致因变量相应地改变。
在这一章节中，将介绍函数的定义、函数的图像、函数的性质以及一些常见函数的分类和图像特征。
1.2 极限的概念极限是函数与数列中的重要概念，它描述了数值序列或函数值在某一点附近的趋势。
极限的概念是高等数学中的基础，它对于解决各种数学问题具有重要意义。
本节重点介绍函数的极限概念，包括函数极限的定义、性质以及常见的计算方法。
1.3 极限的运算法则极限的运算法则是数学中的重要工具，通过运算法则可以简化复杂极限的计算过程。
本节将介绍函数极限的四则运算法则、复合函数极限的计算以及无穷小量的运算法则。
第二章：导数与微分导数是微积分中的重要概念，描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质，在解决实际问题和数学推理中发挥着重要作用。
2.1 导数的概念导数是函数变化率的度量，它反映了函数在一点处的瞬时变化情况。
本章节将介绍导数的定义和性质，通过求导数可以帮助我们了解函数的变化规律以及优化问题求解。
2.2 导数的计算方法求导是解决导数问题的核心环节。
本节将介绍一些基本导数公式，例如多项式函数的导数、三角函数的导数以及常见初等函数的导数公式。
此外，还将介绍一些常见函数求导的方法，如导数的四则运算、链式法则和隐函数求导法则等。
第三章：微分中值定理与应用微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某种条件下存在特殊点的性质。
微分中值定理不仅具有理论上的重要性，还在实际问题的求解中起到关键作用。
3.1 弗格罗定理弗格罗定理是微分中值定理的基本形式，它给出了函数在某个闭区间内存在一点，使得该点的切线斜率与该区间的平均斜率相等。
大学高等数学第一章函数
大学高等数学第一章函数函数是数学中的基础概念之一，广泛应用于各个学科领域。
本文将从函数的定义、分类和性质等方面进行论述，并探讨函数在现实生活和学术研究中的应用。
一、函数的定义函数是一种映射关系，将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素。
简单来说，函数就是一种输入和输出之间的关系。
数学上常用 f(x) 表示函数，其中 x 是自变量，f(x) 是函数的值。
二、函数的分类函数可以按照不同的变量类型进行分类，常见的分类包括：1. 数字函数：自变量和函数值都是实数的函数，如 f(x) = 2x + 1。
2. 向量函数：自变量是实数，函数值是向量的函数，如 f(t) = (cos t, sin t)。
3. 多元函数：自变量是多个实数，函数值是实数的函数，如 f(x, y) = x^2 + y^2。
4. 参数方程：自变量是参数，函数值是一组参数对应的点的坐标，如 x = 2t, y = 3t。
三、函数的性质函数具有以下一些重要性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
2. 奇偶性：如果对于定义域内的任意 x，满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果满足 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
3. 单调性：如果对于任意的 x1 和 x2，当 x1 < x2 时有 f(x1) < f(x2)，则函数是递增函数；如果满足 f(x1) > f(x2)，则函数是递减函数。
4. 对称轴和顶点：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的对称轴是 x = -b/2a，顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
四、函数的应用函数在现实生活和学术研究中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 物理学：函数用于描述运动过程中的位移、速度和加速度等物理量的关系。
2. 经济学：函数被用于模拟经济行为和预测市场走势，如供求函数、收益函数等。
高等数学函数的简述
高等数学函数的简述【最新版】目录1.高等数学函数的概述2.高等数学函数的性质3.高等数学函数的分类4.高等数学函数的应用正文一、高等数学函数的概述高等数学函数是指在高等数学中研究的各种函数，它是高等数学的重要组成部分。
在高等数学函数中，我们将学习到各种不同类型的函数，包括有理函数、三角函数、指数函数、对数函数、反三角函数等。
这些函数具有不同的性质和特点，它们在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
二、高等数学函数的性质高等数学函数具有以下几个基本性质：1.奇偶性：对于有理函数而言，若 f(x) 满足 f(-x)=-f(x)，则称 f(x) 为奇函数；若 f(-x)=f(x)，则称 f(x) 为偶函数。
2.周期性：对于周期函数而言，若存在正常数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T)=f(x)，则称 f(x) 为周期函数，T 被称为函数的周期。
3.解析性：指函数在某一区域内可以表示为解析式，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
4.连续性：指函数在某一点或某一区间上的函数值连续不断。
5.可导性：指函数在某一点或某一区间上具有导数。
三、高等数学函数的分类高等数学函数可以根据其性质和特点进行分类，常见的分类有以下几种：1.有理函数：指函数可以表示为两个整式之比的函数。
2.三角函数：指以角度或弧度为自变量的函数，如正弦函数、余弦函数等。
3.指数函数：指函数形式为 a^x（a>0 且 a≠1）的函数。
4.对数函数：指函数形式为 log_a(x)（a>0 且 a≠1）的函数。
5.反三角函数：指函数形式为反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等的函数。
四、高等数学函数的应用高等数学函数在各个领域中都有着广泛的应用，如在数学分析中，我们利用函数来研究极限、连续、导数、积分等问题；在物理学中，我们利用函数来描述物体的运动状态和变化规律；在工程学中，我们利用函数来解决实际问题，如优化问题、拟合问题等。
函数与极限总结
函数与极限总结函数与极限是高等数学中重要的概念和工具。
对于学习数学的人来说，理解函数与极限的性质和运算规则是进一步学习和掌握数学的基础。
本文将对函数与极限进行总结与归纳，希望对读者有所帮助。
1. 函数的概念和性质函数是将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合的元素（因变量）的规则。
函数在数学中的应用非常广泛，尤其是在物理学、工程学等领域。
一个函数可以用数学表达式、图像或者图表等形式表示。
函数有很多性质，其中包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
定义域是指自变量可以取值的范围，值域是指因变量可以取值的范围。
单调性用于描述函数的增减特征，可以分为单调递增和单调递减。
奇偶性是指函数在对称中心（通常为坐标原点）关于坐标轴的对称性。
2. 极限的概念和性质极限是函数与数列中重要的概念，用于描述变量的趋势和趋近性。
当自变量趋近于某个值时，函数或数列的取值也会趋近于某个值。
极限有很多性质，其中包括有界性、极限的四则运算等。
有界性是指函数或数列的取值在某个范围内，可以是有上界、下界或者同时有上下界。
极限的四则运算是指对已知极限的函数或数列进行加、减、乘、除等运算，可以推导出新的极限。
3. 极限的运算规则极限的运算规则是应用于已知函数的特定情况下的运算性质。
常用的运算规则包括加法运算、乘法运算、除法运算、函数的复合运算等。
这些运算规则可以帮助我们简化复杂函数的极限计算。
加法运算规则是指已知两个函数的极限，我们可以直接将两个极限相加得到新的极限。
乘法运算规则是指已知两个函数的极限，我们可以直接将两个极限相乘得到新的极限。
除法运算规则是指已知两个函数的极限，我们可以直接将两个极限相除得到新的极限。
函数的复合运算是指将两个函数按照一定的方式组合在一起，形成一个新的函数。
4. 应用举例函数与极限的应用非常广泛，涉及到自然科学、社会科学等各个领域。
例如在物理学中，速度与时间之间的关系可以用函数来描述，通过极限的概念可以计算出瞬时速度。
高等数学函数讲解大学教材
高等数学函数讲解大学教材高等数学是大学数学学科中一门重要的课程，其中函数是一个关键概念。
函数是数学中的一种映射关系，它在数学和实际问题中都有广泛应用。
本文将对大学教材中关于高等数学函数的讲解进行介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在大学教材中，函数的定义通常是这样的：设A和B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于A中的每个元素x，都恰好有一个唯一的元素y与之对应，那么就称f是从A到B的一个函数。
函数通常用符号表示，如f(x)或者y = f(x)。
函数具有以下几个重要的性质：1. 定义域与值域：函数的定义域指的是自变量x的取值范围，值域指的是因变量y的取值范围。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在自变量增大时，因变量的变化趋势。
有增函数、减函数、严格增函数、严格减函数等概念。
3. 奇偶性：奇函数和偶函数是函数特殊的分类，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
4. 周期性：周期函数具有一定的周期，即f(x+T) = f(x)，其中T是正常数。
二、常见的函数类型在大学教材中，常见的函数类型包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
1. 多项式函数：多项式函数是由常数和自变量的幂次方乘积所组成的函数。
多项式函数的最高次项的次数决定了函数的阶数。
2. 有理函数：有理函数是多项式函数除以另一个多项式函数得到的函数。
有理函数的定义域为所有使得分母不为零的实数。
3. 指数函数：指数函数是以指数为变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是一个正实数。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，形式为f(x) = loga(x)，其中a是一个大于0且不等于1的实数。
5. 三角函数：三角函数根据单位圆上点的坐标定义，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
大学高等数学函数
大学高等数学函数函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在大学高等数学学科中，函数的概念和性质是学生必须深入理解和掌握的内容之一。
本文将介绍函数的定义、基本性质以及常见函数类型的特点，帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义函数是将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。
一般来说，函数可以表示为$f: X \rightarrow Y$，其中$X$和$Y$分别表示自变量和因变量的集合。
对于自变量$x \in X$，通过函数$f$的映射，可以得到唯一的因变量$y \in Y$。
函数的定义包含了以下要素：1. 函数名：用字母表示，如$f$；2. 自变量集合：表示函数的输入，如$X$；3. 因变量集合：表示函数的输出，如$Y$；4. 函数规则：描述了自变量和因变量的映射关系。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，决定了函数的输入范围。
值域是函数的所有可能输出值的集合，决定了函数的输出范围。
2. 单调性：函数可以是增加的（严格单调递增或非严格单调递增）、减少的（严格单调递减或非严格单调递减）或不变的。
单调性可以通过函数的导数来判断。
3. 奇偶性：函数的奇偶性由函数的定义域关于原点的对称性决定。
如果对于定义域中的每个$x$，有$f(-x) = f(x)$成立，则函数为偶函数；如果对于定义域中的每个$x$，有$f(-x) = -f(x)$成立，则函数为奇函数。
4. 周期性：函数在自变量上以固定的周期重复。
周期性常见于三角函数等特定函数类型中。
三、常见函数类型1. 多项式函数：多项式函数是由常数和$x$的幂次幂乘积的和或差构成的函数。
多项式函数的最高次项决定了其次数。
2. 指数函数：指数函数是以常数为底的指数幂的函数。
指数函数的自变量为指数，因变量为指数的幂。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的对数运算的逆运算。
对数函数的自变量为函数值的幂。
4. 三角函数：三角函数是描述角度和边长之间关系的函数。
专升本高等数学函数的知识点
高考数学冲刺隐函数考点全面解析在高考数学的复习冲刺阶段，隐函数这一考点常常让同学们感到棘手。
但只要我们深入理解其概念、掌握解题技巧，就能在考场上应对自如。
首先，我们来明确一下隐函数的定义。
隐函数是指在一个方程中，如果指定其中一个变量为因变量，其余变量为自变量，当自变量在某个范围内取值时，由这个方程所确定的因变量与自变量之间的对应关系。
简单来说，就是不像常见的函数那样能明显地把因变量用自变量的式子表示出来。
那隐函数有哪些常见的形式呢？比如说，方程$F(x,y)＝0$就可能表示一个隐函数。
比如$x^2 ＋ y^2 1 ＝ 0$，这个方程就表示了一个单位圆，虽然我们不能直接写出$y$关于$x$的表达式，但通过一定的方法，我们可以研究其性质。
接下来，我们谈谈隐函数求导。
这可是解决隐函数问题的关键步骤。
对于形如$F(x,y)＝0$的隐函数，我们可以对等式两边同时对$x$求导。
这里要用到链式法则，一定要小心仔细。
比如说，对于方程$x^2 ＋ y^2 1 ＝ 0$，对其两边同时对$x$求导，得到：＄2x ＋ 2y ＼frac{dy}｛dx} ＝ 0$然后，解出$＼frac{dy}｛dx}＄：＄＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{x}｛y}＄这里需要注意，求导的时候要把$y$看作是$x$的函数。
再说说隐函数求导的一些应用。
比如，求曲线在某一点的切线斜率。
我们先通过隐函数求导得出导函数，然后把该点的坐标代入导函数，就能得到切线的斜率。
接着，我们来探讨一下隐函数存在定理。
这对于判断一个方程是否能确定隐函数非常重要。
简单来说，如果函数$F(x,y)＄在某点的邻域内满足一定的条件，那么在这个点的附近就能确定一个隐函数。
在解题过程中，我们还经常会遇到由多个方程组成的隐函数组。
这时候，就需要用到方程组的求导方法，通常是通过对每个方程分别求导，然后联立求解。
比如，对于方程组：＄＼begin{cases}x^2 ＋ y^2 ＋ z^2 ＝ 9 ＼＼ x ＋ y ＋ z ＝3\end{cases}＄我们可以分别对两个方程两边同时对$x$求导，然后解出关于$＼frac{dy}｛dx}＄和$＼frac{dz}｛dx}＄的表达式。
高等数学目录
高等数学目录一、函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的性质1.1.3 函数的运算1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限的运算法则1.3 极限的计算方法1.3.1 直接代入法1.3.2 因子分解法1.3.3 夹逼准则1.3.4 洛必达法则二、导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的几何意义2.1.3 导数的物理意义2.2 导数的计算2.2.1 导数的定义计算2.2.2 导数的运算法则2.2.3 复合函数的导数2.2.4 隐函数的导数2.3 微分2.3.1 微分的定义2.3.2 微分的计算2.3.3 微分的几何意义三、微分中值定理3.1 罗尔定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理四、不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 不定积分的计算方法4.2.1 换元积分法4.2.2 分部积分法五、定积分5.1 定积分的概念与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质5.2 定积分的计算5.2.1 定积分的计算方法5.2.2 定积分的几何应用5.2.3 定积分的物理应用六、微分方程6.1 微分方程的概念6.2 一阶微分方程6.2.1 可分离变量的微分方程6.2.2 齐次方程6.2.3 一阶线性微分方程6.3 高阶微分方程6.3.1 线性微分方程6.3.2 非线性微分方程七、多元函数微分7.1 多元函数的概念与性质7.2 偏导数与全微分7.2.1 偏导数的定义7.2.2 全微分的定义7.3 多元函数的极值7.3.1 无条件极值7.3.2 条件极值八、无穷级数8.1 数列的概念与性质8.2 无穷级数的概念与性质8.2.1 无穷级数的定义8.2.2 无穷级数的性质8.3 无穷级数的收敛性判别8.3.1 正项级数的收敛性判别8.3.2 任意项级数的收敛性判别8.4 幂级数8.4.1 幂级数的概念8.4.2 幂级数的运算8.4.3 函数的幂级数展开以上是高等数学的主要目录内容，每一章节都包含了基础概念、性质、计算方法以及应用。
高等数学11 第一节 函数的概念和性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的周期性
设函数 y f x 的定义域为Df ,如果存在一个
常数 T 0 ,使得对任意 x Df有 x T Df ,且
f x T f x,则称函数 f x为周期函数, T 称为f x
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 .
如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x在 ,内是单调减少的.
4.函数的有界性
设函数 y f x在区间 I上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有x ,恒有 f x M , 则称函数 f x在区间 I 上有界.如果这样的M 不存 在,则称f x在区间 I 上无界.
解 ⑴ f x与gx不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x与 gx是 相同的函数,因为定义域与对应
法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
如函数y sin x 和 y cos x 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的.
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求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域
.
解:
f
(
1 2
)
2
1 2
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
定义域 D [0, )
t 0时
函数无定义
值 域 f (D) [0, )
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练习 习题1.1 题1：（3）、（6）
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 , 指数函数 y ex , x (, ) 对数函数
称为半开半闭区间。 无限区间
点的 邻域
(
)
a a a
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
1.1.2 函数的概念
定义1.1.1. 设数集 D R , 则称映射
为定义在
D 上的函数 , 记为 y f (x), x D
0
0<x<5, 1 x 4
1
x
4.
定义域为x 1 x 4.
1.1.3. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
则称 f ( x ) 无界单.调减函数 .
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 ,则当 x o x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第1节
第一章
1.1 函数
1.1.1 区间和邻域 1.1.2 函数的概念 1.1.3函数的几种特性 1.1.4 反函数与复合函数 1.1.5 初等函数
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1.1.1 区间和邻域
开区间：设 a 和 b 都是实数，且 a b, 则数集
x axb
称为开区间，记为 a, b, 即
( a , b ) x a x b , a 和 b 称为
区间的端点。
开
闭区间：数集 x a x b 称为闭区间，即
[ a , b ] x a x b,
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类似地有 a , b ] x a<x b , a , b x a x<b ,
2 y=3x2-x3,
定义域为x R,
f -x =3x2 +x3 - f x f x, f x =3x2 -x3为非奇非偶函数.
(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). y
2 o 2 x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C 狄里克雷函数
1, x 为有理数 0, x 为无理数
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1.1.4. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1为 f 的反函数 . 习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D) 性质: 1) y＝f (x) 单调递增(减) 其反函数 且也单调递增 (减) .
定义域
因变量
自变量
y
f ( D ) 称为值域
y
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D
D f (D)
ax bx ( D [a,b])
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x D f y f (D) y y f (x), xD
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合.
• 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
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例1. 已知函数
y
f
(x)
2 1
x, x,
0 x 1 x 1
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
记
ch x 双曲余弦
ex
y e
x
y ch x
o
x
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又如, y f (x) ex ex 2
y
ex
ex
奇函数
y sh x
记
sh x 双曲正弦
o
x
再如,
y
sh x ch x
ex ex
ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
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练习 1.1 题5.
51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
3 y tan x 1,
x 1 k , x k 1k z,
2
2
tan
x
1 定义域为 x
x
2
+k
-1,k
z.
6 y=
5x-x2
lg
,
4
由题意，y要有意义，必须满足
l5gx45-xx24-x>20,
说明: 还可定义有上界、有下界、无界
(2) 单调性
x1, x,2 f (Ix,)当x1M ,x2称时为, 有上界
y
若
f
(x1) ,
f( M
x2
) f
, 称 f (x) 为 I 上的 (单x)调, 称增函为数有下; 界
若 若f (x对1)任意f (正x2数), 称M ,f均(x存) 为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x