中点弦问题

2 2 2 2 2 2
对于焦点在y轴上的情况类似！
抛物线弦的斜率与中点P的关系
若圆锥曲线是抛物线 y 2 px, ( p 0)
2
则A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )满足抛物线方程 所以：y 2 px1 , (1)； y2 2 px2 , (2)
2 1 2
p (1) (2) : k n
椭圆弦的斜率与中点P的关系
x y 若圆锥曲线是椭圆 2 2 1 a b 则A( x1 , y1 )，B ( x2 , y2 )满足椭圆方程 x1 y1 x2 y2 所以： 2 2 1, (1)； 2 2 1, (2) a b a b 2 bm (1) (2) : k 2 a n
对于其它三种开口的情况类似！
验证直线L是否存在
前面已算出弦的斜率k，设P(m,n)是弦的中点 若这样的直线存在则L方程是 y - n = k(x - m) 把直线方程代入圆锥曲线中计算判别式
若 0, 有两个交点 这样的直线存在 若 0, 有一个或无交点 这样的直线不存在
例题分析
x y 例1 ：过椭圆 1 内点M(2,1) 16 4 引一条弦，使弦被M点平分， 求这条弦所在的直线方程。
2 2
三、求与中点弦有关的圆锥曲线方程
例4 ：已知中心在原点，一个焦点是 F(0, 50)的椭圆被直线L：y=3x-2 1 截得的弦的中点的横坐标是 2 求椭圆的方程。
四、圆锥曲线统一的弦长公式
设圆锥曲线是C，直线方程是y=kx+b若直线 交曲线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则
AB
一、以定点为中点的弦所在直线问题
问题：设圆锥曲线为C，定点是P(m,n) 是否存在过P的直线L交C于两点A,B， 使P是A,B的中点
解法：设这样的直线L存在，与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点
1、先求直线L的斜率与中点P的关系 2、验证直线L是否存在 （是否交圆锥曲线于两点，验证判别式）
2 2 2 2 2 2
对于焦点在y轴上的情况类似！
双曲线弦的斜率与中点P的关系
x y 若圆锥曲线是双曲线 2 2 1 a b 则A( x1 , y1 )，B ( x2 , y2 )满足双曲线方程 x1 y1 x2 y2 所以： 2 2 1, (1)； 2 2 1, (2) a b a b 2 bm (1) (2) : k 2 a n
(1 k 2 )[(x1 x2 ) 2 4x1x2 ]
2
(1 k ) x1 x2 1 2 (1 2 )[(y1 y 2 ) 4y1y 2 ] k 1 (1 2 ) y1 y 2 k
本公式适用于圆、椭圆、双曲线、抛物线
例5：报纸15期第2版 方法导学二：变式训练6
中点弦问题
概念：与圆锥曲线弦的中点有关的 问题称为中点弦问题。 解题方法：点差法
设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）是 A(x1,y1),B(x2,y2)则这两点满足圆锥曲线方程， 代入方程两式相减可得直线斜率和AB中点的 关系，所以称为点差法。
注意：保证交点有两个才能构成弦！
题型
1、以定点为中点的弦所在直线问题 2、过定点的弦的中点坐标问题 3、求与中点弦有关的圆锥曲线方程 4、圆锥曲线统一的弦长公式
若直线L：y=kx-2交抛物线 y 8 x于A, B两点，且AB的
2
中点是M (2, y0 ), 求y0 及弦AB长.
例2：报纸14期，B8(2) 已知双曲线2 x y 2, 点P (1, 2)，
2 2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
是否存在过点P的直线L交双曲线于 A、B两点，且满足P是A,B的中点？
二、过定点的弦的中点坐标问题
x y 例3 ：已知椭圆 1一条弦的 75 25 1 斜率是3，它于直线x= 的交点恰是 2 这条弦的中点M ，求点M的坐标。