5.5 三角形面积公式的简单应用
第五章 5.5.2 简单的三角恒等变换
5．5.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式推导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一 半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α∈R 都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、半角公式的应用例1 已知θ∈⎝⎛⎭⎫5π2，3π且sin θ＝45，求sin θ2，cos θ2，tan θ2的值． 解 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫5π2，3π，且sin θ＝45. ∴cos θ＝－35，θ2∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2，∴sin θ2＝－1＋352＝－255， cos θ2＝－1－352＝－55，∴tan θ2＝sin θ2cosθ2＝2. (学生留)反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． 跟踪训练1 已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于( ) A ．2－ 5 B ．2＋ 5 C.5－2 D ．±(5－2)答案 C解析 方法一 ∵sin α＝55，cos α＝255， ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝5－2.方法二 因为sin α＝55>0，cos α＝255>0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一或第三象限， 所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2. 二、三角恒等式的证明例2 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明 方法一 左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二 左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边． 所以原式成立．反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练2 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．三、三角恒等变换的综合问题例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋2cos x ，则f (x )的最大值为________． 答案5解析 f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x ＋255cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，∴f (x )max ＝ 5.(2)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值；②讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 ①f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练3 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上单调递增， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.三角函数的实际应用典例 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.(1)如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？(2)沿着AB ，BC ，CD 修一条步行小路从A 到D ，如何选择A ，D 位置，使步行小路的距离最远？解 (1)连接OB ，如图所示，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. (2)由(1)知AB ＝20sin θ， AD ＝40cos θ，∴AB ＋BC ＋CD ＝40sin θ＋40cos θ＝402sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，34π， 当θ＋π4＝π2，即θ＝π4时，(AB ＋BC ＋CD )max ＝402，此时AO ＝DO ＝102，即当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，步行小路的距离最远．[素养提升] 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105B ．－105C.265D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.3．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________． 答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.4．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.5．化简：4sin θcos 2θ22sin θ＋sin 2θ＝________.答案 1解析 原式＝4sin θ·1＋cos θ22sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ)2sin θ(1＋cos θ)＝1.1．知识清单： (1)半角公式． (2)辅助角公式．(3)三角恒等变换的综合问题． (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2C ．－ 1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°时，y ＝sin x 单调递增，∴a <c <b ，故选C. 3.cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2 答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.4．(多选)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最大值为2 B ．f (x )的最小正周期为π C ．f (x )关于x ＝－π8对称D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 答案 BCD解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12. ∴f (x )max ＝22＋12＝2＋12，最小正周期T ＝2π2＝π.当x ＝－π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1，∴x ＝－π8为对称轴． 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，综上有BCD 正确，A 不正确．5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4.∴a ＝－4. 6．已知180°<α<270°且sin(α＋270°)＝45，则sin α2＝________，tan α2＝________.答案31010－3 解析 ∵sin(α＋270°)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45，又90°<α2<135°，∴sin α2＝1－cos α2＝1＋452＝31010， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1＋451－45＝－3. 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案 －π6解析 因为3sin x －3cos x＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6. 8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 9．求证：12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan x 2－tan x 2＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 证明 左边＝12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2＋32cos 2x ＝12sin 2x ·cos 2x 2－sin 2x 2sin x 2cos x 2＋32cos 2x ＝sin 2x ·cos x sin x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝右边，原等式得证． 10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4答案 C解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2. 12．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x ，当x ＝π4时，f (x )取得最大值，则a 的值为() A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 3答案 C解析 ∵f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，∴f (x )max ＝1＋a 2，依题意f ⎝⎛⎭⎫π4＝22＋22a ＝1＋a 2，解得a ＝1.13．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，则sin θ2＋cos θ2的值为________．答案 15解析 因为θ∈(π，2π)，所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ2＝1－cos θ2＝45，cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35，所以sin θ2＋cos θ2＝15. 14．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________.答案 －1解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.15.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________.答案 725解析 由题意5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 所以cos θ－sin θ＝15. 又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.所以cos θ＋sin θ＝75. 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α，OM＝DMtanπ6＝3DM＝3CN ＝3sin α，所以MN＝ON－OM＝cos α－3sin α，即AB＝cos α－3sin α，而BC＝2CN＝2sin α，故S矩形ABCD＝AB·BC＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD＝2－ 3.。
三角形的面积教学设计【优秀6篇】
三角形的面积教学设计【优秀6篇】角形的面积教学设计篇一教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书五年级上册第84—86页。
教材分析：三角形面积的计算方法是小学阶段学习几何知识的重要内容，也是学生今后学习的重要基础、《数学课程标准》中明确指出：利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形，平行四边形和梯形的面积公式、学生在学习三角形面积的计算方法之前，已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程，当学生面临三角形面积计算公式的推导过程时，可以借鉴前面转化的思想，且为今后逐渐形成较强的探索能力打下较为扎实的基础、教学目标：1、知识与技能：使学生在探索活动中深刻体验和感悟三角形面积计算公式的推导过程2、过程与方法：使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3、情感、态度与价值观：让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
教学重点：探索并掌握三角形面积计算公式，能正确计算三角形的面积。
教学难点：三角形面积公式的探索过程。
教具准备：课件、平行四边形纸片、两个完全一样的三角形各三组、剪刀等。
学具准备：每个小组至少准备完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个，一个平行四边形，剪刀。
教学过程一、复习旧知，导入新课。
1、我们学过求哪些图形的面积，计算公式是什么？2、我们学校内有一平行四边形的花坛，底是5米，高是3米，学校领导要把这个花坛平均分成两份，分别种上不同颜色的花，该怎样分？每一块的面积是多少？请同学设计一下。
3、同学们，学校要为学校开学典礼准备30条红领巾，大队辅导员想请大家帮忙，算一算，需要多少布料？你们愿意吗？该怎样来计算呢？师：是的，要先计算一条红领巾的面积，那么红领巾是什么形状的？你会计算它的面积吗？今天我们就来学习计算三角形的面积。
板书：三角形的面积。
二、动手操作，探求新知。
1、猜一猜。
找关系师：1、同学们，长方形的面积跟它的什么有关系？平行四边形的面积跟它的什么有关系？生：和它的底和高有关。
三角形的面积公式和应用
三角形的面积公式和应用三角形是几何学中最基本的形状之一，广泛应用于各个领域。
计算三角形的面积是一个重要的问题，它不仅能帮助我们理解三角形的特性，还可以应用在实际生活和工作中。
本文将介绍三角形的面积公式及其应用。
一、三角形的面积公式计算三角形的面积，最常用的公式是“底乘高除以二”（S = 1/2 * 底* 高）。
这个公式适用于各种类型的三角形，无论是直角三角形、等边三角形还是一般的三角形，都可以使用这个公式来计算。
对于直角三角形，其中一条边是直角边，使用“底乘高除以二”公式计算面积非常简单。
以直角三角形ABC为例，其中AB为直角边，AC 和BC为两条斜边，高为直角边AB上的高线。
应用面积公式计算面积如下：S = 1/2 * AB * 高对于一般的三角形，没有直角的情况下，无法直接测量边与高的垂直关系。
为了计算面积，可以使用海伦公式，也称为三角形面积公式（S = √[s(s-AB)(s-BC)(s-AC)]），其中s为半周长，即三条边之和的一半。
三角形的面积可以通过边长计算得到。
二、三角形面积的应用三角形的面积公式在实际生活和工作中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景。
1. 建筑工程在建筑工程中，我们需要计算各种形状的地板面积、墙面面积等。
当遇到三角形地板时，我们可以使用面积公式计算地板面积，从而确定所需材料的数量。
同样地，计算墙面面积也需要使用面积公式，以确保材料使用计划的准确性。
2. 地理测量在地理学和测量学领域，我们经常需要测量地面的面积。
当遇到不规则形状的区域时，可以通过将区域划分为多个三角形，并逐个计算每个三角形的面积，最后将它们相加，就可以得到整个区域的面积。
3. 农业规划农业规划通常需要测量农田的面积，以便计划作物的种植和灌溉系统的设计。
通过将农田划分为多个三角形，使用面积公式计算每个三角形的面积，可以准确计算整个农田的面积。
这对于农业生产和资源分配非常重要。
4. 三角学和几何学研究三角形的面积公式是计算和研究三角形性质的基础。
赫伦的三角形面积公式全解
赫伦的三角形面积公式（约公元75年）阿基米德之后的古典数学阿基米德在数学景观上投下了长长的影子。
其后的古代数学家虽然都有自己的建树，但却没有一个人能够比得上叙拉古城这位伟大的数学家，随着希腊文明的衰落和罗马的同时兴起，事情益发明显。
阿基米德死于罗马人之手，预示了以后所发生的事情，这种看法也许有点儿简单化，但并非没有道理。
希腊人专注于自己的理念世界，在罗马强大的军事力量面前，确实不堪一击，而罗马人则忙于建立政治秩序和征服世界，完全无视希腊人热中的抽象思维。
如同对阿基米德一样，罗马新秩序同样也不能容许希腊传统的存在。
一些资料也许有助于我们的认识。
我们已看到，叙拉古城于公元前212年陷落于罗马的马塞卢斯之手。
三次残酷的布匿战争最终以公元前146年罗马消灭迦太基而告终，罗马人从此确立了对中地中海两岸的控制。
同一年，希腊的最后一座重要城邦科林斯向罗马军投降。
一百年后，尤利乌斯·凯撒征服了高卢；公元前30年，在安东尼与克娄巴特拉的统治失败后，埃及落入屋大维之手。
甚至野蛮的不列颠也于公元30年臣服于罗马。
自此，罗马正式成为帝国，对西方世界行使着史无前例的统治。
随着罗马的征服，他们复杂的工程项目也随之发展起来：桥梁、道路和沟渠遍布欧洲大陆。
然而，曾强烈吸引希波克拉底、欧几里得和阿基米德的纯粹数学却未能像以前那样兴盛。
但是，依然保持辉煌的是亚历山大图书馆。
这座环境优美的图书馆吸引了地中海地区最优秀的学者，是一个最令人兴奋的地方。
阿基米德的一位同时代人，著名数学家厄拉多塞（公元前约284—192年）就曾大半生在这里担任馆长。
厄拉多塞身居学术要职，是一位阅读广泛、著作等身的学者，许多关于纯数学、哲学、地理学，特别是天文学的著作都出自他的手，这最后一项，不仅包括许多学术论文，而且还包括一部题为《赫耳墨斯》的长诗，将天文学的基本知识写成了诗歌！像众多的古代著作家一样，厄拉多塞的著作大部分散失了，我们只能依靠后来注释者的描述来了解他。
拿破仑三角形的面积公式
拿破仑三角形的面积公式拿破仑三角形是由法国数学家拿破仑·波那巴尔(Napoleon Bonaparte)所命名的一种特殊形状的三角形。
它与普通的三角形有着不同的性质和特点。
拿破仑三角形的面积计算公式可以用来求解该三角形的面积。
拿破仑三角形是通过相邻三个三角形组成而成的。
这三个三角形的边界线分别为一般三角形的外边界及其内部连线上。
拿破仑三角形的面积计算公式为：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长，a、b和c为三角形的边长。
要理解这个公式，首先需要了解什么是半周长和海伦公式。
半周长是指三角形的周长除以2得到的值。
而海伦公式是一种求解三角形面积的方法，它是由古希腊数学家海伦·阿卡塞阿常提出的。
根据拿破仑三角形的定义，它的三条边长可以看作是相邻三角形的外边界及其内部连线上的三条边长。
当我们将三角形的三边长代入公式中计算时，我们需要先计算出半周长s。
半周长的计算公式为s=(a+b+c)/2，其中a、b和c为三角形的三边长。
在得到半周长s后，我们可以将其代入拿破仑三角形的面积公式中计算出该三角形的面积S。
举个例子来说明拿破仑三角形的面积计算。
假设我们有一个拿破仑三角形，它的边长分别为5、7和9。
首先，我们计算出半周长s = (5 + 7 + 9)/2 = 21/2 = 10.5。
接下来，我们将半周长s代入拿破仑三角形的面积公式中计算出面积S = √(10.5(10.5-5)(10.5-7)(10.5-9))。
进一步计算得到S = √(10.5*5.5*3.5*1.5) = √82.0125≈9.06。
因此，当拿破仑三角形的边长为5、7和9时，其面积约为9.06。
拿破仑三角形的面积计算公式可以帮助我们求解该特殊形状三角形的面积。
这个公式的推导过程涉及到半周长和海伦公式，通过这些数学原理可以得到对拿破仑三角形面积的精确计算结果。
总结起来，拿破仑三角形的面积计算公式为S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长，a、b和c为三角形的边长。
三角形面积公式的简单应用
三角形面积公式的简单应用
三角形面积公式是数学中最基本的公式之一，它可以用来计算三角形的面积。
三角形面积公式的简单应用可以帮助我们解决许多实际问题。
首先，三角形面积公式可以用来计算三角形的面积。
三角形面积公式的基本形式是：面积=1/2*底边*高，其中底边是三角形的底边，高是三角形的高。
因此，只要知道三角形的底边和高，就可以计算出三角形的面积。
其次，三角形面积公式还可以用来计算多边形的面积。
多边形的面积可以通过将多边形分解成多个三角形，然后利用三角形面积公式计算每个三角形的面积，最后将每个三角形的面积相加得到多边形的面积。
此外，三角形面积公式还可以用来计算曲线的面积。
曲线的面积可以通过将曲线分解成多个三角形，然后利用三角形面积公式计算每个三角形的面积，最后将每个三角形的面积相加得到曲线的面积。
总之，三角形面积公式是一个非常有用的公式，它可以用来计算三角形、多边形和曲线的面积，为我们解决许多实际问题提供了便利。
三角形的面积计算和实际应用
三角形的面积计算和实际应用三角形是几何学中最基本的形状之一，它的面积计算是数学与实际生活中常见的问题。
本文将介绍三角形的面积计算方法及其在实际应用中的意义。
一、三角形的面积计算方法三角形的面积是通过其底边和高来计算的，计算公式为：面积 = 底边 ×高 ÷ 2其中，底边是三角形的一边的长度，高是从该边到与之平行的另一边的垂直距离。
实际计算中，我们可以根据不同情况采用不同的方法来计算三角形的面积。
1.1 通过底边和高计算如果我们已知三角形的底边和高的长度，可以直接使用上述公式来计算面积。
以一个具体的例子来说明：假设三角形的底边长度为10 cm，高度为8 cm，则它的面积为：面积 = 10 cm × 8 cm ÷ 2 = 40 cm²1.2 通过两边长度和夹角计算除了通过底边和高计算，我们还可以利用三角形的两边的长度和它们之间的夹角来计算面积。
这是利用三角形面积公式的变形形式：面积= 1/2 × a × b × sin(θ)其中，a和b分别是三角形两边的长度，θ是它们之间的夹角。
举个例子，假设已知一个三角形的两边长度分别为5 cm和7 cm，夹角θ为30°，则它的面积可计算为：面积= 1/2 × 5 cm × 7 cm × sin(30°) ≈ 8.75 cm²通过这种方法，我们可以在已知三角形两边和夹角的情况下，准确计算出三角形的面积。
二、三角形面积的实际应用三角形的面积计算不仅仅是数学领域的抽象问题，它在实际生活中有着广泛的应用。
2.1 地理测量地理测量中经常需要计算地面上不规则区域的面积，而这些区域往往可以近似看作由三角形组成。
通过测量三角形的底边和高，我们可以得到整个区域的面积，从而进行土地规划或地貌分析。
2.2 工程建筑在建筑和工程领域，三角形的面积计算也是必不可少的。
人教版五年级平行四边形和三角形的面积
1.平行四边形的面积：1)平行四边形的面积推导：总结：平行四边形可以通过割补法拼成一个长方形，长方形的长就是平行四边形的的底，长方形的宽就是平行四边形的高。
所以平行四边形的面积＝底（长）×高（宽）。
（用字母表示：S=ah）注意：通过平行四边形的面积公式可以得到：平行四边形的高=面积÷底，平行四边形的底=面积÷高。
把一个长方形拉伸成一个平行四边形，它的周长不变，面积将变小。
2)知平行四边形的面积求高或者底的公式：因为平行四边形的底×高=面积，所以平行四边形的底=面积÷高，三角形的高=面积÷底2.三角形的面积：1)三角形的面积公式推导：总结：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，那么三角形的面积就等于平行四边形面积的一半.所以三角形的面积=底×高÷2。
（用字母表示：S=ah÷2）注意：要两个完全一样的三角形的才能拼成一个平行四边形。
（等地等高的三角形不能拼成平行四边形）面积相等的两个三角形不一定能拼成平行四边形。
2)知道三角形的面积求高或者底的公式：因为三角形的底×高÷2=面积，这样：底×高=面积×2。
所以三角形的底=面积×2÷高，三角形的高=面积×2÷底3.典型例题：1)2)求长是24cm的高所对求长是4cm的底所对应的高应的底3)一块平行四边形菜地，底是5.5米，高是16米。
如果每平方米产白菜15千克，这块菜地能产白菜多少千克？4)一块三角形菜地，底长是150m，高是50m，共收油菜籽1726.5kg，平均每公顷产油菜籽多少千克？5)下面三角形的面积相等吗？为什么？6)思考:下图中两个平行四边形的面积相等吗?为什么?每个平行四边形的面积是多少?4.随堂练习：1)计算下面各平行四边形图形的面积（单位：cm）2)已知平行四边形的面积是84平方厘米，它的高是21厘米，这个平行四边形的底是多少厘米？3)一个三角形的面积是24平方分米，高是6分米，底是多少分米？4)一个三角形的面积是25平方米，底是10米，高是多少米？5)一块平行四边形的菜地长20m，高15m，如果每平方米收获20kg稻谷。
2025届成都树德中学高二上数学期末学业水平测试试题含解析
2025届成都树德中学高二上数学期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了解青少年视力情况，统计得到10名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ）A.4.6B.4.5C.4.3D.4.22．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点()3,1，则双曲线的离心率为（ ）23B.623 D.23．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ） A.3 B.6 C.8D.124．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞D.[)1,+∞5．已知点12,F F 分别是椭圆221259x y+=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,1260F PF ∠=,则12PF F ∆的面积等于3 B.33C.63 D.36．已知命题:p “若a b >，则33a b >”，命题:q “若a b >，则11ba>”，则下列命题中为真命题的是（）A.p ⌝B.qC.p q ∧D.()()p q ⌝∨⌝7．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，一条渐近线被圆()222x c y c -+=截得的弦长为2b ，则双曲线C 的离心率为（）C.2D.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,双曲线C 的右支上有一点P 满是||||||OP OF PF ==(点O 为坐标原点),那么双曲线C 的离心率为()A.1B.4+19．抛物线2y x 的焦点坐标是（）A.()0,1B.()1,0C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知直线的倾斜角为60，在y 轴上的截距为2-，则此直线的方程为（ ）A.2y =+ B.2y =+C.2y =-D.2y =-11．已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩（ 2.718e =为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则αβ+=（）A.1-B.0C.1D.212．已知12,F F 分别是双曲线22:14x C y -=的左、右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆22:(2)1G x y ++=上一动点，则2||PQ PF +的最小值为（）A.6B.7C.35+D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 §4.8 正弦定理、余弦定理
教材改编题
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，
a＝2，B＝30°，则c等于
√A.8
83 C. 3
B.4 43
D. 3
由 S△ABC＝12acsin B＝12×2c×12＝4，得 c＝8.
教材改编题
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝ 2， c＝2，则C＝ 45°或135° .
知识梳理
(1)a＝2Rsin A， b＝ 2Rsin B ，
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c＝ 2Rsin C ；
变形 (2)sin A＝ a ， 2R
b
c
sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b______
(3)a∶b∶c＝_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_i_n_C__
知识梳理
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝bsin A 一解
bsin A< a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
知识梳理
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12aha(ha 表示边 a 上的高)；
因为 a＝5，c＝7，C＝π3，故 cos C＝12＝252＋×b52×－b49，得 b2－5b－24＝0，
解得b＝8(b＝－3舍去).
在△ABC 中，由余弦定理可得 cos∠ABC＝522＋×752×－782＝17，
所以
sin∠ABC＝4
7
3 .
三角形的面积公式与应用
三角形的面积公式与应用三角形是几何学中的基本概念之一，其面积是我们常常需要计算的重要数值。
本文将介绍三角形的面积公式以及其应用。
首先，我们来看一下三角形的面积公式。
一、三角形的面积公式三角形的面积公式通常有两种形式：一种是根据三角形的底和高的关系得出的面积公式，另一种是根据三角形的三边长的关系得出的面积公式。
1. 底和高的关系三角形的底和高构成了一个矩形，其面积就是三角形的面积。
设三角形的底为b，高为h，则三角形的面积S等于矩形的面积，即S=b*h/2。
2. 三边长的关系根据海伦公式，设三角形的三边长分别为a、b、c，半周长为p=(a+b+c)/2，则三角形的面积S可以通过以下公式计算：S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，sqrt表示求平方根。
二、三角形面积公式的应用三角形的面积公式在实际生活中有着广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑设计与土木工程在建筑设计和土木工程中，我们经常需要计算各种形状的三角形的面积。
例如，在设计房屋的屋顶时，需要计算三角形面片的面积来确定屋顶的覆盖材料的用量。
在道路建设中，需要计算三角形形状的地基土层的面积来确定填土的数量。
2. 测量学与地理学在测量学和地理学中，三角形的面积公式也得到了广泛应用。
例如，在测量不规则地形的面积时，可以将地形划分为多个三角形，然后计算每个三角形的面积并求和，从而得到整个地形的面积。
3. 统计学与数据分析在统计学和数据分析中，三角形的面积公式用于计算概率密度函数下曲线与x轴之间的面积，从而计算出某一变量落在某一范围内的概率。
4. 旅游规划与导航在旅游规划和导航中，我们经常需要计算地图上不同区域的面积，例如计算国家、城市或者景点的面积。
三角形的面积公式提供了一种简单而有效的方法来计算这些区域的面积。
综上所述，三角形的面积公式是一个非常重要的数学工具，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过掌握三角形的面积公式，并能够灵活运用，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
西师版数学五年级上册 第五单元多边形面积的计算
西师版数学五年级上册第五单元多边形面积的计算5.1平行四边形的面积（一）学习内容：西师版教材五年级上册第五单元单元主题图，第一节例1，课堂活动第1题，练习十九第1、2题。
课型：新授课学习目标：1.理解并掌握平行四边形的面积计算公式，会计算平行四边形的面积；2.经历平行四边形面积计算公式的推导过程，认识转化思想，获得用转化思想解决问题的经验；3.在探索面积的过程中，发展学生的个性，培养学生的探索精神，发展学生的创新意识。
学习重点：掌理解并掌握平行四边形的面积计算公式，会计算平行四边形的面积。
学习难点：平行四边形面积公式的推导。
教学准备：多媒体、面积为1 cm2的方格纸、直尺、塑料剪刀、活动的长方形木条框，长4cm,高 2cm平行四边形学具。
第一版块自主学习导学"回顾旧知1.长方形和平行四边形各有什么特征？2.请写出长方形面积的计算公式。
3.一个长方形的长是12厘米，宽8厘米。
这个长方形的面积是多少平方厘米？4.请找出对应的底和高（）和（）是一组对应的高（）和（）是一组对应的高新课先知阅读课本78、79页，思考并回答下面问题：1．78页主题图上有些什么问题，解决这些问题都要用到什么数学知识？2．例1中，已知信息是什么，要解决什么问题？3．能不能把平行四边形转化成我们会计算面积的图形，如果能，可以转化成什么图形？怎样转化？（利用平行四边形学具，动手剪一剪、移一移、拼一拼、看一看、想一想）4．沿平行四边形的什么剪开，把得到两个图形怎样拼在一起，能拼成一个长方形，为什么？5．拼成的长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么关系？6．请用长方形面积公式推导出平行四边形面积公式？7．算一算例1中平行四边形的面积。
第二版块课堂学习导学"初步构建学习小组合作交流自主学习导学版块内容。
学生在教师的引导下初步掌握本节课将要学习的基础知识，搭建本节课将要学习的知识体系。
"自主检测1．完成练习十九第1题。
高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第七节 正弦定理和余弦定理及其应用
(2)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B.( × )
(3)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
√
)
2.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为
3.(2023 全国乙,文 4)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos Bbcos A=c,且
π
C= ,则
5
B=(
π
A.
10
π
B.
5
3π
C.
10
2π
D.
5
答案 C
)
解析由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
又因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整
理得sin Bcos C-sin Acos C=0,因此(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或
三角形的面积教学设计及分析
《三角形的面积》教学设计及分析教材分析：教材内容是人教版义务教育课程标准教科书五年级上册第84—86页。
三角形面积的计算是在充分认识了三角形的特征及掌握长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，其公式推导的方法与平行四边形面积计算公式的推导方法有相似之处，都是将图形转化成已经会计算的图形，探索研究图形与已学图形之间的联系，从而找出面积的计算方法。
学情分析：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
五年级的学生已具有一定的逻辑思维，更乐于自主探索知识的来源。
由于学生已学过长方形，正方形，平行四边形的面积计算，在上述学习过程中，通过操作，实验，探索等积累了探讨平面图形面积计算公式的基本方法，这些都为自主研究，探索“三角形面积的计算”这一新的学习任务创造了必要的条件。
教学目标：1、探索并掌握三角形面积公式，能正确计算三角形的面积。
2、使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3、并能应用公式解决简单的实际问题。
教学重点：探索并掌握三角形面积计算公式，能正确计算三角形的面积。
教学难点：三角形面积公式的探索过程。
教学课时：第一课时。
教具准备：课件、平行四边形纸片、两个完全一样的三角形各三组、剪刀等。
每个小组至少准备完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个，一个平行四边形，剪刀。
教学过程：一、创设情境，揭示课题引入语：同学们，明年“六一”我们学校一年级有一批小朋友加入少先队，学校准备做一批红领巾，要我们帮忙算算要用多少布，同学们有没有信心帮学校解决这个问题？（屏幕出示红领巾图）同学们，红领巾是什么形状的？你会算三角形的面积吗？这节课我们就来一起研究、探索这个问题。
（板书：三角形面积的计算）二、探索交流、归纳新知1。
出示一个平行四边形（1）平行四边形面积怎样计算？（板书：平行四边形面积=底×高）（2）观察：沿平行四边形对角线剪开成两个三角形。
三角形的面积公式及应用
三角形的面积公式及应用三角形是几何学中最基本的图形之一，它的面积公式可以帮助我们计算三角形的大小。
本文将介绍三角形的面积公式，以及它在实际问题中的应用。
一、三角形的面积公式三角形的面积公式是通过底和高来计算的。
对于任意三角形，我们将底的长度记为b，高的长度记为h，则三角形的面积S可以表示为S=1/2 * b * h。
此外，当我们知道三角形的边长时，也可以通过海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式可以表示为S=sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中s为三角形周长的一半，a、b、c为三角形的三条边长。
二、应用举例1. 三角形的基础应用三角形的面积公式是解决各种三角形问题的基础。
例如，当我们已知三角形的底和高时，可以直接使用面积公式计算三角形的面积。
举个例子，假设我们有一个三角形，底的长度是5cm，高的长度是3cm。
根据面积公式，我们可以计算出该三角形的面积为S=1/2 * 5 * 3 = 7.5平方厘米。
2. 海伦公式的应用海伦公式是解决三角形面积问题的另一种常用方法。
它适用于当我们已知三角形的三条边长时，可以利用海伦公式计算三角形的面积。
举个例子，假设我们知道一个三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm。
首先我们可以通过海伦公式计算出三角形的半周长s=(3+4+5)/2=6cm，然后根据海伦公式，我们可以得到该三角形的面积为S=sqrt(6*(6-3)*(6-4)*(6-5))=6平方厘米。
3. 实际应用除了基础的三角形面积计算，三角形的面积公式在实际问题中也有广泛的应用。
例如，建筑工程中需要计算地面上不规则形状的区域的面积，我们可以将这个区域分割成多个三角形，然后分别计算每个三角形的面积，最后将它们相加得到整个区域的面积。
三、总结本文介绍了三角形的面积公式及其在实际问题中的应用。
无论是基本的三角形面积计算，还是利用海伦公式解决三角形面积问题，都可以帮助我们准确计算三角形的大小。
五年级数学空间与图形试题答案及解析
五年级数学空间与图形试题答案及解析1.一个平行四边形的底是8分米，高是3分米，它的面积是．如果底和高都扩大10倍，它的面积扩大倍．【答案】24平方分米；100【解析】（1）根据平行四边形的面积=底×高，代入数据即可解答；（2）再根据积的变化规律：积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积．如果平行四边形的底和高都扩大10倍，那么它的面积就扩大10的平方倍．解答：解：（1）8×3=24（平方分米）（2）10×10=100答：它的面积是 24平方分米．如果底和高都扩大10倍，它的面积扩大 100倍．故答案为：24平方分米；100．点评：此题主要根据平行四边形的面积的计算方法与积的变化规律解答．2.一个三角形底扩大2倍，高缩小2倍，面积不变．．（判断对错）【答案】√【解析】根据三角形的面积公式S=ah÷2，如果一个三角形底扩大2倍，高缩小2倍，面积的变化是2a×h÷2=ah÷2；据此解答．解答：解：因为三角形的面积S=ah÷2，所以S′=2a×h÷2=ah=S，所以一个三角形底扩大2倍，高缩小2倍，面积不变．故答案为：√．点评：考查了三角形的面积，解答此题的关键是根据三角形的面积公式S=ah÷2与积的变化规律解决问题．3.一个平行四边形和一个三角形等底等高，已知平行四边形的面积是40平方分米，三角形的面积是（）平方分米．A． 20 B． 40 C． 80【答案】A【解析】三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半，用40除以2，即可求出三角形的面积，据此解答．解答：解：40÷2=20（平方分米）答：三角形的面积是20平方分米．故选：A．点评：解答此题的关键是明白：三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半．4.根据图中的已知条件，求AD的长度．（单位：厘米）【答案】AD长12厘米【解析】先利用三角形的面积公式求出其面积，再依据同一个图形面积相等，面积和底边已知，从而可以求出AD的长度．解答：解：三角形的面积：15×20÷2=150（平方厘米）；AD的长度：150×2÷25=12（厘米）．答：AD长12厘米．点评：解答此题的关键是：先求出三角形的面积，再利用面积相等求出高．5.一个三角形的面积是5m2，高是2m，这个三角形的底是m．【答案】5．【解析】三角形的面积=底×高÷2，则三角形的底=三角形的面积×2÷高，据此解答即可．解答：解：5×2÷2=5（米）答：这个三角形的底是5米．故答案为：5．点评：此题主要考查三角形的面积的计算方法的灵活应用．6.三角形的面积等于平行四边形面积的一半．．（判断对错）【答案】×．【解析】缺少关键条件，三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半．解答：解：因为三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半．故判断：×．点评：此题主要考查三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半．7.求下面各图形的面积【答案】4.125，12.5，78.75【解析】根据三角形的面积公式：s=ah÷2；平行四边形的面积公式：s=ah；梯形的面积公式：s=（a+b）×h÷2，把数据分别代入公式解答．解答：解：（1）5.5×1.5÷2=4.125（平方厘米）答：三角形的面积是4.125平方厘米．（2）5×2.5="12.5" （平方厘米）答：平行四边形的面积是12.5平方厘米．（3）（10+25）×4.5÷2=35×4.5÷2=157.5÷2=78.75（平方厘米）答：梯形的面积是78.75平方厘米．点评：此题主要考查三角形、梯形、平行四边形的面积公式的灵活运用．8.一个三角形的面积是1.2平方分米，高是0.6分米，底是分米．【答案】4．【解析】根据三角形的面积公式：S=ah÷2，可知a=2S÷h据此可代入数据进行计算．解答：解：1.2×2÷0.6=2.4÷0.6=4（分米）答：它的底是4分米．故答案为：4．点评：本题主要考查了学生对三角形面积公式的灵活运用．9.用你学过的两个或两个以上的平面图形，画一幅你喜欢的图画并用一句话写出图画的意思．【答案】见解析【解析】解：如图所示，即为所要求画的图：此图是用圆形，正方形和梯形拼成的人．【点评】此题主要考查平面图形的画法．10.一个三角形和一个平行四边形的面积相等，并且高也相等．如果三角形的底是20厘米，那么平行四边形的底是厘米．【答案】10【解析】解：20÷2=10（厘米），答：平行四边形的底是10厘米．故答案为：10．【点评】此题主要考查等底等高的平行四边形与三角形面积之间关系的灵活运用．11.计算下面图形的面积（单位：厘米）【答案】（1）14.7（2）150（3）24【解析】解：（1）4.2×3.5=14.7（平方厘米）答：平行四边形的面积是14.7平方厘米．（2）（12+18）×10÷2=30×10÷2=150（平方厘米）答：梯形的面积是150平方厘米．（3）8×12﹣6×12=96﹣72=24（平方厘米）答：阴影部分的面积是24平方厘米．【点评】本题主要考查了学生对长方形、梯形和平行四边形面积公式的掌握．12.有一块梯形菜地的高是20m，它的两条平行的边分别是30m和15m．在这块菜地上种白薯，如果平均每平方米收白薯16.5千克，这块菜地可以收多少千克白薯？【答案】7425【解析】由题意知梯形的上底长15m，下底长30m，高是20m，根据梯形的面积公式：S=（a+b）h÷2可求出这块地的面积，再乘每平方米收白薯的千克数即可．解：（15+30）×20÷2×16.5=45×20÷2×16.5=7425（千克）；答：这块菜地可以收7425千克白薯．【点评】本题主要考查了学生对梯形面积公式的应用．13.计算下面阴影部分的面积。
苏教版五年级《三角形的面积计算》教学设计
《三角形的面积》教学设计洛阳市宜阳县城关镇西街学校张高锋[教学内容]：九年义务教育六年制苏教版五年级上册第二单元“多边形面积的计算”中的第二节。
[教材简析]：三角形面积的计算，是在学生掌握三角形的特征及长方形、平行四边形面积计算的基础上进行教学的。
通过对这部分知识的教学，使学生掌握三角形面积的计算公式，学会运用公式正确计算三角形的面积；同时加深与长方形、平行四边形之间的内在联系，培养学生的实际操作能力和思维能力，进一步发展学生的空间观念，提高学生的数学素质。
根据教学内容的有关特点及学生的学习习惯、认知基础和接受能力；充分发挥学具和教具的作用；遵循教学的规律和原则；本节课特可采用讲解法、谈话法、实验法和激趣法等教学方法进行教学；以体现“精讲、善导、激趣、引思”的课堂教学“八字”要求；达到以教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学指导思想。
促进素质教育的发展。
[教学目标]：(1) 掌握三角形面积的计算公式，学会运用公式正确计算；(2) 学会动手实验操作，渗透旋转、平移的数学思想和方法，培养学生分析、比较、抽象、归纳的能力，进一步发展空间观念；(3)理解三角形面积计算公式的推导过程，渗透辩证唯物主义的思想，使学生初步懂得用运动变化的观点去观察事物。
[教学重点]：掌握三角形面积的计算公式，并能运用公式正确计算。
[教学难点]：理解公式的推导过程。
[教学关键]：通过实验操作和采用多媒体辅助手段，帮助学生掌握本节课的教学重点，突破难点，达成目标。
[教学过程]：一：复习旧知，作好铺垫1、提问：①长方形、平行四边形、三角形分别有什么特征？②平行四边形的面积计算公式是怎样推导的？2.计算有关图形的面积。
【设计说明；教育心理学表明：教学就是根据学生原有的基础上进行的。
为此，这三道复习题都是选取与新知识有密切联系的，能为学习新知识起铺垫作用。
2.、设置悬念，引入新课如果把复习题中第2题的三个图形从对角线剪开得出三个三角形，那么三角形的面积该怎样计算呢？这就是我们本节课要研究的内容“三角形面积的计算”板书课题。
西师版五年级数学上册多边形面积的计算练习题
5.1 平行四边形的面积1.一个平行四边形的底是12厘米，高是6厘米，面积是多少平方厘米？2.一块平行四边形的瓜地，底长16米，高13.6米，如果平均每平方米栽瓜苗35棵，共栽多少棵？3.求下面图形的面积。
4.长方形的面积等于平行四边形的面积。
（）5.把一个长方形的框架拉成平行四边形,它的面积和周长都不变。
（）5.2 三角形的面积1. 等底等高的两个三角形面积相等。
（）2.求下面图形的面积，单位分米。
3.一个三角形的底是9厘米，高是6厘米，面积是（）。
4.两个三角形的底和高都相等，那么它们的面积相等。
（）5.3 梯形的面积1.一堆钢管，每相邻两层都相差1根，最上层2根，最下层8根，这堆钢管共（）根。
2.判断：梯形的高越长，面积就越大。
（）3.计算下列图形的面积。
（单位：米）5.4 不规则图形的面积1. 下面图形的面积是（）平方厘米。
2.整格（）个，不满格（）个，面积大约（）cm2（每个小方格的面积是1 cm2）。
3. 下面图形的面积是（）平方米。
4.下图中是一块不规则的土地，估一估它的面积。
5.5认识平方千米和公顷1.判断：一个教室长10米，宽8米，占地80公顷。
（）2.面积为6公顷的长方形鱼场，宽是200米，长是（）米。
A．30 B．3 C．3003.北京工人体育场占地约是350000m2,合多少公顷？多少平方千米米？4. 重庆市渝中区的面积是22平方千米，合多少公顷？多少平方米？5.6问题解决1.一块直角三角形的绿地，两条直角边分别是8米和6米，这块绿地的面积是（）平方米。
2.一块梯形试验田，它的上底是18米，下底是27米，面积是360 平方米，高是多少米？3.有一块三角形的花圃,底是15米,高是8米,平均每平方米种27 株月季花,这块花圃一共能种多少株月季花?4.一块三角形钢板，底是1.6米，高0.8米，每平方米钢板重12.5 千克。
这块钢板重（）千克。
5.一个平行四边形的底是7cm,高是4cm,和它等底等高的一个三角形的面积是（）c^。
三角形的面积
《三角形的面积》教学设计及说明[教学内容]苏教版五年级上第15—16页的例4、例5及相关的“试一试”、“练一练”和练习三第1—3题。
[教材简析]三角形面积的计算方法是小学阶段学习几何知识的重要内容,也是学生今后学习的重要基础。
《数学课程标准》中明确指出:利用方格纸或割补等方法,探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。
为落实这一目标,这部分教材均是以探索活动的形式出现的,学生在学习三角形面积的计算方法之前,已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程,当学生亲身经历了三角形面积计算公式的推导过程时,不仅可以借鉴前面“转化”的思想,而且为今后逐渐形成较强的探索能力打下较为扎实的基础。
[教学目标]1、使学生理解、掌握三角形面积计算公式，并能运用它计算三角形的面积及解决生活中有关简单问题。
2、使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步推理能力。
3、让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
[教学重点]探究三角形面积公式的推导过程，掌握和运用三角形面积公式进行计算。
[教学难点]理解三角形面积公式的推导过程和计算公式。
[教学准备]教具：多媒体课件学具：三角形纸片[教学过程]一、创设情景，引入新知谈话：前面我们已经学习过平行四边形，谁来说说对它的了解？如果要求出它的面积，必须知道哪些条件？引导：同学们说得真好。
我校有一块平行四边形的空地（多媒体出示平行四边形图形）为了同学们能真正参与到综合实践活动中，学校想把这块平行四边形地均分给五、六年级当生态园，你们能帮忙想想办法吗？生汇报平均分法引导：同学们的办法真多，学校最终决定把这块空地均分成两个三角形，你们能帮忙算出每个三角形的面积吗？（出示所需数据）根据学生的回答，引导：说出这样想的理由是什么？根据学生的回答，（多媒体）出示一个三角形。
谈话：怎样才能求出它的面积呢？这节课我们就一起来学习三角形的面积。