勒贝格积分的分部积分和变量替换
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Fra Baidu bibliotek
1 引言
微积分奠基于 16,17 世纪，它的扩张统治了 18 世纪到 19 世纪上半叶，形成 了数学分析这门基础数学分支。19 世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的 积分，例如黎曼积分（简称 R 积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分（简称 R-S 积分）等。 只要相应的函数性质较好，就可以用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物 理学上的功能等。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函 数。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺 序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理 论和应用上都迫切要求建立一种新的积分，它既能保持 R 积分的几何直观和计算 上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902 年法国数学 家 H.L.勒贝格出色地完成了这一工作， 建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论， 接着又综合 R-S 积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称 L－S 积分）[1]。 本文首先讨论黎曼积分的分部积分和变量替换的条件，然后给出勒贝格积分
b a
f ( x )dx lim
l (T ) 0
f (
k 1
n
k
) x k I 。
一般来说求导数比求定积分较易，如果函数存在导数，根据导数运算法则和 公式或者导数定义，按照求导运算程序，总能求出导数。但求函数定积分则不然。 根据定积分运算法则和公式只能求出一小部分比较简单的函数的不定积分，而对
0
因此 f ( x) f (0) 0x f ' ( x)dx ， f ( x ) 是 0,1 上的绝对连续函数。
2 黎曼积分的分部积分与变量替换
定义 1 设函数 f ( x ) 在 a, b 上有定义。任给 a, b 一个分法 T 和一组 k ， 有积分和 (T , ) f k x k 。
证明
b a
f ( x)dx f ( (t )) ' (t )dt.
(1)
假定 f ( x ) 是 a, b 上的非负 L 可积函数，令 x (t ) ， f (t ) 作为 t 的函
数在 , 也非负可积。 对区间 a, b 进行细分，a x0 x1 ... xn b ， 设 f x 在 x k , x k 1 上的最大值 也最小值分别为 M k 与 m k 。现在令 t k = x k ，那么当 t t k , t k 1 时有
b b b ' u( x)v' ( x)dx u( x)v( x) a a u ( x)v( x)dx 。 则 a
黎曼积分的变量替换
N L 公式求定积分比较复杂，引入一种简单的方法---变量替换，变量替换
是换元法的另一种说法，求积分经常使用的方法，在积分计算中变量替换的问题 有着重要意义，化繁为简，直到能直接运用公式求出。 若 函 数 f ( x ) 在 区 间 a, b 连 续 ， 且 函 数 x (t ) 在 , 有 连 续 导 数 ， 当
第 1 页 (共 11 页)
更多函数的定积分要因函数不同形式选用不同的方法，化繁为简。下面我们针对 求定积分最基本最常用的分部积分法和变量替换法进行描述。 2.1 黎曼积分的分部积分 分部积分是对于两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成 两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用，是积分方法的一种。
证明 续，所以
b a
b b ' f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x) a a f ( x) g ( x)dx 。
由于 f x 和 g x 都在 a, b 上绝对连续，故 f x g x 也在 a, b 上绝对连
b a
b b ( f ( x) g ( x))' dx a d ( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) a 。
3 勒贝格积分的分部积分和变量替换
定义 2 设 F ( x ) 为 a, b 上的有限函数，如果对 0, 0 ，使对 a, b 中互 不 相 交 的 任 意 有 限 个 开 区 间 (ai , bi ) ， i 1,2,..., n ， 只 要
(b
i 1
n
i
ai ) 就 有
mk f (t ) M k ，
再由不等式 , t 0 与 t k tk1 ' (t )dt x k 1 x k ，得出：
L t t f (t ) ' (t )dt ，其介于 mk ( xk 1 xk ) 与 M k ( xk 1 xk ) 。
b b b ' f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x) a a f ( x) g ( x)dx。 即 a
注：勒贝格积分分部积分是由斯蒂尔切斯积分证明的，斯蒂尔切斯积是黎曼积分 的一个很重要的推广。 把绝对连续函数表示成不定积分形式，利用 L 积分的性质和定理是讨论绝对 连续函数的常用方法。 黎曼积分只要满足函数在定义域上有连续的导数就可以，但勒贝格积分需要 函数在定义域上绝对连续，这个条件比较严格。 3.2 勒贝格积分的变量替换法
n
法无关，即 0, 0 ， T : l (T ) , k ，有 f ( k )x k I ，则称
k 1
f x 在 a, b 可 积 ， I 是 函 数 f x 在 a, b 的 定 积 分 ， 亦 称 黎 曼 积 分 [4] ， 记 为
的分部积分和变量替换的一些相关运用[2]。 例 1 设 f ( x ) 是 0,1 上的有界变差函数，并且在点 x 0 连续。若对任 0 1 ,
f ( x ) 在 ,1 上绝对连续，则 f ( x ) 是 0,1 上的绝对连续函数。
证明 因为 f ( x ) 是 0,1 上的有界变差函数，所以 f ' x 在 0,1 上 L 可积。由勒贝 格积分的绝对连续性可以得出
x 0
f ' ( x)dx lim x f ' ( x)dx.
0
x ' f ( x)dx f ( x) f ( ) ，再由 f ( x ) 在 x 0 连 又因为 f ( x ) 在 ,1 上绝对连续，则 0
x ' 续，可以得到 0 f ( x)dx lim( f ( x) f ( )) f ( x) f (0) ，
m ( E) E ' (t )dt 。
定理 2（勒贝格积分的变量替换）设 f ( x ) 在 a, b 上 L 可积， (t ) 是在 , 上 严格单调增的绝对连续函数，且 ( ) a ， ( ) b ，则 f t ' t 作为 t 的函数 在 , 上 L 可积，且
第 2 页 (共 11 页)
F (b ) F (a ) ，则称 F ( x) 为 a, b 上的绝对连续函数。
i 1 i i
n
绝对连续函数是一致连续函数， 一致连续函数一定是连续函数 （其逆不成立） ， 该函数可积。满足利普希茨条件[6]（若存在常数 K ,使得对定义域 a, b 的任意两个 不同的实数 x1 , x2 均有 : f ( x1 ) f ( x 2 ) K x1 x 2 成立，则称 f ( x ) 在 a, b 上满足利 普希茨条件）的函数是绝对连续函数。 与黎曼积分一样，勒贝格积分也可以进行分部积分和变量替换，但是要在一 定的条件下进行，而这些条件相对于黎曼积分更为苛刻，如绝对连续，严格单调 等。 3.1 勒贝格积分的分部积分法 定理 1（勒贝格积分的分部积分法）若 f ( x ) 和 g ( x) 都在 a, b 上绝对连续，则
另一方面 ( f ( x ) g ( x )) ' f ' ( x ) g ( x ) f ( x ) g ' ( x ),
b b ' b ( f ( x ) g ( x )) ' a f ( x ) g ( x ) dx a f ( x ) g ' ( x )dx. 故 a b ' b b f ( x ) g ( x ) dx a f ( x ) g ' ( x ) dx f ( x ) g ( x ) a , 由以上两方面可知 a
v ( x ) 在 a, b 有连续导数， 在定积分的条件下， 黎曼积分的分部积分法 是 u(x) ，
[4]
由函数乘积的导数公式，有
(u ( x )v ( x )) ' u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x )
2.2
b a
b b (u ( x )v ( x )) ' dx a d (u ( x )v ( x )) u ( x )v (v ) a ,
第 3 页 (共 11 页)
勒贝格积分的变量替换公式是由以下三个引理[2]推导出来的， 引理 1 设 ( x ) 是 , 上的绝对连续函数， E , 是零测度集，则 ( E ) 也 是零测度集。 引理 2 设 ( x ) 是 , 上的绝对连续函数， E , 为可测集，则 ( E ) 也是 可测集。 引理 3 设 ( x ) 是 , 上严格单调增的绝对连续函数， E , 是可测集， 则
Lebesgue 积分的分部积分和变量替换
摘
要： 本文通过探讨黎曼积分的分部积分和变量替换的条件， 引出勒贝格积分的分部积
分和变量替换的相关结论及运用，然后给出两类积分对应的分部积分和变量替换的联系与区 别，最后拓展到勒贝格积分的一些实际应用。 关键词：黎曼积分；勒贝格积分；分部积分；变量替换 Abstract ： This article through to the division of the integral of Riemann integral and the condition of variable substitution, raises Lebesgue integral division of integral and the relevant conclusions and use variable substitution.Then give two points corresponding to the division and the relationship and difference variable substitution, finally to some practical application of Lebesgue integral. Key words：Riemann integral；Lebesgue integral；Partial integration；Variable substitution
i 1 n
若 当 l (T ) 0 时 ， 积 分 和 (T , ) 存 在 有 限 极 限 ， 设
lim (T , ) lim
l (T ) 0
l (T ) 0
f (
k 1
n
k
)x k I ，且数 I 与分法 T 无关，也与 k 在 x k 1 , x k 的取
t 时，有 a (t ) b ，又 ( ) a, ( ) b,
b f ( x)dx f (t ) ' (t )dt 。 则 a
实变函数引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，扩大可积函数类，降 低逐项积分与交换积分顺序的条件。那么勒贝格积分是否也能进行分部积分和变 量替换呢?
1 引言
微积分奠基于 16,17 世纪，它的扩张统治了 18 世纪到 19 世纪上半叶，形成 了数学分析这门基础数学分支。19 世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的 积分，例如黎曼积分（简称 R 积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分（简称 R-S 积分）等。 只要相应的函数性质较好，就可以用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物 理学上的功能等。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函 数。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺 序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理 论和应用上都迫切要求建立一种新的积分，它既能保持 R 积分的几何直观和计算 上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902 年法国数学 家 H.L.勒贝格出色地完成了这一工作， 建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论， 接着又综合 R-S 积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称 L－S 积分）[1]。 本文首先讨论黎曼积分的分部积分和变量替换的条件，然后给出勒贝格积分
b a
f ( x )dx lim
l (T ) 0
f (
k 1
n
k
) x k I 。
一般来说求导数比求定积分较易，如果函数存在导数，根据导数运算法则和 公式或者导数定义，按照求导运算程序，总能求出导数。但求函数定积分则不然。 根据定积分运算法则和公式只能求出一小部分比较简单的函数的不定积分，而对
0
因此 f ( x) f (0) 0x f ' ( x)dx ， f ( x ) 是 0,1 上的绝对连续函数。
2 黎曼积分的分部积分与变量替换
定义 1 设函数 f ( x ) 在 a, b 上有定义。任给 a, b 一个分法 T 和一组 k ， 有积分和 (T , ) f k x k 。
证明
b a
f ( x)dx f ( (t )) ' (t )dt.
(1)
假定 f ( x ) 是 a, b 上的非负 L 可积函数，令 x (t ) ， f (t ) 作为 t 的函
数在 , 也非负可积。 对区间 a, b 进行细分，a x0 x1 ... xn b ， 设 f x 在 x k , x k 1 上的最大值 也最小值分别为 M k 与 m k 。现在令 t k = x k ，那么当 t t k , t k 1 时有
b b b ' u( x)v' ( x)dx u( x)v( x) a a u ( x)v( x)dx 。 则 a
黎曼积分的变量替换
N L 公式求定积分比较复杂，引入一种简单的方法---变量替换，变量替换
是换元法的另一种说法，求积分经常使用的方法，在积分计算中变量替换的问题 有着重要意义，化繁为简，直到能直接运用公式求出。 若 函 数 f ( x ) 在 区 间 a, b 连 续 ， 且 函 数 x (t ) 在 , 有 连 续 导 数 ， 当
第 1 页 (共 11 页)
更多函数的定积分要因函数不同形式选用不同的方法，化繁为简。下面我们针对 求定积分最基本最常用的分部积分法和变量替换法进行描述。 2.1 黎曼积分的分部积分 分部积分是对于两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成 两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用，是积分方法的一种。
证明 续，所以
b a
b b ' f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x) a a f ( x) g ( x)dx 。
由于 f x 和 g x 都在 a, b 上绝对连续，故 f x g x 也在 a, b 上绝对连
b a
b b ( f ( x) g ( x))' dx a d ( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) a 。
3 勒贝格积分的分部积分和变量替换
定义 2 设 F ( x ) 为 a, b 上的有限函数，如果对 0, 0 ，使对 a, b 中互 不 相 交 的 任 意 有 限 个 开 区 间 (ai , bi ) ， i 1,2,..., n ， 只 要
(b
i 1
n
i
ai ) 就 有
mk f (t ) M k ，
再由不等式 , t 0 与 t k tk1 ' (t )dt x k 1 x k ，得出：
L t t f (t ) ' (t )dt ，其介于 mk ( xk 1 xk ) 与 M k ( xk 1 xk ) 。
b b b ' f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x) a a f ( x) g ( x)dx。 即 a
注：勒贝格积分分部积分是由斯蒂尔切斯积分证明的，斯蒂尔切斯积是黎曼积分 的一个很重要的推广。 把绝对连续函数表示成不定积分形式，利用 L 积分的性质和定理是讨论绝对 连续函数的常用方法。 黎曼积分只要满足函数在定义域上有连续的导数就可以，但勒贝格积分需要 函数在定义域上绝对连续，这个条件比较严格。 3.2 勒贝格积分的变量替换法
n
法无关，即 0, 0 ， T : l (T ) , k ，有 f ( k )x k I ，则称
k 1
f x 在 a, b 可 积 ， I 是 函 数 f x 在 a, b 的 定 积 分 ， 亦 称 黎 曼 积 分 [4] ， 记 为
的分部积分和变量替换的一些相关运用[2]。 例 1 设 f ( x ) 是 0,1 上的有界变差函数，并且在点 x 0 连续。若对任 0 1 ,
f ( x ) 在 ,1 上绝对连续，则 f ( x ) 是 0,1 上的绝对连续函数。
证明 因为 f ( x ) 是 0,1 上的有界变差函数，所以 f ' x 在 0,1 上 L 可积。由勒贝 格积分的绝对连续性可以得出
x 0
f ' ( x)dx lim x f ' ( x)dx.
0
x ' f ( x)dx f ( x) f ( ) ，再由 f ( x ) 在 x 0 连 又因为 f ( x ) 在 ,1 上绝对连续，则 0
x ' 续，可以得到 0 f ( x)dx lim( f ( x) f ( )) f ( x) f (0) ，
m ( E) E ' (t )dt 。
定理 2（勒贝格积分的变量替换）设 f ( x ) 在 a, b 上 L 可积， (t ) 是在 , 上 严格单调增的绝对连续函数，且 ( ) a ， ( ) b ，则 f t ' t 作为 t 的函数 在 , 上 L 可积，且
第 2 页 (共 11 页)
F (b ) F (a ) ，则称 F ( x) 为 a, b 上的绝对连续函数。
i 1 i i
n
绝对连续函数是一致连续函数， 一致连续函数一定是连续函数 （其逆不成立） ， 该函数可积。满足利普希茨条件[6]（若存在常数 K ,使得对定义域 a, b 的任意两个 不同的实数 x1 , x2 均有 : f ( x1 ) f ( x 2 ) K x1 x 2 成立，则称 f ( x ) 在 a, b 上满足利 普希茨条件）的函数是绝对连续函数。 与黎曼积分一样，勒贝格积分也可以进行分部积分和变量替换，但是要在一 定的条件下进行，而这些条件相对于黎曼积分更为苛刻，如绝对连续，严格单调 等。 3.1 勒贝格积分的分部积分法 定理 1（勒贝格积分的分部积分法）若 f ( x ) 和 g ( x) 都在 a, b 上绝对连续，则
另一方面 ( f ( x ) g ( x )) ' f ' ( x ) g ( x ) f ( x ) g ' ( x ),
b b ' b ( f ( x ) g ( x )) ' a f ( x ) g ( x ) dx a f ( x ) g ' ( x )dx. 故 a b ' b b f ( x ) g ( x ) dx a f ( x ) g ' ( x ) dx f ( x ) g ( x ) a , 由以上两方面可知 a
v ( x ) 在 a, b 有连续导数， 在定积分的条件下， 黎曼积分的分部积分法 是 u(x) ，
[4]
由函数乘积的导数公式，有
(u ( x )v ( x )) ' u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x )
2.2
b a
b b (u ( x )v ( x )) ' dx a d (u ( x )v ( x )) u ( x )v (v ) a ,
第 3 页 (共 11 页)
勒贝格积分的变量替换公式是由以下三个引理[2]推导出来的， 引理 1 设 ( x ) 是 , 上的绝对连续函数， E , 是零测度集，则 ( E ) 也 是零测度集。 引理 2 设 ( x ) 是 , 上的绝对连续函数， E , 为可测集，则 ( E ) 也是 可测集。 引理 3 设 ( x ) 是 , 上严格单调增的绝对连续函数， E , 是可测集， 则
Lebesgue 积分的分部积分和变量替换
摘
要： 本文通过探讨黎曼积分的分部积分和变量替换的条件， 引出勒贝格积分的分部积
分和变量替换的相关结论及运用，然后给出两类积分对应的分部积分和变量替换的联系与区 别，最后拓展到勒贝格积分的一些实际应用。 关键词：黎曼积分；勒贝格积分；分部积分；变量替换 Abstract ： This article through to the division of the integral of Riemann integral and the condition of variable substitution, raises Lebesgue integral division of integral and the relevant conclusions and use variable substitution.Then give two points corresponding to the division and the relationship and difference variable substitution, finally to some practical application of Lebesgue integral. Key words：Riemann integral；Lebesgue integral；Partial integration；Variable substitution
i 1 n
若 当 l (T ) 0 时 ， 积 分 和 (T , ) 存 在 有 限 极 限 ， 设
lim (T , ) lim
l (T ) 0
l (T ) 0
f (
k 1
n
k
)x k I ，且数 I 与分法 T 无关，也与 k 在 x k 1 , x k 的取
t 时，有 a (t ) b ，又 ( ) a, ( ) b,
b f ( x)dx f (t ) ' (t )dt 。 则 a
实变函数引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，扩大可积函数类，降 低逐项积分与交换积分顺序的条件。那么勒贝格积分是否也能进行分部积分和变 量替换呢?