高中数学第三章不等式3.3基本不等式不等式的八种变式及应用素材北师大版必修(1)
高中数学第三章不等式3基本不等式第1课时基本不等式课件北师大版必修5
(3)在利用均值不等式求值时，若“一正二定三相等”中的条件不满足时，则 需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式．而转化 的方法有添项、拆项、凑项、变号等．
a＋2 b≥ aba，b∈R＋ 基本不等式两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 变形技巧“1”的变换
2021/4/17
高中数学第三章不等式3基本不等式第1课时基本不等式
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课件北师大版必修5
[解析] ∵a>0，b>0，若 a＋b≤4，∴2 ab≤ a＋b≤4. ∴ab≤4，此时充分性成立． 当 a>0，b>0，ab≤4 时，令 a＝4，b＝1，则 a＋b＝5>4， 这与 a＋b≤4 矛盾，因此必要性不成立． 综上所述，当 a>0，b>0 时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故 选 A．
a＋b ab<a< 2 <b
[解析] 法一：∵b>a>0，∴a＋2 b> ab，
2b>a＋b
∴b>a＋2 b，∴a<
a＋b ab< 2 <b.
法二：取 a＝2，b＝8，
则 ab＝4，a＋2 b＝5，
∴a<
a＋b ab< 2 <b.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼 睛，
[分析] 要求 x＋y 的最小值，根据均值不等式定理，应构建某个积为定值．这 需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1 的代换”，也可以“消元”等．
高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课件北师大必修5
+
������)与
������+2������+������的大小关系
2
是
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:(1)因为 a>2,所以 a-2>0.
又 m=a+������1-2=(a-2)+������1-2+2,所以 m≥2 (������-2)·������1-2+2=4,
当且仅当 a-2=������1-2,即 a=3 时,等号成立,所以 m∈[4,+∞).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 下列不等式正确的是
.
①若 x>0,则 cos x+co1s������≥2; ②若 x<0,则 x+4������≤-4; ③若 a,b∈R,则������������ + ������������≥2; ④ ������2 + 2 + ������21+2≥2.
答案:②
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二 利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 m=a+������1-2(a>2),n=22-������2 (b≠0),则 m,n 之间的大 小关系是( )
A.m>n
B.m<n
C.m=n
D.不确定
(2)已知 a,b,c∈(0,+∞),则
(������
+
������)(������
ab≤
2 2
2
=1,即 ab≤1 成立.
(4)不正确.若
a,b∈(0,+∞),则1������>0,1������>0,应有1������
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_13
3．2基本不等式与最大(小)值●三维目标1．知识与技能会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，会用基本不等式解决实际问题．通过探究实例过程，领悟利用不等式求简单的最大(小)值问题所满足的条件．3．情感、态度与价值观通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，培养学生的探索精神．●重点难点重点：用基本不等式解决简单的最值问题．难点：用基本不等式求最值的使用条件．●教学建议在用基本不等式求最值时，要讲清楚使用条件：“一正、二定、三相等”．课本P91例2就是对这三个应用条件的很好的阐释．有些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例3中若x<0则需要变形方可利用基本不等式求最值．●教学流程创设问题情境，提出问题：如何通过基本不等式求f(x)＝x(1－x)(0<x<1)的最值？⇒引导学生回答问题，理解利用基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，掌握用基本不等式解决最值问题⇒通过例1及变式训练，使学生掌握基本不等式求最值⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求有约束条件的最值⇒通过例3及变式训练，使学生掌握基本不等式解决实际问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第59页)已知函数f(x)＝x(1－x)(0<x<1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？【提示】最大值；能．∵0<x<1，∴1－x>0，又∵a＋b2≥ab，∴ab≤(a＋b2)2，∴x(1－x)≤(x＋1－x2)2＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，f(x)有最大值14.已知x、y都是正数(对应学生用书第59页)(1)已知x >0，求函数y ＝x x 的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax ＋bx 形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x 的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不等式．【自主解答】 (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9， 当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立． 故y ＝x 2＋5x ＋4x (x >0)的最小值为9.(2)法一 ∵0<x <13，∴1－3x >0. ∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋（1－3x ）2]2＝112.当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值112.法二∵0<x<13，∴13－x>0.∴y＝x(1－3x)＝3·x(13－x)≤3·(x＋13－x2)2＝1 12，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“凑系数”、“常值代换”等．已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．【解】∵x＜54，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝－[(5－4x)＋15－4x]＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x即x＝1时等号成立，∴当x＝1时，y max＝1.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．【思路探究】思路一：利用“1”的整体代换求解：即把1a＋1b看作⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ×(a ＋2b )，化简后利用基本不等式求解． 思路二：将式子1a ＋1b 中的1用a ＋2b 代换后，利用基本不等式求解． 【自主解答】 法一 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.法二 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋ab ＋2 ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时，等号成立，∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b 取最小值所对应a 、b 的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”的方法，构选成基本不等式的形式，从而得出最值．本例中，如何求ab 的最大值？【解】 法一 ab ＝12a ·(2b )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝18，当且仅当⎩⎨⎧a ＋2b ＝1a ＝2b，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.法二 ∵a ＋2b ＝1，∴1＝a ＋2b ≥2a ·（2b ）， 即ab ≤122，∴ab ≤18，当且仅当⎩⎨⎧a ＝2b a ＋2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3－3－3，设池塘所占总面积为S 平方米．图3－3－3(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．【思路探究】 根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.S ＝(1 800x －4)·a ＋2a (1 800x －6) ＝a (5 400x －16) ＝x －63(5 400x －16)＝1 832－(10 800x ＋16x3)． 即S ＝1 832－(10 800x ＋16x3)(x >0)． (2)由S ＝1 832－(10 800x ＋16x 3)， 得S ≤1 832－210 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352， 当且仅当10 800x ＝16x3时等号成立，此时，x ＝45， 即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．1．根据已知，列出关系式是解答本题的关键．2．利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：①在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；②建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；④回到实际问题中，检验并写出正确答案．北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】 (1)由题意 y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920（v ＋1 600v ）＋3≤9202v ·1 600v ＋3＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时取等号． ∴y max ＝92083≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v ＝40千米/小时时， 车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时．(对应学生用书第61页)忽视基本不等式的条件致误求函数y＝1－2x－3x的值域．【错解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．∵2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝±62时取等号．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.∴函数的值域为(－∞，1－26]．【错因分析】利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．【防范措施】利用基本不等式求最值时一定注意应用条件“一正、二定、三相等”．【正解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．①当x>0时，2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝62或x＝－62(舍)时等号成立．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－3 x)．∵－2x＋(－3x)≥2（－2x）·（－3x）＝26，y≥1＋2 6.当且仅当－2x＝－3x时，即x＝62(舍)．若x＝－62时等号成立．∴函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．(对应学生用书第61页)1．下列函数中最小值为4的是()A．y＝x＋4 xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π)C．y＝3x＋4·3－xD．y＝lg x＋4log x10【解析】A不满足正数，B取不到等号成立，D不满足正数，C正确．【答案】C2．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为()A.2B．22C．2D．4【解析】由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝4.【答案】 D3．设x ，y ∈N ＋满足x ＋y ＝20，则lg x ＋lg y 的最大值为________． 【解析】 ∵x ，y ∈N ＋，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100，∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，当x ＝y ＝10时取“＝”． 【答案】 24．已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值． 【解】 x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(8x ＋1y )(x ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝3时，等号成立， 故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.(对应学生用书第113页)一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2aa －1D ．3 【解析】 a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3.【答案】 D2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．【答案】 C3．(2013·鹤岗高二检测)若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【解析】 x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4 ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4xy ＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.【答案】 C4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100【解析】 设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立． 【答案】 A5．(2013·宿州高二检测)若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14 B ．1 C ．4 D ．8【解析】由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎨⎧a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 C 二、填空题6．(2013·广州高二检测)若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 【解析】 x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．【答案】 2 27．(2013·南京高二检测)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________． 【解析】 ∵log m n ＝－1， ∴mn ＝1且m >0，n >0，m ≠1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3.当且仅当3n ＝m 即n ＝33，m ＝3时等号成立． 【答案】 2 38．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是________． 【解析】 y ＝log 2x ＋log x 2＋1.由|log 2x ＋log x 2|＝|log 2x |＋|log x 2|≥2|log 2x |·|log x 2|＝2， 得log 2x ＋log x 2≥ 2或log 2x ＋log x 2≤ －2， ∴y ≥ 3或y ≤ －1.【答案】 (－∞ ，－1]∪ [3，＋∞ ) 三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．【解】 y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32，∵当x <32时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.10．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是多少？ 【解】 法一 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴y ＝8－x 2x ＋2＞0，∴0＜x ＜8.∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2（x ＋1）·9x ＋1－2＝4.当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1.法二 ∵x ＞0，y ＞0，∴8＝x ＋2y ＋2xy ＝x ＋2y ＋x ·2y ≤x ＋2y ＋(x ＋2y 2)2， 即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， ∴[(x ＋2y )＋8][(x ＋2y )－4]≥0， ∴x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号．由x ＝2y 且x ＋2y ＋2xy ＝8，得x ＝2，y ＝1，此时x ＋2y 有最小值4. 11．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)【解】 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －(6x ＋784x ＋3－118)＝118－(4x ＋784x ＋3) ＝118－[4(x ＋3)＋784x ＋3－12] ＝130－[4(x ＋3)＋784x ＋3] ≤130－24（x ＋3）·784x ＋3＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．(教师用书独具)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【思路探究】 审题、理解题意―→ 建立相应的函数解析式，标出定义域―→ 在定义域内求出函数的最小值―→ 回到实际问题，检验作答【自主解答】 设该厂x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元．∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)． 从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8 ＝300x ＋3x ＋357≥417.当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量间的关系，初步确立用怎样的函数模型．(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值．(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．【解析】 设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】 错误!。
北师大版高中数学课本目录大全(必修)
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。
高中数学 第三章 基本不等式知识汇总素材 北师大版必修5
基本不等式：1.一般的，如果2．两个数的均值不等式：（等号仅当a=b时成立3.三个数的均值不等式：若（等号仅当a=b=c时成立）4.几个重要的不等式：①②③4．最值定理：设，都为正数，则有（1）若（和为定值），则当时，积取得最大值．（2）若（积为定值），则当时，和取得最小值．5.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a，b，c R，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》公开课课件_27
D a OC b B
E
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 BC DC DC AC
所以DC2 BC AC ab
②
(a 0,b 0, a ( a)2,b ( b)2)
要证②，只要证 (__a_ __b_)2≥0
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
D
探究１：
a2 b2
b
G
F
1、正方形ABCD的
a b 2
2
面积S2= ＿＿＿＿＿
C ２、四个直角三角形的
A
a HE
面积和S1 =＿2a＿b
３、S2与S1有什么 样的不等关系？
B
S2>S1即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
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高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课件北师大版必修5
①当
a＝b
时，a＋b≥ 2
ab的等号成立，
即 a＝b⇒a＋2 b＝ ab；
②仅当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab的等号成立，
[提示] 当且仅当a＝b时，取等号．
数学 必修5
第三章 不等式
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
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[问题2] 还记得等差中项和等比中项吗？试举例说明．
[提示]
两个正数
a
与
b
的等差中项为a＋b，正的等比中项 2
为 ab.
例如，2 与 8 的等差中项为 5，正的等比中项为 4，显然等差
中项大于正的等比中项，那么，对任意正数 a，b，这样的关系还
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第三章 不等式
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第三章 不等式
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对基本不等式的理解 给出下面四个推导过程： ①∵a、b 为正实数，∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2； ②∵x、y 为正实数，∴lg x＋lg y≥2 lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥2 4a·a＝4；
第三章 不等式
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2．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤4
B．ab≥4
C．ab≤1
D．ab≥1
解析： 由 a，b∈R＋，∴a＋2 b≥ ab，
∴ ab≤1，∴ab≤1.
答案： C
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第三章 不等式
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高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.2.2利用基本不等式求最值及实际应用题课件北师大版必修5
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该 产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单 ������ 位:万元)(m≥0)满足 x=3-������+1 (k为常数).如果不搞促销活动,那么该 产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入 为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每年产品 的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定 投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将2017年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单 位:万元)的函数. (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 求出最大利润.
第2课时 利用基本不等式求最值及实际应用题
1.能利用基本不等式求最大(小)值. 2.通过运用基本不等式解决实际问题,提高运用数学手段解决实 际问题的意识与能力.
应用基本不等式 ������������ ≤
������ +������ 2
求最值时需要的条件
第一,a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是 正数,否则就会得出错误答案. 第二,ab 与 a+b 有一个是定值.即当 ab 是定值时,可以求 a+b 的最小值;当 a+b 是定值时,可以求 ab 的最大值. 第三,等号能够成立,即存在正数 a,b 使基本不等式两边相等,也 就是存在正数 a,b 使得 ������������ =
4 ������
解:∵x>0,∴x+ ≥4.
4 ������
∴y=2− ������ + ������ ≤2-4=-2. ∴当且仅当 x= ������ (������ > 0), 即x=2 时,等号成立,
高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.1基本不等式课件北师大必修5
A.ab< ������2+������2 B. ������������ < ������+������ 2
2
2
C. 2������������ > ������������D. ������������ > 2������������
������+������
������ +������
答案:C
=1+ 2 ≥1+
������������
2
������+������
2
=
9
=
右边,
2
当且仅当 x=y= 1 时,等号成立.
2
题型一 题型二 题型三
证法 2:∵x+y=1,∴左边 = 1 + 1 1 + 1
������
������
������ + ������
������ + ������
������
-������ ������
·-������������
=
−2
解析:选项A,B,C忽略了利用基本不等式求值的前提条件,只有选 项D是正确的.
答案:D 反思运用基本不等式时,必须保证在a,b均为非负数的前提下使用.
题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】 有下列不等式:①x+ 1≥2;② ������ + 1 ≥2;③若
时,logab=
1 lo g������������
<
0,
所以logab+logba≤-2,当
且仅当
a=
1 ������
时,等号成立,故③正确.由③可知,④不成立.
高中数学第三章不等式第3节基本不等式3.1基本不等式课件北师大版必修5
第九页，共28页。
利用基本不等式比较两个数式的大小，就是把数式适当的放大或缩小， 达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号 同方向.
第四页，共28页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．( )
(2)不等式a2＋b2≥2ab中等号成立的条件是a＝b.( )
(3)a＋2 b≥ ab与a2＋b2≥2ab这两个不等式成立的条件是相同的．(
)
第五页，共28页。
【解析】 (1)应为任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，∴a＝b. (3)a＋2 b＝ ab中a、b∈R＋，a2＋b2≥2ab中a、b∈R. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×
第二十一页，共28页。
[构建·体系]
第二十二页，共28页。
1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是( )
A.12
B．1
C．2
D．4
【解析】 x2＋y2＝4≥2xy，∴xy≤2.
【答案】 C
第二十三页，共28页。
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围为( )
A．[0,2]
B．(－2,0]
C．[－2，＋∞)
第十页，共28页。
[再练一题] 1．如果 0＜a＜b＜1，P＝log12a＋2 b，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)， 试比较 P，Q，M 之间的大小．
第十一页，共28页。
【解】 因为 P＝log12a＋2 b， Q＝12(log12a＋log12b)＝log12 ab， M＝12log12(a＋b)＝log12 a＋b， 所以只需比较a＋2 b， ab， a＋b的大小． 显然a＋2 b＞ ab，又因为a＋2 b＜ a＋b，由a＋b＞a＋4b2也就是a＋4 b＜1可得 所以 a＋b＞a＋2 b＞ ab.而 y＝log12x 为(0，＋∞)上的减函数，故 Q＞P＞M.
2019_2020学年高中数学第3章不等式3.3.1基本不等式(第一课时)课件北师大版必修5
【解析】 (1)∵x>－1，∴x＋1>0. ∴f(x)＝x＋x＋1 1＝x＋1＋x＋1 1－1 ≥2 （x＋1）·x＋1 1－1＝1. 当且仅当 x＋1＝x＋1 1，即 x＝0 时取“＝”． ∴f(x)min＝1.
第22页
(2)∵x>0，y>0， ∴xy＝315(5x·7y)≤315(5x＋2 7y)2 ＝315·(220)2＝270. 当且仅当 5x＝7y＝10， 即 x＝2，y＝170时，取“＝”． ∴(xy)max＝270.
A．－3 C．4
B．3 D．－4()Fra bibliotek第25页
【解析】 x＋x－1 1＋5＝(x－1)＋x－1 1＋6 ≥2 （x－1）·x－1 1＋6＝2＋6＝8， 当且仅当 x－1＝x－1 1即 x＝2 时取“＝”号， ∴y＝log2(x＋x－1 1＋5)≥log28＝3. 【答案】 B
第26页
(2)已知 0<x<12，求函数 y＝x(1－2x)的最大值．
第31页
答案 D 解析 ∵y>x>0，且 x＋y＝1， ∴设 y＝43，x＝41，则x＋2 y＝12，2xy＝38. ∴x<2xy<x＋2 y<y.
第32页
3．(2014·福建)若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围是( )
A．[0，2]
B．[－2，0]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
答案 D
第19页
(2) 若 0<a<2 ， 则 a·(2 － a)有 最 大 值 ________ ， 此 时 a ＝ ________．
【答案】 1，1
第20页
例 3 (1)已知 x>－1，求 f(x)＝x＋ 1 的最小值． x＋1
高中数学 第3章 不等式 3.3.2 基本不等式(第二课时)课件 北师大版必修5
●思考题 1 (1)函数 y＝ x2＋2＋ 1 的最小值是不是 x2＋2
2？如不是，应为多少？
【答案】 不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件： x2＋2＝ 1 ，即 x2＝－1，但此式不成立．
x2＋2
应用单调性求解：设 t＝ x2＋2(t≥ 2)，则 y＝t＋1t 在[ 2，
＋∞)上单调递增，∴最小值为
【思路分析】 利用重要不等式可以把左边每两项与右边的一 项建立联系，但左边有 3 项，怎么办？3 项的 2 倍是 6 项，再分成 3 个 2 项，分别用重要不等式，再将三个同向不等式相加，即得所求 证的不等式．
【证明】 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
题型二 利用基本不等式求代数式的最值 例 2 (1)已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．
【解析】 ∵x＋2y＝1，
∴1x＋1y＝(x1＋y1)·(x＋2y)＝3＋xy＋2xy≥3＋2 xy·2xy＝3＋2 2. 当且仅当xyx＝ ＋22xyy， ＝1，即xy＝ ＝1－2－212，时取等号． 故1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
【证明】 左边＝a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab＝6abc＝右边， ∴不等式成立．
(2)已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.
【证明】 ∵a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ba＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc＋c ＝3＋ba＋ca＋ba＋bc＋ac＋bc ＝3＋(ba＋ba)＋(ca＋ac)＋(bc＋bc) ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝31时，取等号．
高中数学第三章不等式3.3基本不等式应用面面观素材北师大版必修
基本不等式应用面面观2a b +（00a b >>，，当且仅当a b =时，等号成立）的应用非常广泛．下面举例归纳它在解题中的应用．巧解方程1()2x y z =++． 解：由已知可得012x y z ，，≥≥≥．11222x y z +-， 1()2x y z ++． 当且仅当11121x y z =-=-=，，时，等号成立． 故原方程的解为123x y z ===，，． 点评：本题充分运用基本不等式中“等号成立”的条件，体现了“不等”与“等”的辩 证转化关系．巧证不等式已知2a >，求证：log (1)log (1)1a a a a -+<·．证明：2a > ，log (1)0a a ∴->，log (1)0a a +>．又log (1)log (1)a a a a -≠+，22log (1)log (1)11log (1)log 1222a a a a a a a a -++<=-<= log (1)log (1)1a a a a ∴-+<．点评：求解此题时，既要考虑到运用基本不等式成立的条件，又要考虑到对数的单调性对解此题的影响（如log (1)log (1)a a a a -≠+，∴基本不等式中等号不能成立）． 求最值已知02x <<，求函数(83)y x x =-的最大值．分析：求积的最大值，和必须是常数，而此时两数x 与83x -的和不是常数．如果乘一 个数3，此时两数3x 与此同时83x -的和是定值．解：02x << ，036x ∴<<．830x ∴->．21138316(83)3(83)3323x x y x x x x +-⎛⎫∴=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭≤． 当且仅当383x x =-，即43x =时，等号成立， ∴当43x =时，(83)y x x =-有最大值163． 求参数范围设a b c >>，且11m a b b c a c+---≥恒成立，求m 的取值范围． 解：a b c >> ，0a b ∴->，00b c a c ->->，．11()a c a b b c ⎛⎫∴-+ ⎪--⎝⎭[]11()()a b b c a b b c ⎛⎫=-+-+ ⎪--⎝⎭·4=≥， 当且仅当a b b c -=-，即2a c b +=时，等号成立．∴要使原不等式恒成立，只须4m ≤．故m 的取值范围为(]4-∞，．点评：本题采用合理配凑的方法为运用基本不等式创设了条件．解实际应用题一批救灾物资随17列火车以v 千米／小时的速度匀速直达400千米外的灾区， 为了安全起见，两列火车的间距不得小于220v ⎛⎫ ⎪⎝⎭千米，问这批物资全部运送到灾区最少需要多少小时？ 解：最后一列火车出发时，其已等待出发的时间为2161620400v v v ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=， 又由于最后一列火车行驶全程用时为400v，所以164008400v t v =+=≥， 当且仅当16400400v v=，即100v =时，等号成立，min 8t ∴=． 解综合问题 对于任意的1x >都有1x ax b x +>-成立，其中00a b >>，，试求a b ，之间 应满足的关系．分析：要寻求a b ，之间的关系，需从条件“1x ax b x +>-，对1x >恒成立”入手，为此应设法将所给不等式拆分，然后再运用基本不等式求出1x ax x +-的最小值即可． 解：由1x >，得1(1)(1)11x ax a x a x x ⎡⎤+=-+++⎢⎥--⎣⎦211)a +=≥．要满足题意，只须21)b >100)a b >>>，，此即为a b ，所应满足的关系．点评：通过对不等式进行拆分，然后再利用基本不等式寻求到a b ，应满足的关系．。
高中数学第三章不等式3.3基本不等式都有哪些应用素材北师大版必修(1)
2a b +≤有哪些应用(0,0)2a b a b +>>的应用进行分类解析，供学习时参考. 一、证明不等式 例1．已知0,0,1a b a b c >>++=，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥证明：0,0,1a b a b c >>++=，所以1110a b c b c a a a +++-=-=≥>，1110a b c a c b b b +++-=-=≥>，1110a b c a b c c c +++-=-=≥>， 将以上三式相乘，得111(1)(1)(1)8.a b c ---≥点评：创设条件，利用基本不等式a b +≥.二、求最大（小）值例2．（1）若0,0x y >>，且281x y+=，则xy 有（ ） （A ）最大值64 （B ）最大值164 （C ）最大值16 （D ）最小值是64 （2）在下面等号右侧两个分数的分母括号内，各填上一个自然数，并使这两个自然数的和最小：.)(9)(11+=解：（1）0,0x y >>，且281x y +=，所以281x y =+≥8≥，当且仅当28x y =，且281x y+=，即4,16x y ==时取等号，16xy ∴≥，选（D ）. （2）设这两个自然数分别是x ，y ，利用整体代换，得)91()(y x y x y x +⋅+=+)9(10y x x y ++=169210=⋅+≥yx x y ，当且仅当y x x y 9+，且191=+yx ，即12,4==y x 时，y x +最小，故应填的两个数分别为4和12. 点评：创设条件，利用基本不等式可求某些函数的最值.三、比较大小例3．设0a >，试比较1a -与11a-的大小解：1a -11(1)220a a a --=+-≥=，当且仅当1a =时取等号， 故1a -11a≥-，当且仅当1a =时取等号.另解：1a -211(1)20.aa a --=+-=≥ 点评：利用基本不等式，可以比较实数的大小.四、求参数的取值范围例4．在ABC ∆中，222sin sin 5sin A B C +=，则sin C 的取值范围是_____. 解：由已知条件及正弦定理，得222sin sin 5sin A B C +=即2225a b c +=， 2222222444cos 225a b c c c C ab ab a b +-∴==≥=+，当且仅当a b =时取等号， 2161cos 25C ∴>≥，即21611sin 25C ∴>-≥，30sin .5C ∴<≤ 点评：利用基本不等式可以求某些参数的取值范围.五、解应用题例5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为40803m ，深为3m ，如果池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120元，问怎样设计水池能使水池的总造价最低，最低总造价是多少元？解：设水池底面一边长为xm ，则另一边长为48003m x，水池的总造价为 48004800150120(2323)33S x x =⨯+⨯+⨯⨯1600240000720()x x=++240000720297600.≥+⨯= 当且仅当1600x x=，即40x =时，y 有最小值297600. 因此当水池的底面是边长为40米的正方形时，水池的总造价最低，最低为297600元. 跟踪练习：1．已知a 、b ，且满足1a b +=，则11a b+与4的大小关系是____. （A ）(2,)+∞ （B ）[2,)+∞ （C ）(4,)+∞ （D ）[4,)+∞2．（1999年全国卷改编）若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则a b +的取值范围是._______答案与略解1．由于1a b +=，1122 4.a b a b b a a b a b a b ++∴+=+=++≥+= 当且仅当12a b ==时取“=”号，故114a b +≥，（当且仅当12a b ==时取“=”号）. 2．设a b t +=，由2)2(b a ab +≤，得2()2t ab ≤，即233()2t a b ab -++=≤， 整理，得3t +233()2t t -+≤，。
北师大版高中数学必修《基本不等式》教学课件1
北师大版高中数学必修《基本不等式 》教学 课件1
北师大版高中数学必修《基本不等式 》教学 课件1
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课
情
堂
景
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
小
导
结
学 探
A．1
B．2
提
新
素
知
C．4
D．8
养
课
合 作
B [因为a>0，b>0，所以a＋b≥2 ab ＝2，当且仅当a＝b＝1时 时 分
素 养
合
a＋b 2
和几何平均数
ab ，猜测一般情况下两个正数的算术平均数与 课 时
作
分
探 几何平均数的大小．尝试用比较法加以证明．
层
究
作
释
业
疑
难
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北师大版高中数学必修《基本不等式 》教学 课件1
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课
情
堂
景
小
导
a
1
2
结
学
提
探
新
b
1
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素
知
养
合
a＋b 2
1
3
课 时
作
分
探
ab
1 22
层
究
作
释
业
疑
难
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4．应用基本不等式求最值 课
情 景 导 学
在运用基本不等式
ab ≤
a＋b 2
求最值时，要把握好三个要点
堂 小 结
提
探
新 “一正、二定、三相等”．
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不等式ab b a 222≥+的八种变式及应用
不等式ab b a 22
2
≥+是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的八种变式及应用
变式1：≤ab 2
2
2b a +（当且仅当b a =时，等号成立）
例1、若+∈R c b a ,,，且2=++c b a ，求证：1313+++b a 613<++c
证明：由2131131++≤
+⋅a a 得12
313+≤
+a
a 同理：12313+≤+
b b ，12
313+≤+c c 因此123131313+≤+++++a c b a 612
3123≤++++c b 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故6131313<+++++c b a 变式2：≤ab 2
)2
(
b a +（当且仅当b a =时，等号成立） 例2、若常数0>k ，对于任意非负实数b a ,都有222)(b a
c kab b a +≥++恒成立，求最大的常数c ；
解：（i ）当2≥k 时，
22222)(2b a ab b a kab b a +=++≥++ 当且仅当0=ab 时等号成立。
（ii ）当20<<k 时，
a a
b k b a kab b a ()2()(222≥--+=++222)(4
2)2)(
2()b a k
b a k b ++=+--+ 当且仅当b a =时等号成立。
由（i ）（ii ）知：)20(4
2)
2(1<<⎪⎩⎪
⎨⎧+≥=k k k c
变式3：)(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时，等号成立）
例3、设
22
3
≤≤x ，求证： 83153212<-+-++x x x 证明：由变式3得)31532(231532x x x x -+-≤-+-x 224-=
)22444(222412x x x x -++≤-++82142142=+≤+=x
上述第一个不等式中等号成立的条件为：]2,2
3[51831532∉=
⇒-=-x x x
故原不等式成立。
变式4：若0>b ，则
b a b a -≥22（当且仅当b a 21=时，等号成立）或b a b a 4
1
2-≥（当且仅当b a =时，等号成立）
例4、设+∈R c b a ,,，求证：
++
c
b b
a c
b a a
c ++≥
证明：由变式4得
b a b a -≥2，
c b c
b -≥2，a
c a
c -≥2
三式相加即得：
c b a a
c c
b b
a ++≥++
可
变式5：若,,+
∈R b a 则b
a b a +≥+4
11（当且仅当b a =时，等号成立）； 例5、设c b a ,,为非负实数，且3≤++c b a ，求证：
2
3111111≥+++++c b a 证明：由于
2
)1(4)1()1(421111111++++++≥++++++c b a c b a 28
16
51643424=≥+++=++++≥
c b a c b a
故
2
3111111≥+++++c b a 变式6：若0≠ab ，则2
22)11(2111b a b a +≥+（当且仅当b a =时，等号成立）
例6、当a x <<0时，不等式
2)(112
2≥-+x a x 恒成立，求a 的最大值 解：由
⋅≥-+≥-+21)11(21)(11222x a x x a x 2
2
8
)2
(421)(4a x a x x a x =-+⋅≥- 上述三个不等式中等号均在同一时刻x a x -=时成立 由2028
2≤<⇒≥a a
变式7：若R b a R n m ∈∈+
,,,，则n
m b a n b m a ++≥+2
22)(（当且仅当bm an =时等号成立）
例7、实数b a ,满足
23
)3(4)4(2
2=-+-b a ，求b a +的最大值与最小值
解：由变式7得 =23
4)7(3)3(4)4(2
22+-+≥-+-b a b a 因此14714≤-+≤-b a 即147147+≤+≤-b a
当且仅当)3(4)4(3-=-b a 、再结合条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=7144471433b a 及⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=71444714
33b a 时，分
别获得最小值与最大值；
变式8：)(3)(2222c b a c b a ++≤++， )(4)(22222d c b a d c b a +++≤+++，
……，一般地+≤+++21221()(a n a a a n )22n
n a a ++
例8、已知e d c b a ,,,,是满足8=++++e d c b a 且162
2222=++++e d c b a 的实
数，试求e 的最大值
解：由2222222)8()()(4)16(4e d c b a d c b a e -=+++≥+++=-
即⇒-≥-2
2)8()16(4e e 01652
≤-e e 得：5160≤
≤e ，即e 的最大值为5
16；。