泰勒中值定理在一类极限计算中的应用

２预备知识
引理１闭（泰勒中值定理）如果函数八茹）在含有知的某个开区间（口，ｂ）内具有直到ｎ＋ｌ阶的有界
导数，则对于Ｙｘ∈以（菇口），：６ｆ）（有ｘｏ：）＋厂，（知）（茗嘞）＋．．．＋掣（石嘣。）一＋Ｒ。（茗）
（１）
其中蹦扯等筹（菇嘞）此０【（糊）＂Ｅ（Ｘ０－－Ｘ）。
称（１）为以戈）按（ｘ－ｘｏ）的幂展开的ｎ阶泰勒公式。 由：Ｐｌｉｍｈ（ｔ）总能通过变量代换石＝ｔ－ｔｏ化为ｌｉｍｆ（ｘ）（其中八菇）＝ｈ（ｘ＋ｔｏ）），为了方便，我们只考虑
收稿日期：２００８－０８—２０ 基金项目：国家自然科学基金对外交流与合作项目（４０６４０４２００７２）． 作者简介：龚东山（１９６９一），男，湖北监利人。兰州大学数学与统计学院讲师，博士，研究方向：应用数学。
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．
万方数据
８ｉ眦暇ｏ，ｓｉ眦巾詈，ｓｉｒｕｃ－ｘ一詈＋击（ｘ－＂Ｏ时）等。可以肯定的是这些等价的无穷小在计算极限
吼≯是ｆ（ｘ）的等价无穷小的最佳替换。
定理３设厂（茗）和ｇ（茗）在ｘ＝０点的某个开区间（口，ｂ）内分别具有直到ｎ＋ｌ阶和ｍ＋ｌ的有界导数，
若华Ｏ（０≤ｉ＜Ｊ｝，ｋ∈【１，ｎ】）且啦≠Ｏ以及屯＝Ｏ（０勺司，ｌ∈【１，ｎ１）Ｒ ｂｌ≠Ｏ，则有：
ｆ∞， 后＜Ｚ
粤器＝悟拓ｚ
（４）
ｔｏ，ｋ＞ｌ
其中啦＝气盥（乩”一，ｎ），以＝《盟（『＝ｏ，１，…’ｍ）。
２００８年第１０卷第６期 总第９３期
巢湖学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈａｏｈｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｎｏ．６．，Ｖ０１．１０．２００８ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．９３
泰勒中值定理在一类极限计算中的应用
龚东山－ 刘岳巍ｔ 牛富俊２
（１兰州大学数学与统计学院，甘肃兰州７３００００） （２中国科学院寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室，甘肃兰州７３００００）
，ｌ枷ｉｍ器＝姆黼 证明：由定理Ｉ知／（菇）＝做矿＋Ｄ（矿）和ｇ＠）＝６ｌ∥＋ｏ（一），于是有：
分ｋ＜ｌ、ｋ－－Ｉ、ｋ＞ｌ三种情况讨论，容易得到：
ｆ∞， Ｊ｜｝ｄ
，ｌｉ卅ｍ错＝悟捌。
【０，ｋ＞１
定理３给出了一类未定式罟型如善等结构的极限计算公式（４），其中厂。）－ａｔ ｘｔ，ｇ。）～幻一。
注：在计算，ｌｉｒａ。≤笋或者ｒ帕ｌｉｍ吾等时，，＠）和ｇ＠）分男！表示整个分子与分母。
例３ ｌｌ枷ｉｒａ｛ｌ型—Ｃ兰ＯＳＺ一
解：石－－－ｏ，由ｃ。麟＝，一手＋手＋。（矿）和１～＝·＋古【－－ｆ－］＋击【－－ｆ－］ｚ＋ｏ（矿）
ｎ－－Ｊ＇矢ｌｌｆ（咖。鲋－ｅ．舌＝一吉∥＋Ｄ（九础）＝１＿ｃ。蹦＝等＋ｏ（妁，
于是有
ｌｉｍ
ｆ＿．Ｏ
一嚣 箬 一 蚜
一毒∥
！∽ ：—娶二＿：０。 一——；ｒ一一 。 Ｔ
ｘ－＇Ｏ的令情儡形：。掣（ｉ－－ｏ，ｌ，…，ｎ），则（１）变成：
以茗）＝ａｏ ４－ａｔｘ ４－…＋ｑ矿＋Ｄ（矿）
（２）
对于本文所讨论的ｌ＃ｉ卅ｍｇ』‘婴戈（Ｊ其中ｌｉｒ，ａ川以互）＝Ｊｉ，ｍ川八茗）＝ｏ）这类芸ｕ型未定式，当八茗）和ｇ（茗）在ｘ＝Ｏ
点的某个开区间内分别具有直到ｎ＋ｌ和ｍ＋ｌ阶的有界导数时，由引理１显然可得：ａｏ＝，（Ｏ）＝０和
当｜｜｝：ｍ时，ｌｉｍ』掣：ｌｉｍ』吐童？垒尘：矿；
当五＞ｍ时’ ’，ｌｌ— —ｌｏｏｉｍ』矿矿掣：ｌ＃ｌｉ卅枷ｍ』哇尘矿矿掣：０。证。 毕。～
定理２给出了一类未定式罟型如≤笋结构的极限计算公式（３），其中／（算）～嚷≯（菇一。时）。进
一步，若将ａｔ矿＋…＋ａｌ∥（后ｄ≤ｎ）作为／＠）的等价无穷小来代人，发现极限值不变。因此可以认定，
利用Ｔａｙｅｒ中值定理法、利用定积分定义法等［２１。在具体的计算过程中，往往还需要先观察函数的结构， 能化简时尽量先化简．再利用其中的一种方法或结合几种方法，使运算简捷。
对于一类未定式昙的计算，即使极限存在，也不能用“商的极限等于极限的商”的极限运算法则闭。
Ｕ
最常用的方法是运用洛必塔法则。洛必塔法则是指在一定的条件下通过分子分母分别求导再求极限来
ｋ∈【１，ｎ１）Ｒ啦≠Ｏ时，一定有：
其中，儡：掣（ｉ－－ｏ，１，…，ｎ） 以名）＝诹矿＋…＋ａｎ矿＋ｏ（矿）＝诹矿４－ｏ（矿），Ｖ戈∈（口，ｂ） ’ “
证明：由引理ｌ并结合题中条件有：
以戈）＝口芦＋…＋％矿＋Ｄ（矿）＝啦矿＋…％矿＋ｏ（ｘ４）
和
八戈）＝ａｔｘ ４－…＋啦矿＋Ｄ（矿）＝瓯≯＋ｏ（矿）
于是，以菇）＝诹矿．－Ｉ－％矿＋Ｄ（矿）＝陬矿＋Ｄ（矿）。证毕。
ｂｏ＝ｇ（０）＝０以及
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
、
八菇）＝ａｔｘ ４－…＋％矿＋ｏ（矿）和ｇ（茹）＝６乒＋…＋ｂ。矿＋ｏ（矿）。
其中，ｑ：号盟（ｉ－－ｏ’ｌ，…，ｎ），幻＝《盟㈣，１，…，ｍ）。
３泰勒中值定理在极限计算中应用的几个结果
定理ｌ设ｆ（ｘ）在ｘ＝Ｏ点的某个开区间（口，ｂ）内具有直到ｎ＋ｌ阶的有界导数，当ａｉ＝Ｏ（０≤ｉ＜后，
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｔａｙｌｏｒ ｍｅａｎ－ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｌｉｍｉｔ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ；ｂｅｓｔ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ
责任编辑：陈风
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万方数据
泰勒中值定理在一类极限计算中的应用
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
龚东山， 刘岳巍， 牛富俊， GONG Dong-shan， LIU Yue-wei， NIU Fu-jun 龚东山,刘岳巍,GONG Dong-shan,LIU Yue-wei(兰州大学数学与统计学院,甘肃,兰州 ,730000)， 牛富俊,NIU Fu-jun(中国科学院寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点 实验室,甘肃,兰州,730000)
定理１的结果表明：当八菇）满足泰勒中值定理条件且ｌｉｍ八茗）＝Ｏ时有以菇）一砚矿（茗一０时）。在极
限计算中可将ａｔ矿作为以茗）的替换而不改变极限值。
定理２设ｆ（ｘ）在ｘ＝Ｏ点的某个开区间（口，ｂ）内具有直到ｎ＋ｌ阶有界导数，若棚（０≤ｉ＜Ｊ｝，ｋ“１，ｎ】）
且仉≠ｏ，则有：当乃＜ｍ时，ｌｉｍ』皇生＝∞；当，ｌ≥ｍ时，
Ｌｎ们［１＇
ＧＯＮＧ Ｄｏｎｇ－ｓｈａｎｌ ＬＩＵ Ｙｕｅ—ｗｅｉｌ
ＮＩＵ Ｆｕ－ｊｕｎ２
（１ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｉ．ｄｌｎｚＩＩｏｕ Ｇａｎｓｕ ７３００００）
Ｋｅｙ‰ｒａｔｏｒｙ （２ Ｓｔａｔｅ
ｏｆ Ｆｒｏｚｅｎ Ｓｏｉｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｏｌｄ ａｎｄ Ａｒｉｄ Ｒｅｇｉｏｎｓ Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ
泰勒公式是高等数学中的一个重要公式.在此介绍泰勒中值定理在四方面的应用:证明不等式;证明积分等式;求函数的极限;求函数的麦克劳林展开式 .
对泰勒中值定理教科书上介绍其应用的不多.根据多年的教学经验,在此介绍了泰勒中值定理在4方面的应用,即在证明不等式、函数极限运算、定积 分计算及金融数学债券定价.其中泰勒公式金融数学债券定价中的应用是全新的.
2.期刊论文 傅秋桃.FU Qiu-tao 谈谈泰勒公式的几点应用 -郧阳师范高等专科学校学报2006,26(3)
确定未定式值的方法。一般情况下，洛必塔法则是求未定式芸的一种有效方法，但在实际问题的处理
Ｕ
中，有时会出现分子或分母的导数形式比求导前更复杂，以致于洛必塔法则不能直接使用的情形，如
ｌｉｍ竺牛一￡２。
棚茗
对于这类问题。可采用等价无穷小替换法来解决。但问题是一个无穷小可有多个等价的无穷小，替
换时选用不同的等价无穷小会得到不同的结果，这与极限的唯一性矛盾。如ｌｉｍ竺孚，显然ｓｉｎｘ。ｘ，
中若要替换ｓｉｎｘ（舻－＋Ｏ时），至多有一个是正确的。于是就提出两个新问题：在极限计算中，选择怎样的 等价无穷小来替换是合适的？其理论依据是什么？
为了得到＾ｌｇｉｍ～』ｘ兴Ｊ （其中ｌ＾ｉｍ以石）＝ｌ＾ｉｍ
ｇ（戈）＝ｏ）这类芸型未定式的值，本文试图运用泰勒中值定 ｕ
理来予以解决，并从理论上回答上述问题。
摘 要：运用洛必塔法则和等价无穷小替换是计算未定武０／０值的两种常用方法，但在实际 问题的处理中，常常遇到不能直接使用洛必塔法则和等价无穷小需要选择的情形。可运用泰 勒中值定理，找到最佳替换的等价无穷小，从而弥补了上述两种常用方法的不足，并从理论 上给与了解释。 关键词：泰勒中值定理；极限；等价无穷小；最佳替换 中图分类号：０１７２．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—２８６８（２００８）０６－０１４８—０４
、
１引言
高等数学是以函数为对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门学科，换句话说， 高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论【ｌ】。由于极限贯穿于整个高等数学，故极限的计算就 显得尤为重要。具体计算方法包括：定义证明法、极限运算法则、利用两个重要极限法、利用判定极限存
在的两个准则法、利用等价无穷小替换法、利用函数的连续性法、利用导数求极限法一洛必塔法则、
加。这验证了ａｔ≯作为厂０）的等价无穷小是最佳替换。
２
例２ 姆 棚 型茗笋。 Ｌ
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解：石一。时，由ｃ。麟＝１一手＋等＋。（∥）和１一手＝ｌ＋手【一－ｆ－］＋矿１【一－ｆ－｝ｚ＋ｏ（∥）
：蚜掣１ ：姆享：一古。 ｆ
可知厂（ｚ）＝ｃ。蹦一ｅ－Ｔ＝一古矿＋。（∥），于是有：
ｌｉｍ
ｒ＿．０
矿
２
＃—’Ｕ
丑
ｆ∞，ｋ＜ｍ
；Ｊ卅ｉｍ‘笋＝｛∥，．｜｝＝ｍ，其中ｑ＝』孚堕（ｉ＝ｏ，ｌ，…，ｎ）
（３）
【０，ｋ＞ｍ
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证明：由定理１知厂（石）＝吼矿＋。（矿），于是，ｌ－＋ｉｒａ。≤笋＝姆』吐半（ｊ｝∈【１，ｎ】）。