2017年高考数学试题分项版解析几何解析版

2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版）

一、选择题

1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2

－y 2

3

＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x

轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32

1．【答案】D

【解析】因为F 是双曲线

C ：x 2－

y 2

3

＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P

3＝1，解得y P ＝±3，

所以P (2，±3)，|PF |＝3.

又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.

故选D.

2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2

m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满

足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)

2．【答案】A

【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．

故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x

|y |1－3＋x |y |·

3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3.

又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2

＝3－3y 2

m ，

则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m

)y

2＝－ 3.

解得|y |＝2m

3－m

.

又0＜|y |≤m ，即0＜2m

3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.

对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.

方法二 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3

m ≥3， 解得0＜m ≤1.

当m ＞3时，焦点在y 轴上，

要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m

3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.

3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(2，2)

C ．(1，2)

D ．(1,2)

3．【答案】C

【解析】由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .

∴e 2＝

a 2＋1a 2＝1＋1

a 2

. ∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1

a 2＜2，

∴1＜e ＜ 2. 故选C.

4．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )

A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3 4．【答案】C

【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．

联立得方程组⎩⎨⎧

y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，

解得⎩⎨⎧

x ＝13

，y ＝－23

3

或⎩⎨⎧

x ＝3，y ＝2 3.

∵点M 在x 轴的上方，

∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，

∴N (－1,23)．

∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.

∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C.

5．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线

段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( ) A ．

63 B ．33 C ．23 D ．13

5．【答案】A

【解析】由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab

a 2＋b

2

＝a ，解得a ＝3

b ， ∴b a ＝13

，

∴e ＝c

a ＝a 2－

b 2a ＝

1－⎝⎛⎭⎫b a 2

＝

1－⎝⎛

⎭⎫132＝6

3

. 6．(2017·天津文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线

上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 2

12＝1

B ．x 212－y 2

4＝1

C ．x 23－y 2

＝1

D ．x 2－

y 2

3

＝1 6．【答案】D

【解析】根据题意画出草图如图所示⎝

⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b

a x 上.

由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴b

a ＝tan 60°＝ 3.

又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－

y 2

3

＝1. 故选D.

7．(2017·浙江，2)椭圆x 29＋y 2

4＝1的离心率是( )

A ．

133

B ．

53

C ．23

D ．59

7．【答案】B

【解析】∵椭圆方程为x 29＋y 2

4＝1，

∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53.

故选B.

8．(2017·全国Ⅰ理，10)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )