莫比乌斯带初探

莫比乌斯带初探

江苏省泰州市朱庄中学曹开清（225300）莫比乌斯带是一种拓扑学结构，它和普通的圆柱面不一样，是一个只有一个表面和一条边界的曲面，以发现者德国数学家、天文学家莫比乌斯(August Ferdinand Möbius，1790～1868)的名字来命名。

莫比乌斯带可以这样得到：取一张长方形纸条，把一条短边扭转半圈(180度)，然后把这边与对边接合起来，这样得到的曲面就是“莫比乌斯带”。

相传，有一次，莫比乌斯在海滨度假。到了晚上，苍蝇太多，使他难以入睡。于是他把黏蝇纸扭转半圈，然后把两端粘到一起，形成一个纸环。再把这样的纸环掛在假期别墅的椽头上。他临时制作的捕捉苍蝇的纸带很管用,他睡觉没有再受苍蝇的干扰。早晨醒来，他的目光落在那个纸环上，惊讶地发现这条纸只有一个表面，并且只有一条边界。著名的莫比乌斯带于是诞生了。

用一支铅笔沿着莫比乌斯带表面的中线划线，如果笔不离纸，也能通过整个曲面回到原来的出发点，这说明莫比乌斯带只有一个表面。在莫比乌斯带的边缘上作一个V形的缺口，然后从这一点开始用手指沿着边缘移动。如果你手没有离纸，而能通过整个边缘回到原来V 形缺口处，那就说明它只有一条边界。

如果沿着中线剪开一个莫比乌斯带，你就会惊奇地发现，纸带不是一分为二，而是得到

一个两倍长的纸环，而且这个环相当于把纸带的端头两次扭转半圈后连接起来的双侧面环！再把刚才得到的那个纸环沿中线剪开，这回可真的一分为二了！

如果把莫比乌斯带的纸面宽3等分，并沿着3等分线剪开，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是两次扭转半圈后接合起来的双侧面环。

如果把莫比乌斯带的纸面宽4等分，并沿着4等分线剪开，会得到两个更窄一些的两次扭转半圈后连接起来的双侧面环。

一般地，如果把莫比乌斯带的纸面宽n等分，并沿着n等分线剪开，将会得到：当n

为偶数时，得到n/2个双侧面环；当n为奇数时，得到(n-1)/2 个双侧面环和一个莫比乌斯带。

另外，将纸条多次扭转半圈的奇数倍后连接端头，接合后的图形，它们都是单侧的曲面。如果再沿着中线剪开都会得到一个缠绕在一起的环。例如，三次扭转半圈后的带子再沿着中线剪开后会形成一个三叶扭结。

取两张相同的长方形纸条，并将它们叠在一起同时扭转半圈，然后将相应的端头粘接在一起，这就做成了一个“双层”的莫比乌斯带。这实际上是两条紧贴在一起的莫比乌斯带吗？

——并非紧贴在一起的“双层”莫比乌斯带！当该模型松开后，你会发现这是一个扭转了四个半圈的环，它与沿着中线剪开一个莫比乌斯带后得到的图形是拓扑等价的。

取三张相同的长方形纸条，并将它们叠在一起同时扭转半圈，然后将相应的端头粘接在一起，这就做成了一个“三层”的莫比乌斯带。当该模型松开时，你会得到两个环，一个是

窄一些的莫比乌斯带，另一个则是两次扭转半圈后接合起来的双侧面环。它与把莫比乌斯带的纸面宽3等分，并沿着3等分线剪开后得到的图形是拓扑等价的。

如果是4层，5层，……，n层的呢？大家不妨先猜猜，然后动手试试，再观察各个结果，看看有什么规律?

此外，一些在普通曲面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决！如“手套易位问题”：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去，也不可能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。现在我们再来做一个游戏：把“人”字沿莫比乌斯带走一圈会变成什么字？同样会惊奇发现，“人”字变成了“入”字。

莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。