长沙市南雅中学新高一入学考试数学模拟试卷
湖南长沙2024年新高一入学分班考数学模拟练习及答案
高一入学暨分班检测模拟试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.1. 已知 aa 是 √13 的小数部分,则 aa (aa +6) 的值为A. √13B. 4C. 4−√13D. 3√13−62. 如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍, 那么这个多边形的边数为A. 6B. 8C. 9D. 103.已知点()3,2P a a −−在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.4.如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（ ）A.4个B.5个C.6个D.7个 5.122022,,x x x …是2022个由1和1−组成的数，122022.202x x x ++…+=，则()()()22212202211.1x x x −+−+…+−=（ ） A.2021 B.4042 C.3640 D.4842 6.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（ ）的A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如果不等式组�4xx −aa ≥03xx −bb <0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的组合情况(aa ,bb )共有（ ）种．A ．12B ．7C ．9D ．168.定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx ++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =−+，则t 的取值范围为（ ）A.20182019t ≤≤B.20192020t ≤≤C.20202021t ≤≤D.20212022t ≤≤二､填空题：本题共44分，共16分.9. 设点 PP (xx ,yy ) 在第二象限内,且 |xx |=3,|yy |=2 ,则点 PP 关于原点的对称点为___.10.若关于 xx 的分式方程 xx xx−2+2mm 2−xx =2mm 无解,则m 的值为___________. 11.正比例函数12y x =−与反比例函数2k y x=的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.12.如图，ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =−+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =−过点P .（1）求a 的值；（2）点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A ′的坐标为(),x y −−，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.14.如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角△BCD 的外接圆，连结CO 并延长交AB 于点E ．（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠DCE ；（2）如图2，作BF ⊥AC ，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知∠ABD ＝∠CBF ．①求证：EB ＝EG ；②若CE ＝5，AC ＝8，求FG +FB 的值．15.）如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1），△ABD 不动．（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．16.在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m −−−>与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.（1）求m 的值；（2）将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l ′，设点P Q ､是抛物线l ′上在第一象限内不同的两点，射线PO QO ､分别交直线2y =−于点P Q ′′､，设P Q ′′､的横坐标分别为P Q x x ′′､，且4P Q x x ′′⋅=，求证：直线PQ 经过定点.常考答案一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 【答案】：B2 【答案】D.3. 【答案】C4. 【答案】B5 【答案】C6. 【答案】B7 【答案】A ．8. 【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.【答案】(3,-2)10.【答案】m 的值为1或1/211.【答案】{1x x <−或}01x <<12.【答案】4.8三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.【答案】（1）3（2）1313,,,2222M N −− ，32PMN S = 【解析】 【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值；（2）由题意设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.【小问1详解】对于直线1:1l y x =−+，当0y =时，1x =， 所以()1,0P因为直线2:3l y ax =−过点()1,0P ， 所以03a =−，得3a =，【小问2详解】由3a =得，2:33l y x =− 设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−.又(),1N x x −−在2:33l y x =−上， 所以133x x −=−−，解得12x =−， 则1313,,,2222M N −−所以1313322222PMNS OP OP =⋅+⋅= . 14.【答案】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；②作EM ⊥BE ，EN ⊥AC ，证明四边形EMFN 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）解：如图，连结OD ，∵∠DOC ＝2∠DBC ＝2α，又∵OD ＝OC ，∴∠DCE＝90°﹣α；（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG；②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，∵BF⊥AC∴∠A＝90°﹣α，∴AE＝CE＝5，∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3，∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3，∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．15.【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM ＝∠BAD ，然后求出∠MBC ＝∠BCM ，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM 交CE 于F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得MB ＝MF ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM ，由已知得△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE ，∴∠MAD ﹣∠BAD ＝∠MAE ﹣∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中，�AAAA =AAAA ∠AAAABB =∠AAAABB AABB =AABB ，∴△ABM ≌△ACM （SAS ），∴MB ＝MC ；（2）MB ＝MC ．理由如下：如图3，延长DB 、AE 相交于E ′，延长EC 交AD 于F ，∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点，∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ，∴∠BCM ＝∠BAD ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠MBC ＝∠BCM ，∴MB ＝MC ；解法二：如图3中，延长CM 交BD 于点T ．∵EC ∥DT ，∴∠CEM ＝∠TDM ，在△ECM 和△DTM 中，�∠AACCBB =∠TTTTBB CCBB =TTBB ∠CCBBAA =∠TTBBTT ， ∴△ECM ≌△DTM （ASA ），∴CM ＝MT ，∵∠CBT ＝90°，∴BM ＝CM ＝MT ．（3）MB ＝MC 还成立．如图4，延长BM 交CE 于F ，∵CE ∥BD ，∴∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点，∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中，�∠BBTTAA =∠BBCCMM ∠BBAATT =∠BBMMCC BBTT =BBCC，∴△MDB ≌△MEF （AAS ），∴MB ＝MF ，∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°，∴MB ＝MC ．16.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =−可得点Q P ′′､横坐标，由4P Q x x ′′⋅=可得()1212230x x x x −++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立之后可得122x x m +=+，12x x n =−，代入()1212230x x x x −++=求得21n m =−−，继而求出答案【小问1详解】解：依题意得：22()2y x m m m =−−−−， ∴抛物线的对称轴为直线x m =，ON m m ∴==，在222y x mx m −−−中，令0x =，则2y m =−−， ()0,2C m ∴−−，22OC m m ∴=−−=+， 3OC ON = ，23m m ∴+=，解得1m =；【小问2详解】将1m =代入抛物线l 得223y x x =−−， 如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x ′=−， 点P Q ､是拋物线l ′上在第一象限内不同的两点，∴设点()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−， 由()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =−=− 点P Q ′′､在直线2y =−上，∴点1222,2,,222P Q x x −−−−′′ −−， 4p Q x x ′′⋅=1222422x x −−∴⋅=−−，即()()12221x x −−=， 整理得()1212230x x x x −++=， 设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立得： 222,2,y x x x x mx n y mx n =−−=+ =+ ， 整理得()220x m x n −+−=， 由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=+=−， ()1212230x x x x −++= ，()2230n m ∴−−++=， 21n m ∴=−−，∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =−−=−−， ∴当2x =时，1y =−，∴直线PQ 经过定点()2,1−。
南雅中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题(答案)
南雅中学高一入学考试参考答案一、基础填空题（每小题5分，共计60分）1、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．A ．B ．C ．D ．答案：D2()201222021π82cos 45tan 452⎛⎫--+-+︒+︒ ⎪⎝⎭=________．答案：1543、将抛物线22y x =向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为________．答案：()2241y x =+-（或221633y x x =++）4、若关于x 的一元二次方程()222340m x x m -++-=有一个根为0，则实数m =________．答案：2-5、在半径为40cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，点P 为圆上一动点，则P 到AB 的距离的最大值为cm ．答案：40203+6、如图，在ABC ∆中AC BC =，点D 和E 分别在线段AB 和线段AC 上，且AD AE =，连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若46C ∠=︒，则GAD ∠的度数为______________答案：56.5︒7、设()f n ＝－3n 2＋8n －1，其中n 为整数，则(n)f 的最大值是________．答案：48、设实数,a b 满足：223,4a b a b +=+=，则2222a b b a +=--________．答案：79、估计1e e ππ⋅+ 2.718e ≈）的值应在________．A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间答案：C 10、锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，则B ∠的大小范围是________．答案：3045B ︒<<︒11、若方程()2100x px p ++=>的两根之差为1，则p =________．答案：512、已知2x =-，则()()2311x x x x +-+-=________．答案：15-二、提升填空题（每小题3分，共计24分）13、写出一个满足方程116218821x x x x +-++-+的解，x =________．答案：714x ≤≤范围内任何一个数都行14、,x y 均为正整数，且x y <，则满足方程5x y xy ++=的有序实数对(),x y 有________个？答案：215、设152a -+=，则543221a a a a a +++-+=________．答案：152a =16、如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b 为实数)且f (1)＝2，则(3)(5)(2019)(2021)=(4)(6)(2020)(2022)f f f f f f f f ++++ ________．答案：50517、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A （-1,0）、B （-3,1）、C （-2,3）现将△ABC 绕点A 顺时针．．．旋转90°后得到△11AB C ，然后将△11AB C 绕点1B 逆时针．．．旋转90°后得到△112A B C ，然后将△112A B C 绕点2C 顺时针．．．旋转90°后得到△222A B C ，则此时点2A 的坐标为________．答案：()23-，第17题图第18题图18、图中由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成标号分别为1,2,3,4,5的五个封闭区域，如果区域1的面积等于上下两块区域2和3的面积之和，则这两圆的圆心距为________．答案：219、张阿姨家里有两个小孩，已知其中有一个女孩，那另一个也是女孩的概率是________．答案：1320、m 位九年级的同学一起参加围棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此比赛一场。
2025届长沙市南雅中学高考考前模拟数学试题含解析
2025届长沙市南雅中学高考考前模拟数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B．3C．2D．23．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，4．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-5．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >6．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ）A ．14B ．15 C ．13 D ．18 7．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 8．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则AB 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<<9．若()12nx -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B．4C．5D ．1511．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．612．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南长沙南雅中学高一下学期入学考试数学试题 含答案
长沙市南雅中学2020年上学期入学考试试卷高 一 数 学时量：120分钟 总分：150分 命题人玉 审题人：一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合{}1,0,1A =−，{}|11B x x =−≤<，则A B = () A ．{}1,0 B ．{}1,0− C ．{}0D ．{}1,0,1−2．命题“存在实数x ，使1x >”的否定形式是()A ．对任意实数x ，都有1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，都有1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤3．设1,(0)()cos 2,(0)x x f x x x π+≤⎧=⎨<<⎩，则()3f π的值是()A ．12−B ．12C ．3−D ．23−4．ABC ∆中，若()()sin cos cos sin 1A B B A B B −+−≥，则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或钝角三角形5．如果点(sin ,2cos )P θθ位于第二象限，那么角θ所在象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．已知13212112,log ,log 33a b c −===，则（ ）（A ）a b c>>（B ）a c b >>（C ）c a b>>（D ）c b a>>7.如果33log log 4m n +=，那么m n +的最小值为()A ．4B ．3C ．9D ．188． 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象()A ．关于直线3x π=对称 B ．关于点(,0)3π对称C ．关于直线6x π=−对称 D ．关于点(,0)6π对称9．函数232sin 12y x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭是( ) A. 最小正周期为2π的奇函数 B. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数10．已知,,O A B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0,OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →11．已知函数1()lg ()2xf x x =−有两个零点21,x x ，则有（ ）A. 021<x xB. 121=x xC. 121>x xD. 1021<<x x12．函数5log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有( )A ．7对B ．5对C ．3对D ．1对二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡中的对应题号后的横线上．13．cos300= 。
2023-2024学年湖南省长沙市雨花区南雅中学数学高一上期末统考模拟试题含解析
4
5
4 13
∴ (3 , 2 ) ， ( ， 3 ) ，
5
cos 1 sin 1 cos2 2 2 ，
3
3
∴ sin sin 2 sin 2 cos cos 2 sin
11 2 6 2 2 18 3
53 5 3
15
故选：A. 9、B 【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合 B ，利用并集的定义求解即可. 【详解】由一元二次方程的解法化简集合，
,
2 ex 1
3 2
,
x x
0 0
（1）求函数 f (x) 的零点；
（2）若实数 t
满足
f
(log2
t)
f
(log2
1) t
2
f
(2)
，求 t
的取值范围.
21．解答题
（1） lg12.5 lg 5 lg 0.5 ； 8
（2）lg20+log10025
22．已知
f
cos
2
sin
sin
【详解】设 x1
x2
0,
f
(x1)
f
(x2 )
( x1
x2 )
f
(x1) f (x2 ) x1 x2
0，
f (x) 在[0, ) 增函数，
函数 f (x) 的图象是由 f (x 2)的图象向右平移 2 个单位得到，
为 且函数 f x2的图像关于直线x2对称，
所以 f (x) 的图象关于 y 轴对称，即 f (x) 为偶函数，
故选：A. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意根据解析式发现函数为奇函数 及特殊点函数值的正负. 12、B 【解析】中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，
长沙市南雅中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题(原卷)
长沙市南雅中学高三年级2023年下学期入学检测数 学时量：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 是方程2220x x -+=的一个根，则z =（ ）A ．1B C D ．22．集合{}10U x x x *=≤∈N 且，A U ⊆，B U ⊆，且A B ={4，5}，()U B A =ð{1，2，3}，()()U UAB =痧{6，7，8}，则B =（ ）A ．{4，5，6，7}B ．{4，5，6，9}C ．{4，5，9，10}D ．{4，5，6，9，10}3．已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．sin 2x π⎛⎫⎪⎝⎭B ．cos 2x π⎛⎫⎪⎝⎭C ．sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．cos 4x π⎛⎫⎪⎝⎭4．椭圆222211x y m m+=+（0m >）的焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，若∠F 1AF 2=3π，则m=（ ）A ．1B C D ．25．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（ ）（0.301lg 2≈，0.477lg3≈） A ．10117万年B ．10118万年C ．10119万年D ．10200万年6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则40S =（ ） A ．60 B ．70 C ．80 D ．1507．某学校有男生600人，女生400人．为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为n 的样本．经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20．结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（ ） A ．96 B ．110 C ．112 D ．1288．过直线40x y +-=上一点向圆O ：221x y +=作两条切线，设两切线所成的最大角为α，则sin α=（ ）A ．9B ．9C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷
湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4解析：（a2）3÷（a2）2＝a6÷a4＝a2．故选：B．2．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．16B．14C．38D．58解析：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是616=38，所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于38．故选：C．3．已知m、n是方程x2+2√2x+1＝0的两根，则代数式2+n2+3mn的值为（）A．9B．±3C．3D．5解析：∵m、n是方程x2+2√2x+1＝0的两根，∴m+n＝﹣2√2，mn＝1，∴√m2+n2+3mn=√(m+n)2+mn=√(−2√2)2+1=√9=3．故选：C．4．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b 所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①解析：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故选：D．5．如果a+1b =1，b+2c=1，那么c+2a等于（）A．1B．2C．3D．4解析：由已知得1b =1﹣a，b＝1−2c，两式相乘，得（1﹣a）（1−2c）＝1，展开，得1−2c −a+2ac=1去分母，得ac+2＝2a两边同除以a ，得c +2a =2． 故选：B ．6．若关于x 的方程1x−1−a2−x =2(a+1)(x−1)(x−2)无解，则a 的值为（ ） A ．−32或﹣2 B ．−32或﹣1 C ．−32或﹣2或﹣1D ．﹣2或﹣1解析：去分母得：x ﹣2+a （x ﹣1）＝2a +2．整理得：（a +1）x ＝3a +4． 当a +1＝0时，解得：a ＝﹣1，此时分式方程无解； 当a +1≠0时，x =3a+4a+1．当x ＝1时，3a+4a+1=1．解得：a =−32，此时分式方程无解； 当x ＝2时，3a+4a+1=2，解得：a ＝﹣2，此时分式方程无解． 故选：C ．7．已知a =√2−1，b =2√2−√6，c =√6−2，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵a ﹣b =√2−1﹣（2√2−√6）=√6−（1+√2）≈2.449﹣2.414＞0， ∴a ＞b ；∵a ﹣c =√2−1﹣（√6−2）=√2+1−√6≈2.414﹣2.449＜0，∴a ＜c ；于是b ＜a ＜c ， 故选：B ．8．已知，在面积为7的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝4，P 为边AD 上不与A 、D 重合的一动点，Q 是边BC 上的任意一点，连结AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F ．则△PEF 面积的最大值是（ ）A ．32B ．38C ．14D ．34解析：设PD ＝x ，S △PEF ＝y ，S △AQD ＝z ，梯形ABCD 的高为h ， ∵AD ＝3，BC ＝4，梯形ABCD 面积为7， ∴{z =12×3×ℎ7=12×(3+4)ℎ，解得：{ℎ=2z =3， ∵PE ∥DQ ，∴∠PEF ＝∠QFE ，∠EPF ＝∠PFD ， 又∵PF ∥AQ ，∴∠PFD ＝∠EQF ，∴∠EPF ＝∠EQF ， ∵EF ＝FE ，∴△PEF ≌△QFE （AAS ）， ∵PE ∥DQ ，∴△AEP ∽△AQD ， 同理，△DPF ∽△DAQ ，∴S △AEP S △AQD=（3−x 3）2，S △DPF S △DAQ=（x3）2，∵S △AQD ＝3，∴S △DPF =13x 2，S △APE =13（3﹣x ）2， ∴S △PEF ＝（S △AQD ﹣S △DPF ﹣S △APE ）÷2， ∴y ＝[3−13x 2−13（3﹣x ）2]×12=−13x 2+x ， ∵y 最大值=0−124×(−13)=34，即y 最大值=34．∴△PEF 面积最大值是34，故选：D ．9．计算：2√48÷√6−√2−1= 2√2−2 ．解析：原式＝2√48÷6−2（√2+1）＝4√2−2√2−2＝2√2−2． 故答案为2√2−2．10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3．按此规定[7−√13]的值为3．解析：∵9＜13＜16，∴3＜√13＜4．∴﹣3＞√13＞−4．∴4＞7−√13＞3．故[7−√13]的值为3．故答案为：3．11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作c tanα，即c tanα=角α的邻边角α的对边=ACBC，根据上述角的余切概念，则c tan30°＝√3．解析：c tan30°=√3，故答案为：√3．12．如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2=kx的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4．解析：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．13．已知关于x 的不等式组{x −n ≥0x −m ＜0的整数解仅为1，2，3，若m ，n 为整数，则代数式1+n−mm−2n÷m 2−n 2m −4mn+4n 的值是 35 ． 解析：不等式整理得：{x ≥nx ＜m，即n ≤x ＜m ，由不等式组的整数解仅有1，2，3，得到m ＝4，n ＝1， 则原式＝1−m−nm−2n •(m−2n)2(m+n)(m−n)=1−m−2n m+n=m+n−m+2nm+n=3nm+n ，当m ＝4，n ＝1时，原式=35． 故答案为：35．14．若一次函数y ＝kx +b ，当﹣3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则一次函数的解析式为 y ＝2x +7或y ＝﹣2x +3 ．解析：（Ⅰ）当k ＞0时，{−3k +b =1k +b =9，解得：{k =2b =7，此时y ＝2x +7，（Ⅱ）当k ＜0时，{−3k +b =9k +b =1，解得：{k =−2b =3，此时y ＝﹣2x +3，综上，所求的函数解析式为：y ＝2x +7或y ＝﹣2x +3．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A ，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A 的横坐标仍是整数，则移动后点A 的坐标为 （﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3） ．解析：如图所示：A 1（﹣1，1），A 2（﹣2，﹣2），A 3（0，2），A 4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（不是四边形，舍去），故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．16．在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB ＝∠MBC ，则tan ∠ABM ＝ 13 ．解析：如图：延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则OT ⊥BM ， ∵∠ABM +∠MBT ＝90°，∠OTB +∠MBT ＝90°， ∴∠ABM ＝∠OTB ，则△BAM ∽△TOB ， ∴AMOB =MBBT，即AM MB =OBBT，即MB 2＝2AM •BT ① 令DN ＝1，CT ＝MD ＝K ，则：AM ＝2﹣K ，BM =√4+(2−K)2，BT ＝2+K ， 代入①中得：4+（2﹣K ）2＝2（2﹣K ）（2+K ），解方程得：K 1＝0（舍去），K 2=43．∴AM ＝2−43=23．tan ∠ABM =AM AB=232=13．故答案是：13．17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W 与x 的函数关系式；求出所有的购买方案．解析：（1）设每张两人学习桌单价为a 元和每张三人学习桌单价为b 元，根据题意得出： {3a +b =2202a +3b =310，得：{a =50b =70，答：两人学习桌和三人学习桌单价分别为50元，70元 （2）设购买两人学习桌x 张，则购买3人学习桌（98﹣x ）张， 购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，则W 与x 的函数关系式为：W ＝50x +70（98﹣x ）＝﹣20x +6860；根据题意得出：{50x +70(98−x)≤60002x +3(98−x)≥248，由50x +70（98﹣x ）≤6000，解得：x ≥43，由2x +3（98﹣x ）≥248，解得：x ≤46，故不等式组的解集为：43≤x ≤46， 故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张， 当购买两人桌44张时，购买三人桌54张， 当购买两人桌45张时，购买三人桌53张， 当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．18．设a ，b 是任意两个不等实数，规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值． （1）函数y ＝﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，5]上的最小值是 ﹣7 （2）求函数y =(x +12)2+34在区间[0，32]上的最小值．（3）求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式． 解析：（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣2对称轴为x ＝2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下 函数图大致象如图1所示：当x ＝5时，函数有最小值，最小值为﹣7．故答案为：﹣7．（2）y =(x +12)2+34，其对称轴为直线x =−12，顶点坐标(−12，34)，且图象开口向上． 其顶点横坐标不在区间[0，32]内，如图2所示．当x ＝0时，函数y 有最小值y min =1． （3）将二次函数配方得：y ＝x 2﹣4x ﹣4＝（x ﹣2）2﹣8 其对称轴为直线：x ＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上 若顶点横坐标在区间[t ﹣2，t ﹣1]左侧，则2＜t ﹣2，即t ＞4． 当x ＝t ﹣2时，函数取得最小值：y min =(t −4)2−8=t 2−8t +8 若顶点横坐标在区间[t ﹣2，t ﹣1]上，则t ﹣2≤2≤t ﹣1，即3≤t ≤4． 当x ＝2时，函数取得最小值：y min ＝﹣8若顶点横坐标在区间[t ﹣2，t ﹣1]右侧，则t ﹣1＜2，即t ＜3． 当x ＝t ﹣1时，函数取得最小值：y min =(t −3)2−8=t 2−6t +1综上讨论，得y min={t 2−8t +8(t ＞4)−8(3≤t ≤4)t 2−6t +1(t ＜3)．19．如图，P 为等边△ABC 内一点，P A 、PB 、PC 的长为正整数，且P A 2+PB 2＝PC 2，设P A ＝m ，n 为大于5的实数，满m 2n +30m +9n ≤5m 2+6mn +45，求△ABC 的面积．解析：m 2n +30m +9n ≤5m 2+6mn +45， ∴分解因式得：（n ﹣5）（m ﹣3）2≤0，∵n 为大于5的实数，∴m ﹣3＝0，∵即：P A ＝m ＝3，∵P A 2+PB 2＝PC 2，P A 、PB 、PC 的长为正整数，∴PB ＝4，PC ＝5， 设∠P AB ＝Q ，等边三角形的边长是a ，则∠P AC ＝60°﹣Q ， 由余弦定理得：cos Q =AB 2+PA 2−BP 22AB⋅PA=a 2−76a，（1）cos （60°﹣Q ）=PA 2+AC 2−PC 22PA⋅AC=a 2−166a，（2）而cos （60°﹣Q ）＝cos60°cos Q ﹣sin60°sin Q ，=cosQ 2−√3sinQ 2=a 2−166a，（3）将（1）代入（3）得：12(a 2−7)6a−√3sinQ2=a 2−166a，解得：sin Q =26√3asin Q ）2+（cos Q ）2＝1，∴(26√3a)2+(a 2−76a)2=1，令a 2＝t ，∴(25−t)2108t+(t−7)236t=1，解得：t 1＝25+12√3，t 2＝25﹣12√3，由（1）知a ＞0，cos Q ＞0，即a 2−76a＞0，a 2＞7，∴t 2＝25﹣12√3＜7，不合题意舍去，∴t ＝25+12√3，即a 2＝25﹣12√3， 过A 作AD ⊥BC 于D ，∵等边△ABC ，∴BD ＝CD =12a ， 由勾股定理得：AD =√32a ，∴S △ABC =12•a •√32a =√34a 2=9+254√3．答：△ABC 的面积是9+254√3．20．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2，BC ＝6，AB ＝3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFC 为正方形B ′EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B ′EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B ′D ，B ′M ，DM ，是否存在这样的t ，使△B ′DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B ′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．解析：（1）如图①，设正方形BEFG 的边长为x ， 则BE ＝FG ＝BG ＝x ，∵AB ＝3，BC ＝6，∴AG ＝AB ﹣BG ＝3﹣x ， ∵GF ∥BE ，∴△AGF ∽△ABC ， ∴AGAB =GFBC ，即3−x 3=x6，解得：x ＝2，即BE ＝2；（2）存在满足条件的t ，理由：如图②，过点D 作DH ⊥BC 于H ，则BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝3， 由题意得：BB ′＝HE ＝t ，HB ′＝|t ﹣2|，EC ＝4﹣t ， ∵EF ∥AB ，∴△MEC ∽△ABC ，∴MEAB =ECBC ，即ME 3=4−t 6，∴ME ＝2−12t ，在Rt △B ′ME 中，B ′M 2＝ME 2+B ′E 2＝22+（2−12t ）2=14t 2﹣2t +8， 在Rt △DHB ′中，B ′D 2＝DH 2+B ′H 2＝32+（t ﹣2）2＝t 2﹣4t +13，过点M 作MN ⊥DH 于N ，则MN ＝HE ＝t ，NH ＝ME ＝2−12t ， ∴DN ＝DH ﹣NH ＝3﹣（2−12t ）=12t +1， 在Rt △DMN 中，DM 2＝DN 2+MN 2=54t 2+t +1， （Ⅰ）若∠DB ′M ＝90°，则DM 2＝B ′M 2+B ′D 2， 即54t 2+t +1＝（14t 2﹣2t +8）+（t 2﹣4t +13），解得：t =207，（Ⅱ）若∠B ′MD ＝90°，则B ′D 2＝B ′M 2+DM 2， 即t 2﹣4t +13＝（14t 2﹣2t +8）+（54t 2+t +1），解得：t 1＝﹣3+√17，t 2＝﹣3−√17（舍去），∴t ＝﹣3+√17； （Ⅲ）若∠B ′DM ＝90°，则B ′M 2＝B ′D 2+DM 2， 即：14t 2﹣2t +8＝（t 2﹣4t +13）+（54t 2+t +1），此方程无解， 综上所述，当t =207或﹣3+√17时，△B ′DM 是直角三角形；（3）①如图③，当F 在CD 上时，EF ：DH ＝CE ：CH ，即2：3＝CE ：4，∴CE =83， ∴t ＝BB ′＝BC ﹣B ′E ﹣EC ＝6﹣2−83=43，∵ME ＝2−12t ，∴FM =12t ， 当0≤t ≤43时，S ＝S △FMN =12×t ×12t =14t 2， ②如图④，当G 在AC 上时，t ＝2，∵EK ＝EC •tan ∠DCB ＝EC •DHCH =34（4﹣t ）＝3−34t ，∴FK ＝2﹣EK =34t ﹣1， ∵NL =23AD =43，∴FL ＝t −43，∴当43＜t ≤2时，S ＝S △FMN ﹣S △FKL =14t 2−12（t −43）（34t ﹣1）=−18t 2+t −23；③如图⑤，当G 在CD 上时，B ′C ：CH ＝B ′G ：DH ，即B ′C ：4＝2：3，解得：B ′C =83，∴EC ＝4﹣t ＝B ′C ﹣2=23，∴t =103，∵B ′N =12B ′C =12（6﹣t ）＝3−12t ，∵GN ＝GB ′﹣B ′N =12t ﹣1， ∴当2＜t ≤103时S ＝S 梯形GNMF ﹣S △FKL =12×2×（12t ﹣1+12t ）−12（t −43）（34t ﹣1）=−38t 2+2t −53， ④如图⑥，当103＜t ≤4时，∵B ′L =34B ′C =34（6﹣t ），EK =34EC =34（4﹣t ），B ′N =12B ′C =12（6﹣t ），EM =12EC =12（4﹣t ），S ＝S 梯形MNLK ＝S 梯形B ′EKL ﹣S 梯形B ′EMN =−12t +52． 综上所述：当0≤t ≤43时，S =14t 2， 当43＜t ≤2时，S =−18t 2+t −23； 当2＜t ≤103时，S =−38t 2+2t −53， 当103＜t ≤4时，S =−12t +52．。
南雅中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题
数学测试满分：120分考试时间：120分钟一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A ．()22a b a b+=+B ．()3326a a -=C ．235a b ab +=D ．268a a a ⋅=2．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°3．已知17a a -=，则1a a +=（）A ．3B ．3±C ．11D ．11±4．世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个奇素数之和。
这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我国数学家陈景润证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”。
我们知道素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。
请问同学们，如果我们从不大于8的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（）A ．6B ．10C ．12D ．165．如果0a b c ++=，且a b c >>．则下列说法中不可能成立的是（）A ．b 为正数，c 为负数B ．a 为正数，b 为负数C ．a 为正数，c 为负数D ．c 为正数，a 为负数6．在线段AB 上有P 、Q 两点，AB =26，AP =14，PQ =11，求BQ 的长（）A ．1B ．23C ．1或23D ．127．一条抛物线2y ax bx c =++的顶点为（4，11-），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（）A ．只有aB ．只有bC ．只有cD ．只有a 和b 8．反比例函数1k y x-=与一次函数()1y k x =+（0k ≠，1k ≠）在同一坐标系中的图象只能是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14．根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n 个图形需要2022根小木棒，则n 的值为（）A ．252B ．253C ．336D ．33710．如图所示，已知三角形ABE 为直角三角形，∠ABE =90°，BC 为圆O 切线，C 为切点，CA =CD ，则△ABC 和△CDE 面积之比为（）A ．1：3B ．1：2C 2：2D ．)21-：1第10题图第17题图二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）11．按一定规律排列的数据依次为12，45，710，1017，…按此规律排列，则第30个数是________．12．对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a b >时，min{a ，b }=b ；当a b<时，min{a ，b }=a ．例如：min{2-，1}=2-，若关于x 的函数y=min{31x -，2x -+}，则该函数的最大值为________．13．火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒，求这列火车的长度为________．14．直线1l 过点A （0，2）、B （2，0），直线2l ：y kx b =+过点C （1，0），且把△AOB 分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线2l 的方程为________．15．已知：0a b >>，且226311a b ab +=，求a b=________．16．正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，已知正方形的四个顶点到这条直线的距离的平方之和恒为定值，则这个定值为________．17．如图，已知直角三角形ABO 中，AO =1，将△ABO 绕点O 点旋转至△A'B'O 的位置，且A'在OB 的中点，B'在反比例函数k y x=上，则k 的值为________．18．在△ABC 中，∠ABC =60°，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB =∠BPC =∠CPA ，且PA =8，PC =6，则PB =________．三、解答题（本大题共7小题，其中19~24题每小题8分，25题10分，共58分）19．解方程：322x x -=+．20．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB 的高度，他先在水平地面点E 处用高1.5m 的测角仪DE 测得∠ADC=31°，然后沿EB 方向向前走3m 到达点G 处，在点G 处用高1.5m 的测角仪FG 测得∠AFC=42°．求凉亭AB 的高度．（A ，C ，B 三点共线，AB ⊥BE ，AC ⊥CD ，CD=BE ，BC=DE ．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ，使得∠CDE=15°，连接BE ．（1）证明：BE =DE ；（2）延长BE 至F ，使CF =BC ，连接CF ，求证：CE +DE =EF ．22．通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）．当0≤x ≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x ≤20和20≤x ≤40时，图象是线段．（1）当0≤x ≤10时，求y 关于x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36？23．若一元二次方程()()2250x a x a --+-=的两个根都大于2，求实数a 的取值范围．24．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，AB ⊥CD ，连接AC ，OD ．（1）求证：∠BOD=2∠A ；（2）连接DB ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，延长DO ，交AC 于点F ．若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为⊙O 的切线．25．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接AC ．（1）求点B ，点C 的坐标；（2）如图1，点E （m ，0）在线段OB 上（点E 不与点B 重合），点F 在y 轴负半轴上，OE=OF ，连接AF ，BF ，EF ，设△ACF 的面积为S 1，△BEF 的面积为S 2，S=S 1+S 2，当S 取最大值时，求m 的值；（3）如图2，抛物线的顶点为D ，连接CD ，BC ，点P 在第一象限的抛物线上，PD 与BC 相交于点Q ，是否存在点P ，使∠PQC=∠ACD ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
湖南高一上学期入学摸底考试数学试题
湘南高一入学摸底考试数学试卷时间：120分钟 分值：100分一、选择题(每小题3分，共30分)每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的， 请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分.1．计算(﹣3)+(﹣9)的结果是( )A ．12-B ． 6-C ．6+D ．12 2．.函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是( )A ． 1>xB ．1≥xC ．1<xD ．1≤x 3． 下列各式计算不正确．．．的是( ) A ．(3)3--= B2= C ．()3339x x = D ．2121=- 4．中国的领水面积约为370000km 2，将数370000用科学记数法表示为( ) A ．37×104 B ． 3.7×104 C ． 0.37×106 D ． 3.7×105 5．点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为( )A ． (3,5)--B ． (5,3)C ．(3,5)-D ． (3,5) 6．下列事件中，必然事件是( ) A ． 掷一枚硬币，正面朝上B ． 任意三条线段可以组成一个三角形C ． 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数D ． 抛出的篮球会下落7．设21,x x 是一元二次方程0322=--x x 的两根，则21x x +=( )A ．2B ． 2-C ．3-D ． 38． 如图1，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为( )A ． 24πcmB ． 26πcmC ． 29πcmD ． 212πcm图1120︒BOA6cm9. 一元二次方程2350x x --=中的一次项系数和常数项分别是( ) A 、1，-5 B 、1，5 C 、-3，-5 D 、-3，5 10．如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题(本题满分24分，共8小题，每小题3分)11．2015的相反数是___________． 12．因式分解：=-42m _________ 13．方程063=-x 解是_________14．如图3，在四边形ABCD 中，已知AB CD =，再添加一个条件___________(写出一个即可)，则四边形ABCD 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)15．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是__________ 16．抛物线5)1(32+--=x y 的顶点坐标为__________．17．不透明的袋中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其它区别，搅匀后小红从中随机摸出一球，则摸出红球的概率是__________．18、下列方程：①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x ， 其中，没有实数根的方程是 。
湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题(带答案解析)
湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B ⋂=（ ） A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A ．对任意实数x, 都有x > 1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x, 都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤13．设1,(0)()cos 2,(0)x x f x x x π+≤⎧=⎨<<⎩，则()3f π值是（ ）A ．12-B ．12C ．D 4．在 ABC ∆ 中，若sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC ∆ 是（ ） A ．锐角三角形； B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．直角三角形或钝角三角形5．如果点()sin ,2cos P θθ位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．如果33log log 4m n +≥，那么m n +的最小值为（ ） A ．4B ．C ．9D ．188．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于直线3x π=对称B ．关于点(,0)3π对称C ．关于直线6x π=-对称D ．关于点(,0)6π对称9．函数232sin 12y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是 A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数 10．已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，且20AC CB +=u u u v u u u v v，则OC =u u u v （ ）A ．2OA OB -u u u v u u u vB ．2OA OB -+u u u v u u u vC ．2133OA OB-u u uv u u u vD ．1233OA OB -+u u uv u u u v11．已知函数1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ，2x ，则有（ ）A ．120x x <B ．121=x xC ．121x x >D ．1201x x <<12．函数5log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有（ ）A ．7对B ．5对C ．3对D ．1对第II 卷（非选择题)二、填空题13．cos300°＝____________. 14．在△ABC 中，“30A >︒”是“”的 ▲ ．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） 15．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____16．已知()2sin f x x π=，()g x =，则()f x 与()g x 图象交点的横坐标之和为___________.三、解答题17．已知sin θ=，2πθπ<<．（1）求tan θ的值；（2）求222sin sin cos 3sin cos θθθθθ++的值．18．已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.19．设:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集为{}|0x x <；:q 函数()2ln y ax x a =-+的定义域为R ．若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围．20．已知3cos 5α=，cos 10β=-，23απ<<π，0βπ<<． （1）求sin α和sin β的值； （2）求αβ-的值． 21．在锐角ABC V 中，274sin cos 222B C A +-=． （1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C 的最大值．22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函()f x 的一个上界.已知函数()111()()24x x f x a =++，()121log 1axg x x -=-． ()1若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；()2在()1的条件下，求函数()g x ，在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；()3若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【解析】因为1,0,1,B B B -∈∈∉所以{}1,0A B ⋂=-. 【考点定位】集合的表示，集合的运算. 2．C 【解析】 【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词． ∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是 “对任意实数x ，都有x ≤1” 故选C ． 3．A 【解析】 【分析】 由03ππ<<,将3x π=代入()cos2f x x =中,进而求解即可.【详解】由题,21cos 332f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,故选:A 【点睛】本题考查分段函数求函数值,考查特殊角的三角函数值. 4．B 【解析】分析：由()()sin cos cos sin A B B A B B -+-利用两角和的正弦公式，得到sin 1A =，可得2A π=，从而可得结果.详解：ABC ∆中，若()()cos cos sin 1sin A B B A B B -+-≥， 则()sin 1sin A B B A ⎡⎤-+=≥⎣⎦，sin 1A ∴=， 2A π=，故三角形是直角三角形，故选B.点睛：判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 5．D 【解析】 【分析】由点()sin ,2cos P θθ位于第二象限可得sin 0θ<,2cos 0θ>,即可判断θ所在象限. 【详解】由题,因为点()sin ,2cos P θθ位于第二象限, 所以sin 0θ<,2cos 0θ>, 所以θ在第四象限, 故选:D 【点睛】本题考查象限角,属于基础题. 6．C 【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小 7．D 【解析】【分析】先由对数的运算法则得出()333log log log m n mn +=,再利用基本不等式性质可求出最小值. 【详解】解：∵()333log log log 4m n mn +=≥, ∴43mn ≥,又由已知条件隐含着0m >,0n >,故18m n +≥≥=,当且仅当9m n ==时取到最小值． 所以m n +的最小值为18. 故选：D 【点睛】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质,属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】由T π=可得2ω=,则()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将3x π=代入()f x 中即可得到结果.【详解】 由题,2T ππω==,所以2ω=,则()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将3x π=代入()f x 中可得sin 2sin 0333f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心, 故选:B 【点睛】本题考查正弦型函数的周期性的应用,考查代入验证法处理正弦型函数的对称性问题. 9．A【解析】∵()232sin 1cos 23cos22y x x x ππ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭， ∴232sin 12y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是最小正周期为π的偶函数. 10．A 【解析】 【分析】由AC OC OA =-u u u r u u u r u u u r , CB OB OC =-u u u r u u u r u u u r代入运算即可得解. 【详解】解：因为20AC CB +=u u u r u u u r r，所以2()()0OC OA OB OC -+-=u u u u r u u u r u u u r u u u r r ,所以OC =u u u r 2OA OB -u u u r u u u r， 故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量的加法、减法运算，属基础题. 11．D 【解析】 【分析】先将1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点转化为|lg |y x =与2xy -=有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图像得到零点在(0,1)和(1,)+∞内,即可得到112lg x x --=和222lg x x -=,然后两式相加即可求得12x x 的范围.【详解】Q 1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ,2x ,即|lg |y x =与2xy -=有两个交点 由题意0x >,分别画2xy -=和|lg |y x =的图像∴ 发现在(0,1)和(1,)+∞有两个交点不妨设1x 在(0,1)内，2x 在(1,)+∞内，∴ 在(0,1)上有112lg x x -=-,即112lg x x --=——①在(1,)+∞有222lg x x -=——② ①②相加有211222lg x x x x ---=Q 21x x >,∴2122x x --<即21220x x ---<∴12lg 0x x < ∴1201x x <<故选:D . 【点睛】本题主要考查确定函数零点所在区间的方法,转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x 轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根. 12．B 【解析】 【分析】由cos y x π=关于y 轴对称,则可将问题转化为当0x >时,5log y x =与cos y x π=的交点个数,画出图象,由图象即可得到结果. 【详解】由题,因为cos y x π=关于y 轴对称,所以只要找到当0x >时,5log y x =与cos y x π=的交点个数即可,函数图象如图所示,则共有5个交点, 故选:B 【点睛】本题考查余弦型函数的奇偶性的应用,考查利用函数图象求交点个数,考查数形结合思想. 13．12【解析】试题分析：01cos300cos(36060)cos602=-==． 考点：三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值．点评：简单题，利用诱导公式，转化成小范围特殊角的三角函数值． 14．必要不充分条件 【解析】此题考查充分条件和必要条件的判断、考查学生的逻辑推理和论证能力； 由在△ABC 中，“30A >︒”得出11sin 10sin 22A A <≤<<或，所以不是充分条件，由1sin 2A >，且在ABC ∆中，可以得出30120A <<o o ，所以是必要条件，所以填必要不充分条件 15．1665【解析】 【分析】由已知求出cos ,sin()ααβ+，再由两角差的正弦公式计算sin sin[()]βαβα=+-．【详解】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式．考查同角间的三角函数关系．解题关键是角的变换，即()βαβα=+-．这在三角函数恒等变换中很重要，即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系，根据这个关系选用相应的公式计算．16．17.【解析】【分析】作出两个函数的图象，根据函数的对称性，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出()f x 与()g x 的图象，如图，2=，解得9x =2=-，解得7x =-，()f x ∴与()g x 图象共有17个交点.Q 则()f x 与()g x 关于()1,0对称，设17个交点横坐标为12317,,,,x x x x L ，则1231728117x x x x ++++=⨯+=L .故答案为：17.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题的关键.17．（1）2-（2）213 【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1θθ+=和sin tan cos θθθ=求解即可,需注意角的范围； （2）对分式分子分母同时除以2cos θ,进而求解即可.【详解】解:（1）因为sin θ=,2πθπ<<,根据22sin cos 1θθ+=,所以cos θ=, 所以sin tan 2cos θθθ==- （2）()()()222222222sin sin cos tan tan 23sin cos 3tan 113321θθθθθθθθ-+-++===++⨯-+ 【点睛】本题考查利用同角的三角函数关系求值,考查三角函数的齐次式问题.18．（Ⅰ）π；（Ⅱ）()f x 1时x 的集合为{|},8πx x k πk Z =+∈ 【解析】【详解】（Ⅰ）2()sin 22sin sin 2cos 21)14f x x x x x x π=-=+-=+-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==． （Ⅱ）当2242πππ+=+x k ，即8x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 1，()f x 1时x 的集合为{|},8πx x k πk Z =+∈.19．10,(1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据指数函数的图象可得若p 为真命题,则01a <<；若q 为真命题,则20ax x a -+>在R 上恒成立,可解得12a >,当p q ∧为假,p q ∨为真时,则p 与q 中一个为真,一个为假,进而分别讨论p 为真命题,q 为假命题和q 为真命题,p 为假命题的情况,即可求解.【详解】由题,若p 为真命题,则01a <<；若q 为真命题,则20ax x a -+>在R 上恒成立,当0a =时,0x ->,不符合；当0a ≠时,20140a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得12a >； 因为p q ∧为假,p q ∨为真,所以p 与q 中一个为真,一个为假,若p 为真命题,q 为假命题,则1a ≥；若q 为真命题,p 为假命题,则102a <≤, 综上,[)10,1,2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围问题,考查指数函数的图象的应用,考查已知函数的定义域求参数范围问题,考查分类讨论思想.20．（1）4sin 5α=，sin 10=β（2）74π 【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数关系求解即可,需注意角的取值范围；（2）先求得()cos αβ-,再根据αβ-的范围确定角.【详解】解:（1）因为3cos 5α=,且23απ<<π, 根据22sin cos 1αα+=,所以4sin 5α=；因为cos 10β=-,且0βπ<<,根据22sin cos 1ββ+=,所以sin =β （2）由（1）,()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+34510510⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭2=, 因为3cos 05α=>,所以522αππ<<,因为cos 10β=-,所以2πβπ<<,即2ππβ-<-<-, 所以2παβπ<-<,所以74αβπ-=【点睛】本题考查利用同角的三角函数关系求值,考查已知三角函数值求角,考查余弦的差角公式的应用.21．（1）3A π=（2）34【解析】【分析】（1）利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简可得24cos 4cos 10A A -+=,进而求解即可；（2）()sin sin sin sin B C B A B =+,进而利用和角公式展开,整理可得11sin 2264B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,由26B π-的范围,进而求得最值.【详解】解:（1）因为274sin cos 222B C A +-=,即()721cos cos 22B C A -+-=⎡⎤⎣⎦, 所以()2722cos 2cos 102A A +---=,即24cos 4cos 10A A -+=, 所以1cos 2A =, 所以3A π=（2）由（1）,()sin sin sin sin B C B A B =+()sin sin cos sin cos B A B B A =+1sin sin 2B B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭21cos sin 2B B B =+112cos 244B B =-+ 11sin 2264B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 因为锐角ABC V ,所以2A B π+>,即62B ππ<<, 所以5666B πππ<2-<, 当262B ππ-=,即3B π=时,sin sin B C 取得最大值为34【点睛】本题考查利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简求值,考查和角公式的应用,考查三角函数的最值问题.22．（1）1a =-；（2）上界构成集合为[)2,+∞；（3）实数a 的取值范围为[]5,1-.【解析】试题分析：（1）因为121()log 1ax g x x -=-为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得a 的值，由于真数大于零，所以排除1a =-.即可得到结论.（2）由（1）得到的a 值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间(1,)+∞上单调递增.所以5[,3]3x ∈上，5()()(3)3g g x g ≤≤.即2()1g x -≤≤-.所以可得.即存在常数20M =≥，都有()2f x M ≤=.所以所有上界构成的集合[2,)+∞.（3）因为函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得a 的范围.试题解析：（1）因为函数为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即，即，得，而当时不合题意，故1a =-. 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间(1,)+∞上单调递增，证明略. 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分 （3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以在上递减，在上递增， 12分 在上的最大值为，在上的最小值为. 所以实数a 的取值范围为. 14分考点：1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.。
2024届长沙市南雅中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析
2024届长沙市南雅中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱1CC ，11A D 的中点，则异面直线1A B 与MN 所成的角为 A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒2．在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则AD AC -＝ A ．CBB ．BCC ．12CB D ．12BC 3．若a b c >>，则以下不等式一定成立的是( ) A ．ab bc > B ．22a b > C ．33a c >D ．22ab cb >4．在等差数列中，，，则数列的前5项和为（ ）A ．13B ．16C ．32D ．355．设某曲线上一动点M 到点(3,0)F 的距离与到直线3x =-的距离相等，经过点(2,1)P 的直线l 与该曲线相交于A ，B 两点，且点P 恰为等线段AB 的中点，则||||AF BF +=（ ）A ．6B ．10C ．12D ．146．根据如下样本数据 x 345678y4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>7．函数()22f x cos x sinx ＝＋ 的最小值和最大值分别为( ) A ．3,1－B ．2,2－C ．332－，D ．322－，8．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45B ．35C ．35-D ．45-9．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（ ） A ．5B ．10C ．15D ．2010．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【2020-2021自招】长沙市南雅中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年长沙市南雅中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2022年湖南省长沙市南雅中学高一数学理模拟试题含解析
2021-2022学年湖南省长沙市南雅中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（）A．B．6C．8D．6参考答案：D【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】求出侧视图的底边边长和高，代入三角形面积公式，可得答案．【解答】解：如图，根据三视图间的关系可得BC=2，∴侧视图中VA==2，∴三棱锥侧视图面积S△ABC=×2×2=6，故选D．2. 若等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，则?=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据等边三角形的性质和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，∴=﹣=﹣， =﹣（+）=﹣（+），∴?=﹣（﹣）=2=﹣=﹣13. 若，，则向量在向量方向上的投影为（）源A． B． C． D．参考答案：B4. .如果右边程序执行后输出的结果是990，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为……（）A. i<9B. i <8C. i <=9D. i > 10参考答案：A略5. 某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为( ).A. 1B. 2C. 3D.4参考答案：D略6. 直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的相邻两点间的距离是（）A．πB．C．D．参考答案：C【考点】正切函数的图象．【分析】根据直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的两点间的距离正好等于y=tan3x的一个周期，得出结论．【解答】解：直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的两点间的距离正好等于y=tan3x的一个周期，即，故选C．7. 若，则A B C D参考答案：D8. 若直线l∥平面α，直线a?平面α，则l与a（）A．平行B．异面C．相交D．没有公共点参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直线l∥平面α，则有若直线l与平面α无公共点，则有直线l与直线a无公共点，则有直线l与直线a平行或异面．【解答】解：∵直线l∥平面α，∴若直线l与平面α无公共点，又∵直线a?α，∴直线l与直线a无公共点，故选D．9. 已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π参考答案：C【分析】当三棱锥体积最大时，C到平面的距离为；利用棱锥体积公式可求得；代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】设球O的半径为，则当三棱锥体积最大时，到平面的距离为则，解得：球的表面积为：本题正确选项：C【点睛】本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够明确三棱锥体积最大时顶点到底面的距离为.10. 设等差数列满足，且，为其前n项之和，则中最大的是（）(A) ；(B) ；(C) ；(D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则______.参考答案：或0【分析】利用同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】，化简整理得：，解得或，当时，；当时，.故答案为：或0【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.12. （3分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）= ．参考答案：m考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：换元法可得y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]，结合m＞2和函数的单调性可得当t=1时，函数取最大值，代入计算可得．解答：由三角函数的知识可得f（θ）=sin2θ+mcosθ=﹣cos2θ+mcosθ+1，令cosθ=t，则t∈[﹣1，1]可得函数化为y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]配方可得y=，可知关于t的函数图象为开口向下，对称轴为t=的抛物线一段，又m＞2，故，故函数在[﹣1，1]单调递增，故g（m）=﹣12+m×1+1=m故答案为：m点评：本题考查二次函数的区间最值，利用三角函数的关系换元是解决问题的关键，属中档题．13. 关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_______.参考答案：略14. 若则________，________ ．参考答案：{0，1，2，3}，{1，2}15. 设R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当0≤x≤2时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的最小值是．参考答案：﹣【考点】二次函数的性质；函数的值域．【分析】定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），可得出f（x﹣2）=f（x），由此关系求出求出x∈[﹣4，﹣2]上的解析式，再配方求其最值．【解答】解：由题意定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），任取x∈[﹣4，﹣2]，则f（x）=f（x+2）=f（x+4）由于x+4∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣2x，故f（x）=f（x+2）=f（x+4）= [（x+4）2﹣2（x+4）]= [x2+6x+8]= [（x+3）2﹣1]，x∈[﹣4，﹣2]当x=﹣3时，f（x）的最小值是﹣．故答案为：﹣．16. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为.参考答案：17. 已知函数为[－1,1]上的增函数，则满足的实数的取值范围为_ _．参考答案：．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省长沙市南雅中学高一上第三次月考数学试(解析版).doc
湖南省长沙市南雅中学2018-2019学年高一上第三次月考数学试（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为U={n|n∈N*且n<9}，集合S={1,3，5}，T={3,6}，则∁U(S∪T)等于()A. ⌀B. {2,4，7，8}C. {1,3，5，6}D. {2,4，6，8}【答案】B【解析】解：全集为U={n|n∈N*且n<9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1,3，5}，T={3,6}，∴S∪T={1,3，5，6}，∴∁U(S∪T)={2,4，7，8}．故选：B．用列举法写出全集U，根据并集与补集的定义运算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是()A. y=xB. y=x3C. y=−x2D. y=log2|x|【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x，其定义域为[0,+∞)，不是偶函数，不符合题意；对于B，y=x3，为奇函数，不符合题意；对于C，y=−x2，是二次函数，是偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y=log2|x|=log2(−x),x<0log2x,x>0，是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.设矩形边长分别为a、b(a>b)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱(无底面)，其体积分别为Va和Vb，则Va与Vb的大小关系是()A. Va>VbB. Va=VbC. Va<VbD. 不确定【答案】C【解析】解：当高为a时，底面周长为b，则底面半径为：b2π故Va=π⋅(b2π)2⋅a=ab4π⋅b，同理可得当高为b时，Vb=ab4π⋅a，∵a>b∴Va<Vb故选：C．根据圆柱的几何特征，分别计算Va和Vb，根据不等式的基本性质，可得答案．感谢你的观看谢谢你的观赏谢谢欣赏本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆柱的几何特征，是解答的关键．4.三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为()A. log3π<0.993.3<log20.8B. log20.8<log3π<0.993.3C. log20.8<0.993.3<log3πD. 0.993.3<log20.8l<log3π【答案】C【解析】解：∵0<0.993.3<0.990=1，log3π>log33=1，log20.8<log21=0．∴log20.8<0.993.3<log3π．故选：C．利用指数函数和对数函数的运算性质，逐一比较三个数与0和1的关系即可得到答案．本题考查了对数值的大小比较，考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．5.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题：①若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n②若m，n⊂α，m//β，n//β，则α//β③若m，n是两条异面直线，若m//α，m//β，n//α，n//β，则α//β④如果m⊥α，n//α，那么m⊥n上面命题中，正确的序号为()A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③④【答案】C【解析】解：对于①，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或异面，故错；对于②，若m，n⊂α，m//β，n//β且m、n相交，则α//β，故错；对于③，若m，n是两条异面直线，若m//α，n//α，在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知α//β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；故选：C．①，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或异面；②，若m，n⊂α，m//β，n//β且m、n相交，则α//β；③，若m，n是两条异面直线，若m//α，n//α，在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知α//β；④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n；本题考查了空间线线，线面，面面的位置关系，属于基础题．6.函数f(x)=x22−x+log2(x+3)的定义域是()A. (−3,2)B. [−3,2)C. (−3,2]D. [−3,2]【答案】A【解析】解：由x+3>02−x>0，解得−3<x<2．∴函数f(x)=x22−x+log2(x+3)的定义域是(−3,2)．故选：A．由分母中根式内部的代数式对于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．谢谢欣赏本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．7.在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，PA⊥面ABCD，PA=1，则PC与面ABCD所成的角是()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘【答案】A【解析】解：连接AC，如图所示：因为PA⊥面ABCD，所以∠PAC是PC与面ABCD所成的角，即为所求角．因为在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，所以AC=3，又因为PA=1，所以tan∠PAC=13=33，所以PC与面ABCD所成的角∠PAC是30∘．故选：A．连接AC，由PA⊥面ABCD，可得∠PAC是PC与面ABCD所成的角，即为所求角，再结合题中条件与三角形的有关知识即可得到答案．此题主要考查线面角，空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题．8.如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=12，则下列结论中错误的是()A. AC⊥BEB. EF//平面ABCDC. 三棱锥A−BEF的体积为定值D. △AEF的面积与△BEF的面积相等【答案】D【解析】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD//B1D1，∴AC⊥BE，EF//平面ABCD，三棱锥A−BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD//B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．感谢你的观看谢谢你的观赏谢谢欣赏谢谢欣赏本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9. 已知2lg(x −2y)=lgx+lgy ，则xy 的值为( )A. 1B. 4C. 1或4D. 14或4【答案】B【解析】解：∵2lg(x −2y)=lg(x −2y)2=lg(xy)，∴x2+4y2−4xy=xy∴(x −y)(x −4y)=0∴x=y(舍)或x=4y∴xy=4故选：B ．根据对数的运算法则，2lg(x −2y)=lg(x −2y)2=lg(xy)，可知：x2+4y2−4xy=xy ，即可得答案．本题主要考查对数的运算性质．10. 已知定义域为R 的函数f(x)在区间(−∞,5)上单调递减，对任意实数t ，都有f(5+t)=f(5−t)，那么下列式子一定成立的是( )A. f(−1)<f(9)<f(13)B. f(13)<f(9)<f(−1)C. f(9)<f(−1)<f(13)D. f(13)<f(−1)<f(9)【答案】C【解析】解：∵f(5+t)=f(5−t)∴函数f(x)的图象关于x=5对称∴f(−1)=f(11)，∵函数f(x)在区间(−∞,5)上单调递减，∴f(x)在(5,+∞)上为单调递增．∴f(9)<f(11)<f(13)，即f(9)<f(−1)<f(13)．故选：C ．由f(5+t)=f(5−t)，知函数f(x)的图象关于x=5对称，然后利用在区间(−∞,5)上单调递减，可得函数在R 上的单调性，从而可得函数值的大小关系．本题考查了函数的单调性及单调区间，同时考查了函数图象的对称性，注意数形结合，是个基础题．11. 在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，BC=1，且三棱柱ABC −A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC −A1B1C1的外接球的表面积为( )A. 16πB. 12πC. 8πD. 4π【答案】A【解析】解：∵∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，BC=1，∴AC=3．∵AA1⊥底面ABC ，∴三棱柱ABC −A1B1C1的体积V=12×1×3⋅CC1=3，得CC1=23，∴三棱柱ABC −A1B1C1的外接球半径r=121+(3)2+(23)2=2，∴S表=4π×22=16π．故选：A．根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键．12.已知函数f(x)=|log3x|,0<x≤31−log3x,x>3，若f(a)=f(b)=f(c)且a<b<c，则ab+bc+ac的取值范围为()A. (1,4)B. (1,5)C. (4,7)D. (5,7)【答案】D【解析】解：作出函数f(x)的图象如图，不妨设a<b<c，a∈(33,1)，b∈(1,3)，c∈(3,3)，由图象可知，−log3a=log3b，则log3a+log3b=log3ab=0，解得ab=1，1−log3c=log3b，则log3b+log3c=log3bc=1，解得bc=3，∴ac∈(1,3)，∴ab+bc+ca的取值范围为(5,7)故选：D．画出函数f(x)的图象，根据a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，我们令a<b<c，我们易根据对数的运算性质，及a，b，c的取值范围得到ab+bc+ca的取值范围．本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数y=f(x)过点(12,22)，则f(9)=______．【答案】127【解析】解：∵幂函数y=f(x)=xα过点(12,22)，∴f(12)=(12)α=22，解得α=−32，∴f(x)=x−32，f(9)=9−32=127．故答案为：127．由幂函数y=f(x)=xα过点(12,22)，求出f(x)=x−32，由此能求出f(9)．本题考查函数值的求法，考查幂函数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为50∘，E、F分别是BC、AD的中点，则EF与AB所成角的大小为______．【答案】25∘或65∘感谢你的观看谢谢你的观赏谢谢欣赏谢谢欣赏【解析】解：取BD 中点G ，连结EG ，FG ，则由三角形中位线定理得EG//CD ，EG=12CD ，FG//AB ，FG=12AB ，∴EG=FG ，EF 与AB 所成角为∠EFG ，∵AB 与CD 所成的角为50∘，∴∠EGF=50∘或∠EGF=130∘，∴EF 与AB 所成角的大小为25∘或65∘．故答案为：25∘或65∘．取BD 中点G ，连结EG ，FG ，推导出EG=FG ，EF 与AB 所成角为∠EFG ，由AB 与CD 所成的角为50∘，得∠EGF=50∘或∠EGF=130∘，由此能求出EF 与AB 所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15. 圆锥的轴截面是一个边长为(2+6)的正三角形，则它的内接正方体的体积为______．【答案】342−273【解析】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为(2+6)的正三角形，∴圆锥的底面半径r=2+62，高为h=(2+6)2−(2+62)2=32+232，设它的内接正方体的棱长为a ，则2a2+6=32+232−a32+232，解得：a=22−3它的内接正方体的体积a3=342−273故答案为：342−273．根据已知求出内接正方体的棱，代入正方体体积公式，可得答案．题考查圆柱的侧面积和内切球的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16. 已知在矩形ABCD 中，AB=22，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上存在点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的最小值是______．【解析】解：假设在BC 边长存在点Q ，使得PQ ⊥DQ ，连结AQ ，∵在矩形ABCD 中，AB=22，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥DQ ，∵PQ ⊥DQ，∴DQ ⊥平面PAQ ，∴DQ ⊥AQ ，∴∠AQD=90∘，由题意得△ABQ∽△QCD，设BQ=x，∴x(a−x)=8，即x2−ax+8=0(*)，当△=a2−32≥0时，(*)方程有解，∴当a≥42时，在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，故a的最小值为42．故答案为：42．连结AQ，推导出PA⊥DQ，由PQ⊥DQ，得DQ⊥平面PAQ，从而DQ⊥AQ，由题意得△ABQ∽△QCD，设BQ=x，则x(a−x)=8，当a≥42时，在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，由此能求出a的最小值．本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集U=R，集合A={x|3≤x≤9},B={y|y=4x,x≥1},C={y|y=log13x,x∈A}，D={x|x2+ax+b≤0}．(1)求(∁UA)∩B；(2)若C=D，求a+b值．【答案】解：(1)∵x≥1；∴4x≥4；∴B={y|y≥4}；∴∁UA={x|x<3，或x>9}；∴(∁UA)∩B={x|x>9}；(2)∵x∈A={x|3≤x≤9}；∴log139≤log13x≤log133；∴−2≤log13x≤−1；∴C=[−2,−1]；∵D={x|x2+ax+b≤0}，且C=D；∴−2，−1是方程x2+ax+b=0的两实根；∴根据韦达定理得(−2)⋅(−1)=b−2−1=−a；∴a=3，b=2；∴a+b=5．【解析】(1)容易得出B={y|y≥4}，然后进行交集、补集的运算即可；(2)可以得出C=[−2,−1]，由C=D可知，−2，−1是方程x2+ax+b=0的两个实数根，根据韦达定理即可求出a，b，从而求出a+b值．考查指数函数、对数函数的单调性，函数单调性定义，以及交集、补集的运算，集合相等的概念，一元二次不等式的解法，韦达定理．18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=23，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=π3．(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P−BDF的体积．感谢你的观看谢谢你的观赏谢谢欣赏谢谢欣赏【答案】解：(Ⅰ)∵BC=CD=2，∴△BCD 为等腰三角形，再由∠ACB=∠ACD=π3，∴BD ⊥AC ．再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA ⊥BD ．而PA ∩AC=A ，故BD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)∵侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC ，∴三棱锥F −BCD 的高是三棱锥P −BCD 的高的18．△BCD 的面积S △BCD=12BC ⋅CD ⋅sin ∠BCD=12×2×2×sin2π3=3．∴三棱锥P −BDF 的体积V=VP −BCD −VF −BCD=13⋅S △BCD ⋅PA −13⋅S △BCD ⋅ 18⋅PA=78×13⋅S △BCD ⋅PA =724×3×23=74．【解析】(Ⅰ)由等腰三角形的性质可得BD ⊥AC ，再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA ⊥BD.再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)由侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC ，可得三棱锥F −BCD 的高是三棱锥P −BCD 的高的18.求出△BCD 的面积S △BCD ，再根据三棱锥P −BDF 的体积V=VP −BCD −VF −BCD=13⋅S △BCD ⋅PA −13⋅S △BCD ⋅ 18⋅PA ，运算求得结果．本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．19. 某商品每件成本为80元，当每件售价为100元时，每天可以售出100件.若售价降低10x%，售出商品的数量就增加16x%．(1)试建立该商品一天的营业额y(元)关于x 的函数关系式；(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，且又不能亏本，求x 的取值范围．【答案】解：(1)所求函数关系式为y=100(1−0.1x)⋅100(1+0.16x)(x>0)…(3分) 又售价不能低于成本价，所以100(1−x10)−80≥0，解得0≤x ≤2．∴y=100(1−0.1x)⋅100(1+0.16x)，定义域为[0,2]．(不写定义域不扣分)(2)依题意建立不等式组：100(1−0.1x)≥80(2)100(1−0.1x)⋅100(1+0.16x)≥10260(1)…(6分)解(1)得：12≤x ≤134…(8分)解(2)得：x ≤2…(9分)综上所述，12≤x ≤2，即x 的取值范围是[12,2].…(10分)说明：无不等式(2)共扣(2分)．【解析】(1)根据营业额=售价×售出商品数量，列出解析式，再利用售价不能低于成本价，列出不等式，求出x 的取值范围；(2)根据题意，列出不等式，求解即可．本题考查利用函数知识解决应用题及解不等式的有关知识.新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．20. 如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别是PA ，BD ，PD 的中点．(1)求证：MN//平面PCD ；(2)求证：平面MNQ//平面PBC ．【答案】证明：(1)由题意：四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，∴N是AC的中点，∴MN//PC，又∵PC⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，∴MN//平面PCD．(2)由(1)，知MN//PC，∵M，Q分别是PA，PD的中点，∴MQ//AD//BC，又∵BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC=C，MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN=M，∴平面MNQ//平面PBC．【解析】(1)推导出四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，MN//PC，由此能证明MN//平面PCD．(2)推导出MN//PC，MQ//AD//BC，由此能证明平面MNQ//平面PBC．本题考查线面平行、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x．(1)求a、b的值；(2)若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−2,−1]上恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)开口向上，对称轴x=1，∴在区间[2,3]上时增函数．则g(3)=4g(2)=1，即3a+1+b=4b+1=1解得b=0a=1∴g(x)=x2−2x+1．(2)由(1)可得g(x)=x2−2x+1．那么：f(2x)=2x+12x−2．不等式f(2x)−k⋅2x≥0，即2x+12x−2≥k⋅2x，设t=12x，因x∈[−2,−1]，故t∈[2,4]，可得：t2−2t+1≥k．∴h(t)min=1，故得k的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)根据二次函数的性质求解在在区间[2,3]上有最大值和最小值，即可得a、b 的值；(2)求解f(2x)的解析式，利用换元思想，利用二次函数性质即可求解实数k的取值范围．本题考查了二次函数的性质和转化思想的运用，属于中档题．22.已知函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)+g(x)=log4(4x+1)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；感谢你的观看谢谢你的观赏谢谢欣赏(2)若函数h(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+22a)(a>0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)因为，f(x)+g(x)=log4(4x+1)…①，∴f(−x)+g(−x)=log4(4−x+1)，∴f(x)−g(x)=log4(4x+1)−x…②由①②得，f(x)=log4(4x+1)−x2，g(x)=x2．(2)由h(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+22a)=log4(4x+1)−x2−12log2(a⋅2x+22a)=12log2(22x+1)−x2−12log2(a⋅2x+22a)=0．得：log222x+12x=log2(a⋅2x+22a)⇒(a−1)22x+22a⋅2x−1=0，令t=2x，则t>0，即方程(a−1)t2+22at−1=0…(*)只有一个大于0的根，①当a=1时，t=24>0，满足条件；②当方程(*)有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1<0，∴a>1，③当方程(*)有两个相等的且为正的实根时，则△=8a2+4(a−1)=0，∴a=12，a=−1(舍)a=12时，t=22>0，综上：a=12或a≥1．【解析】(1)利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．(2)利用函数只有一个零点，通过换元法，对a讨论，结合二次函数的性质求解即可．本题考查函数的零点的求法，分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．谢谢欣赏。
长沙市南雅中学新高一入学考试数学模拟试卷
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2020-2021学年长沙市南雅中学新高一入学考试数学模拟试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）2020的相反数是（）
A．2020B．1
2020C．﹣2020D．?
1
2020
【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：C．
2．（3分）斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将0.0000005用科学记数法表示为（）
A．5×107B．5×10﹣7C．0.5×10﹣6D．5×10﹣6
【解答】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10﹣7．
故选：B．
3．（3分）以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．
C．D．
【解答】解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列运算中，正确的是（）
A．x3+x3＝x6B．（ab）3＝a3b3C．3a+2a＝5a2D．a6÷a2＝a3
【解答】解：x3+x3＝2x3，故选项A不合题意；
（ab）3＝a3b3，正确，故选项B符合题意；
3a+2a＝5a，故选项C不合题意；
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湖南省长沙市南雅中学高一上第三次月考数学试(解析版).doc
最新部编版二年级上册期末总复习资料二年级语文上册第一单元识字水塘池塘脑袋电脑口袋袋子灰色捕捉捕鱼迎接欢迎阿姨阿爸宽宽的乌龟山顶披上披着敲鼓打鼓晒干晒衣服极其傍晚看管保管越来越好越长越高一滴水滴下小溪奔跑飞奔坏人坏蛋淹死淹没毁灭毁坏房屋屋顶猜谜猜想植树种植如果假如成为旅游旅行依靠靠着准备纷纷五彩缤纷刺刀海底底下炸弹分离离开考察观察认识知识粗细粗心得到取得手套全套帽子衣帽登上鞋子裤子短裤图画水壶指针指向针对针线二年级语文上册第二单元识字沙滩海滩一艘船几艘军舰军队舰队帆船水稻公园园林孔雀孔桥翠竹翠绿队伍军队黄铜学号句号梧桐枫树枫叶松树松柏柏树装修桦树白桦耐心忍耐守护守卫疆土新疆金银银色水杉杉树变化化学桂树桂花牢记记住记性麻雀孔雀锦鸡云锦雄伟雄鹰飞翔大雁草丛花丛水深火热深林猛兽凶猛百灵机灵休养休息四季春季蝴蝶飞蝶蝴蝶麦苗小麦禾苗树苗嫩叶鲜嫩桑树桑叶肥胖肥大农业农民归来回归广场一场雨谷物米粒颗粒虽然虽说辛劳辛苦海洋了解葡萄紫色狐狸笨蛋酸酸的酸甜苦辣二年级语文上册第三单元识字曹操称重称量人员队员圆柱柱子议论重量体重一杆秤笔杆砍刀倒车倒是割开直线线条止血停止数量量词高级年级算术武术理由由来指挥挥手米粉粉红木板黑板奇妙美妙水瓶酒瓶开合盛开美丑兴奋兴旺兴奋干净饼干目标修补认识认出一封信削皮削苹果下锅朝向朝着叠加重叠刮风胡说点灯电灯修养肩上肩膀团员团圆重复重新完结说完星期一束花结束鲜花新鲜哄人首先闭上关闭紧张红润鸡蛋脸蛋等级等待吸水吸收头发理发沾水汗水流汗额头风沙疲乏困乏弹力弹性钢笔弹琴口琴泥土水泥滚来滚去滚动铁丝钢铁铁环环绕回荡滑冰滑梯楼梯梯子二年级语文上册第四单元识字楼房高楼依然尽力欲望穷人云层层次瀑布飞瀑一匹布火炉炉子烟气遥远遥望山川四川闻名著名姓名景区景色区别区分节省省力部分南部秀美秀丽神奇神气尤为尤其其实其他神仙巨人巨大座位著名著书形象形状湖水湖面围绕缠绕包围围巾胜利胜出中央央求小岛华丽中华隐身隐约约定面纱纱布童年童趣环境仙境吸引引出客人请客山沟水沟生产产品雪梨月份年份种树种植搭配搭档凉棚草棚淡然清淡足够够好爱好好客丰收收拾进程城里市民市长留下钉子图钉利用水分味道气味新昌昌盛店铺铺子空调调解坚硬强硬卧室无限有限乘客乘法期中复习小练习1.歌哥(1)我的()()喜欢唱()，他的()声真好听！处外(2)一到周六，我就四()走走看看，发现()面的世界真好玩！2.填量词：一()字典一()课3.补充完整：一把()一片() 一道()4.加偏旁成新字并组词。
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2020-2021学年长沙市南雅中学新高一入学考试数学模拟试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）2020的相反数是（）
A．2020B．1
2020C．﹣2020D．−
1
2020
【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：C．
2．（3分）斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将0.0000005用科学记数法表示为（）
A．5×107B．5×10﹣7C．0.5×10﹣6D．5×10﹣6
【解答】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10﹣7．
故选：B．
3．（3分）以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．
C．D．
【解答】解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列运算中，正确的是（）
A．x3+x3＝x6B．（ab）3＝a3b3C．3a+2a＝5a2D．a6÷a2＝a3
【解答】解：x3+x3＝2x3，故选项A不合题意；
（ab）3＝a3b3，正确，故选项B符合题意；
3a+2a＝5a，故选项C不合题意；
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