牛顿插值多项式

6.2 牛顿插值多项式

一阶均差二阶均差三阶均差 n阶均差阶均差
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数形如上式的插值待定系数.
多项式称为牛顿插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式牛顿插值多项式由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表：例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式计算 f (0.23) 的近似值并插值多项式, 插值多项式估计误差. 估计误差
解均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

牛顿(newton)插值法

牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。

该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。

插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。

插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。

下面介绍牛顿插值法的基本原理。

插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。

在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。

一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。

每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。

在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。

差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。

具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。

牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。

具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。

请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。

拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式

拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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几种常用的插值方法

几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。

1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。

对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。

2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。

常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。

常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。

-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。

-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。

三次样条插值具有良好的平滑性和精度。

4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。

4.2 牛顿插值公式

§2 差商、牛顿插值多项式在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。

而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。

一、差商及其性质： 1、相关定义设给出函数)(x f 在点0x ，1x ，… ，n x ，…上的函数值，则有：称],[10x x f 1010()()f x f x x x -=-为函数)(x f 在0x 、1x 点的一阶差商。

一阶差商的差商],,[210x x x f 121020],[],[x x x x f x x f --= 称为函数)(x f 在0x ,1x 和2x 点的二阶差商。

1-n 阶差商的差商],,,[10n x x x f 112020],,,[],,,[------=n n n n n n x x x x x f x x x f称为函数)(x f 在n x x x ,,,10 点的n 阶差商。

见插商表4-12、性质：性质1 ：差商],,,[10n x x x f 可表示为函数值的线性组合，即 ∑==ni i i n x f a x x x f 010)(],,,[ ，其中：∏≠=-=nij j j ii x xa ,0)(/1。

该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即：],,,[10n x x x f ＝],,,[01n x x x f ＝…＝],,,[01x x x f n这就是差商的对称性。

性质 2101010[,,][,,][,,,]n n n n f x x f x x f x x x x x --=-01110[,,,][,,,]n n n f x x x f x x x x -=11100[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-10110[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-性质 3 设)(x f 在所含节点n x x x ,,,10 的区间],[b a 上有n 阶导数，则在该区间内至少有一点],[b a ∈ξ，使得：!/)(],,,[)(10n f x x x f n n ξ= 由该性质可知，若)(x f 为n 次多项式，则其n 阶差商为一常数。

差分形式的牛顿插值公式

差分形式的牛顿插值公式一、牛顿插值公式的引入在数值计算和插值问题中，牛顿插值公式是一种常用的插值方法。

它通过已知的数据点，构造一个函数，使得这个函数通过这些数据点，并且在其他位置也有较好的逼近效果。

牛顿插值公式有两种形式，一种是差商形式，另一种是拉格朗日形式。

本文主要介绍差商形式的牛顿插值公式。

差分形式的牛顿插值公式是通过对已知数据点进行差分运算，得到一组差商系数，然后利用这些差商系数构造插值多项式。

具体来说，设有n+1个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，...(xn, yn)，其中xi和yi分别表示第i个数据点的横坐标和纵坐标。

差商形式的牛顿插值多项式可以表示为：P(x) = y0 + (x-x0)Δy0 + (x-x0)(x-x1)Δ^2y0 + ... + (x-x0)(x-x1)...(x-xn)Δ^n y0其中Δy0表示一阶差商，Δ^2y0表示二阶差商，以此类推。

差商的计算可以通过递推公式得到，具体计算方法如下：Δy0 = y1 - y0Δ^2y0 = Δy1 - Δy0 = y2 - 2y1 + y0Δ^3y0 = Δ^2y1 - Δ^2y0 = y3 - 3y2 + 3y1 - y0...通过递推计算可以得到所有的差商系数，进而构造出插值多项式。

三、差分形式的牛顿插值公式的应用差分形式的牛顿插值公式在实际问题中有广泛的应用。

下面以两个具体的例子来说明其应用：1. 数据的插值逼近假设我们有一组离散的数据点，现在需要根据这些数据点来估计其他位置的数据。

差分形式的牛顿插值公式可以通过构造插值多项式来实现这个目标。

我们可以利用已知的数据点，计算出差分系数，并将其代入插值多项式中，从而得到我们所需位置的数据估计值。

2. 数据的平滑处理在一些实际问题中，我们可能会遇到数据中存在噪声或异常值的情况。

差分形式的牛顿插值公式可以通过对数据进行插值逼近，从而平滑处理这些噪声或异常值。

我们可以利用已知的数据点，构造插值多项式，并利用该多项式来估计数据中存在噪声或异常值的位置，从而得到平滑后的数据。

牛顿插值多项式是一种通过已知数据点来拟合函数的插值方法。

它以英国数学家牛顿的名字命名，是一种常用的插值方法之一。

设给定数据点的集合为(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，并且数据点的x坐标不相同。

牛顿插值多项式通过不断增加插值点来逐步构建插值多项式，具体来说，可以按照以下步骤进行：
将数据点按照x坐标的大小排列，从小到大依次编号为0, 1, ..., n。

定义差商f[xi, xj]为：
f[xi, xj] = (f[xi+1, xj] - f[xi, xj-1]) / (xi+j - xi)
其中，f[xi, xi] = yi，f[xi, xi+1] = (yi+1 - yi) / (xi+1 - xi)。

利用递推公式构建插值多项式：
P(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x-x0) + f[x0, x1, x2] * (x-x0) * (x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn] * (x-x0) * (x-x1) * ... * (x-xn-1)
其中，f[xi]表示插值节点x0, x1, ..., xi所构成的多项式的最高次项系数。

牛顿插值多项式的优点在于，新增一个数据点只需要重新计算一个差商，而不需要重新计算整个多项式，因此计算效率较高。

同时，它也可以通过递归方式来计算，对于复杂的数据集，计算效率也比较高。

详解Python牛顿插值法

详解Python⽜顿插值法⽬录⼀、⽜顿多项式⼆、例题三、ACcode:⼀、⽜顿多项式拉格朗⽇多项式的公式不具备递推性，每个多项式需要单独构造。

但很多时候我们需要从若⼲个逼近多项式选择⼀个。

这个时候我们就需要⼀个具有递推关系的⽅法来构造——⽜顿多项式这⾥的的a0，a1…等可以通过逐⼀带⼊点的值来求得。

但是当项数多起来时，会发现式⼦变得很⼤，这个时候我们便要引⼊差商的概念（利⽤差分思想）具体见式⼦能更好理解这⾥在编程实现中我们可以推出相应的差商推导⽅程d(k,0)=y(k)d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1)) / (x(k)-x(k-j))⼆、例题【问题描述】考虑[0,3]内的函数y=f(x)=cos(x)。

利⽤多个（最多为6个）节点构造⽜顿插值多项式。

【输⼊形式】在屏幕上依次输⼊在区间[0,3]内的⼀个值x*，构造插值多项式后求其P(x*)值，和多个节点的x坐标。

【输出形式】输出⽜顿插值多项式系数向量，差商矩阵，P(x*)值（保留6位有效数字），和与真实值的绝对误差（使⽤科学计数法，保留⼩数点后6位有数字）。

【样例1输⼊】0.80 0.5 1【样例1输出】-0.429726-0.029972111 0 00.877583 -0.244835 00.540302 -0.674561 -0.4297260.7009984.291237e-03【样例1说明】输⼊：x为0.8，3个节点为(k, cos(k)),其中k = 0, 0.5, 1。

输出：⽜顿插值多项式系数向量，表⽰P2(x)=-0.429726x^2 - 0.0299721x + 1；3⾏3列的差商矩阵；当x为0.8时，P2(0.8)值为0.700998与真实值的绝对误差为：4.291237*10^(-3)【评分标准】根据输⼊得到的输出准确三、ACcode:C++(后⾯还有python代码）/** @Author: csc* @Date: 2021-04-30 08:52:45* @LastEditTime: 2021-04-30 11:57:46* @LastEditors: Please set LastEditors* @Description: In User Settings Edit* @FilePath: \code_formal\course\cal\newton_quo.cpp*/#include <bits/stdc++.h>#define pr printf#define sc scanf#define for0(i, n) for (i = 0; i < n; i++)#define for1n(i, n) for (i = 1; i <= n; i++)#define forab(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)#define forba(i, a, b) for (i = b; i >= a; i--)#define pb push_back#define eb emplace_back#define fi first#define se second#define int long long#define pii pair<int, int>#define vi vector<int>#define vii vector<vector<int>>#define vt3 vector<tuple<int, int, int>>#define mem(ara, n) memset(ara, n, sizeof(ara))#define memb(ara) memset(ara, false, sizeof(ara))#define all(x) (x).begin(), (x).end()#define sq(x) ((x) * (x))#define sz(x) x.size()const int N = 2e5 + 100;const int mod = 1e9 + 7;namespace often{inline void input(int &res){char c = getchar();res = 0;int f = 1;while (!isdigit(c)){f ^= c == '-';c = getchar();}while (isdigit(c)){res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);c = getchar();}res = f ? res : -res;}inline int qpow(int a, int b){int ans = 1, base = a;while (b){if (b & 1)ans = (ans * base % mod + mod) % mod;base = (base * base % mod + mod) % mod;b >>= 1;}return ans;}int fact(int n){int res = 1;for (int i = 1; i <= n; i++)res = res * 1ll * i % mod;return res;}int C(int n, int k){return fact(n) * 1ll * qpow(fact(k), mod - 2) % mod * 1ll * qpow(fact(n - k), mod - 2) % mod; }int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){if (b == 0){x = 1, y = 0;return a;}int res = exgcd(b, a % b, x, y);int t = y;y = x - (a / b) * y;x = t;return res;}int invmod(int a, int mod){int x, y;exgcd(a, mod, x, y);x %= mod;if (x < 0)x += mod;return x;}}using namespace often;using namespace std;int n;signed main(){auto polymul = [&](vector<double> &v, double er) {v.emplace_back(0);vector<double> _ = v;int m = sz(v);for (int i = 1; i < m; i++)v[i] += er * _[i - 1];};auto polyval = [&](vector<double> const &c, double const &_x) -> double {double res = 0.0;int m = sz(c);for (int ii = 0; ii < m; ii++)res += c[ii] * pow(_x, (double)(m - ii - 1));return res;};int __ = 1;while (__--){double _x, temp;cin >> _x;vector<double> x, y;while (cin >> temp)x.emplace_back(temp), y.emplace_back(cos(temp));n = x.size();vector<vector<double>> a(n, vector<double>(n));int i, j;for0(i, n) a[i][0] = y[i];forab(j, 1, n - 1) forab(i, j, n - 1) a[i][j] = (a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]) / (x[i] - x[i - j]); vector<double> v;v.emplace_back(a[n - 1][n - 1]);forba(i, 0, n - 2){polymul(v, -x[i]);int l = sz(v);v[l - 1] += a[i][i];}for0(i, n)pr("%g\n", v[i]);for0(i, n){for0(j, n)pr("%g ", a[i][j]);puts("");}double _y = polyval(v, _x);pr("%g\n", _y);pr("%.6e",fabs(_y-cos(_x)));}return 0;}python代码'''Author: cscDate: 2021-04-29 23:00:57LastEditTime: 2021-04-30 09:58:07LastEditors: Please set LastEditorsDescription: In User Settings EditFilePath: \code_py\newton_.py'''import numpy as npdef difference_quotient(x, y):n = len(x)a = np.zeros([n, n], dtype=float)for i in range(n):a[i][0] = y[i]for j in range(1, n):for i in range(j, n):a[i][j] = (a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j])return adef newton(x, y, _x):a = difference_quotient(x, y)n = len(x)s = a[n-1][n-1]j = n-2while j >= 0:s = np.polyadd(np.polymul(s, np.poly1d([x[j]], True)), np.poly1d([a[j][j]]))j -= 1for i in range(n):print('%g' % s[n-1-i])for i in range(n):for j in range(n):print('%g' % a[i][j], end=' ')_y = np.polyval(s, _x)print('%g' % _y)# re_errreal_y = np.cos(_x)err = abs(_y-real_y)print('%.6e' % err)def main():_x = float(input())x = list(map(float, input().split()))y = np.cos(x)newton(x, y, _x)if __name__ == '__main__':main()到此这篇关于详解Python⽜顿插值法的⽂章就介绍到这了,更多相关Python⽜顿插值法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。

牛顿插值法例题求解

牛顿插值法例题求解摘要：I.引言- 介绍牛顿插值法的概念- 简要说明牛顿插值法与拉格朗日插值法的区别II.牛顿插值法的基本原理- 利用差商构造插值多项式- 求解插值多项式的系数III.牛顿插值法例题解析- 例题1：利用牛顿插值法求解三次插值多项式- 例题2：利用牛顿插值法求解四次插值多项式- 例题3：利用牛顿插值法求解五次插值多项式IV.牛顿插值法的应用领域- 数值分析- 数据插值- 机器学习V.总结- 回顾牛顿插值法的优点与不足- 展望牛顿插值法在未来的发展正文：牛顿插值法是一种常用的插值方法，它在数值分析、数据插值和机器学习等领域有着广泛的应用。

本文将首先介绍牛顿插值法的概念，然后阐述其基本原理，接着通过例题解析来帮助读者更好地理解牛顿插值法的求解过程。

最后，我们将总结牛顿插值法的优点与不足，并展望其在未来的发展。

牛顿插值法是一种利用差商构造插值多项式的方法。

与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法具有更高的计算效率，尤其在插值节点较多时，其优势更加明显。

牛顿插值法的求解过程主要包括两个步骤：首先，根据给定的插值节点，计算差商；然后，利用差商构造插值多项式，并求解插值多项式的系数。

在实际应用中，牛顿插值法可以用于求解各种次数的插值多项式。

以下我们将通过三个例题来解析牛顿插值法的求解过程。

例题1：利用牛顿插值法求解三次插值多项式。

给定插值节点：x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3。

首先，计算差商：Δx = x2 - x1 = 2 - 1 = 1Δy = y2 - y1 = -1 - (-2) = 1Δx2 = x3 - x2 = 3 - 2 = 1Δy2 = y3 - y2 = 2 - (-1) = 3然后，利用差商构造插值多项式：y = y1 + Δy * (x - x1)= -2 + 1 * (x - 1)= x - 3最后，求解插值多项式的系数：a0 = y1 = -2a1 = Δy = 1a2 = Δx * Δy = 1 * 1 = 1a3 = Δx2 * Δy2 = 1 * 3 = 3因此，三次插值多项式为：y = -2 + 1 * (x - 1) + 1 * (x - 1)2 + 3 * (x - 1)3例题2和例题3的求解过程与例题1类似，这里不再赘述。

差商与牛顿插值多项式

⇒ f [x, x0 ,⋯, xn−1 ] = f [x0 , x1 ,⋯, xn ] + f [ x, x0 ,⋯, xn ]( x − xn ) (d )
f x x x ] x − xx f [ x,, x00]]= f [ x0 , x1 ] + f [x,, x00,,x11(]( x − 1 )1 ) (b) x
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) f [ x0，x1 ] = + =1时当k =1时, ⇐ f [x0 , x1 ] = x0 − x1 x1 − x0 x1 − x0 利用(1)很容易得到。 (1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1) )可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到只证(1) f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x1 ) （ =1时 = + 证明：）证明： 1）当k =1时, f [x0 , x1 ] = x1 − x0 x0 − x1 x1 − x0
f [x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 ] f [x3 , x4 ] f [x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋮ f [xk−1, xk ] f [xk−2 , xk−1, xk ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋱
f ( x4 )
f [x0 , x1 ,⋯, xk ] = ∑
k j =0
f (xj )
( x j − x0 )(x j − x1 )⋯( x j − x j−1 )(x j − x j+1 )⋯( x j − xk ) k k f (xj) f (x j ) =∑ k =∑ j =0 ′ Π ( x j − x i ) j = 0 ω k +1 ( x j )

ch3.4牛顿插值多项式

一阶向后差分:fk fk fk 1 B差分
C差分
常用结论
2 fk fk 1 fk fk 2 2 fk 1 fk 3 fk 2 fk 1 2 fk fk 3 3 fk 2 3 fk 1 fk 2 fk fk 1 fk fk 2 fk 1 fk 2
差分的性质 (差商与差分的关系)
f k 1 f k f k f [ xk , xk 1 ] , xk 1 xk h
f [ xk 1 , xk 2 ] f [ xk , xk 1 ] f [ xk , xk 1 , xk 2 ] xk 2 xk f k 1 f k 1 2 h h 2 fk , 2h 2h
差商与导数关系
性质3 若f ( x)在[a, b]上存在k阶连续导数，且节点x0 ,, xk [a, b], f ( k ) ( ) 则 f [ x0 , , xk ] , k! [min x0 ,, xk , max x0 ,, xk ]
二、牛顿插值法的基本思路
三、牛顿插值多项式的构造
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x xn1 ) 由插值条件：Pn ( x j ) f j ( j 0,1, , n)
当x x0时，Pn ( x0 ) a0 =f0 f [ x0 ] a0 f [ x0 ]
解题步骤：1、完成差商表 2、求出插值多项式 3、求出插值 4、估计误差
解：
xi 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05
ƒ(xi) 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382

sinx牛顿插值法拟合

sinx牛顿插值法拟合牛顿插值法是一种求解数值逼近问题的方法，适用于已知一组数据点的函数值的情况下，通过这些数据点来逼近函数的解。

牛顿插值法的基本思想是使用多项式来拟合已知的数据点，然后利用这个多项式来近似求解其他数据点的函数值。

多项式的系数可以通过拉格朗日插值法或者牛顿插值法来确定。

牛顿插值法的优点是计算简单，且可以根据新的数据点的添加而进行更快的求解。

下面我们以求解sin(x)函数为例，来演示牛顿插值法的具体过程。

假设我们已知以下几个离散数据点的函数值：x | 0 | π/6 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 5π/6| π |y | 0 | 1/2 | √3/2| 1 | √3/2 | 1/2 | 0 |我们的目标是通过这些数据点来求解sin(x)函数在其他点的函数值。

首先，我们可以根据已知的数据点得到差商表：x | 0 | π/6 | π/3 | π/2| 2π/3 | 5π/6 | π |f(x) | 0 | 1/2 | √3/2 | 1 |√3/2 | 1/2 | 0 |f(x) | | 1/3 | 1 | 2/3| 1/3 | | |f(x) | | | -1/6 | -1/3 | | | |f(x) | | | | | | | |然后，我们可以根据差商表利用牛顿插值公式来构造多项式。

牛顿插值多项式的形式为：Pn(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x -x0)(x - x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x - x0)(x - x1)...(x - xn-1)其中，f[x0], f[x0, x1], f[x0, x1, x2]等为差商，可以通过差商表计算得到。

对于我们的例子，我们可以得到拟合的多项式为：P6(x) = f[0] + f[0, π/6](x - 0) + f[0, π/6, π/3](x -0)(x - π/6) + f[0, π/6, π/3, π/2](x - 0)(x - π/6)(x -π/3) + f[0, π/6, π/3, π/2, 2π/3](x - 0)(x - π/6)(x -π/3)(x - π/2) + f[0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6](x -0)(x - π/6)(x - π/3)(x - π/2)(x - 2π/3) + f[0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π](x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x -π/2)(x - 2π/3)(x - 5π/6)将差商代入多项式中，我们可以得到：P6(x) = 0 + 1/2(x - 0) + 1(x - 0)(x - π/6) + (-1/6)(x - 0)(x - π/6)(x - π/3) + (-1/3)(x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x- π/2) + 0(x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x - π/2)(x - 2π/3) + 0(x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x - π/2)(x - 2π/3)(x - 5π/6)化简之后，我们可以得到最终的拟合多项式为：P6(x) = 1/2x - (3/2)sin(x) + (9/4)sin^2(x) - (5/4)sin^3(x) 通过这个拟合多项式，我们可以近似求解sin(x)在其他点的函数值。

三次牛顿向前插值公式

三次牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计其他未知数据点的函数值。

它基于多项式插值的思想，通过给定的数据点构造一个多项式函数，然后利用该函数来估计其他数据点的函数值。

假设我们有一组已知的数据点，其中每个数据点都有一个对应的函数值。

我们希望通过这些已知数据点来估计其他数据点的函数值。

牛顿向前插值公式可以帮助我们实现这个目标。

具体来说，牛顿向前插值公式使用多项式函数来逼近原始函数。

多项式函数的次数取决于给定的数据点的数量。

公式的形式如下：f(x) ≈ f(x0) + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1, x2] + ...其中，f(x0)、f[x0, x1]、f[x0, x1, x2]等代表函数值或差商。

差商是一种递归定义的概念，用于计算多项式函数中的系数。

牛顿向前插值公式的优点是简单易用，计算效率高。

它可以用于任意次数的多项式逼近，而且在插值区间内具有较高的精度。

然而，它也有一些缺点，例如对于非均匀数据点的插值效果较差。

为了更好地理解牛顿向前插值公式，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设我们有以下一组数据点：x0 = 1, f(x0) = 3x1 = 2, f(x1) = 5x2 = 3, f(x2) = 8我们希望通过这些已知数据点来估计其他数据点的函数值。

根据牛顿向前插值公式，我们可以得到以下逼近多项式：f(x) ≈ 3 + (x - 1)f[1, 2] + (x - 1)(x - 2)f[1, 2, 3]其中，f[1, 2]和f[1, 2, 3]分别表示差商。

根据差商的定义，我们可以计算出它们的值：f[1, 2] = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0) = (5 - 3) / (2 - 1) = 2f[1, 2, 3] = (f[2, 3] - f[1, 2]) / (x2 - x0) = ((8 - 5) / (3 - 2) - 2) / (3 - 1) = 1将以上计算结果代入逼近多项式中，我们可以得到最终的插值公式：f(x) ≈ 3 + 2(x - 1) + (x - 1)(x - 2) = 3 + 2x - 2 + x^2 - 3x + 2 = x^2 - x + 3通过这个插值多项式，我们就可以估计其他数据点的函数值了。

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

53第三节-Newton插值多项式

差商的计算结果要做出一个数据表格
差商表
xk 函数值一阶差商二阶差商
三阶差商 ...
x0 f (x0)
f [ x0 , x1]
x1 f (x1)
f [x0, x1, x2]
f [ x1 , x2]
f [x0, x1, x2 , x3] ...
x2 f (x2)
f [x1, x2, x3]
f [ x2 , x3]
一、差商的概念
1. 差商的定义
定义1
称 f [ x0 , xk ]
f ( x0 ) f ( xk ) 为函数 f (x) x0 xk
关于点x0, xk的一阶差商. 一阶差商的差商(均差)
f [ x0 , x1 , xk ]
f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1 ] xk x1
可表示为
P2( x) P1( x) a2( x x0 )( x x1 ).
显然它满足条件P2(x0)=f(x0)及P2(x1)=f(x1). 令
P2(x2)=f(x2)，则得
f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 )
a2

P2( x2 ) P1( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )

x2 x0
x1 x0
x2 x1
系数a2是函数f(x)的“差商的差商”.
一般情况已知f(x)在插值点上xi(i=0,1, …,n)的值为f(xi)(i=0,1, …,n)，要求n次插值多项式满足条件
Pn( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n,
则Pn(x)可表示为
第三节牛顿(Newton)插值多项式

用牛顿基底求二次插值多项式

用牛顿基底求二次插值多项式好嘞，今天咱们聊聊牛顿基底和二次插值多项式。

听名字可能觉得有点高大上，其实就是个数学小把戏，让咱们在已知的点之间，找到一个好用的公式来预测其他的点。

想象一下，咱们有几个小朋友在操场上玩，记录下他们的身高和年龄。

现在你想知道，一个七岁的小朋友的身高，那可怎么办呢？这时候，牛顿基底就派上用场了。

咱们得知道什么是牛顿基底。

别看它名字长，其实就是一套巧妙的方法，能让你用少量的数据点来推算出更多的值。

比如，你有三个点（x0, y0）、（x1, y1）、（x2,y2），这三个人的小数据就可以帮助你找到一个二次多项式，像个神算子一样，让你能预测出其他的点。

就像咱们知道了几个人的身高，利用这些数据，推算出更多小朋友的身高，简单又方便。

咱们开始动手吧！先把这三个点用一个多项式表达出来。

一般来说，这个二次插值多项式的形式是这样的：P(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1)。

听起来是不是有点复杂，其实不然，咱们一步一步来。

首先得找到a0、a1和a2这几个系数，得用到一些聪明的公式。

首先a0就是第一个点的y值，直接拿过来就行了。

a1和a2就稍微麻烦一点儿，得用差商来计算。

这可像是在做美食，一步一步加料，最后才能出锅。

你会发现，差商这玩意儿特别有趣，像极了生活中的一些小秘密。

简单来说，差商就是用后一个点的y值减去前一个点的y值，还得除以对应的x值差。

比如说，y1y0除以x1x0，这就是a1了。

类似的，a2就需要用到两个差商，听起来是不是有点像谜语？你算出来后，牛顿的魔法就会显现出来，嘿嘿，直接就能求出二次插值多项式。

想象一下，咱们拿到了这个多项式，就像拿到了一张藏宝图。

你只需把想要预测的x值代进去，嘿，你就能得到对应的y值！就好比你知道了小明在操场的身高，咱们就可以大胆推测，小红和小丽的身高也不会差太远。

特别适合那些学数学的孩子，哦不，是年轻的朋友们，哈哈。

别以为二次插值就完事了，咱们还有更深的知识要挖掘。