高等数学考研大总结系列之一预备知识

第一章 预备知识 一， 函数

1 函数的定义：⑪传统定义：如果在某变化过程中的两个变量x ,y 并且对于x 在某个范围内的每一个．．．确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一．．确定的值与之对应，那么y 就是x 的函数。

⑫近代定义：函数就是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。记：

()y x f x f →=:（X ∈A ）其中x 称为自变量，y 称为因变量。()x f 表示函数f 在点x 处

的值，A 称为函数的定义域，记为：()f D ；()(){}

B A x x f A f ⊆∈=称为函数的值域，记为：()f R 。

解析：两变量之间是否构成函数关系，不在于一个变量引起另一个变量的变化，而在于是否存在对应法则（对函数变量的作用模式）使一个变量在其取值范围内任取一值时，另一个变量总有确定的值与之对应。函数的本质就是对应关系。 2 函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

解析：⑪常见函数定义域的求法：①分式函数分母不能为0。②)(*2N n x y n ∈=定义域{}0≥x x 。

③)(N n x y n

∈=-定义域{}0≠x x 。④x

a

y l o g =（ａ>O ，ａ≠1）定义域{}0>x x 。⑤x y tan =定义域⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+

≠Z k k x x ,2π

π。⑥x y cot =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。⑦x y ar csin =定义域{}11≤≤-x x 。⑧x y arccos =定义域{}11≤≤-x x 。⑨x y sec =定

义域⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+

≠Z k k x x ,2π

π。⑩x y csc =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。⑴某些实际问题要注意函数的实际意义。⑵求复杂函数的定义域时要综合考虑取各部分的交集。

⑫在研究函数时要树立定义域优先的原则。 ⑬注意定义域与定义区间的区别：对于初等函数定义区间即为它的连续区间，但须小心定义域与定义区间是不同的例如：1cos -=

x y 的定义域由)(2Z k k x ∈=π这些孤立的点组成

而无定义区间。（结合幂级数的收敛域和收敛区间） ⑭函数值域的常见求法：①配方法（类二次函数）②判别式法（要求X R ∈）③反函数法（即互换法）。④均值定理法。⑤函数的单调性法（一般方法）⑥换元法：㈠代数换元法㈡三角换元法。⑦复数法（利用复数的模）⑧构造法（构造函数，向量（内积与模积的关系），绝对值不等式（利用其性质，两点间距离公式等。）⑨形如)0(>+

=k x

k

x y 的对号函数（图象命名）在不能用重要不等式的情况下（等号不成立）可考虑用函数的单调性当x >O 时，单减区间为(]k ,0，单增区间为[)+∞,k 其分界点为(

)

k k 2,至于x

偶性解决。

3 函数的表示法：⑪具体函数的表示法：①表格法（清晰，直观，精确） ②图象法（形象，明显，易比较） ③解析法，公式法（便于分析与计算）

⑫抽象函数的表示方法：①坐标法()y x ,（概括）②叙述法（语言描述具有启发性） 4 函数的性质（定义域范围内，假设性定义）：㈠界性：①有界性：如果存在正数M 使得

()M x f ≤对任意ｘ∈Ｘ都成立，则称函数()x f 有界；若()M x f ≤则()x f 有上界，若()M x f ≥则()x f 有下界。既有上界又有下界称为有界。②无界性：对于任给的正数Ｍ，

总存在X x ∈使得()M x f >则称函数()x f 无界。即：对任意给定一个正数Ｍ都不可能是

()x f 的界，但相对于每一部分却是有上或下界的。

㈡单调性：设函数R I f →:，对于任意的．．．∈21,x x I （代数角度）

①如果当1x <2x 时恒有()()21x f x f ≤(或()()21x f x f ≥)则称()x f 在I 上是单调增(减) 函数(单调函数)。

②如果当1x <2x 时恒有()()21x f x f < (或()()21x f x f >)则称()x f 在I 上是严格增(减)函数(严格单调函数)。

解析：与导数的关系：设∈21,x x []b a ,那么

()()2

121x x x f x f -->0(或<0)⇔()x f 在[]b a ,上是

增(减) 函数,几何属性: 增(减) 函数图象上任意两点连线的斜率．．．．．．．．．

大于(小于)0。 ㈢奇偶性:设对于任意的x 属于A 有-x 属于A 如果f 在A 上定义并且对于任意的x 属于A 满足()x f - =()x f -（()()x f x f =-)则称f 是一个定义在A 上的奇(偶)函数。 解析：⑪定义域关于原点对称是奇偶性存在的必要条件。

⑫奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称。（利用其画图象） ⑬如果()x f 是奇函数,那么()x f 在关于原点对称的区间上的单调性相同,若为偶函数,那么()x f 在关于y 轴对称的区间上的单调性相反。

⑭一般情况，证明定义在R 奇函数时要考虑特殊点()0,0即:()00=f ；此外若函数()x f 满足()()()y f x f y x f +=+，则函数()x f 是奇函数。

⑮可对关系等式进行四则运算即：①奇函数()()0=-+⇔x f x f 或

()()

1-=-x f x f 。②偶函

数⇔()()0=--x f x f 或

()()

1=-x f x f ，这样的操作对于某些函数是行之有效的。 ⑯奇，偶函数的运算性质：①几个奇函数的代数和为奇函数，几个偶函数的代数和为偶函数。②几个偶函数的积为偶函数。奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数。③奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。④若()x f 是奇函数则()dt t f x

⎰0

是偶函数；

若()x f 是偶函数则

()dt t f x

⎰0

是奇函数。

㈣周期性：设有函数R A f →:如果存在常数0≠T 使对于任意的x ∈A 有A T x ∈+并且()()x f T x f =+则称f 是定义在A 上的周期函数，并且Ｔ是它的一个．．周期。 解析：⑪从()()x f T x f =+来看是自变量x 本身（即：单位x ）加的常数。 ⑫周期函数的周期不止一个，若T 是周期则()Z k kT ∈一定也是周期。

⑬在周期函数()x f 中T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则kT x +也属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集（无界的）。

⑭如果周期函数中存在一个最小的正数就把这个最小的正数叫做最小正周期（或基本周期），但并不是每个周期函数都有最小正周期，如常数函数。

⑮周期函数的定义域不一定是实数集R .如x y tan =。 ⑯若T 是()x f 的周期则()b ax f +(R b a ∈≠,0)其周期为

a

T

。 ⑰如果函数是几个周期函数的和且仍为周期函数此函数的周期为:分子是几个周期的分子的最小公倍数,分母是几个周期的分母的最大公约数。

⑱如何求出周期T :对定义中()x f =()T x f +变形为()x f -()T x f +=0或

()T x f +-()x f =0将T 看作末知量求解.若解出的T 依赖于自变量x 或0则()x f 不是周期

函数。若可以求出不依赖于x 的非零常数解(一般都不唯一)其中最小的正数解．．．．．．就是所求的周期。

⑲若()x f 的周期是T 则()x f /

的周期也是T 。

5 常用的几类函数关系:

⑪反函数:假设函数y=()x f 作为映射()()f R f D f →:我们将f 的逆映射1

-f

叫做

y =()x f 的反函数.

解析：⑪单调性：原函数与反函数在其相对应的定义域内具有相同的单调性。 ⑫奇偶性：原函数是奇函数则其反函数是奇函数，原函数是偶函数则一般不存在反函