第三章+刚体力学基础

分析： 由 每分钟150转 可知
0


t

2 150
60
5 rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
加速转动 减速转动


方向一致 方向相反

r v
例题 一转速为每分钟150转、半径为0.2米的飞轮， 因受到制动而均匀减速，经过30秒停止转动。试求： （1）β和在此时间内飞轮所转的圈数 （2）t=6秒时飞轮的ω （3） t=6秒时飞轮边缘上任一点的线速度、切向加 速度和法向加速度
角加速度β：
t t t , (t) (t t)
(t t) (t)

(t)

lim t0 t

d
dt



d 2
dt 2


即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。
加速转动，β与ω同号； ，0 反之， 。0
与质点运动学相似：
线位移：
s


rA
线速度：
vA

ds
dt

rA
d
dt


rA
线加速度：
aA

dv A dt

rA
d
dt


v2 rA
nˆ

rA

rA
2
n

rA

v
2 A
rA
n
即：
a A rA
a An

v
2 A
rA
rA 2
已知角量就可求出刚体上任意一点作圆周运动的线速 度、切向加速度和法向加速度。 角量充分地描述了刚 体绕定轴的转动状态
2、刚体绕固定轴的转动（较简单）
转轴
定轴转动：各质点均作圆
周运动，其圆心都在一条固 定不动的直线（转轴）上。
A
A
既平动又转动：质心
的平动加绕质心的转动
转 速
1、定义 若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直
的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚 体绕固定轴转动，该直线称作转轴。
（2） 已知角速度的初始条件和角加速度，可得任意时
刻的角速度


0

t
0

t
dt
角加速度不随时间变化的转动叫作匀变速转动
常量 0 t
t 0, 0

0t
1 2
t 2
比较－质点匀变速直线运动和刚体绕定轴的匀变速转动
（线量关系与角量关系）
质点的匀变速直线运动 刚体绕定轴的匀变速转动
2、特点
①刚体中始终保持不动的直线就是转轴。 ②刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直 且为圆周，圆心在轴上。 ③和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。
3、刚体的角坐标θ
如图示：建立O-xyz系，z轴与 转轴重合，O点任意选取，截取 刚体一个剖面o-xy平面，此位置
只要确定，刚体的位置就确定了，除O点外，再选一个 A点，此图形的位置可由矢量来确定，而 矢量的大小是 不变的，方向只需由矢量与x轴的夹角θ来确定，此θ角称为：绕
（1）已知刚体运动的角坐标的初始条件，可由角速度求 出角坐标随时间的变化规律
d tdt tdt t C
t 0, 0 C 0 0


0

t
0
t
dt
对角速度不随时间变化的转动叫匀速转动
常量 ＝t 0
小结:
刚体上各质点的位置、线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体的转动用角量最方便。
角量与刚体上各质点具体位置 无关
角坐标
角位移
d
dt


d
dt

d 2
dt 2



d
dt
v r an r 2 a r
3-1 刚体的基本运动
刚体：任何情况下物体的大小和形状都不发生变化，
即 任意两点间的相对位置保持不变的质点系（物体）
一、刚体的基本运动 ：平动和定轴转动
1, 平动： (可以归结为质点运动的问题) 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A
B
A
B
B
特点：
①刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！
②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但
各质元的速度和加速度却相同。
rj ri rij O
rj


rij
r 根据刚体平动特点

drj dt

dri dt
vj
ijv为i , 恒矢dd2t量r2j

d 2ri dt 2
ri
a j

ai
刚体内任何一点的运动就可代表整个刚体的运动

2 02 2

(5 )2 2 ( )
75 (rad )
6
所以在30秒时间内飞轮所转过的圈数为
N 75 37.5(圈) 2 2
(2)
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0

t

5

(

6
)6

4 (rad
/
s)
(3) 在t=6秒时刻飞轮边缘上任一点的线速度和切向、 法向加速度可分别由公式得
任意质元的角位移 是相同的——是一整体运动的量。
面对z 轴观察：逆时针转动， 0 ；反之， 0。
单位： rad
角速度ω：在 t t t这一过程中，
(t)
lim


d


t0 t dt
即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。
面对z轴观察逆时针转动时： 0；反之， 0。
v v0 at
x

x0

v0t

1 2
at 2
v2 v02 2a(x x0 )
0 t

0
0t

1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
③线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量： 线位移，线速度，线加速度。
如图示：A质元的线速度不同于B质 元的线速度，以刚体上质元A为例：
定轴转动刚体的角坐标。
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。
4、定轴转动刚体运动的描述 ①运动学方程： (t)， 即：角坐标随时间的变化规律。
②描述刚体整体运动的物理量——角量，包括：角位移， 角速度，角加速度。
角位移 ：定轴转动刚体在 t时间内角坐标的增量 。