2017-2018年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

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2017-2018学年河南省某重点高中高二数学上期中考试(理)试题(含答案)

2017-2018学年上期高二期中考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知8a =，60B =°，75c =°，则b =（）A ．B ．C ．D ．3232.等比数列{}n a 中，若234a a +=，4516a a +=，则67a a +=（）A ．64B ．-64C ．32D ．-323.已知等差数列{}n a 中，公差2d =，11n a =，35n S =，则1a =（）A ．5或7B ．3或5C ．7或-1D ．3或-14.ABC ∆中，3AB =，4BC =，5CA =,则BA CA = （）A ．15B ．9 C.-15 D ．-95.已知a b c d 、、、成等比数列，且曲线247y x x =-+的顶点是(,)b c ，则ad 等于（）A ．5B ．6 C.7 D ．126.已知等差数列{}n a 的公差d 为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d 等于（）A ．-4B ．-3 C.-2 D ．-17.已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知2a =，45A =°，若三角形有两解，则边b 的取值范围是（）A ．2b >B ．2b < C.2b << D ．2b <<8. ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知22tan tan a B b A =，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形9. 已知ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B C A B C +-=-，则A =（）A ．60°B ．90° C.150° D ． 120°10.《九章算术》中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（）A ．54钱B ．43钱 C.32 钱 D ．53钱 11.设{}n a 为等差数列，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值时正整数n 等于（）A.4或5B.5或6C.6或7D.8或912.已知锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2a =，224b c bc +-=，则ABC ∆的面积的取值范围是（）A．(3 B．C. (3 D．(3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3sin cos cos a b c A B C ===，则此三角形面积为．14. 数列{}n a 的首项12a =，123(2)n n a a n -=-≥，则7a = ．15.已知等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分别为n S 和n T ，若2113n n S n T n -=+，则1591326812a a a ab b b b ++++++= ． 16. 如图半圆O 的半径为1，P 为直径MN 延长线上一点，且2OP =，R 为半圆上任意一点，以PR 为一边作等边三角形PQR ，则四边形OPQR 面积最大值为___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足cos 23cos()1A B C -+=.（1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积S =5b =，求边a .18.已知等比数列{}n a 满足1192n n n a a -++= ，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式1n n S t a >- ，对一切*n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围.19. 在等差数列{}n a 中，912213a a =+，25a =，其前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}nS 的前n 项和n T ，并证明34n T <.20. 在锐角ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、2sin c A =.（1）确定角C 的大小；（2）当1c =时，求ABC ∆周长的最大值.21. 轮船A 从某港口将一些物品送到正航行的轮船B 上，在轮船A 出发时，轮船B 位于港口O 北偏西30°且与O 相距20海里的P 处，并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A 沿直线方向以V 海里/小时的航速匀速行驶，经过t 小时与轮船B 相遇.（1）若使相遇时轮船A 航距最短，则轮船A 的航行速度大小应为多少？（2）假设轮船A 的最高航速只能达到30海里/小时，则轮船A 以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B 相遇，并说明理由.22.已知数列{}n a 及212()n n n f x a x a x a x =+++ ，且(1)(1)n n f n -=- ,1,2,3,n = .（1）求123a a a ，，的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证:11()133n f ≤<.理科数学（参考答案）一、选择题1-5:CADBB 6-10:ACCDB 11、12：BC二、填空题 13. 94 14. -61 15. 151616. 2+ 三、解答题17.解：（1）∵2(2cos 1)3(cos )1A A ---=解得cos 2A =-或12， ∵0A π<<， ∴1cos 2A =，∴3A π=. （2）∵1sin 2S bc A =，即15sin 23c π=⨯⨯， ∴8c =，∴22258a =+-258cos 3π⨯⨯⨯，解得7a =.18.解：设等比数列{}n a 公比为q ，∵1192n n n a a -++= ，*n N ∈，∴219a a +=，3218a a +=，∴32211829a a q a a +===+，∴1129a a +=，∴13a =， ∴132n n a -= . （2）由（1）知3(12)3(21)12n n n S -==--，∴13(21)321n n t -->⨯⨯-，即 12232n t -<-⨯对一切*n N ∈恒成立. 令12()232n f n -=-⨯，则()f n 随n 的增大而增大. ∴min 24()(1)233f n f ==-=， ∴43t <，∴实数t 的取值范围是4(,)3-∞. 19.解：（1）设等差数列的公差为d ，则由92213a a =+及等差数列的通项公式，得1512a d +=，又214a a d =+=，解得13a =，2d =，则21n a n =+；（2）由（1）知22n S n n =+，即2112n S n n =+1111()(2)22n n n n ==⨯-++，则1211111n n n T S S S S -=++++ 1111[(1)()2324=⨯-+-++ 1111()()]112n n n n -+--++ 1111(1)2212n n =⨯+--++3111()4212n n =-⨯+++. 所以34n T <. 20.解：（12sin c A =及正弦定理得，sin sin a A c c ==. ∵sin 0A ≠，∴sin C =. ∵ABC ∆是锐角三角形，∴3C π=. （2）∵2sin sin sin a b c A B C===，∴2(sin sin )a b c A B ++=+)6A π=+. ∵ABC ∆是锐角三角形，∴62A ππ<<，故sin()126A π<+≤，所以ABC ∆周长的取值范围是(3.21.解：（1）设相遇时轮船A 航行的距离为S 海里，则S ==∴当13t =时，min S =3V == 即轮船A以/小时的速度航行，相遇时轮船A 航距最短.（2）设轮船A 与轮船B 在Q 处相遇，则222400900v t t =+-23020cos(9030)t ⨯⨯⨯-°°，即22600400900v t t=-+. ∵030V <≤， ∴2600400900900t t -+≤，即2230t t -≤，解得23t ≥，又23t =时30V =， ∴30V =时，t 最小且为23，此时POQ ∆中20OP OQ PQ ===， ∴航向为北偏东30°，航速为30海里/小时，轮船A 能在最短时间与轮船B 相遇.22.解：（1）由已知11(1)1f a -=-=-，所以11a =.212(1)2f a a -=-+=，所以23a =.3123(1)3f a a a -=-+-=-，所以35a =.（2）令1x =-，则212(1)(1)(1)(1)n n n f a a a -=-+-++- ，①211121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n f a a a a +++-=-++-++-+- ，②两式相减，得111(1)(1)(1)n n n n a f f +++-=---= 1(1)(1)(1)n n n n +-+--，所以1(1)n a n n +=++,即121n a n +=+，又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21(1,2,3,)n a n n =-= .（3）2335(21)n n f x x x x n x =++++- ，所以2311111()3()5()(21)()33333n n f n =++++- ，③ 2341111111()()3()5()(21)()333333n n f n +=++++- ，④ ①-②得2312111111()2()2()2()(21)()3333333n n n f n +=++++-- ，所以11()133n n n f +=-.又1,2,3,n = ，∴103n n +>，故1()13n f <. 又111121()()0333n n n n f f +++--=>，所以1{()}3n f 是递增数列，故1111()()333n f f ≥=. 所以11()133n f ≤<.。

河南省南阳市2017-2018学年高二上学期期中质量评估数学(理)试题 Word版含解析

2017-2018学年秋南阳市高二理科数学期中试题一、选择题（本大题满分60分，每小题5分）：1、已知：全集{}12>=x x U ，集合{}0342<+-=x x x A ，则=A C U （ C ） A 、(1,3) B 、),3[)1,(+∞-∞ C 、),3[)1,(+∞--∞ D 、),3()1,(+∞--∞3、已知：1>x ，则1-+x x 的最小值为（ B ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 提示：5114)1(21]14)1[(14=+-⋅-≥+-+-=-+x x x x x x 4、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝15，则S 7的值是(B ) A 、28B 、35C 、42D 、7提示：4622a a a =+，54=a ，3572)(74717==+=a a a S 5、已知：数列}{n a 为等比数列，其前n 项和t S n n +=-13，则t 的值为（ C ）A 、1-B 、3-C 、31- D 、1 提示：t t S n n n +⋅=+=-33131，31-=t 或者利用t S n n +=-13求出数列前三项。

6、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ） A 、b = 10，A = 45°，B = 60° B 、a = 60，c = 48，B = 120°C 、a = 7，b = 5，A = 75°D 、a = 14，b = 16，A = 45° 提示：A 选择支是“AAS ”，B 选择支是“SAS ”，显然只有一解。

7无理数表示有理数的一个范例。

由此，=5a （B ）A 、3B 、5C 、8D 、13提示：斐波那契数列：21--+=n n n a a a ，所以，只须求出1,121==a a8、已知在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 4＝16，则|a 1－12|＋|a 2－12|＋…＋|a 8－12|＝(B)． A 、224 B 、225 C 、226 D 、256 9、不等式11>++bx ax 的解集为),3()1,(+∞--∞ ，则不等式022<-+b ax x 的解集为（ A ）A 、)2,3(--B 、)31,21(--C 、),2()3,(+∞---∞D 、),31()21,(+∞---∞提示：11>++bx ax 得0)]1()1)[((>-+-+b x a b x ，由题知方程0)]1()1)[((=-+-+b x a b x 的二根为-1和3 ，易得：3,5-==b a10、在△ABC 中，若2222sin )sin(ba b a C B A +-=-，则△ABC 的形状是( D )． A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等腰或直角三角形提示：)sin(sin B A C +=，易得B A b A B a cos sin cos sin 22=，所以B A 2sin 2sin =，故π=+=B A B A 2222或者11、某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是(C) A 、2日和5日 B 、5日和6日 C 、6日和11日 D 、2日和11日提示：1~12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9日都有值班，8+9=17，所以11号只能是丙去值班了。

2017-2018高二(上学期)期中考试数学(理科)试题附详细答案

2017-2018高二（上学期）期中考试数学（理科）试题考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（） A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（）A.33 B. 33- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．平面ABC ⊥平面ABD B ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ= ，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； ④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6D ．－212．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（）A.1⎤⎥⎣⎦B.1,⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.1,⎤⎥⎣⎦二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________. 14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。

精选2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题理(含解析)

河南省南阳市八校2017-2018学年高二上学期期中联考数学试题（理科）1. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】得，，所以由正弦定理可知，，故选D。

2. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，其中，则角的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理可知，，得，所以角最大值为，故选B。

3. 设，，若，则下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则B、D错，排除；令，则C错，排除；故选A。

4. 如图，要测出山上信号发射塔的高，从山脚测得，塔顶的仰角为，塔底的仰角为，则信号发射塔的高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，的、得，由正弦定理可知，，解得，故选B。

5. 已知数列的前项和为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，得，，，又时，得，，所以，故选D。

6. 若数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，故选C。

7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，的面积为，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】由得，，又，得，，所以，故选A。

8. 2017年国庆节期间，某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动，从山脚处出发，沿一个坡角为的斜坡直行，走了后，到达山顶处，是与在同一铅垂线上的山底，从处测得另一山顶点的仰角为，与山顶在同一铅垂线上的山底点的俯角为，两山，的底部与在同一水平面，则山高（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，由题可知，，所以，，，故选D。

点睛：解三角形的实际应用题型，首先是模型的建立，本题要根据题目条件，画出正确的几何图形模型，再根据题目的条件，利用解三角形的知识，进行目标的求解。

在本题中，可以根据条件的特殊性，直接利用三角形的几何特征求解。

9. 某船开始看见灯塔时在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设船开始位置为，最后位置为，灯塔位置为，则，，由正弦定理得：，即，解得，则这时船与灯塔的距离是，故选D.10. 已知数列为等差数列，，，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，得，，所以时，；时，所以，故选C。

河南省南阳市2017-2018学年高二上学期期中质量评估物

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3.答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分110分，考试时间90分钟。

一．选择题(共12小题，每小题4分，满分48分，在每小题给出的四个选项中，1～8题只有一个选项正确，9～12题有多个选项正确，全部选对得4分，选不全的得2分，选错或不答得0分)1.下列说法中正确的是A.电荷在某处不受电场力的作用，则该处电场强度为零B.一小段通电导线在某处不受磁场力作用，则该处磁感应强度为零C.平行板电容器的电容与电容器所带的电荷量成正比，与两板间电压成反比D.一小段通电导线放在磁场中，导线受到的磁场力与该小段导线长度和电流乘积的比值，就是导线所在位置的磁感应强度大小2.下列说法正确的是A.电阻率仅与材料种类有关，与温度、压力等无关B.电阻率大的导体电阻一定大C.电动势越大的电源，储存的电能越多D.电动势越大的电源，单位电荷通过电源时有越多其它形式的能转化为电能3.如图所示，为电动机的简化模型，线圈abcd可绕轴O1O2自由转动，当线圈中通入如图所示的电流时，顺着O1O2的方向看去，线圈将A.逆时针转动B.顺时针转动C.仍然保持静止D.既可能顺时针转动，也可能逆时针转动4.如图所示，将三个质量相等的带电微粒分别以相同的水平速度由P 点射入水平放置的平行金属板间，已知上板带正电，下板接地，三个微粒分别落在图中A 、B 、C 三点，不计重力作用，则A.三个微粒在电场中运动时间相等B.三个微粒的带电量相同C.三个微粒所受电场力的大小关系A B C F F F >>D.三个微粒到达下板时的动能关系是kA KB KC E E E << 5.在如图所示电路中，当变阻器R 3的滑动头P 向a 端移动时A.电压表示数变大，电流表示数变小B.电压表示数变小，电流表示数变大C.电压表示数变大，电流表示数变大D.电压表示数变小，电流表示数变小6.如图，E =10V ，R 1=4Ω，R 2=6Ω，C =30μF ，电池内阻可忽略.闭合开光K ，稳定后通过R 1的电流为I ；然后将开关K 断开，断开后通过R 1的总电量为Q .则A.I =1A ，Q =1.2×10-4C B.I =2A ，Q =2×10-4C C. I =1.5A ，Q =3×10-4C D. I =1A ，Q =2×10-4C7.如图为三根通电平行直导线的断面图.它们的电流大小都相同，且ab =ac =ad ，则a 点的磁感应强度的方向是A.垂直纸面指向纸里B.垂直纸面指向纸外C.沿纸面由a 指向bD.沿纸面由a 指向d8.如图所示，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器，速度选择器内的匀强磁场和匀强电场相互正交，磁场的磁感应强度为B ，电场的电场强度为E .平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片A 1A 2．平板S 下方有磁感应强度为B 0的匀强磁场．下列表述正确的是A. 速度选择器中的磁场方向垂直纸面向内B.速度选择器中的磁场方向沿纸面向下C.能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于EBD.粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P ，粒子的比荷越小9.如图所示，在点电荷Q 产生的电场中，实线MN 是一条方向未标出的电场线，虚线AB 是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹．设电子在A 、B 两点的加速度大小分别为a A 、a B ，电势能分别为E pA 、E pB ．下列说法正确的是A.电子一定从A 向B 运动B.若a A ＞a B ，则Q 靠近M 端且为正电荷C.无论Q 为正电荷还是负电荷一定有E pA ＜E pBD. B 点电势可能高于A 点电势10.如图所示，电动势为E 、内阻为r 的电源与定值电阻R 0、滑动变阻器R 串联，已知R 0=r ，滑动变阻器的最大阻值是2r .当滑动变阻器的滑片P 由a 端向b 端滑动时，下列说法中正确的是A.电源的输出功率先变大后变小B.定值电阻R 0上消耗的功率先变大后变小C.滑动变阻器消耗的功率变小D.电源的效率变小11.如图所示是一个由电池、电阻R 、开关S 与平行板电容器组成的串联电路，S 闭合。

2017—2018学年度第一学期高二期中考试理科数学答案精品

2017—2018学年度第一学期高二期中考试理科数学答案命题人：冯智颖王彩凤审题人：吴统胜禤铭东一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B2.A3.A4.B5.C6.B7.D 8.C 9.B 10.B 11.A 12.A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.614. 9：4915.y=2x 16.261三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. （本小题满分10分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．……（1分）又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…………………（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，…………………（4分）所以PC∥平面BDE．………………………………………（5分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．……（6分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…………………………（8分）又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC…………………（9分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．……………………………………………………（10分）18.（本小题满分12分）解：（1）把方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）2+（y-2）2=5-m，………（3分）若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5；……………………………………………（5分）（2）把圆x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得：（x-4）2+（y-6）2=16，………（7分）得到圆心坐标（4，6），半径为4，……………………………………………………（8分）则两圆心间的距离d==5，………………………………………（10分）因为两圆的位置关系是外切，所以d =R+r 即4+ =5，解得m =4.……………（12分）19.（本小题满分12分）（1）证明：因为C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AB 是底面圆的直径，所以AC ⊥BC ． ………………………………………………………………………………（1分）因为AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC ， ………………………………（3分）而AC ∩AA 1=A ，所以BC ⊥平面AA 1C ． …………………………………………………（5分）又BC ⊂平面BA 1C ，所以平面AA 1C ⊥平面BA 1C ．………………………………………（6分）（2）解：在R t △ABC 中，当AB 边上的高最大时，三角形ABC 面积最大，此时AC=BC.…………………………………………………………………………………（7分）此时几何体1A ABC 取得最大体积.………………………………………………………（8分）则由AB 2=AC 2+BC 2且AC=BC ，得，…………………………………（10分）所以． …………………………………（12分）20.（本小题满分12分）解：(1)因为直线BC 经过B(2，1)和C(-2，3)两点，由两点式得BC 的方程为y -1= (x -2)，…………………………………………………（2分）即x +2y -4=0． ………………………………………………………………………………（4分）(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x = =0，y = =2． …………………………（6分）BC 边的中线AD 过点A(-3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为 + =1，即2x -3y +6=0． …………………………………………（8分）(3)BC 的斜率k 1=- ，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2=2，…………………………（10分）由斜截式得直线DE 的方程为y =2x +2． ………………………………………………（12分）21.（本小题满分12分）解：（1）因为菱形ABCD ，所以O 为AC 和BD 的中点.因为E 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以EO ∥PC …………………………………（1分）又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EO ∥平面PCD ………………………………（2分）因为F 为BC 的中点，O 为BD 的中点，所以FO ∥CD. …………………………………（3分）又FO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以FO ∥平面PCD ，……………………………（4分）又EO ∩FO=O ，EO ⊂平面EFO ，FO ⊂平面EFO ………………………………………（5分）所以，平面EFO ∥平面PCD ． ……………………………………………………………（6分）（2）EA ⊥平面ABCD ，所以EA ⊥OF过A 作AM ⊥FO 交FO 的延长线于M ，连接EM ，所以FO ⊥平面AEM ，所以FO ⊥EM ，所以∠EMA 为二面角B-OF-E 的平面角……………………（8分）又PA=AD=1，所以AE=2121=PA ，……………………（9分）设FO 交AC 于Q ，又︒=∠120BAD ，易知OAQ ∆为等边三角形，所以433sin 21=⨯=πAM ，………………………（10分）在EAM Rt ∆中，47,43,21===EM AM AE ，所以721cos ==∠EM AM EMA .………………………………………………………………（12分） 22.（本小题满分12分）解：（1）圆C ：（x +2）2+y 2=5的圆心为C （-2，0），半径为，所以圆心C 到直线l ：mx -y +1+2m =0的距离＜．………………………………………………………（2分）所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；………………………（3分）（2）设中点为M （x ，y ），因为直线l ：mx -y +1+2m =0恒过定点（-2，1），………（4分）当直线l 的斜率存在时，，又，k AB •k MC =-1，所以，化简得．…………………………（6分）当直线l 的斜率不存在时，中点M （-2，0）也满足上述方程．………………………（7分）所以M 的轨迹方程是，它是一个以，为圆心，以为半径的圆．……………………………………………………………………………………………（8分）（3）假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心C（-2，0），半径为，则圆心C（-2，0）到直线l的距离为＜……（11分）化简得m2＞4，解得m＞2或m＜-2．…………………………………………………（12分）。

2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题理(含解析)

2. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，其中，则角的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理可知，，得，所以角最大值为，故选B。

3. 设，，若，则下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则B、D错，排除；令，则C错，排除；故选A。

5. 已知数列的前项和为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，得，，，又时，得，，所以，故选D。

6. 若数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，故选C。

7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，的面积为，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】由得，，又，得，，所以，故选A。

在本题中，可以根据条件的特殊性，直接利用三角形的几何特征求解。

高二第一学期期中考试理科数学试卷含参考答案(共3套,word版)

设 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且满足 2c b
cosB ．
a cos A
（ 1）求角 A 的大小； [ 来源 : 学科网ZXXK]
（ 2）若 a 2 5 ，求 ABC 面积的最大值．
18. （本小题满分 12 分）如图，在
中，边上的中线长为，且
，
（ 1）求
15. 某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 ___________．
2
16. 对于数列，定义
为的“优值”，现在已知某数列的“优
值”
，记数列
的前项和为，若
对任意的恒成立，则实数的最大
值
为 ___________。
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）
F
A
B
（II ）求三棱锥 C GBF 的体积．
E
4
22．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆
和圆
．
（ 1）若直线 l 过点 A（﹣ 1，0），且与圆 C1 相切，求直线 l 的方程；
（ 2）设 P 为直线 x
3 上的点，满足：过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 1 和 l 2，它们分别
∴三角形的面积 S
1 bc sin A
5 3 ． ,,,,
．[
4 2, ]
C ． [0,6]
D ． [ 2,6]
3
3
2．在三角形 ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是（
）
A. b=7 ， c=3，C=300 B. b=5 ， c= ，B=450
C. a=6 ， b= ，B=600 D. a=20 ，b=30，A=300

2017-2018学年(上)高二年段期中考理科数学试卷(含答案)

（上）高二年段期中考试卷理数试卷（考试时间：120分钟总分：150分）一．选择题（每小题5分共60分）1．如图，为了测量隧道两口之间AB 的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是（）. ,,. ,,. ,,. ,,A a b B a b C a b D aγαβαβ 2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（）A ．对任意x R ∈,都有20x <B ．不存在x R ∈,都有20x <C ．存在0x R ∈,使得200x ≥D ．存在0x R ∈,使得200x <3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b -<-4．若数列{}n a 是公比为4的等比数列,且12a =,则数列2{log }n a 是（）A ．公差为2的等差数列B ．公差为lg 2的等差数列C ．公比为2的等比数列D ．公比为lg 2的等比数列 5．钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件6．等差数列{}n a 中,83,a a 是方程0532=--x x 的两个根,则此数列的前10项和=10S （）15A 30B 50C291215+D7．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A ．11{|}32x x -<<B ．11{|}32x x x <->或C ．{|32}x x -<<D ．{|32}x x x <->或8．下列函数中，最小值为4的是（）A ．4(0)y x xx=+<B ．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<9．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m10．已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得202=S ， 65,3643==S S ，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A ．1SB ．2SC ．3SD ．4S 11.下列结论中正确的个数是( )①在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为等腰三角形②若等差数列的通项公式为421n a n =-，则5S 为最小值; ③当02x <<时，函数()(42)f x x x =-的最大值为2 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行A . 1B 2 C. 3 D 412．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设正项．．数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，则第31项为（）A ．4BC ．8D ．62二．填空题（每小题4分共20分）13．命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 __________ 14.已知不等式2-2-30x x <的整数解构成递增．．等差．．数列{}n a 前三项，则数列{}n a 的第四项为_______15.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222c a b ab =++，则∠C=____________16．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.17．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图的幻方记为315N =，那么12N 的值为__________三．解答题18.（本题8分）已知命题p : 关于x 的方程10ax -=在[1,1]-上有解;命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围19.（本题12分）（1）已知两正数x,y 满足21x y +=，求xy 的最大值（2）当(1,)x ∈+∞，不等式11x a x +≥-恒成立，求a 的取值范围20.（本题12分） △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若A ，B ，C 成等差数列，且2,AB AC ==，求△ABC 的面积；(2) 若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值21.（本题12分）已知递增．．的等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．22.（本题12分）现在“汽车”是很“给力”的名词，汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n 和n 年累计．．维修费n S （万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点在2(0)y ax bx a =+≠的图象上（如图所示），其中(5,1.05)A 、(10,4.1)B（1）求出累计．．维修费n S 关于年数n 的表达式，并求出第10年的维修费（2）汽车开始使用后，每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担，若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值（年平均耗资费=+车价车主承担的维修费使用年数）23.（本题14分）（实验班）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< .晋江二中2014-2015学年（上）高二年段期中考试卷理数试卷答题卡一．选择题（每小题5分共60分）二．填空题（每小题4分共20分）13._______________________________________________14.______________________ 15.____________________16.______________________ 17.______________________三.解答题（共70分）第18题第20题第22题一．选择题（每小题5分共60分）二．填空题（每小题4分共20分）13 200x x m m +-=>若有实数根则 14. 3 15. 23π16. -2 17. 870 三、解答题第18题.第20题解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 第22题第23题【答案】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴= (2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. (3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦。

河南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(六)

河南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（六）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合M={x|﹣4≤x≤7}，N={x|x2﹣x﹣12＞0}，则M∩N为（）A．{x|﹣4≤x＜﹣3或4＜x≤7} B．{x|﹣4＜x≤﹣3或4≤x＜7}C．{x|x≤﹣3或x＞4} D．{x|x＜﹣3或x≥4}2．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．23．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．274．有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④5．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件6．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n7．在△ABC中，a=2，b=2，B=，则A等于（）A．B．C．或 D．或8．若x、y满足条件，则z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣C．2 D．﹣59．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．910．已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．12．若x，y∈R+，且2x+8y﹣xy=0，则x+y的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上。

河南省南阳市2017届高三上学期期中高质量评估数学理

实用文档届高三上学期期中质量评估河南省南阳市2017数学试题（理）60分）第Ⅰ卷（共在每小题给出的四个选分.,共6012个小题,每小题5分一、选择题：本大题共项中，只有一项.是符合题目要求的}P|t?M,b}?{tP?{aMP，集合）关系为（，则 1.已知集合与M?PP?P?MM M?P．B．A．C．D a i ia??i)z?(3z）的值为（复数（为纯虚数，若为虚数单位），则实数2.11?．B．3 C．-3 DA．33BC3)4,?AC?(?2)A(0,1)B(3,，向量，）等于（，则向量3.已知点(1,4)1,4)(??4)(7,4)(?7, DB．．A．C．???5?2sin??cos?tan）（4.，则若11?-2 D B．A． 2 C. ．22an5)?a?3(aS}{aS，则的值为（）5.设的前是等差数列项和，852nn a35311．．． C.D BA6635?????b,a)?(,2)?b(2cos(0,,2sin?)a?）（，，的夹角为，已知向量6.则向量2???3??????? A．．B． C. D222????))(|??x)?sin(2x|f()xg(的7.的图象向左平移个单位长度后，所得函数将函数26?][0,)f(x在图象关于原点对称，则函数）的最小值为（23311??D．B． C. A．2222n?mba0)(fx??bxax?xf()(?)(?)2?,n,m，则实数已知8.是方程，的两根，且实用文档a,b,m,n的大小关系是（）m?a?b?na?m?n?ba?m?b?n． C. B．A m?a?n?bD．bb??dx)g((x)dx?xfba?]b[a,),g(gf(x),(x)x)f(x为区间则称若函数9.已知，满足，aa上的一组“等积分”函数，给出四组函数：f(x)?2|x|,g(x)?x?1f(x)?sinx,g(x)?cosx；③①；②322?x)?,g(xf()?1?xxf(x),g(x)[?1,1]上的奇函数且积分分别是定义在；④函数4值存在.[?1,1]上的“等积分”函数的组数是（其中为区间）A．1 B． 2 C. 3 D．4nS?10S?15a{a}S的最大值为（，若10.设等差数列），，则的前项和544nn A． 2 B．3C. 4 D．5'0?x)(xf)xf(R时，是定义在，当11.已知函数上的奇函数，其导函数为'0x)x)?xf?(2f(f(1),2016f(2016),2017f(2017)的大小关系为则（恒成立，）2017f(2017)?2016f(2016)?f(1)A．2017f(2017)?f(1)?2016f(2016) C.B．f(1)?2017f(2017)?2016f(2016)f(1)?2016f(2016)?2017f(2017)．D33a?y?3)?2016(2?x?3)a(2y?3)?2016(x(?3)?y,x，已知实数12.分别满足：，22x?4x?4y）的最小值是（则3026 C. 28 DA．0 B．．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）?3sin2x??sin(x)的值为13.．，则若45实用文档2a0}a?{x|x?A?BA?C2}|x?B?{x的取值范围，若集合，，则实数14.R．是DCOB?OCB C,BDA的一个内分点，中，对称，如图，已知分成是将关于点2:115.??OAOAOE?E交于点，若和，则实数．的值为x21.5}}?{{{x?{x}}xf(x)?，，其中16.定义函数表示不小于的最小整数，如*N?n],nx?(0,AA)f(x22.5}??{?中元素的个数为的值域为，记集合，当时，函数nn?aa．，则nn解答应写出文字说明、证明过程或演.小题，共70分三、解答题（本大题共6 ）算步骤.分）17. （本小题满分103?x?(x)?2f1)a?x1)(2a?)]((x)?lg[(x?a?gBA. 的定义域为的定义域为设，1x?BA,；1）求（aB?q:xp:x?A,q?p?. 充分不必要条件，求实数是2（）若，的取值范围分）18. （本小题满分12c??aba3?b?ABC?c,CB,a,bA,.，已知设所对的边分别为的内角，B?sinsin?B)AAsin(B；）求角（13ABC??sinA. ）若，求的面积2（3分）（本小题满分1219.(1,2)?acba,,.已知：是同一平面内的三个向量，其中实用文档a/c/c5?2|c|，且（1）若，求的坐标；5?b?2aa?2bba?|b|. ）若（2，且与垂直，求的夹角220. （本小题满分12分）xx?21?k?4f(x)?.已知函数xx?241?x?Rk0)?f(x的取值范围；）若对任意的恒成立，求实数，（1k)(xf的值，求实数（2）若. 的最小值为-221. （本小题满分12分）*b?log(a?1)2aa}?{)na?3a?2(?2,n?N.满足，且，设数列nn31n1?nn{a?1}为等比数列；（1）证明：数列n n}b{aS；项和（2）求数列的??c c?.前nnnnn31）设，证明：（3nn4aa i?11nn?22. （本小题满分12分）x)R(a?e?1?ax)f(x?. 已知函数)xf(的单调区间；（1）求函数xxlnx)?)?(0,2]F(x?f(x时，讨论函数零点的个数；）当（2x1?0?a x?ln((gx)?e?1)ln)x?(x)]f(gf[. ）若3（时，求证：，当实用文档试卷答案一、选择题:DDABD ACACC DC．．．．．．．．．．．．．．．．．．1)n?n(7??,4???a．13.15.0.8 16. 14.二、填空题：n252三、解答题：?????,?1??-1,A=，即（17.解：1）由2﹣，解得x＜﹣∪1或x≥1≥…………2分0 2a）＜0，a﹣1）（x﹣﹣由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0得：（x ………………5分（2a，a+1）．1a ＜得a+1＞2a，∴2a＜x＜a+1，∴B=由q充分不必要条件，x∈B，￢p是￢：（Ⅱ）∵p：x∈A，q q必要不充分条件，∴p是∴或，a≤﹣2解得≤a＜1，或10分的取值范围为（﹣∞，﹣故实数a2]∪[，1）………………ca?a?bc?a?ba??所以（Ⅰ）因为18. 解：．．．．．．．．．．．．BsinA?)sin(A?Bsinb?ca2221bac?ca?222?B?cos??c?ac??a?b2ac22ac ????B)B?(0,，又………………6分．．．．．．．．．．33ab3b?2?a?Asin ? .，，，得（Ⅱ）由．．．．．．．．．3BAsinsin实用文档6ba?? AcosB?A，由，从而得．．．．．．32?BB?cos Asin Asin C?sin(A?B)?sincos .故．．613?32ABC??Cabsin S?. ………………12所以分的面积为．．．．．．．．．．．．．．．．22）设（1，19.解：∥，且，∵||=2，解得∴，或故分或6．………………．．．．．．．．．．．（）∵，2，∴即，∴，整理得，…∴，π．………………，∴θ=12分又∵θ∈[0，π]xxxx恒成立，2恒成立，等价于（＞）因为20.解：（14+2+10，所以fx）＞04+k?+1＞0xx﹣﹣＞﹣即k22恒成立，x﹣xx﹣x﹣xx）≤﹣2=﹣因为﹣22﹣（+222＞﹣；kx=0=22，当且仅当即时取等号，所以6分………………．．．．．．．．（）2，，则令，实用文档时，无最小值，舍去；k＞1当2，舍去；时，y=1最小值不是﹣当k=1时，，最小值为，当k＜1 ………………12分综上所述，k=﹣8．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．??*（1）+1??a3a?N?a3a?2?n?2,n,(1)21. 证明n?1n1n?n2,a?0+1??a又1n}?1{a 4分所以数列为等比数列；………………nnnn n?log(a?1)b?n?1)?n?3?ab?n(3?1?3?a）知，，（2）由（1nn3nnn设nn11331)??(?c?）（3??(c??)?所以，n1?nnn?n12aa1?13?1)33?)((3?11n?nnn111ii1i?21?3?131ii?1?1111111???L??-?-???1nn?2231?1313-13-13?-23-13??111111?????? 12分………………?????0a???-?,)(xf f(x)?01n?n?1424(3?1)23-13?1??x?a?)?ef(x，22.解：（1）只有增区间时，当，此时，??xaln?a?0a?xln0xf()?)?0f(x得得时，由当，，由实用文档????lna,??,lna-?)(xf的单调增区间为. ，减区间为所以此时??0?a-?,??)x(f的单调增区间为综上：当时，；????0?a ln a,??-?,lna)f(x的单调增区间为时，当. ，减区间为………………4分????x0xF???lnxax?e?1?ln?Fxxax得，由（2），x?1ex????xx1?1e??1ex???????lnxhx?xh设，，2xx??????1?x?2x?0 1??h0h?0xx时，；当当时，??????2,x110,h上单调递增单调递减，在所以在2?1e????1?he1??2?lnh2，又，2??0x?x?0???xh，且当时，??xh的图像如图所示：函数??1?ea?xF没有零点；故当时，函数2?e1a?e?1a?2?ln或当时有一个零点；22?e1?a??ln2e?1当时有两个零点. ………………8分2??1??0a,??lna)f(x在上单调递增，（3）由（时，1）知，当????x?(x)]fgf[xlna?gx?，只需证即可故要证.??x0?xx1)egx?ln(??ln知由，实用文档????????xx????0,x??0?-1xe??e-1-xx在，，所以上单调递增，111????????x??x axlnx??00??0g0x?ln?lne?1x1e?-.，所以，所以所以，所以11????????xxx1?lnx?e?lnex?g?x?x?lnx?lne?1，??????????xxx??????0,x ?ex?1ex?x??e??0x设上单调递增，在，，所以222????????????xxxx??xxg??0?0x0e?xe?ln?1?ln??e1?xe即，所以，所以，所以，22??x?g[(x)]ff分. (12)。

2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)科试卷(word版附答案)

A 2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）科试卷1、考试时间：120分钟2、满分：150分3、考试范围：命题，圆锥曲线，空间几何一,选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1.命题：“0x R ∃∈，020x≤”的否定是（）A ．0x R ∃∈，020x >B ．不存在0x R ∈，020x> C ．x R ∀∈，20x >D ． x R ∀∈，20x ≤2.抛物线22x y =的焦点坐标是( ) A.)0,1(B. )0,21(C. )81,0(D. 41,0(3.x y 2=，则该双曲线的离心率为( )AB ．2CD 4.如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点，若B A =11，,,111c A A b D A ==则下列向量中与M B 1相等的是（）A ．+--2121B ．++2121C ．+-2121D ．++-21215.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.“|x|<2”是“x 2-x-6<0”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD =60º，且A 1A=3，则A 1C 的长为（）A B ．8．空间四边形OABC 中，OA=6,AB=4,AC=3,BC=6，∠OAC ＝∠OAB ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A.21B.22C ．121D ．619.已知椭圆)20(14222<<=+b b y x 的左，右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，若22AF BF +的最大值为5，则b 的值是( ) A. 1 B.2 C.23D.310.已知命题:p 椭圆2241+=x y 上存在点M 到直线:20+-=l x y 的距离为1，命题:q 椭圆2222754+=x y 与双曲线22916144-=x y 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）A ． ()∧⌝p qB ．()⌝∧p q C. ()()⌝∧⌝p q D ．∧p q 11. 如图，过抛物线x y 42=焦点的直线依次交抛物线和圆1)1(22=+-y x 于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |·|CD |＝( )A ．4B ．2C ．1 D.1212.已知A,B,P 是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积32=∙PB PA K K ，则该双曲线的离心率为（） A.315B.25C. 210D.2二、填空题（每小题5分，共25分）13. 若双曲线22116y x m-=的离心率e=2，则m= 。

河南省南阳市2018届高三上学期期中质量评估数学（理）试题Word版含解析

河南省南阳市2018届⾼三上学期期中质量评估数学（理）试题Word版含解析2017年秋期中考试三数学试题（理）及答案⼀．选择题：1. 已知集合，，则A∩B=（）A. B. C. （0，1] D. （0，3]【答案】D【解析】由解得，所以，由解得，所以，故，选D.2. 复数满⾜，则z=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，根据复数相等的定义得：，，所以，故选A.3. 设命题：，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据命题的否定，有量词要改变量词，然后否定结论，所以为：，故选D.4. 设{}为等差数列，公差，为其前n项和，若，则=（）A. 18B. 20C. 22D. 24【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利⽤⾸项和公差d表⽰出第11项，让其等于0列出关于⾸项的⽅程，求出⽅程的解即可得到⾸项的值．解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1-2（11-1）=0，解得a1=20．故选B考点：等差数列的性质点评：此题考查学⽣掌握等差数列的性质，灵活运⽤等差数列的通项公式化简求值，是⼀道基础题5. 若是正数，且，则有（）A. 最⼩值B. 最⼩值D. 最⼤值【答案】A【解析】由均值不等式可得所以，当且仅当时取等号，故选A.6. 在△ABC中，，，，则此三⾓形解的情况是（）A. ⼀解B. 两解C. ⼀解或两解D. ⽆解【答案】B【解析】因为，三⾓形有两解，所以选B.7. 已知函数g(x)是R上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数x的取值范围是( )A. (－2,1)B. (－∞，－2)∪(1，)∪(，＋∞)C. (－1,2)D. (－2，－)∪(－，0)∪(0,1)【答案】D【解析】因为时，是增函数，且g(x)是R上的奇函数，所以时，是增函数，因此是增函数，所以由可得，，且，解得且，故选D.8. 已知是定义域为，值域为的函数，则这样的函数共有（）个.A. 6B. 27C. 64D. 81【答案】A【解析】因为，，所以必须是⼀⼀映射，故可形成函数个，故选A.9. 若函数有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是( )A. (－4,0)B. (－4,0]C. (－∞，0]D. (－∞，0)【解析】因为，当时，是函数的唯⼀⼀个零点，所以当时，有且只有⼀个零点，令，，所以只需有⼀个交点即可，如图所⽰：所以k的取值范围，故选C.点睛：本题涉及分段函数，⼆次函数，对数函数，以及函数零点，⽅程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题.⼀般讨论函数零点个数问题，都要转化为⽅程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能⼒要求较⾼.10. 已知O是所在平⾯内的⼀定点，动点P满⾜，则动点P的轨迹⼀定通过的（）A. 内⼼B. 垂⼼C. 外⼼D. 重⼼【答案】A【解析】因为，所以是⾓A的⾓平分线，故P点的轨迹是A的⾓平分线，故⼀定过的内⼼，故选A.11. 已知有穷数列中，n=1,2,3,,729.且.从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为⾸项，-3为公⽐的等⽐数列.记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（）A. B. C. D. 与的⼤⼩关系不确定【答案】A【解析】因为，，所以，当时，是中第365项，符合题意，所以,所以，选A.12. 4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不⼩于22元，⽽6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不⼤于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最⼤值是（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】设⼀枝玫瑰花与⼀枝茶花价格为x圆和y元，则有，令，如图作出可⾏域：当过点A时，有最⼤值，，故选B.点睛：本题考查线性规划问题，解决实际问题的能⼒，于中档题．解决此类问题时，⾸先将实际问题转化为数学问题，然后根据线性规划的解题思路，作出可⾏域，根据直线截距的⼏何意义，求得当直线经过那个点时，⽬标函数有最优解，从⽽解决实际问题.⼆．填空题：13. 已知则=_____．【答案】【解析】∵，∴或故填.14. 在中，,.若为的外⼼，则______．【答案】288【解析】过O作,垂⾜分别为S，T，则S，T分别是AB，AC的中点，，故填.点睛：本题主要考查向量的数量积运算，以及三⾓形外⼼的性质，涉及向量的线性运算，属于中档题.本题关键是作出垂直后，利⽤向量数量积的⼏何意义，向量的数量积可表⽰为⼀个向量在另外⼀个向量的投影的乘积，再根据外⼼的意义，可求出投影的长度，从⽽避免了求⾓的过程.15. 下列结论：①是的充要条件②存在使得；③函数的最⼩正周期为；④任意的锐⾓三⾓形ABC中，有成⽴。

2017-2018学年高二数学上学期期中质量评估试题理(含解析)

河南省南阳市2017-2018学年高二上期期中质量评估数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C...............2. 设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，取，不能推出，又取，推不出，而，，又是非零实数，则，则.选C.3. 在中，角的对边分别为，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据正弦定理，，，，故为锐角，，，选A.4. 等比数列的前项和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】时，，时，，要求，选B.5. 甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同.其中，甲每次购粮用去元钱，乙每次购买的，谁的购粮方式更合算（）A. 甲B. 乙C. 一样D. 不能确定【答案】A【解析】设第一次采购时粮食价格为每千克元，第二次采购时粮食价格为每千克元，则甲的平均价格为，乙的平均价格为，，所以乙的狗粮方式更合算.选A.6. 已知等比数列中，，则其前三项的和的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等比数列公比为，，，当时，，，当时，，，前三项的和的取值范围是.选D.7. 一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向航行分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A. 海里/小时B. 海里/小时C. 海里/小时D. 海里/小时【答案】B【解析】设货轮的速度为每小时海里，货轮从M处航行30分钟到达N处，则海里，海里，，则，根据正弦定理得：，海里/小时,选B.8. 已知均为正数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，选B.9. 已知方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】设，利用一元二次方程的根的分布得：，，解得：，.选B.10. 小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（）万元. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】设每年应还万元，则，，选.选B.11. 在中，角的对边分别为，，若有两解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当，，即时有两解.选D.12. 设为等差数列，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】为等差数列,有最小值，则，，又，说明，，，则，，，则为最小正值.选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知满足，则的最大值是__________．【答案】【解析】画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距型，直线的截距越大越大，根据图形求出最优解为，代入目标函数，则的最大值是5.14. 设数列的通项公式为，则__________．【答案】【解析】15. 设是等差数列的前项和，且，则__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以又成等差数列,所以即考点：等差数列性质16. 在中，已知，是边上一点，如图，，则__________．【答案】【解析】，根据余弦定理，，，，根据正弦定理，则.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，不等式的解集是.（1）求的解析式；（2）若对于任意，不等式恒成立，又已知，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：已知一元二次不等式的解集求参数的方法是利用根与系数关系，一元二次不等式恒成立问题，首先研究二次项系数为0的情况，然后利用图象观察，不等式小于或等于零恒成立，只需二次项系数大于0，判别式小于或等于0，与t<0求交集，就是参数t的取值范围.试题解析：（1）由已知的解集是，所以是方程的两个根，由韦达定理知，.（2）对任意不等式恒成立等价于对恒成立即对恒成立因为，所以只需所以所以的取值范围是.【点睛】本题为解含参的一元二次不等式，若二次项的系数含有参数，先对二次项系数分类讨论，先讨论二次项系数为0的情况，再考虑二次项的系数不为0时，分二次项系数大于0，和小于0两种情况，比较两根的大小，根据不等式的要求写出不等式的解集；当二次项的系数不含参数时，讨论判别式的情况，若有根则求根，若两根大小不定时，还要讨论两根的大小，根据不同情况，画出抛物线属性结合，写出解集. ：已知一元二次不等式的解集求参数的方法是利用根与系数关系，一元二次不等式恒成立问题，首先研究二次项系数为0的情况，然后利用图象观察，不等式小于或等于零恒成立，只需二次项系数大于0，判别式小于或等于0.18. 在中，角所对的边分别是，已知.（1）求；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，本题利用正弦定理“边转角”后，得出角C，第二步利用余弦定理求出边a，c，再利用面积公式求出三角形的面积.试题解析：（1）由正弦定理，得，因为，解得，．（2）因为．由余弦定理，得，解得．的面积．【点睛】利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，已知两边及其夹角求第三边或已知三边求任意角使用于心定理，已知两角及任意边或已知两边及一边所对的角借三角形用正弦定理，另外含经常利用三角形面积公式以及与三角形的内切圆半径与三角形外接圆半径发生联系，要灵活使用公式.19. 某工厂拟造一座平面为长方形，面积为的三级．．污水处理池.由于地形限制，长、宽都不能超过，处理池的高度一定.如果池的四周墙壁的造价为元，中间两道隔墙．．．．．．的造价为元，池底的造价为元，则水池的长、宽分別为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？【答案】, .【解析】试题分析：应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.首先根据提议设出未知数，根据各项造价表示出总造价建立函数模型，根据实际需要写出函数的定义域，由于，借助a，b关系进行减元，化为只含有a的函数关系，再利用均值不等式求最值.试题解析：设污水处理水池的长、宽分别为，总造价为y元，则，，易知函数是减函数，所以当时总造价最低,最低造价为45000元.【点睛】应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.首先根据提议设出未知数，根据各项造价表示出总造价建立函数模型，根据实际需要写出函数的定义域，当把实际问题转化为数学问题后，再利用数学知识解决函数问题，最后给出实际问题相应的答案.20. 设是数列的前项和，.（1）求证：数列是等差数列，并求的通项；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】试题分析：当数列提供与、之间的递推关系时，要数列是等差数列，只需利用，转化为、之间的关系，证明某数列是等差数列，就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.试题解析：（1），∴，即，，∴数列是等差数列．由上知数列是以2为公差的等差数列，首项为，∴，∴．∴．（或由得）,由题知，,综上， .（2）由（1）知，∴，∴．【点睛】证明某数列是等差数列，就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.21. 在中，角所对的边分别为，.已知.（1）求角的大小；（2）设，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，本题利用余弦定理“边转角”后，根据三角函数关系进行恒等变形，求出角B，根据三角形内角和定理得出角A与角C的关系，代入后进行减元，化为关于角A的三角函数式，借助辅助角公式化为的形式，根据角A的范围，求出T的范围.试题解析：（1）在△ABC中，，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以．（2）因为，所以，故，因此，所以 .【点睛】利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，利用余弦定理“边转角”后，根据三角函数关系进行恒等变形，求出角B；有关范围问题的解决方法有两种，一种是利用边的关系借助基本不等式去解决，另一种方法是利用降幂公式和辅助角公式、减元等把函数化为性质问题，利用 x的范围，求出y 的范围.22. 已知数列的前项和，是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由题意知，当时，,当时，符合上式,所以 ,设数列的公差为由即,可解得,所以.（2）由（1）知另又，得, ,两式作差得,所以.【点睛】已知数列的前n 项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.- 11 -。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=05．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞26．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知A （4，0）、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A ．2B ．6C ．3D ．210．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A ．B ．C ．D ．12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（）A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△A BC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18．已知圆C 的半径为1，圆心C 在直线3x ﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C 被直线x ﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点A （0，3），若圆C 上总存在两个点到点A 的距离为2，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．19．如图，已知抛物线C ：x 2=2py （0＜p ＜4），其上一点M （4，y 0）到其焦点F 的距离为5，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．20．直线l过点M（2，1），且与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积的值．21．如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．22．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在【考点】直线的倾斜角．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】由于AB⊥x轴，可得倾斜角α=90°．【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0°，180°），∵AB⊥x轴，∴α=90°．故选：C．【点评】本题考查了垂直于x轴的直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将抛物线化为标准方程形式，进而根据抛物线的性质得到准线方程．【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的标准方程为：x2=y，其准线方程为：y=﹣，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．5．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，可得（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，∴（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，化为（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】讨论直线的斜率不存在和存在，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，讨论二次项的系数为0，大于0，小于0，判断方程的解的情况，进而判断直线和双曲线的交点情况．【解答】解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，可得（1﹣4k2）x2=4，①当1﹣4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；当1﹣4k2＞0，即有﹣＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；当1﹣4k2＜0，即有k＜﹣或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点．综上可得符合条件的直线不存在．故选A．【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于基础题．7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】数形结合；分析法；直线与圆．【分析】要使|PA|最小，只有|OP|最小，利用点到直线的距离公式求得|OP|的最小值d，利用勾股定理可得|PA|的最小值．【解答】解：要使|PA|最小，只有|OP|最小，如图所示：而|OP|的最小值，即为原点O到直线的距离d，由于d==2，故|PA|的最小值为==，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体出了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可设双曲线的标准方程为，从而可得出渐近线方程，根据一条渐近线和l垂直，可以求出这条渐近线的斜率，从而得到，而根据焦点到l的距离为3可以求出c=，再根据c2=a2+b2便可求出a2，b2，从而得出双曲线C的标准方程．【解答】解：设双曲线的标准方程为：；∴渐近线方程为，；直线l的斜率为；∴；又（0，c）到直线l的距离为3；∴；∴；∴a2+b2=3b2+b2=12；∴b2=3，a2=9；∴C的标准方程为．故选：A．【点评】考查双曲线的标准方程，根据双曲线的标准方程可以求出其渐近线方程，相互垂直的直线的斜率的关系，以及点到直线的距离公式，c2=a2+b2．9．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选A ．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．10．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥，|OM|≤2．再根据M （x 0，2+x 0），求得x 0的取值范围．【解答】解：过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O 上存在一点N 使得∠OMN=．∴若圆O 上存在点N ，使∠OMN=，则∠OMR≥． ∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x 0，2+x 0），|OM|2=x 02+y 02=x 02+（2+x 0）2=2x 02 +4x 0+4，∴2x 02+4x 0+4≤4，解得，﹣2≤x 0≤0．∴x 0的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点评】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，故|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，运算求得结果．【解答】解：由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2=﹣2=3﹣2，故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，是解题的关键12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求出双曲线C 2的离心率．【解答】解：a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，∴C 1的离心率为：，双曲线C 2的方程为，∴C 2的离心率为：，∵C 1与C 2的离心率之积为，∴•=，∴（）2=，即=，则C 2的离心率： =，故选：D 【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率的求法，基本知识的考查，难度中档．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．【解答】解：∵F 是抛物线y 2=5x 的焦点F （，0），准线方程x=﹣，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴|AF|+|BF|=x 1++x 2+=10，解得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点横坐标为：．∴线段AB 的中点到y 轴的距离是．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ﹣6 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y 得y=﹣x+z ，则直线截距最大时，z 也最大．平移直线y=﹣x+z 由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线y=﹣x+z 的截距最大，此时z 最大为12，即x+y=12，由，得，即B （6，6），此时B 也在直线y=k 上，∴k=6，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线y=﹣x+z 的截距最小，此时z 最小，由，即，即A （﹣12，6），此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案为：﹣6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（﹣1，0），当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d==r=1，求出m 的值，数形结合求出实数m 的取值范围．【解答】解：由题意可知曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0表示两条直线y=0和y ﹣mx ﹣m=0，由直线y ﹣mx ﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m 2=，m=±．则直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相交时，m ∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，可得右焦点，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程，求得P 的坐标，注意舍去横坐标大于3的点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：椭圆16x 2+25y 2=400即为+=1，即有a=5，b=4，c=3，右焦点F 2（3，0），由P 在x 轴上方，且直线PF 2的斜率为，可得P 的横坐标小于3，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程可得，27x 2﹣150x+175=0，解得x=（＞3，舍去），即有P 的纵坐标为y=﹣2（﹣3）=，则则△PF 1F 2的面积为•|F 1F 2|•y P =3•=8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边AB 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；（2）设直线l 的方程为：，即，利用斜率计算公式可得，再利用相互平行的直线斜率相等的性质可得，解得即可．【解答】解：（1）∵， ∴边AB 上的高所在直线的斜率为﹣2，又∵直线过点C （5，4），∴直线的方程为：y ﹣4=﹣2（x ﹣5），即2x+y ﹣14=0．（2）设直线l 的方程为：，即，∵，∴，解得：，∴直线l 的方程为：．∴直线l 过点，三角形斜边长为∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【点评】本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x﹣y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），因为圆C的半径为1，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，所以圆心C到直线x﹣y+3=0的距离，又，所以，解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1或（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．（Ⅱ）设圆A：x2+（y﹣3）2=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：，由整理得5a2﹣9a+4＞0，解得或a＞1；由整理得5a2﹣9a＜0，解得．所以或．【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．19．如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用点在曲线上，以及抛物线的定义，列出方程求解即可．（Ⅱ）利用方程组，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理x 1+x 2，x 1x 2，利用，求解即可．【解答】解（Ⅰ）由题意，，解得p=2或p=8，由题意0＜p ＜4，所以p=2，y 0=4．所以抛物线标准方程为x 2=4y ．（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l 的方程的方程为：y=kx+1，解方程组，消去y ，得x 2﹣4kx ﹣4=0，显然△=16k 2+16＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k①，x 1x 2=﹣4②又，所以，即x 2=﹣2x 1③由①②③消去x 1，x 2，得，由题意，故直线l 的方程为．【点评】本题考查抛物线方程的求法，仔细与抛物线的综合应用，考查计算能力．20．直线l 过点M （2，1），且与椭圆交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）若点M 是弦AB 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 过椭圆的左焦点，求数量积的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；设而不求法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，两式作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，计算可得斜率，再由点斜式方程，可得所求直线方程；（Ⅱ）求得直线FM 的斜率，可得直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，，两式作差得，因式分解得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0，所以，即，所以l 方程为：x+y ﹣3=0．（Ⅱ）因为F （﹣2，0），M （2，1），所以l 斜率，所以l 方程为：x ﹣4y+2=0，联立解方程组，得9y 2﹣8y ﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以，，x 1x 2=（4y 1﹣2）（4y 2﹣2）=16y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4，所以=x 1x 2+y 1y 2=17y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4=．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法求直线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．如图，直线y=kx+b 与椭圆=1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．（I ）求在k=0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（Ⅰ）设出点A ，B 的坐标利用椭圆的方程求得A ，B 的横坐标，进而利用弦长公式和b ，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB 的长度的表达式，利用O 到直线AB 的距离建立方程求得b 和k 的关系式，求得k ．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A 的坐标为（x 1，b ），点B 的坐标为（x 2，b ），由，解得，所以=≤b 2+1﹣b 2=1．当且仅当时，S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k 2﹣b 2+1，=．②设O 到AB 的距离为d ，则，又因为，所以b 2=k 2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22．已知动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点P （﹣2，1），动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ，PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m ，代入y 2=4x ，利用韦达定理，结合k PA +k PB =2k PG ，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设Q （x ，y ），根据题意得，…整理得y 2=4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2=4x ．…（Ⅱ）设存在符合题意的定点G ．设直线的方程为x=ny+m （n≠0且n ∈R ），则G （m ，0）．…将x=m+ny 代入y 2=4x ，整理得y 2﹣4ny ﹣4m=0．由题意得△=16n 2+16m ＞0，即n 2+m ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m ，，，，由题意得k PA +k PB =2k PG ，即k PA +k PB ﹣2k PG =0，所以，… 即…把y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m 代入上式，整理得（m ﹣2）n=（m+2）（2﹣m ），…又因为n ∈R ，所以，解得m=2．所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为（2，0）．…【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。