分式的概念及性质应用
分式的概念、性质及运算
分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】1. 下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．2. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.3. 当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？4. 填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．【变式1】将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．【变式2】将下列各式通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．5. 若2x y =-，求22222367x xy y x xy y----的值．要点七、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点八、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a ba b a bb b b---⎛⎫=≠⎪⎝⎭.6、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a aa a a-+--+-．7、计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++．8、计算：（1）432xy⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）323a bc⎛⎫⎪-⎝⎭．9、计算：（1）23422x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）222223()a b aba abb b a⎛⎫-⎛⎫÷+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．。
分式的性质
分式的性质一、分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看符合分式概念的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．二、分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．三、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．四、分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．五、分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．六、最简分式最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数．七、约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．。
分式的概念讲解
分式的概念讲解分式是数学中一个重要的概念，它是有理数的一种特殊表达形式。
分式由分子和分母组成，分子是一个整数或一个多项式，分母是一个非零的整数或一个多项式。
分式的形式通常为a/b，其中a为分子，b为分母。
分式有以下几个重要的概念和性质：1. 分子和分母：分式的分子和分母分别表示表达式中的被除数和除数。
例如，在分式3/4中，3是分子，4是分母。
2. 分式的值：分式表示一个有理数，可以通过计算分子除以分母的商得到。
例如，分式3/4的值为0.75，因为3除以4等于0.75。
3. 约分：分式可以进行约分，即将分子和分母的公因子约去，使分式的值保持不变。
例如，分式6/8可以约分为3/4，因为6和8都能被2整除。
4. 扩分：分式可以进行扩分，即将分子和分母同时乘以一个数，使分式的值保持不变。
例如，分式2/3可以扩分为4/6，因为2除以3等于4除以6。
5. 逆分数：逆分数是指分子大于分母的分式，可以通过将逆分数的分子和分母对调得到原分式。
例如，逆分数5/3可以对调得到3/5。
6. 真分数与假分数：当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于或等于分母时，分式称为假分数。
7. 混合数：混合数是真分数和整数的组合，它由一个整数和一个真分数组成，可以通过分数的加法和整数的相加得到。
例如，混合数3 1/2可以表示为整数部分3加上真分数1/2。
8. 分式的运算：分式可以进行加、减、乘、除的运算。
加减分式的运算首先要找到它们的公共分母，然后对分子进行加减运算，分母保持不变；乘除分式的运算可以直接对分子和分母进行相应的乘除运算。
分式在数学中的应用非常广泛，特别是在代数中。
分式能够表达有理数的比例关系，可以用于解决许多实际问题，如物体的比例、速度的比例、百分比等。
分式还可以用于代数式的运算和方程的求解等数学问题。
总之，分式是数学中重要的概念，它能够准确地表达有理数的比例关系，进行各种运算和解决实际问题。
熟练掌握分式的概念和性质，对于数学学习和实际生活都有很大的帮助。
初二数学分式知识点
初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。
本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。
二、分式的定义1. 分式：形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式，其中 \(a\) 称为分子，\(b\) 称为分母，\(b \neq 0\)。
2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。
三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。
3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。
4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。
四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。
- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。
2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。
3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。
4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。
五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。
2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。
六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。
2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。
3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。
七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。
2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。
3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。
八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。
通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。
八年级数学分式概念
密度是物体的质量与其体积的比值，也可以用分式表示。例如，水的密度是1千克每升， 即$frac{1}{1} = 1$千克每升。
压强计算
压强是压力与受力面积的比值，同样可以用分式表示。例如，大气压强为101千帕，即 $frac{101}{1} = 101$千帕。
化学中的应用
01 02
化学反应速率
分式的性质
01
02
03
分式的值不变
当分子和分母同时乘以或 除以同一个非零数时，分 式的值不变。
分式的值域
分式的值域是其定义域的 子集，取决于分母的值。
分式的化简
通过约分和通分，可以将 分式化简为更简单的形式。
分式的约分与通分
约分
将分子和分母的最大公约数约去 ，使分式化简。
通分
将两个或多个分式化为相同的分 母，以便进行加减运算。
同分母分式相加减时，分母不变，分 子直接相加减。
异分母分式相加减
分数和小数的转换
在进行分式加减法时，可以将分数转 换为小数，或者将小数转换为分数， 以方便计算。
异分母分式相加减时，需要先通分， 再按照同分母分式的加减法进行运算。
混合运算
顺序法则
在进行分式的混合运算时，应遵 循先乘除后加减的顺序进行运算。
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化简方程
通过合并同类项、约分等 手段，化简方程到最简形
式。
去分母
通过乘以公分母，将分数 项去掉，得到一个整式方
程。
验根
将得到的解代入原方程进 行验证，确保解是正确的。
分式方程的应用
实际问题建模
求解方程
验证解的合理性
应用解
将实际问题转化为数学模 型，通常是通过设立未知 数和建立方程来实现。
分式归纳总结
分式归纳总结分式是数学中常见的一种表达方式，它由一个分子和一个分母组成，分子和分母都是数或者代数式。
在日常生活和学习中，我们经常遇到各种各样的分式，学会对分式进行归纳总结，可以帮助我们更好地理解和应用分式。
一、分式的基本概念和性质1. 分式的定义：分式是由分子和分母用横线分隔表示的数或者代数式。
2. 分式的性质：分式可以进行加、减、乘、除等运算。
分式可以化简为最简形式，即分子与分母没有公因数。
二、分式的分类和举例1. 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，如1/2、3/4等。
2. 假分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，如5/4、7/2等。
3. 显分式：分子为非零数，如3/1、4/1等。
4. 隐分式：分子为零，如0/5、0/9等。
三、分式的运算与应用1. 分式的加法和减法：对于相同分母的分式，可以直接对分子进行加或减。
对于不同分母的分式，需要先通分再进行运算。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/202. 分式的乘法和除法：将分子与分母分别相乘或相除。
例如：(2/3) * (3/4) = 6/12 = 1/2(4/5) / (2/3) = (4/5) * (3/2) = 12/10 = 6/53. 分式的应用：分式在实际生活中有很多应用，如比例、百分数、利润分成等问题。
例如：根据工资比例计算两人的收入比例：小明工资是2000元，小红工资是3000元，求两人工资的比例。
小明的工资比例为：2000 / (2000+3000) = 2000 / 5000 = 2/5小红的工资比例为：3000 / (2000+3000) = 3000 / 5000 = 3/5四、分式的化简与扩展1. 分式的化简：通过约分化简一个分式，使得分子与分母互质。
例如：8/12 = 2/3，可以将分式8/12化简为2/3。
2. 分式的扩展：将一个分式拆分为多个分式的和或差，扩展了分式的表达形式。
分式的知识点总结
分式的知识点总结分式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握分式的知识对于数学学习以及实际生活中的应用都具有重要意义。
本文将总结分式的相关概念、性质以及常见的运算方法，以帮助读者更好地理解和应用分式。
一、分式的基本概念分式由分子和分母两部分组成，用分数线隔开，分母不能为零。
分式可以表示一个有理数或未知数的比例关系。
通常表示为：a/b，其中a称为分子，b称为分母。
二、分式的类型1. 真分式：分式的分子小于分母的分式，例如：2/3。
2. 假分式：分式的分子大于等于分母的分式，例如：5/4。
3. 带分数：由整数和真分式组成的分数，例如：1 3/5。
三、分式的化简与约分化简分式是将分子和分母中的公因式约去，使得分子和分母没有其他公因式的过程。
约分是将分子和分母中的公因式约去，使得分子和分母互质的过程。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法的运算方法相同：①将分式化为通分分式；②对分子进行加、减运算，分母保持不变；③化简结果（如果需要）。
2. 分式的乘法：两个分式相乘时，将分子乘以分子，分母乘以分母，然后化简结果（如果需要）。
3. 分式的除法：两个分式相除时，将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子，然后化简结果（如果需要）。
五、分式方程的解法1. 清除分母法：将方程两边的分式的分母去掉，得到一个整式方程；解这个整式方程，找到方程的解；检验这些解是否满足原方程。
2. 相乘法：将方程中的分式两边同时乘以一个适当的整式，消去分式得到一个整式方程；解这个整式方程，找到方程的解；检验这些解是否满足原方程。
六、分式在实际生活中的应用1. 财务计算：分式用于计算各种财务比例，如股息率、盈利能力等；2. 比例问题：分式用于解决比例关系的各种问题，如物件的分配、速度比较等；3. 科学计算：分式用于科学实验和研究中的测量、计算等；4. 经济学：分式用于解决经济学中的各种问题，如经济增长率、通货膨胀率等。
分式知识点总结
分式知识点总结分式是数学中的一个重要概念，它在实际应用中十分常见。
本文将对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解。
一、分式的定义分式由分子和分母组成，通常形式为a/b，其中a和b为整数，b不等于0。
分子表示了被分割的数量，分母表示了每份的份数。
二、分式的基本性质1. 分式的值是一个有理数，可以是正数、负数或零。
2. 分式的值可以是一个整数、真分数或带分数。
3. 分式可以化简，即将分子和分母同时除以一个公因数，得到一个等价的分式。
4. 分式可以相互比较大小，分子相乘，分母相乘，得到的积的大小关系不变。
三、分式的运算1. 分式的加法和减法：- 分式加法：将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相加，分母保持不变。
- 分式减法：与分式加法类似，将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相减，分母保持不变。
2. 分式的乘法和除法：- 分式乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到的分子作为新分数的分子，得到的分母作为新分数的分母。
- 分式除法：将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，作为新分数的分子；将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，作为新分数的分母。
3. 分式的化简：- 将分式的分子和分母同时除以一个公因数，直到分子和分母没有公因数为止，得到一个等价的分式。
四、分式的应用场景1. 比例和比例分配问题：比例可以用分式来表示，通过求解分式可以解决比例分配问题。
2. 股票涨跌问题：利用分式可以计算股票的涨跌幅度。
3. 质量问题：分式可以用来表示物体的质量与体积之间的关系，解决质量问题。
通过以上对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解，相信读者对分式的概念及其应用有了更深入的理解。
在实际问题中，对分式的灵活运用可以帮助我们更好地解决各种计算和应用问题。
分式的定义和基本性质
分式的定义和基本性质分式是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍分式的定义和基本性质，并通过例题详细说明。
一、分式的定义在数学中，分式是指一个数的形式为a/b的表达式，其中a和b都是整数，b不等于0。
其中a称为分子，b称为分母。
分式也可以写成带分数的形式，如n（a/b），其中n是非负整数，a和b都是整数，b不等于0。
分式可以表示一个数，也可以表示一个比率或比例关系。
在代数中，分式可以用来表示一种运算，称为除法。
二、分式的基本性质1. 乘法性质：两个分式相乘，分子和分母分别相乘。
例如，(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 除法性质：一个分式除以另一个分式，相当于将被除分式的倒数乘以除数分式。
例如，(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)3. 加法性质：两个分式相加，要求它们的分母相同，分子相加即可。
例如，(a/b) + (c/b) = (a + c) / b4. 减法性质：两个分式相减，要求它们的分母相同，分子相减即可。
例如，(a/b) - (c/b) = (a - c) / b5. 约分性质：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零整数。
例如，(4/8)可以约分为(1/2)，(12/18)可以约分为(2/3)。
三、例题解析1. 计算下列分式的值：(3/5) + (7/10)解：首先找到两个分式的最小公倍数，即5和10的最小公倍数为10。
将两个分式的分子和分母按照最小公倍数进行扩展，得到：(3/5) + (7/10) = (3 * 2/5 * 2) + (7 * 1/10 * 1) = 6/10 + 7/10 = 13/102. 计算下列分式的值：(2/3) * (4/5)解：直接按照乘法性质相乘，得到：(2/3) * (4/5) = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/153. 约分下列分式：(12/18)解：分子和分母同时除以它们的最大公约数，即12和18的最大公约数为6。
七年级下册数学分式
七年级下册数学分式
一、分式的基本概念与性质
1.分式的定义：分式是指一个含有两个数的表达式，其中分母不能为零。
分式的形式为a/b，其中a称为分子，b称为分母。
2.分式的基本性质：
（1）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
（2）分式的分子与分母同时加减同一个整式，分式的值不变。
（3）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个有理数，分式的值不变。
二、分式的运算
1.分式加减法：分式加减法实质上是通分后的同分母分式的加减运算。
首先确定最简公分母，然后将各分式的分子按照最简公分母进行变换，最后进行加减运算。
2.分式乘除法：分式乘除法实质上是分子与分母的乘除运算。
分子与分母的乘法遵循分配律，除法则是分子与分母的乘法的逆运算。
3.乘法公式在分式中的应用：平方差公式、完全平方公式等乘法公式在分式运算中同样适用。
三、分式方程与不等式
1.分式方程的解法：先将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程，最后验根。
2.分式不等式的解法：与分式方程类似，先将分式不等式转化为整式不等式，然后解整式不等式，最后验根。
四、分式应用题
1.实际问题与分式的联系：许多实际问题都可以用分式来表示，如速度与时间的关系、单价与数量的关系等。
2.解题策略与方法：分析题目中的数量关系，将未知数用分式表示，然后建立分式方程或不等式，最后求解。
分式是七年级下册数学的重要内容，掌握分式的基本概念、运算方法、方程与不等式的解法以及应用题的解题策略，有助于提高我们的数学素养。
分式概念知识点总结
分式概念知识点总结一、分式的概念分式是指一个整体被分成若干个相等的部分，其中每个部分被称为分子，整体被称为分母。
分式通常以 a/b 的形式表示，其中 a 和 b 都为整数，b 不为0。
分数的分母表示被分成的份数，分子表示取了多少份。
例如，2/3 表示整体被分成了3份，取了其中的2份。
二、分式的基本形式1. 真分式：分数的分子小于分母，即 |a| < b。
2. 假分式：分数的分子大于或等于分母，即|a| ≥ b。
3. 显分式：分式中的分子和分母都是已知的数。
4. 隐分式：未知数出现在分子或分母中。
三、分式的性质1. 两个分式相乘：a/b * c/d = ac/bd2. 两个分式相除：a/b ÷ c/d = ad/bc3. 两个分式相加：a/b + c/d = (ad + bc)/bd4. 两个分式相减：a/b - c/d = (ad - bc)/bd四、分式的化简1. 将分子和分母约分到最简形式。
2. 若分数中含有开平方，可将分子或分母的平方根提出来。
3. 若分数中含有负号，可将负号移到分子或分母。
五、分式的运算1. 分式的四则运算：包括加、减、乘、除。
2. 分式的化简：将分数化成最简形式。
3. 分式的混合运算：结合整数和分数进行运算。
六、分式方程1. 单分式方程：方程中只有一个分式。
2. 复分式方程：方程中含有多个分式。
七、分式的应用1. 比例问题：利用分式来描述两个量的比值，解决比例问题。
2. 百分比问题：将百分数化成分式，进行计算和比较。
3. 复利问题：利用复利的计算公式，将利率和时间表示成分式，求解复利问题。
八、分式的图形表示1. 分式在直角坐标系中的图形表示：分数可以表示成长度或面积的比值，可以在直角坐标系中用直线或曲线表示。
2. 分式在统计图中的表示：在统计图中，分数可以表示成比例的形式，用图形表示出来。
九、分式的应用领域1. 数学：在代数、几何、概率等方面，分式的概念和运算都有广泛的应用，是数学中重要的基础知识。
分式知识点总结与分式方程的应用
知识点1、分式概念重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件难点：分式有意义、分式值为0的条件 分式的概念：形如B A ，其中分母B 中含有字母，分数是整式而不是分式. (1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义.(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.易错易混点(1) 对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件；知识点2、分式的基本性质重点：正确理解分式的基本性质.难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=MB M A ⨯⨯，AB=M B M A ÷÷.(其中M 是不等于零的整式)分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．求几个分式的最简公分母的步骤：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。
这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。
易错易混点分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。
分式的概念及基本性质分式的运算
分式的概念及基本性质分式的运算(总8页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析（一）知识梳理1. 分式的概念形如AB（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。
其中A叫分式的分子，B叫分式的分母。
注：（1）分式的分母中必须含有字母（2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类有理式整式单项式多项式分式⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪3. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
A BA MB M=⨯⨯，ABA MB M=÷÷（M为整式，且M≠0）4. 分式的约分与通分（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
步骤：①分式的分子、分母都是单项式时②分子、分母是多项式时（2）通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。
通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。
求最简公分母的步骤：①各分母是单项式时②各分母是多项式时5. 分式的运算（1）乘除运算（2）分式的乘方（3）分式的加减运算（4）分式的混合运算【典型例题】例1. 下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。
ab a 2，1x，a3，--xx y，x+1π，14()x y-，1ya b()+，12a-例2. 下列分式何时有意义（1）x-1（2）1（3）4x（4）x例3. 下列分式何时值为零下列各式中x 为何值时，分式的值为零？（1）433x x + （2）x x-12（3）212--+||()()x x x1. 填空。
（1）x x xy y +=≠10()() （2）3222xy x x x -=-()（3）x y x y x yx y -+=--≠()()220 （4）a ab ab a b2-=-()2. 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。
分式的定义分式有意义的条件分式的基本性质
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。
分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。
整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
分式基础知识讲解
分式基础知识讲解分式，也称为有理数，是指一个整数除以另一个非零整数所得的数。
在数学中，分式是一个重要的概念，它在各种数学问题中都有广泛的应用。
本文将对分式的基础知识进行讲解。
一、分式的定义和表示方式分式可以看作是两个整数的比值，其中一个整数作为分子，另一个整数作为分母。
分式的一般表示方式为“a/b”，其中a为分子，b为分母。
例如，2/3、5/8都是分式。
分式可以用于表示一个数量相对于另一个数量的比值，比如“5个苹果中有3个是红色的”，可以表示为分式5/3。
二、分式的性质和运算法则1. 分式的相等性质对于任意两个分式a/b和c/d，如果ad=bc，则a/b=c/d，即分式相等性质。
2. 分式的相反数和倒数对于任意一个分式a/b，它的相反数是- a/b，它的倒数是b/a。
3. 分式的加减法当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，并保持分母不变。
例如，对于分式a/b和c/b，它们的和为(a+c)/b，差为(a-c)/b。
当两个分式的分母不同时，可以通过求公共分母的方法将它们进行相加或相减。
具体方法可以参考通分的原理。
4. 分式的乘除法两个分式相乘时，只需将它们分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如，分式a/b和c/d的乘积为ac/bd。
两个分式相除时，可以将第二个分式的倒数乘以第一个分式。
即，分式a/b和c/d的商为(a/b) * (d/c) = (ad)/(bc)。
三、分式的简化和约分当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
约分后的分式与原分式表示相同的数。
四、分式的应用1. 倒数的表示当需要表示一个数的倒数时，可以使用分式。
例如，数x的倒数可以表示为1/x。
倒数在分数的求解和比较中起到重要作用。
2. 比例问题在比例问题中，分式被广泛使用。
比如“苹果的单价是2元/个，芒果的单价是3元/个，求苹果和芒果价格的比值”，可以表示为2/3这个分式。
分式的意义和性质
分式的意义和性质分式（Fraction）是指由两个整数表示的有理数，其中，分子（numerator）表示分数的一个部分，分母（denominator）表示分数的另一个部分。
分式通常写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 是分子，$b$ 是分母。
分式的意义和性质在数学中有广泛的应用，如代数、几何、物理等领域。
一、分式的意义：1. 分式表示数的部分：分式能够表示数的部分或部分数量。
例如，$\frac{2}{3}$ 表示一个整体的三分之二，$\frac{7}{8}$ 表示一个整体的八分之七。
2. 分式表示比率：分式可以用来表示比率或比例。
例如，$\frac{5}{6}$ 表示五份中的六份，$\frac{3}{5}$ 表示三个中的五个。
3. 分式表示除法：分式可以看作是一个数除以另一个数的结果。
例如，$\frac{2}{5}$ 可以看作是2除以5的结果。
这种表示方法在计算中特别有用。
4. 分式表示小数：分式也可以表示小数。
例如，$\frac{1}{2}$ 表示小数0.5，$\frac{3}{4}$ 表示小数0.75二、分式的性质：1. 分式的大小比较：对于正的分式，分子越大，分数越大。
例如，$\frac{4}{5}$ 比 $\frac{2}{5}$ 大。
对于正的分式，分母越大，分数越小。
例如，$\frac{2}{3}$ 比 $\frac{2}{5}$ 小。
2. 分式的约分：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的数。
例如，$\frac{2}{4}$ 可以约分为 $\frac{1}{2}$。
约分可以简化计算，并且使得分式更加简洁。
5. 分式的倒数：分式的倒数是指将分子和分母互换位置所得到的新的分式。
例如，$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。
倒数的意义是将分数的分子与分母的位置对调，可以改变分数的大小关系。
总之，分式作为有理数的一种表示形式，具有很多重要的意义和性质。
八年级上册分式
八年级上册分式
摘要：
一、分式的基本概念
1.分式的定义
2.分式的构成
二、分式的性质
1.分式的基本性质
2.分式的运算性质
三、分式的运算
1.分式的加减法
2.分式的乘除法
四、分式的应用
1.实际问题中的应用
2.数学问题中的应用
正文：
在八年级上册的数学课程中，我们学习了分式这一新的数学概念。
分式是一个非常重要的数学工具，它在解决实际问题和数学问题中都发挥着关键的作用。
首先，我们学习了分式的基本概念。
分式是由分子和分母组成的，分子和分母都可以是整式或者代数式。
分式的定义是：如果A 和B 都是整式，并且B 不等于0，那么我们称A/B 为一个分式。
接着，我们学习了分式的性质。
分式的基本性质是指，当分式的分子和分母同时乘以或者除以一个非零整式时，分式的值不变。
而分式的运算性质则是指，分式可以进行加减乘除四种运算，运算的结果仍然是一个分式。
在学习完分式的性质后，我们开始学习如何进行分式的运算。
分式的加减法需要将分式通分，然后按照整式的加减法进行运算。
而分式的乘除法则需要将分式约分，然后按照整式的乘除法进行运算。
最后，我们学习了分式的应用。
在实际问题中，我们常常需要通过设立分式来表示一些量之间的关系。
例如，速度可以表示为路程除以时间，这就可以用一个分式来表示。
在数学问题中，分式也有着广泛的应用，例如在解方程时，我们常常需要使用分式来表示方程的解。
分式的基本性质在物理中的应用
分式的基本性质在物理中的应用
1.分式的基本性质及应用
(1)分式的基本性质
分式是数学中最基本的概念之一，是指加减乘除以及括号等形式的表
达式，表示两个或者多个数字、变量或者因式的组合。
例如：x/y, (a+b) / c, (a+7b/c) / (d-2)等。
由于分式的关系，数值之间可以变换；同时，分式定义了一种新的运算规则，可以用来求解不同类型的数学问题。
(2)分式在物理学中的应用
分式在物理学中有着重要的应用，比如力学有关的运动学问题和热学
有关的热力学问题，都是以分式的形式表示的。
在力学中，运动学里经常用分式来表示动能和势能的变化。
例如，速
度与动能之间关系binv=1/2mv^2表示动能定义。
同样，热力学一般以质量、温度、压强等热力物理量表示，用分式来表达这些变量之间的
关系。
例如，常见的温度和压强定理证明了这一概念，T/P=const，它
表示温度和压强是相对独立的，并满足一定的关系。
另外，分式还常用于描述奥卡姆剃刀原理及数理统计等方面，其中也
广泛运用到各种分式。
此外，物理和数学有很多体系都建立在分式的
基础上，如微分、积分、极限及几何学等。
总之，分式是一种基本而重要的概念，在物理学中有广泛的应用。
它使物理学家们能够处理复杂的数学问题，发现物理定律以及探索物理现象的本质。
分式知识点总结
分式知识点总结分式是小学数学中一个重要的知识点，也是高中数学的基础。
分式的概念和应用广泛，是解决实际问题中常用的方法之一。
本文将从分式的定义、基本性质、运算法则以及应用等方面进行总结。
一、分式的定义分式是两个整数的比，由分子和分母两部分构成。
分子表示被除数，分母表示除数。
通常用a/b的形式表示，其中a为分子，b为分母。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是整数、小数、真分数或假分数，分式可以化简为最简形式。
2. 分式的值与分子和分母的关系密切相关，当分子增大而分母不变时，分式的值增大；当分子减小而分母不变时，分式的值减小。
3. 分式的值可以用图形来表示，例如在数轴上表示为一个点。
三、分式的运算法则1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法归结为求他们的公共分母，将分子相加或相减即可。
例如：a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法和除法：分式的乘法和除法的规则较为简单，直接将分子相乘或相除，分母相乘或相除即可。
例如：(a/b) × (c/d) = ac/bd(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc3. 分式的混合运算：分式的混合运算可以结合加减乘除的运算法则来进行。
在计算过程中，首先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
四、分式的应用分式可以应用于实际问题中，例如在计算比例、百分比、利润和折扣等方面。
1. 比例问题：比例可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到两个量的比值。
例如：甲乙两个人的身高比为3/5，已知甲的身高为150cm，求乙的身高。
2. 百分比问题：百分比可以表示为分式的形式，通过分式可以求解出百分比的具体数值。
例如：某商店举办打折促销活动，原价为120元的商品现在打8折，求折后的价格。
3. 利润和折扣问题：利润和折扣可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到具体的数值。
例如：某商品的进价为180元，利润率为20%，求售价；或者某商店举办折扣促销活动，折扣率为30%，求折后价格。
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分式的概念及性质
定义
示例剖析
分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
A
B
叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且0B ≠．
例如211
a ax +，
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等
于零即0B ≠． 使1x
有意义的条件是0x ≠
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．
即当0A =且0B ≠时，0A
B
=．
使1
1x x -+值为0的x 值为1 知识互联网
模块一 分式的基本概念
知识导航
【例1】 ⑴下列式子：2
124233a x y a x x
x a b x
+---π，，，，
，1
x x y +其中是分式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
⑵当x 时，分式
2x x +有意义；当x 时，分式21
1
x +有意义；
⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？
① 213x x -+ ②6(6)(1)x x x --+ ③ 216(4)(1)x x x -+- ④ 288
x
x + ⑤
2225(5)x x --
【例2】 ⑴当x 时，分式
233x x --的值为1；如果分式1
21x x -+的值为1-，则x 的值是_____. ⑵当x 时，分式48x
-的值为正数；当x 时，分式48x
x --的值为负数；当
x 时，分式6
1x +的值为正整数.
⑶当3x =-时，分式x b x a --无意义，当5x =时，分式x b
x a
--的值为0，则a b +=_____.
能力提升
夯实基础
模块二 分式的基本性质
定义
示例剖析
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
即
()0A A M A M M B B M B M
÷==÷×≠×
()33
0y ay a x ax =≠
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式
变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
【例3】 ⑴下列式子中，正确的是（ ）
A.
a b a b c c ---=- B. a b a b c c --+=-- C. a b a b c c ---=- D. a b a b
c c --+=-
⑵若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？
①x y x y +- ②xy
x y
- ③22x y x y -+ ④
22x y x y --
⑶不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：
12
23________1134x y
x y -=+ 0.030.2_______0.080.5a b a b -=+
30.4511410a b a b +=- ．
能力提升
夯实基础
知识导航
【例4】 ⑴ 约分：3______3mn
m = 2332
510x y x y z -=- 233
______26a a a -=- 22121
x x x -=-+
⑵ 求下列各组分式的最简公分母：
①2214a b 与36x
ab c ；②231x -，()221x x -与2
1x x
-
⑶通分：①
22235c b a
ab a c b c --，，； ②1(1)x x x +-，21x x -，2221
x x -+； ③
1()()a b a c --，1()()b c b a --，1
()()
c a c b --
⑷ 下列分式为最简分式的是（ ）
A ．3315b
a
B ．22a b b a --
C ．2
3x x
D ．22
x y x y
++
分式的乘法 a c a c
b d b d ⋅⋅=
⋅ 分式的除法 a c a d a d
b d b
c b c ⋅÷=⋅=
⋅ 分式的乘方 n
n
n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 同分母分式相加减 a b a b
c c c
±±=
异分母分式相加减
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=
0指数幂 0
1a =(a ≠0)
负整数指数幂
1
p p
a a -=
（0a ≠，p 为正整数） 1. 分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. 知识导航
模块三 分式的基本运算
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； ⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．．．．． 2. 分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则
进行；④注意结果可否化简，化为最简．．分式．．
． 3. 分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因．．．．．．．．．．．式．
，能约分的先约分，再进行运算.
【例5】 ⑴ 用科学计数法表示下列各数： 512000000.0000000010.00120.0000003450.0000000108-，，，，
⑵ 计算： ① ()3
12a b - ② ()
3
2222a b a b ---⋅
⑶下列等式不成立的是（ ）
A.5
0.000016 1.610-=× B.4453m n m n m n ⋅= C.()2139
--= D.()239
--=
【例6】 计算：
⑴()2
3
4
a a a
b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⑵42232)()()(a bc ab c c b a ÷-⋅-
能力提升
夯实基础
⑶22
233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+ ⑷2
3
22()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
⑸ 22m n n m n m m n n m ++---- ⑹221
42
x x x -
--
【例7】 已知三个数x 、y 、z 满足
xy x y +＝2-，yz y z +＝43，zx z x +＝4
3
-．则xyz xy yz zx ++的值为 .
探索创新
训练1. 当x 取何值时，下列分式有意义：
⑴
3||61
-x ； ⑵2322x x x -++ ； ⑶x
111+.
训练2. 计算：
⑴221642
816282a a a a a a a ---÷⋅++++； ⑵a b b c c a ab bc ca ---++；
⑶2222
44224y x y
x y x y y x +++
--；
训练3. 已知a b ，为实数，且1ab =，设111111
a b P Q a b a b =+=+++++，，请比较P 与Q 的大小 .
训练4. 计算
)
5)(3(1
)3)(1(1)1)(1(1+++
++++-x x x x x x
思维拓展训练(选讲)
知识模块一 分式的基本概念 课后演练
【演练1】 ⑴已知分式29
3
x x --的值为零，那么x 的值是 ,
⑵当x ,分式21
5
x x -+的值为正数 .
知识模块二 分式的基本性质 课后演练
【演练2】 若()()()()2223328x m x x x m ---=---成立，则m 的值为 ．
【演练3】 约分：
⑴
3
22016xy y x -；⑵n m m n --22；⑶222122
x x x ++-.
知识模块三 分式的基本运算 课后演练
【演练4】 计算：221
11
x x x -
--．
【演练5】 计算： ()222
22x xy y x y xy x xy x
-+--÷⋅
实战演练。