高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质

2
cos 2
cos(
)
cos
(1)
1（诱导公式，下面有黑点的
当做
的倍数）。
2
图像：如下图所示：
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性质一：最小正周期。 T 2
性质二：定义域，值域。
定义域： x R ；值域： f (x) [1,1] 。
取得最值时对应自变量 x 的值：
①第一个取得最大值1的自变量为 0 ，第二个取得最大值1的自变量为 2 第一个自变量和 第二个自变量的间距为： 2 0 2 。 当 x 0 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) cos x 取得最大值1。
第一个对称轴： x 0 ，第二个对称轴： x 第一个对称轴和第二个对称轴之间的间 距为 0 。所以：对称轴： x 0 k ，其中 k Z 。 对称轴： x 0 k ，其中 k Z 。 中心对称点：函数与 x 轴的交点。如下图所示： x 轴上紫色圆圈处为中心对称点。
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第一个中心对称点为原点 (
,0)
Hale Waihona Puke Baidu
，第二个中心对称点为 (3
,0)
第一个中心对称点和
2
2
第二个中心对称点之间的间距为 3
。所以：中心对称点： (
k,0) ，其中
22
2
kZ 。
中心对称点： (0 k,0) ，其中 k Z 。
奇偶性：图像关于 y 轴对称，函数 f (x) cos x 为偶函数。
友情提醒：有多个值怎么去写？找到前两个值，计算前两个值的间距，多个值合在一起的写法： 第一个值加间距的整数倍。
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①第一个取得最大值1的自变量为
，第二个取得最大值1的自变量为 5
第一个自变量和
2
2
第二个自变量的间距为： 5 2 。 22
当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 取得最大值1。 2
2
63
6 3 3 6 22 2 2 4 4
sin
sin(0 )
sin 0
0 （诱导公式，下面有黑点的
当做
的倍数）。
2
sin 3 sin( ) sin 1（诱导公式，下面有黑点的 当做 的倍数）。
2
2
2
2
sin 2
sin(
)
sin
0 （诱导公式，下面有黑点的
当做
的倍数）。
当 x [ 2k, 3 2k] ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 单调递减。
2
2
第二部分： f (x) cos x 的图像与性质
描点法：如下表所示：
x
0
3
2
2
2
f (x)
1
0
1
0
1
cos 0 cos( ) cos cos sin sin cos2 sin 2 1 。
2
图像：如下图所示：
性质一：最小正周期。 T 2
周期函数：周期函数的图像是由一段图像重复出现组成。
周期函数的周期：这一段重复图像在 x 轴上的长度。 周期函数的最小正周期：最小的重复图像在 x 轴上的长度。
性质二：定义域，值域。
定义域： x R ； 值域： f (x) [1,1] ；
取得最值时对应自变量 x 的值：
第一个对称轴： x ，第二个对称轴： x 3 第一个对称轴和第二个对称轴之间的间
2
2
距为 3 。所以：对称轴： x k ，其中 k Z 。
22
2
对称轴： x k ，其中 k Z 。 2
中心对称点：函数与 x 轴的交点。如下图所示： x 轴上紫色圆圈处为中心对称点。
第一个中心对称点为原点 (0,0) ，第二个中心对称点为 ( ,0) 第一个中心对称点和第
性质四：单调性。
①第一个单调递增区间[ ,0] ，第二个单调递增区间[ ,2 ] 第一个单调区间和第二
个单调区间的间距： ( ) 2 。
当 x [ 2k, 2k] ，其中 k Z 时：函数 f (x) cos x 单调递增。
②第一个单调递减区间[0, ]，第二个单调递减区间[2 ,3 ] 第一个单调区间和第二
高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质
第一部分： f (x) sin x 的图像与性质
描点法：如下表所示：
x
0
3
2
2
2
f (x)
0
1
0
1
0
sin 0 sin( ) sin cos sin cos 0 。
sin
sin(
) sin
cos
sin
cos
11
3
3 1 3 1。
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自
2
2
变量和第二个自变量的间距为 3 ( ) 2 。 22
当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 取得最小值 1。 2
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自 变量和第二个自变量的间距为 3 2 。 当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) cos x 取得最小值 1。
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
,
5
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 3 ( ) 2 。 22
当 x [ 2k, 2k] ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 单调递增。
2
2
②第一个单调递减区间 [
,
3
] ，第二个单调递减区间[5
,
7
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 5 2 。 22
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二个中心对称点之间的间距为 0 。所以：中心对称点： (0 k,0) ，其中 k Z 。
中心对称点： (0 k,0) ，其中 k Z 。
奇偶性：图像关于原点 (0,0) 对称，函数 f (x) sin x 为奇函数。
性质四：单调性。
①第一个单调递增区间 [
,
] ，第二个单调递增区间[3
cos
cos(
) cos
cos
sin
sin
311
3
3
3 0。
2
63
6 3 6 3 2 22 2 4 4
cos
cos(0 )
cos 0
1（诱导公式，下面有黑点的
当做
的倍数）。
2
cos 3
cos(
) cos
0 （诱导公式，下面有黑点的 当做
的倍数）。
2
2
2