高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质
一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质
二、正切函数的图象与性质
R R x ＝2k π＋π
2
(k ∈Z )时，y max ＝1；
x ＝2k π－π
2
(k ∈Z )时，y min ＝－1
奇函数
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ωπ2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅；
(2)2T πω=称为周期；
(3)1f T
=称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相
(6)ω称为圆频率.。
三角函数的基本性质和图像
三角函数的基本性质和图像三角函数是数学中的重要概念，它们具有许多基本性质和特点，同时它们的图像也是我们学习和理解三角函数的关键。
本文将介绍三角函数的基本性质和图像，并对其进行详细解析。
1. 正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)。
它的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]。
正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，沿着x轴振荡，且在x = 0、π、2π等处取得极值。
当x为0、π、2π等整数倍时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2等半整数倍时，正弦函数取得最大或最小值。
正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是另一种基本的三角函数，表示为cos(x)。
它的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像也是一个周期为2π的曲线，与正弦函数的图像关于y轴对称。
当x为0、π/2、π、3π/2等半整数倍时，余弦函数的值为1或-1；当x为π、2π等整数倍时，余弦函数的值为0。
余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中的另一个常见函数，表示为tan(x)。
它的定义域为所有实数，但在一些特殊点上未定义，比如x = π/2、3π/2等。
正切函数的值域为(-∞, +∞)，没有明确的上下界。
正切函数的图像是一个在每个π/2的区间内无限增大或无限减小的曲线。
正切函数是奇函数，即满足tan(-x) = -tan(x)。
4. 反三角函数除了正弦、余弦、正切函数外，还存在其它一些与之相关的反函数，如反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）和反正切函数（arctan）。
这些函数的定义域和值域与对应的三角函数范围相反，并且它们的图像与原函数进行镜像。
以上就是三角函数的基本性质和图像的介绍。
通过对这些性质的了解和图像的观察，我们可以更好地理解和应用三角函数。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的一类特殊函数，以其图像的周期性和性质的多样性而被广泛研究和应用。
本文将介绍三角函数的图像特点和基本性质。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
其图像为周期性曲线，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的值在[-1,1]之间变化。
图像在x轴上的零点是正弦函数的特殊点，记为x=kπ，其中k为整数。
正弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
正弦函数的性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。
余弦函数的图像也是周期性曲线，其周期同样为2π。
在一个周期内，余弦函数的值同样在[-1,1]之间变化。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
余弦函数的性质：1. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中另一个常见的函数，用tan(x)表示。
正切函数的图像为周期性曲线，其周期为π。
正切函数的图像在x=kπ+π/2时会出现无穷大的间断点，即tan(x)在这些点是无界的。
正切函数的性质：1. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数在过一个周期后会重复。
2. 奇偶性：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他与它们密切相关的三角函数。
1. 反正弦函数：用arcsin(x)表示，表示一个角的正弦值等于x，返回值在[-π/2, π/2]之间。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要函数，由于其广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域，对三角函数的图像和性质进行了深入的研究。
本文将就三角函数的图像和性质展开讨论。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示，其中x是一个实数。
正弦函数的图像可以通过绘制函数y = sin(x)来得到，横坐标x 表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示sin(x)的值。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期是2π（360度）。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
3. 定义域和值域：正弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。
4. 最值：正弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数的另一个重要代表，用cos(x)表示，其中x是一个实数。
余弦函数的图像可以通过绘制函数y = cos(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示cos(x)的值。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数也是周期性函数，其周期是2π（360度）。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
3. 定义域和值域：余弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。
4. 最值：余弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种形式，用tan(x)表示，其中x是一个实数。
正切函数的图像可以通过绘制函数y = tan(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示tan(x)的值。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数是周期性函数，其周期是π（180度）。
2. 对称性：正切函数是奇函数，即满足tan(-x) = -tan(x)。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
高考数学冲刺复习三角函数图像考点解析
高考数学冲刺复习三角函数图像考点解析在高考数学中，三角函数图像是一个重要的考点，它不仅要求我们掌握基本的概念和性质，还需要我们能够灵活运用这些知识解决各种问题。
在冲刺复习阶段，对三角函数图像考点进行系统的梳理和深入的理解，能够帮助我们在考试中更加得心应手。
一、三角函数的基本类型我们先来了解一下常见的三角函数，包括正弦函数（y ＝ sin x）、余弦函数（y ＝ cos x）和正切函数（y ＝ tan x）。
正弦函数的图像是一个以2π 为周期，在－1 到1 之间波动的曲线。
它在 x ＝ 0 时，函数值为 0；在 x ＝π/2 时，函数值为 1；在 x ＝3π/2 时，函数值为－1。
余弦函数的图像同样是以2π 为周期，在－1 到 1 之间波动。
它在 x ＝ 0 时，函数值为 1；在 x ＝π 时，函数值为－1。
正切函数的图像则有所不同，它的周期是π，定义域为x ≠ （π/2)＋kπ（k 为整数），值域为R。
其图像在每个周期内都是单调递增的，且有垂直渐近线 x ＝（π/2) ＋kπ。
二、三角函数图像的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，正切函数的周期是π。
周期性是三角函数的重要特征之一，利用周期性可以将函数在一个周期内的性质推广到整个定义域。
2、对称性正弦函数是关于直线 x ＝π/2 ＋kπ（k 为整数）对称的奇函数；余弦函数是关于直线 x ＝kπ（k 为整数）对称的偶函数。
3、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k 为整数）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ上单调递减。
余弦函数在2kπ π, 2kπ上单调递增，在2kπ, 2kπ ＋π上单调递减。
4、值域正弦函数和余弦函数的值域都是-1, 1，正切函数的值域是 R。
三、三角函数图像的变换1、平移变换对于函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图像向左平移φ 个单位；当φ ＜ 0 时，图像向右平移|φ|个单位。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是高中数学中的重要概念之一，它们在数学和物理中有广泛的应用。
通过研究三角函数的图像和性质，我们可以更好地理解它们的特点和变化规律。
本文将从正弦函数、余弦函数和正切函数三个方面介绍它们的图像与性质。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以通过单位圆的边界上的点来画出。
在单位圆上，以圆心为原点，与正x轴的交点为A，从A点逆时针旋转一个角度θ，与半径OA的交点为P，那么点P的纵坐标y就表示正弦函数的值。
从单位圆上的任一点开始，逆时针方向绕单位圆运动，所走过的角度与此时正弦函数的值是一一对应关系。
正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期为360度或2π（弧度），即sin(x+360°)=sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
3. 定义域和值域：正弦函数的定义域为所有实数，值域介于-1和1之间，即-1≤sin(x)≤1。
4. 单调性：正弦函数在一个周期内是周期递增递减的。
5. 对称轴：正弦函数图像关于直线y=0对称。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数与正弦函数非常相似，它们的主要区别在于相位差。
余弦函数的图像可以通过单位圆的边界上的点来画出。
在单位圆上，以圆心为原点，与正x轴的交点为A，从A点逆时针旋转一个角度θ，与半径OA的交点为P，那么点P的横坐标x就表示余弦函数的值。
从单位圆上的任一点开始，逆时针方向绕单位圆运动，所走过的角度与此时余弦函数的值是一一对应关系。
余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期为360度或2π（弧度），即cos(x+360°)=cos(x)。
2. 偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
3. 定义域和值域：余弦函数的定义域为所有实数，值域介于-1和1之间，即-1≤cos(x)≤1。
4. 单调性：余弦函数在一个周期内是周期递增递减的。
高中数学三角函数图像的性质及变换规律
高中数学三角函数图像的性质及变换规律三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质及变换规律是我们学习和应用三角函数的基础。
在本文中，我将详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质，并讨论它们的平移、伸缩和翻转变换规律。
一、正弦函数的图像性质及变换规律正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期是2π，振幅为1。
正弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 0)，称为正弦函数的零点。
正弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程sin(x) = 0.5在区间[0, 2π]内的解。
首先，我们可以通过观察正弦函数的图像，知道sin(x) = 0.5有两个解，一个在第一象限，一个在第二象限。
我们可以通过求解sin(x) = 0.5的解析解来验证这一点。
sin(x) = 0.5的解析解为x = π/6 + 2πn和x = 5π/6 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足sin(x) = 0.5的解为x = π/6和x = 5π/6。
这个例子说明了正弦函数的图像性质，以及如何通过观察图像来快速得到方程的解。
二、余弦函数的图像性质及变换规律余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，它的周期也是2π，振幅为1。
余弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 1)，称为余弦函数的最大值点。
余弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程cos(x) = -0.5在区间[0, 2π]内的解。
根据余弦函数的图像性质，我们可以知道cos(x) = -0.5有两个解，一个在第二象限，一个在第三象限。
我们可以通过求解cos(x) = -0.5的解析解来验证这一点。
cos(x) = -0.5的解析解为x = 2π/3 + 2πn和x = 4π/3 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足cos(x) = -0.5的解为x = 2π/3和x = 4π/3。
数学公式知识：三角函数的图像及其性质
数学公式知识：三角函数的图像及其性质三角函数是数学中的重要内容，有着广泛的应用。
在几何、物理、工程等领域中都有着重要作用。
在三角函数中，正弦函数、余弦函数、正切函数等图像及其性质是比较基础且重要的内容。
本文将介绍三角函数的图像及其性质，帮助读者更好地理解和掌握三角函数的知识。
一、正弦函数的图像及其性质正弦函数的函数式为：y=sin(x)，其中x表示自变量的取值，范围为实数；y表示正弦函数对应的因变量。
正弦函数的图像是一条典型的正弦曲线。
其图像的周期为2π。
正弦函数的图像在坐标轴上为(0,0)处，且在x轴的取值为kπ（k为整数）时，函数值为0，即sin(kπ)=0。
正弦函数的图像在x轴上的最大正值和最小负值分别为1和-1，即sin(±π/2)=±1。
正弦函数在π/2+nπ（n为整数）时，取得最大值1；在-π/2+nπ（n为整数）时，取得最小值-1。
当自变量x增加2π时，正弦函数的函数值也将再次取得最大值1或最小值-1，即满足周期性。
正弦函数为奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数的图像呈现关于y轴对称的性质。
二、余弦函数的图像及其性质余弦函数的函数式为：y=cos(x)，其中x表示自变量的取值，范围为实数；y表示余弦函数对应的因变量。
余弦函数的图像是一条典型的余弦曲线。
其图像的周期为2π。
余弦函数的图像在坐标轴上为(0,1)（0度），且在x轴的取值为kπ（k 为整数）时，函数值为1，即cos(kπ)=1。
余弦函数的图像在x轴上的最大正值和最小负值都为0，即cos(±π/2)=0。
余弦函数在nπ（n为整数）时，取得最小值-1；在π+nπ（n为整数）时，取得最大值1。
当自变量x增加2π时，余弦函数的函数值也将再次取得最大值1或最小值-1，即满足周期性。
余弦函数为偶函数，即cos(-x)=cos(x)，即余弦函数的图像呈现关于y轴对称的性质。
三角函数的性质和图像
三角函数的性质和图像
三角函数的性质与其连续变化的图像形状之间息息相关，为我们解释物理世界中复杂物理关系提供了重要依据。
五个小标题，相关内容
三角函数的性质和图形
1、定义
三角函数是用变量对正n角形的三种角度和相应角的大小而表达的关系式，主要包括正弦函数sinH，余弦函数 cosH和正切函数 tanH。
2、几何性质：
三角函数在几何中有一些性质，例如正弦函数SinH，余弦函数CosH 和正切函数tanH全部符合三角形的特性，其中的SinH和CosH的图像是三角形的内切圆，而tanH的图像是三角形的外切圆。
3、参数性质：
任意线性变换，三角函数的图像也被重新变换，只要保持原来变量关
系，图像也保持类型不变。
4、增减性质：
在某种范围内，正弦函数SinH和余弦函数CosH都是增函数，正切函数TanH是减函数。
5、图像特点：
三角函数的图像大体上是正弦曲线，在Π/2位置有拐点，有半波长形状，在此基础上可以通过变换做出不同的图形。
高中数学 第14讲 三角函数的图像与性质
第14讲 三角函数的图像与性质负责人:戴茵霞一、知识梳理：（一）正弦函数x y sin =，余弦函数x y cos =，正切函数x y tan =的图象和性质： 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 x ∈R x ∈R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且 值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2] (k ∈Z)， 递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z)递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z)，递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)递增区间是()Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,2,2ππππ最值11min max -==y y11min max -==y y无最大值 和最小值 奇偶性 奇函数偶函数奇函数对称性对称中心 ()Z k k ∈,0,πZ k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,0,2ππ Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛,0,2π 对称轴 Z k k x ∈+=,2ππZ k k x ∈=,π无对称轴最小正 周期2π 2π π（二）)sin(ϕω+=x A y 图象的性质： 1、简谱运动的有关概念对于简谱运动)sin(ϕω+=x A y )),0[,0,0(+∞∈>>x A ω，振幅是A ，最小正周期是||2ωπ=T ,频率是T1，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 2、三角函数图象的变换⑴平移变换：()ϕ+=→=x y x y sin sin ⑵伸缩变换：x y x y ωsin sin =→= ⑶上下平移：()()b x f y x f y +=→= ⑷综合应用)sin()sin(sin )2()sin()sin()1(sin ϕωϕωωϕωϕ+=→+=→=+=→+=→=x A y x y xy x y x y x y3、)sin(ϕω+=x A y 图象的性质：讨论)sin(ϕω+=x A y 图象的性质，通常用换元法，设ϕω+=x t ，再结合x y sin =的性质求之. 4、由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数解析式：与“五点”作图法对应； 5、对于函数b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA ，有)(21min max y y A -=，)(21min max y y b +=. 二、例题分析：题型一：三角函数的定义域1.若10,lg(sin )2x y x π<<=-+则函数 ） A.[ππ32,3) B.)65,6(ππ C.)65,3[ππ D.),65(ππ题型二：三角函数的值域 2.求下列函数的值域：① 【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。
三角函数的图像与性质详解
三角函数的图像与性质详解在数学领域中，三角函数是一组常见且重要的函数。
它们不仅具有许多实际应用，同时也有着丰富的图像特性和数学性质。
本文将详细介绍三角函数的图像和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用符号sin表示。
正弦函数的图像是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复。
正弦函数的周期由2π决定。
2. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正弦函数的值在[-1, 1]的范围内变化。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用符号cos表示。
余弦函数的图像也是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的图像也在一个周期内重复。
余弦函数的周期同样由2π决定。
2. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
3. 范围：余弦函数的值同样在[-1, 1]的范围内变化。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要成员，用符号tan表示。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的图像在每个π的倍数处出现垂直渐近线。
因此，正切函数没有固定的周期。
2. 对称性：正切函数的图像关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正切函数在定义域内可以取任何实数值。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数之外，还有许多与三角函数相关的函数，例如反正弦、反余弦和反正切函数。
这些函数的图像和性质相对复杂，超出了本文的范围。
感兴趣的读者可以进一步学习和了解这些函数的性质。
综上所述，三角函数是数学中常见而重要的函数。
它们的图像和性质有助于我们理解和应用这些函数。
通过研究三角函数的性质，我们可以更好地解决与周期性和周期性相关的问题，例如波动、震动和周期性运动。
希望本文的内容能够对读者在学习和应用三角函数时有所帮助。
高中数学：三角函数图像和性质
高中数学：三角函数图像和性质
三角函数图像和性质是高中数学中一类十分重要的概念。
它包括的范围非常广泛，通常从最基本的三角函数定义开始，到求解三角形、定理和性质，再到应用等。
这一章节的内容涉及很多知识点，下面我们一一介绍。
首先，从最基本的角度出发，我们可以定义三角函数。
三角函数是利用三角形的角来定义某些函数，常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数的图像也是非常重要的内容，需要掌握它们的图像大致形状及其特性，比如正弦函数的图像是一个周期函数，它的值的变化是从最低到最高，然后又回到最低，以此类推。
此外，还有几何意义上的三角函数，它也是高中数学中应用广泛的概念之一。
这一章节中会涉及到三角函数在几何中的运用，比如求解三角形的角度大小，以及求出不同三角形的面积和边长等。
这些在实际中都有很多应用，比如家居装修、农业和工程等行业都会利用三角函数来计算及测量。
最后，我们要掌握三角函数的定理和性质。
些定理和性质是高中数学的重要的核心概念，它们是有条件的，比如有正弦定理、余弦定理和正切定理等，掌握这些定理和性质，可以实现求解三角形相关参数的目的。
综上所述，三角函数图像和性质是高中数学中一类十分重要的概念，其内容涉及从最基本的三角函数定义到求解三角形的定理和性质，再到几何意义上的应用等，掌握了它们，才能充分利用起来，有助于
今后的学习和工作。
三角函数的图象与性质(解析版)
三角函数的图象与性质(解析版)三角函数的图象与性质(解析版)三角函数是数学中重要的函数之一，它们在解析几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对三角函数的图象与性质进行解析，便于读者更好地理解与掌握三角函数的特点。
一、正弦函数的图象与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图象是一条连续的波浪线。
我们可以通过数学方法推导出正弦函数的周期性、奇偶性和对称性等性质。
1. 图象特点：正弦函数的图象是一条在坐标平面上连续波动的曲线。
它的振幅表示峰值与谷值之间的差距，周期则代表两个峰值或谷值之间的距离。
2. 周期性：正弦函数的一个周期内，曲线的形状相同，并且可以无限延伸。
周期为2π，即当x增加2π时，曲线的形状重复出现。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)。
这意味着当自变量x取负值时，函数值会发生变号。
4. 对称性：正弦函数关于原点对称，即f(x) = -f(x + π)。
这意味着以原点为对称中心，曲线的左右两侧完全相同。
二、余弦函数的图象与性质余弦函数也是常见的三角函数之一，它的图象是一条连续的波浪线。
与正弦函数相似，余弦函数也有周期性、奇偶性和对称性等特点。
1. 图象特点：余弦函数的图象是一条波动的曲线，与正弦函数相比，它的最高点与最低点位置不同。
余弦函数的振幅表示波峰与波谷之间的差距，周期代表两个波峰或波谷之间的距离。
2. 周期性：余弦函数的周期也是2π，当自变量x增加2π时，曲线的形状重复出现。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(-x)。
这意味着当自变量x取负值时，函数值保持不变。
4. 对称性：余弦函数关于y轴对称，即f(x) = f(π - x)。
这意味着以y轴为对称中心，曲线的左右两侧完全相同。
三、正切函数的图象与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，它的图象是一条连续的波动曲线。
我们也可以通过数学方法推导出正切函数的周期性、奇偶性和对称性等性质。
三角函数的图象和性质
在区间 [0,
2
]
上是单调函数,
必有
2
≤
,
即 0<≤2.
∴0<
4k+2 3
≤2(kZ).
解得 k=0 或 1.
∴=2
或
2 3
.
综上所述,
=
2
,
=2 或
2 3
.
6.如果函数 的值.
y=sin2x+acos2x
的图象关于直线
x=-
8
对称,
求a
解: y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+), 其中, tan=a.
3.周期性: ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是
Asin(x+) 和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是
2;
T=
2|②| .f(x)=
4.奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(xR)是奇函数, 对称中心
是 (x(kR),是0)偶(k函Z数),,对对称称轴中是心直是线(kx=+k2,+02)((kkZZ)),;对余称弦轴函是数直y=线coxs=x k (kZ) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂
性, 如果是周期函数, 求出它的一个周期.
解:
(1)由∴∵∴2kfsfs((iixnx+n))xx=的4--lcoc<定oogxss<21xx义(2s=>ik域n0,x2+为-s即ic5n4o{(xsx,x2|-k)s2≥ik4nlZ)(o≤x+g-21424<2,)x>=<0-2得k12:.+
5
4
高中数学：三角函数图像与性质
第8讲三角函数图像与性质[玩前必备]1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质π2．用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π,3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.3．三角函数图象变换[玩转典例]题型一 三角函数的定义域和值域例1 （1）求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域． (2)y ＝lg(3－tan x )．例2 求下列函数的最大值和最小值和值域． (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.[玩转跟踪]1. 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．2.求函数y ＝ log 21sin x－1的定义域．3.函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为____________．题型二 三角函数的单调性例3 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间．[玩转跟踪]1.求函数y ＝12log cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间．2.求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间．题型三 三角函数的周期性对称性和奇偶性 例4 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. (1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．[玩转跟踪]1．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位长度，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值．2.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是( ) 3.在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③题型四 三角函数的图像变换例5 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R [玩转跟踪]1．把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．题型五 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例6 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式．[玩转跟踪]1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 类型六 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用例7 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π3，5. (1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．[玩转跟踪]1.设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值[玩转练习]1．下列函数中，最小正周期为4π的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos 2x2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只需将y ＝f (x )的图象上所有的点( ) A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π4．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则( ) A ．f (0)>f (－1)>f (1) B ．f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1) D ．f (－1)>f (0)>f (1)5.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π46．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 7．函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递减区间是________． 8.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为________．9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的最小正周期为T ，且在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (mx )＋1(m >0)的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数，求m 的取值所构成的集合．10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立．且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，求f (x )的单调递增区间．。
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,
5
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 3 ( ) 2 。 22
当 x [ 2k, 2k] ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 单调递增。
2
2
②第一个单调递减区间 [
,
3
] ，第二个单调递减区间[5
,
7
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 5 2 。 22
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自 变量和第二个自变量的间距为 3 2 。 当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) cos x 取得最小值 1。
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自
2
2
变量和第二个自变量的间距为 3 ( ) 2 。 22
当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 取得最小值 1。 2
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质
第一部分： f (x) sin x 的图像与性质
描点法：如下表所示：
x
0
3
2
2
2
f (x)
0
1
0
1
0
sin 0 sin( ) sin cos sin cos 0 。
sin
sin(
) sin cossi cos113
3 1 3 1。
第2页共6页
二个中心对称点之间的间距为 0 。所以：中心对称点： (0 k,0) ，其中 k Z 。
中心对称点： (0 k,0) ，其中 k Z 。
奇偶性：图像关于原点 (0,0) 对称，函数 f (x) sin x 为奇函数。
性质四：单调性。
①第一个单调递增区间 [
,
] ，第二个单调递增区间[3
当 x [ 2k, 3 2k] ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 单调递减。
2
2
第二部分： f (x) cos x 的图像与性质
描点法：如下表所示：
x
0
3
2
2
2
f (x)
1
0
1
0
1
cos 0 cos( ) cos cos sin sin cos2 sin 2 1 。
友情提醒：有多个值怎么去写？找到前两个值，计算前两个值的间距，多个值合在一起的写法： 第一个值加间距的整数倍。
第1页共6页
①第一个取得最大值1的自变量为
，第二个取得最大值1的自变量为 5
第一个自变量和
2
2
第二个自变量的间距为： 5 2 。 22
当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 取得最大值1。 2
2
cos 2
cos(
)
cos
(1)
1（诱导公式，下面有黑点的
当做
的倍数）。
2
图像：如下图所示：
第3页共6页
性质一：最小正周期。 T 2
性质二：定义域，值域。
定义域： x R ；值域： f (x) [1,1] 。
取得最值时对应自变量 x 的值：
①第一个取得最大值1的自变量为 0 ，第二个取得最大值1的自变量为 2 第一个自变量和 第二个自变量的间距为： 2 0 2 。 当 x 0 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) cos x 取得最大值1。
2
63
6 3 3 6 22 2 2 4 4
sin
sin(0 )
sin 0
0 （诱导公式，下面有黑点的
当做
的倍数）。
2
sin 3 sin( ) sin 1（诱导公式，下面有黑点的 当做 的倍数）。
2
2
2
2
sin 2
sin(
)
sin
0 （诱导公式，下面有黑点的
当做
的倍数）。
第一个对称轴： x 0 ，第二个对称轴： x 第一个对称轴和第二个对称轴之间的间 距为 0 。所以：对称轴： x 0 k ，其中 k Z 。 对称轴： x 0 k ，其中 k Z 。 中心对称点：函数与 x 轴的交点。如下图所示： x 轴上紫色圆圈处为中心对称点。
第4页共6页
cos
cos(
) cos
cos
sin
sin
311
3
3
3 0。
2
63
6 3 6 3 2 22 2 4 4
cos
cos(0 )
cos 0
1（诱导公式，下面有黑点的
当做
的倍数）。
2
cos 3
cos(
) cos
0 （诱导公式，下面有黑点的 当做
的倍数）。
2
2
2
第一个对称轴： x ，第二个对称轴： x 3 第一个对称轴和第二个对称轴之间的间
2
2
距为 3 。所以：对称轴： x k ，其中 k Z 。
22
2
对称轴： x k ，其中 k Z 。 2
中心对称点：函数与 x 轴的交点。如下图所示： x 轴上紫色圆圈处为中心对称点。
第一个中心对称点为原点 (0,0) ，第二个中心对称点为 ( ,0) 第一个中心对称点和第
2
图像：如下图所示：
性质一：最小正周期。 T 2
周期函数：周期函数的图像是由一段图像重复出现组成。
周期函数的周期：这一段重复图像在 x 轴上的长度。 周期函数的最小正周期：最小的重复图像在 x 轴上的长度。
性质二：定义域，值域。
定义域： x R ； 值域： f (x) [1,1] ；
取得最值时对应自变量 x 的值：
第一个中心对称点为原点 (
,0)
，第二个中心对称点为 (3
,0)
第一个中心对称点和
2
2
第二个中心对称点之间的间距为 3
。所以：中心对称点： (
k,0) ，其中
22
2
kZ 。
中心对称点： (0 k,0) ，其中 k Z 。
奇偶性：图像关于 y 轴对称，函数 f (x) cos x 为偶函数。
性质四：单调性。
①第一个单调递增区间[ ,0] ，第二个单调递增区间[ ,2 ] 第一个单调区间和第二
个单调区间的间距： ( ) 2 。
当 x [ 2k, 2k] ，其中 k Z 时：函数 f (x) cos x 单调递增。
②第一个单调递减区间[0, ]，第二个单调递减区间[2 ,3 ] 第一个单调区间和第二