必修四任意角的三角函数(一)(附答案)

任意角的三角函数(一)

[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．

知识点一 三角函数的概念

1．利用单位圆定义任意角的三角函数

如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：

(1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；

(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y

x

(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．

2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y

r ，cos

α＝x r ，tan α＝y x

.

思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？

答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 思考 三角函数在各象限的符号由什么决定？

答案 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．

知识点三 诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z .

题型一 三角函数定义的应用

例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝10

10

x ，求sin θ，tan θ. 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r ＝x

x 2＋9.

又∵cos θ＝

1010x ，∴x x 2＋9＝10

10

x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝

312＋32

＝31010，tan θ＝3

1＝3.

当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝

3(－1)2＋32

＝31010，

tan θ＝3

－1＝－3.

跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 解 (1)r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |. 若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，

cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－4

5，

tan α＝y x ＝3a －4a ＝－3

4

，

若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34

.

(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，

所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝

3a 2a ＝32

， cos α＝a 2a ＝1

2，

tan α＝

3a

a

＝ 3. 若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－3

2，

cos α＝－a 2a ＝－1

2，

tan α＝

3a

a

＝ 3. 题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π

2<5<2π，

∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π

2<－1

∴sin(cos θ)<0.

跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 答案 四

解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．

题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：

(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π

5

·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝

22×32＋12×12＝64＋14＝1＋6

4

. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝1

2.

跟踪训练3 求下列各式的值： (1)cos 25π

3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝3

2

；

(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.

利用任意角的三角函数的定义

求值，忽略对参数的讨论而致错

例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 错解 令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，

∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724

.

错因分析 点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，

∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝7

24.

当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，